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2019年广西高考文科数学试题与答案

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2019年广西梧州市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广西梧州市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广西梧州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，，．故选：B．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.i是虚数单位，R是实数集，，若，则A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】解：由，得，即．故选：B．由复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0即可求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.命题“若，则”的逆否命题是A. 若，则且B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：若，或，则．故选：D．根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题．考查逆否命题的定义，以及写出原命题的逆否命题的方法．4.游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”某车间20名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是黄金或铂金段位从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是，则抽得铂金段位的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：黄金段位的人数是，则抽得铂金段位的概率是．故选：C．先求出黄金段位的人数，由此利用概率计算公式能求出抽得铂金段位的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.对任意等比数列，下列说法一定正确的是A. ，，成等比数列B. ，，成等比数列C. ，，成等比数列D. ，，成等比数列【答案】D【解析】解：A项中，，，故A项说法错误，B项中，故B项说法错误，C项中，故C项说法错误，D项中，故D项说法正确，故选：D．利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．本题主要考查了是等比数列的性质主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．6.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是A. 焦点在x轴上B. 虚轴长为4C. 离心率为D. 渐近线方程为【答案】D【解析】解：双曲线的方程为，焦点在y轴上，所以A不正确；，所以B不正确；双曲线的离心率，所以C正确；渐近线方程为所以D不正确；故选：D．利用双曲线的标准方程，判断选项的正误即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.函数是自然对数的底数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C．当时，，排除D，故选：A．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值的符号是否对应进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及对称性是解决本题的关键．8.若函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据函数的部分图象，可得，，再根据五点法作图可得，求得，令，求得，故函数的增区间为，故选：A．由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式再利用正弦函数的单调性，求得的单调递增区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性，属于基础题．9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是A. 2，3，4，B. 2，3，4，5，C. 3，4，D. 3，4，5，【答案】C【解析】解：输入a值，此时，执行循环体后，，，不应该退出；再次执行循环体后，，，应该退出；故，解得：，故输入的正整数a的可能取值的集合是3，4，，故选：C．模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a 的不等式组，是解答的关键．10.已知函数若，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由的解析式可知，在上是单调递增函数，在由，得即，解得．故选：C．由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．11.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：，，平面ADC，其直观图如图所示：，，底面的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，侧面是腰长为，底长的等腰三角形，故底边上的高为，其面积为：，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，分别求出各个面的面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12.若关于x的方程存在三个不等实根，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意知，令，的两根一正一负，由，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故，且时，，若关于x的方程存在三个不等实根，只需令的正根满足：，解得：，故选：C．由题意知，令，得的两根一正一负，由，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，问题转化为关于a的不等式，解出即可．本题是考查函数的性质及零点的相关知识，考查二次函数的性质以及导数的应用，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.平面内有三点，，，且，则x为______．【答案】1【解析】解：，，，，可得．故答案为：1．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知数列中，，，则数列的前9项和等于______．【答案】27【解析】解：，，数列的公差，又，，，故答案为：27．通过可得公差，进而由求和公式即得结论．本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．15.过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】解：由题意知点P的坐标为或，，，即，或舍去．故答案为：．把代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据推断出整理得，进而求得椭圆的离心率e．本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．【答案】0或1【解析】解：直线与的切点为，与的切点为，由的导数为，的导数为，可得，消去，可得，则或1，则切点为或，或1，则切线为或，可得或1．故答案为：0或1．设直线与的切点为，与的切点为，可得切线的斜率，注意运用两点的斜率公式，解方程即可得到切点和斜率，进而得到切线方程，可得b的值．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．求角A的大小；若，的周长为8，求的面积．【答案】解：由正弦定理得：．因カ，所以，又A为的内角所以．因为及的周长为8，所以，由余弦定理得．所以十，所以，所以的面积．【解析】由正弦定理进行化简求解即可与余弦定理，结合是三角形的周长，求出bc的值即可本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式进行转化求解是解决本题的关键．18.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，结果如表：请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系，如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率如果不能，请说明理由．根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型，报废年限各不相同考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择釆购哪款车型？参考数据：，，参考公式：相关系数回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】解：，故，故，故两变量之间有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系，，，故回归方程是，时，，即2018年12月的市场占有率是；用频率估计概率，这100辆A款单车的平均利率为：元，这100辆B款车的平均利润为：元，故会选择釆购B款车型．【解析】求出相关系数，判断即可，求出回归方程的系数，求出回归方程代入x的值，判断即可；分别求出A，B的平均利润，判断即可．本题考查了相关系数，回归方程以及函数代入求值，是一道中档题．19.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，C.求证：平面；设，若直线AB与平面所成的角为，求三棱锥的体积．【答案】证明：四边形是菱形，，，且，平面，，，O是的中点，，，平面C.解：由可得平面，则BO是AB在平面上的射影，是直线AB与平面所成角，即，在中，，又，且，是正三角形，，由棱柱性质得，及平面，平面，得到平面，三棱锥的体积：．【解析】推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面C.由平面，得是直线AB与平面所成角，即，推导出平面，从而三棱锥的体积，。

2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A. B．2 C．5 D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝e x－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.8．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B. C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. B. C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2. 由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.18．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝i(y i－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s＝＝0.02×≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－(x>0)．因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<<1<x0.又f＝ln－－1＝＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.23．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．祝福语祝你考试成功!。

2019年广西高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅲ)

2019年广西高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅲ)

2019年广西高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x︱x2≤1}，则A∩B＝( )A. {－1，0，1}B. {0，1}C. {－1，1}D. {0，1，2}2.若z(1＋i)＝2i，则z＝( )A. －1－iB. －1＋iC. 1－iD. 1＋i3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A. B. C. D.4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85.函数f（x）=2sin x-sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，8.如图，点N为正方形ABCD的中点，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A. BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A. 2-B. 2-C. 2-D. 2-10.已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若，则△OPF的面积为( )A. B. C. D.11.记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q , 这四个命题中，所有真命题的编号是（）A. B. C. D.12.设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A. f（log3）＞f（）＞f（）B. f（log3）＞f（）＞f（）C. f（）＞f（）＞f（log3）D. f（）＞f（）＞f（log3）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（2，2），=（-8，6），则cos＜，＞=______．14.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3=5，a7=13，则S10=______．15.设F1，F2为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________________16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm．3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_____________g．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图；记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．19.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积．20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围21.已知曲线C：，为直线上的动点，过作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．22.如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=，求P的极坐标．23.设x，y，z∈R，且x+y+z=1．（1）求（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥成立，证明：a≤-3或a≥-1．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】解求出B中的不等式，找出A与B的交集即可．本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题．【解答】解：因为A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，所以A∩B={-1，0，1}，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）=2i，得z==1+i．故选：D．3.【答案】D【解析】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A33A22=12种排法，再所有的4个人全排列有：A44=24种排法，利用古典概型求概率原理得：p==，故选：D．利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．本题考查排列组合的综合应用．考查古典概型的计算．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．作出维恩图，得到该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值．【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：=0.7．故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属基础题．解函数f（x）=2sinx-sin2x=0，在[0，2π]的解，即2sinx=sin2x令左右为新函数h（x）和g（x），作图求两函数在区间的交点即可．【解答】解：函数f（x）=2sinx-sin2x在[0，2π]的零点个数，即：2sinx-sin2x=0在区间[0，2π]的根个数，即2sinx=sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x），h（x）=2sinx和g（x）=sin2x，作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知：h（x）=2sinx和g（x）=sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．故选B．6.【答案】C【解析】【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），根据条件可得，解方程即可．本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了方程思想，属基础题．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由前4项和为15，且a5=3a3+4a1，有，∴，∴，故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+1+0=2，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值．【解答】解：y=ae x+xlnx的导数为y′=ae x+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，可得ae+0+1=2，解得a=e-1，又切点为（1，1），可得1=2+b，即b=-1，故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属中档题．推导出BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设DE=a，则BD=，BE==，从而BM≠EN．【解答】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，∴直线BM，EN是相交直线，设DE=a，则BD=，BE==，∴BM=a，EN==a，∴BM≠EN，故选B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属一般题．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，s=1，x=，不满足退出循环的条件x＜0.01；再次执行循环体后，s=1+，x=，不满足退出循环的条件x＜0.01；再次执行循环体后，s=1++，x=，不满足退出循环的条件x＜0.01；…由于＞0.01，而＜0.01，可得：当s=1++++…，x=，此时，满足退出循环的条件x＜0.01，输出s=1+++…=2-．故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：-=1的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，得到sin∠POF，再由三角形面积公式求解．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：-=1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2=4，b2=5，则，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2=9．联立，解得，．∴sin∠POF=．则．故选B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由不等式组画出平面区域为D．在由或且非逻辑连词连接的命题判断真假即可．【解答】解：作出等式组的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；故答案①③真，正确．故选：A．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题．根据log34＞log33=1，，结合f（x）的奇偶和单调性即可判断．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴，∵log34＞log33=1，，∴0,又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴＞＞，故选C．13.【答案】-【解析】【分析】本题考查数量积的定义和坐标运算，考查计算能力，属较易题.数量积的定义结合坐标运算可得结果【解答】解：=2×（-8）+2×6=-4，||==2，||==10，cos＜，＞==-．故答案为-.14.【答案】100【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题，属基础题. 由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3=5，a7=13，得d=，∴a1=a3-2d=5-4=1．则．故答案为100．15.【答案】（3，）【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及椭圆焦半径公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设M（m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：+=1的a=6，b=2，c=4，e==，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c，即有6+m=8，即m=3，n=；6-m=8，即m=-3＜0，舍去．可得M（3，）．故答案为（3，）．16.【答案】118.8【解析】解：该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，∴该模型体积为：-VO-EFGH=6×6×4-=144-12=132（cm3），∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9=118.8（g）．故答案为：118.8．该模型体积为-V O-EFGH=6×6×4-=132（cm3），再由3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中a=0.35，b=0.10．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：=2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值为：=3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15=6．【解析】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b．（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．18.【答案】解：（1）a sin=b sin A，即为a sin=a cos=b sin A，可得sin A cos=sin B sin A=2sin cos sin A，∵sin A＞0，∴cos=2sin cos，若cos=0，可得B=（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin=，由0＜B＜π，可得B=；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，由余弦定理可得b==，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，解得＜a＜2，可得△ABC面积S=a•sin=a∈（，）．【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．19.【答案】（1）证明：由已知可得AD∥BE，CG∥BE，即有AD∥CG，则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面；由四边形ABED为矩形，可得AB⊥BE，由△ABC为直角三角形，可得AB⊥BC，又BC∩BE=E，可得AB⊥平面BCGE，AB⊂平面ABC，可得平面ABC⊥平面BCGE；（2）解：连接BG，AG，由AB⊥平面BCGE，可得AB⊥BG，在△BCG中，BC=CG=2，∠BCG=120°，可得BG=2BC sin60°=2，可得AG==，在△ACG中，AC=，CG=2，AG=，可得cos∠ACG==-，即有sin∠ACG=，则平行四边形ACGD的面积为2××=4．【解析】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面几何的性质，考查推理能力，属于中档题．（1）运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可得证；（2）连接BG，AG，由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值．20.【答案】解：（1）f′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），令f′（x）=0，得x=0或x=．若a＞0，则当x∈（-∞，0）∪（）时，f′（x）＞0；当x∈（0，）时，f′（x）＜0．故f（x）在（-∞，0），（）上单调递增，在（0，）上单调递减；若a=0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；若a＜0，则当x∈（-∞，）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（，0）时，f′（x）＜0．故f（x）在（-∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减；（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]的最小值为，最大值为f（0）=2或f（1）=4-a．于是，m=，M=．∴M-m=．当0＜a＜2时，可知2-a+单调递减，∴M-m的取值范围是（）；当2≤a＜3时，单调递增，∴M-m的取值范围是[，1）．综上，M-m的取值范围[，2）．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，对a分类讨论原函数的单调性；（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，求得f（x）在区间[0，1]的最小值为，最大值为f（0）=2或f（1）=4-a．得到M-m=，分类求得函数值域，可得M-m的取值范围．本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等知识和方法，考查函数思想和转化思想，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．21.【答案】（1）证明：设D（t，-），A（x1，y1），则，由于y′=x，∴切线DA的斜率为x1，故，整理得：．设B（x2，y2），同理可得2tx2-2y2+1=0．故直线AB的方程为2tx-2y+1=0．∴直线AB过定点（0，）；（2）解：由（1）得直线AB的方程y=tx+．由，可得x2-2tx-1=0．于是．设M为线段AB的中点，则M（t，），由于，而，与向量（1，t）平行，∴t+（t2-2）t=0，解得t=0或t=±1．当t=0时，||=2，所求圆的方程为；当t=±1时，||=，所求圆的方程为．故该圆的方程为或.【解析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．（1）设D（t，-），A（x1，y1），则，利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx1-2y1+1=0，设B（x2，y2），同理可得2tx2-2y2+1=0，得到直线AB的方程为2tx-2y+1=0，再由直线系方程求直线AB过的定点；（2）由（1）得直线AB的方程y=tx+，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB的中点M（t，），再由，可得关于t的方程，求得t=0或t=±1．然后分类求得||=2及所求圆的方程．22.【答案】解：（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，ρ=2sinθ，ρ=-2cosθ，则M1的极坐标方程为ρ=2cosθ，（0≤θ≤），M2的极坐标方程为ρ=2sinθ，（≤θ≤），M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ，（≤θ≤π），（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）值，若0≤θ≤，由2cosθ=得cosθ=，得θ=，若≤θ≤，由2sinθ=得sinθ=，得θ=或，若≤θ≤π，由-2cosθ=得cosθ=-，得θ=，综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．【解析】（1）根据弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），结合极坐标方程进行求解即可；（2）讨论角的范围，由极坐标过程|OP|=，进行求解即可得P的极坐标；本题主要考查极坐标方程的应用，结合极坐标过程公式求出对应点的极坐标方程是解决本题的关键．23.【答案】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z=1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x-1+y+1+z+1）2=4，可得（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥，即有（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为；（2）证明：由x+y+z=1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2]≥（x-2+y-1+z-a）2=（a+2）2，可得（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥，即有（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值为，由题意可得≥，解得a≥-1或a≤-3．【解析】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．（1）运用柯西不等式可得（12+12+12）[（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x-1+y+1+z+1）2=4，可得所求最小值；（2）运用柯西不等式求得（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值，由题意可得不大于最小值，解不等式可得所求范围．。

2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)解析版

2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)解析版

2019年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x≥a}，B={0，1，2}，若A∩B=∅，则a的取值范围是（）A. B. C. D.2.等差数列{a n}中，a2=7，a6=23，则a4=（）A. 11B. 13C. 15D. 173.已知函数，＜，＞，若f（a）=2，则实数a=（）A. B. 4 C. 或1 D. 或44.如图，是3世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽，正方形ABCD内有四个全等的直角三角形，在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形部分的概率是（）A.B.C.D.5.下列函数中不是偶函数的是（）A. B. C. D.6.“k＜4”是“0＜k＜4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知平面向量，的模都为2，且＜，＞=90°，若=λ（λ≠0），则=（）A. 4B.C. 2D. 08.一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（）A. 6B. 5C. 4D. 39.在学校举行的一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：李明预测：甲队第一，乙队第三．张华预测：甲队第三，丙队第一．王强预测：丙队第二，乙队第三．如果三人的预测都对了一半、则名次为第一、第二、第三的依次是（）A. 丙、甲、乙B. 甲、丙、乙C. 丙、乙、甲D. 乙、丙、甲10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，C=，tan B=，则△ABC的面积等于（）A. B. C. 2 D.11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面B1EC的距离等于（）A. B. C. D. 112.已知直线1：y=3x与函数f（x）=，的图象交于三点，其横坐标分别是x1，x2，x3．若x1+x2+x3＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知i为虚数单位，复数Z1=2-i，Z2=1+i，那么Z1Z2=______14.函数f（x）=sin x-cos x（0＜x＜π）的值域是______．15.已知直线y=-1是曲线y=xe x+a的一条切线，则a的值是______16.已知抛物线M：x2=4py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线N：-y2=1交于A．B两点，若△FAB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在平面四边形ABCD中，BC=CD=2，△BCD的面积是2．（1）求∠BCD的大小（2）若∠ABD=2∠ACB=60°，求线段AD的长．18.如图1，在边长为3的菱形ABCD中，已知AF=EC=1，且EF⊥BC．将梯形ABEF沿直线EF折起，使BE⊥平面CDFE，如图2，P，M分别是图2中BD，AD上的点．（1）求证：图2中，平面ADF⊥平面ABEF；（2）若平面PAE∥平面CMF，求三棱锥M一CDF的体积．19.为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值．（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数中位数h（单位：厘米），将男、女生身高不低于h90%参照公式：k2=（3）若男生身高在低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高．假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率．20.已知椭圆N：+=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），且离心率为．（1）求椭圆N的方程；（2）直线l：y=kx-与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数入，使∠AMC=λ•∠ABC 恒成立，并说明理由．21.已知函数f（x）=ax2-x+x lnx，a∈R．（1）若a=-，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；（2）若f（x）在其定义域上恰有两个零点，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的参数方程为，（α∈[0，π]为参数），曲线N的极坐标方程为ρ（1-cosθ）=2．（1）求曲线M的极坐标方程；（2）设曲线M与曲线N的交点为P，Q，求|OP|+|OQ|的值．23.已知函数f（x）=+，M为不等式f（x）＜2的解集．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A∩B=∅，且A={x|x≥a}，B={0，1，2}；∴a＞2；∴a的取值范围是（2，+∞）．故选：D．根据A={x|x≥a}，B={0，1，2}，并且A∩B=∅，从而得出a＞2，即得出a的取值范围．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算，空集的定义．2.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a2=7，a6=23，∴，解得a1=3，d=4．∴a4=a1+3d=3+12=15．故选：C．利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=-，解得a=-1；当a＞0时，f（a）=log2a=2，解得a=4．综上，实数a的值为-1或4．故选：D．当a＜0时，f（a）=-，当a＞0时，f（a）=log2a=2，由此能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】B【解析】解：假设小正方形边长为1，则其面积为1，而正方形ABCD边长为=5，所以大正方形面积为25，故选：B．求出大正方形的面积，从而求出满足条件的概率即可．本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题．5.【答案】A【解析】解：A．函数的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称性，为非奇非偶函数，B．f（x）=sin（x+）=cosx，则f（x）是偶函数，C．函数的定义域为{x|x≠0}，则f（-x）=+e|-x|=+e|x|=f（x），则函数f（x）是偶函数，D．函数的定义域为{x|x≠kπ+，k≠0}，则f（-x）=tan|-x=tan|x|，即f（x）是偶函数，故选：A．根据函数奇偶性的定义，判断f（-x）=f（x）是否成立即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，结合偶函数的定义是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：由“k＜4”不能推出“0＜k＜4”，但是由“0＜k＜4”，能推出“k＜4”，故“k＜4”是“0＜k＜4”的必要而不充分条件，故选：B．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出结论．本题考查了充分必要条件，是一道基础题．7.【答案】A【解析】解：平面向量的模都为2，且＜，＞=90°，若=λ（λ≠0），建立平面直角坐标系如图：则=（2，2），M （，），则=2×+2×=4．故选：A．利用已知条件建立坐标系，求出相关的向量，通过向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，转化为坐标运算，使问题简化．8.【答案】C【解析】解：物质余下质量不超过原有的1%，设至少需要的年数为n，则a（1-）n≤a×1%，解得n≥=log4100．∴至少需要的年数是4．故选：C．物质余下质量不超过原有的1%，设至少需要的年数为n，列出不等式a（1-）n≤a×1%，由此能求出至少需要的年数．本题考查至少需要的年数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：若甲队第一对，则乙对第三错由王强的判断知，丙队第二对，此时张华说的全对，矛盾．若乙队第三对，则丙队第二和甲队第一错，故甲队第二，丙对第一，张华也说对了一半．此时成立．故选：A．根据三人的判断，分类讨论即可本题的解决方法为假设某一说法正确，看能否得到矛盾，从而得到正确的论断．属基础题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，在△ABC中，tanB=，则=且0＜B ＜，又由sin2B+cos2B=1，则sinB=，cosB=，又由C=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB=，又由=，则b===，则△ABC的面积S=absinC=×2××=；故选：A．根据题意，由tanB的值结合同角三角函数的基本关系式分析求出sinB、cosB的值，又由和角公式可得sinA=sin（B+C），计算可得sinA的值，由正弦定理求出b的值，据此由三角形面积公式计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，∴以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵点E为棱AA1的中点，∴C1（0，1，1），B1（1，0，1），E（0，0，），C（0，1，0），=（0，1，），=（1，0，），=（0，1，-），设平面B1EC 的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，-2），∴点C1到平面B1EC的距离为：d===．故选：C ．以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 1到平面B 1EC 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】D【解析】解：由，解得x=0或x=-2，即x 1=-2，x 2=0，由，解得x=，且＞1，即a ＞3，且x 3=，∵x 1+x 2+x 3＜0恒成立， ∴-2+0+＜0，解得a ＞6， 故选：D ．分别求出x 1，x 2，x 3，再结合x 1+x 2+x 3＜0恒成立，即可求出a 的取值范围本题考查了分段函数和参数的取值范围的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 13.【答案】3+i【解析】解：∵Z 1=2-i ，Z 2=1+i ，∴Z 1Z 2=（2-i ）（1+i ）=2+2i-i+1=3+i ． 故答案为：3+i ．把Z 1=2-i ，Z 2=1+i 代入Z 1Z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 14.【答案】（-1， ]【解析】解：f （x ）=sinx-cosx=sin （x-），∵0＜x ＜π， ∴x-∈，sin （x-）∈（-1，]故f （x ）∈（-1，]， 故答案为：（-1，]．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过角的范围，结合正弦函数的值域求解即可． 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的最值的求法，考查计算能力． 15.【答案】【解析】解：根据题意，直线y=-1是曲线y=xe x+a 的一条切线，设切点坐标为（n ，-1），对于y=xe x +a ，其导数y′=e x +xe x ，若直线y=-1是曲线y=xe x +a 的一条切线，则有y′|x=n =e n +ne n=0，解可得n=-1，切点坐标（-1，-1）此时有-1=-e -1+a ；解得a=．故答案为：．根据题意，设直线与曲线的切点坐标为（n ，-1），求出y=xe x+a 的导数，由导数的几何意义可得y′|x=n =2（e n +ne n ）=0，解可得n 的值，将n 的值代入曲线的方程，计算可得答案． 本题考查利用函数的导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．16.【答案】（，+∞） 【解析】解：抛物线M ：x 2=4py （p ＞0）的焦点为F ，其准线y=-p ，双曲线N：-y 2=1的两个交点分别是A（-a ，-p ），B （a ，-p ），△FAB 是等边三角形，可得2a ×=2p ，可得a=，所以双曲线N 的离心率：e==＞．双曲线N 的离心率的取值范围是：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．求出抛物线的准线方程，求出AB 坐标，利用△FAB 是等边三角形，列出关系，然后求解双曲线N 的离心率的取值范围．本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）在△BCD中，BC=CD=2，可得S△BCD=BC•CD•sin∠BCD=sin∠BCD=2，可得：sin∠BCD=1，可得：∠BCD=…4分（2）∵由（1）可得∠CBD=，BD=2，在△BCD中，由于，，∴，∴由正弦定理，可得：AB==，∴在△BAD中，由余弦定理可得：AD2=（2）2+（）2-2×cos=6，可得AD=…12分【解析】（1）在△BCD中，BC=CD=2，利用三角形的面积公式可求sin∠BCD=1，即可得解∠BCD=．（2）由（1）可得∠CBD=，BD=2，可求，由正弦定理可得AB的值，在△BAD中，由余弦定理可得AD的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】（1）证明：∵BE⊥平面CDFE，DF⊂平面CDFE，∴BE⊥DF，∵EF⊥EC，EC∥DF，∴DF⊥EF，又BE∩EF=E，∴DF⊥平面ABEF，又DF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ABEF．（2）解：∵平面PAE与平面CDFE有公共点E，∴平面PAE与平面CDFE有过点E的公共直线l，又平面MCF∩平面CDFE=CF，平面PAE∥平面MCF，∴l∥CF，设l∩DF=Q，则FQ∥EC，又EQ∥CF，∴四边形ECFQ是平行四边形，∴FQ=EC=1，连接AQ，∵平面MCF∩平面ADQ=MF，平面PAE∩平面ADQ=AQ，平面PAE∥平面MCF，∴AQ∥MF，∴=，∵BE⊥平面CDFE，BE∥AF，∴AF⊥平面CDFE，∴M到平面CDFE的距离h=AF=．又EF==2，∴V M-CDF==．【解析】（1）由DF⊥EF，DF⊥AF可得DF⊥平面ABEF，故而平面ADF⊥平面ABEF；（2）根据面面平行的性质可得两平面与平面ADF的交线平行，从而可得M到平面CDFE的距离，带入体积公式计算即可．本题考查了面面垂直的判定，面面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）茎叶图为：∴男生平均值为：=168.8；女生平均值为：=163.6．2h=165k2==≈0.202＜2.706，所以没有90%把握认为男、女生身高有差异．（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生概率为0.4，因此选2名男生恰好一名身高正常的概率为2×0.4×（1-0.4）=0.48．【解析】（1）男生平均值为：=168.8；女生平均值为：=163.6（2）计算观测值，结合临界值表可得．（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生概率为0.4，因此选2名男生恰好一名身高正常的概率为2×0.4×（1-0.4）=0.48．本题考查了独立性检验，属中档题．20.【答案】解：（1）∵椭圆N：+=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），且离心率为，∴b=1，，又a2-c2=b2，可得c=1，a=．则椭圆方程为；（2）存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．证明如下：由，得（9+18k2）x2-12kx-16=0．△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∵，，，，∴=x1x2+==．∴⊥．∵线段AB的中点为M，∴|MC|=|MB|，则∠AMC=2∠ABC．即存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．【解析】（1）由已知得b=1，，与a2-c2=b2联立，可得c=1，a=．则椭圆方程可求；（2）存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积为0可得．再由线段AB的中点为M，得|MC|=|MB|，则∠AMC=2∠ABC．即存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）由函数f（x）=ax2-x+x lnx，得f′（x）=ax+ln x，设g（x）=f′（x），当a=-时，g′（x）=．当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴f′（x）=g（x）≤g（e）=，∴函数f（x）在其定义域上单调递减；（2）f（x）在其定义域上恰有两个零点，即函数h（x）=在（0，+∞）上恰有两个零点．当a≥0时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；当a＜0时，h′（x）=．当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，由h（）＞0，得＞e2，可得＜a＜0．此时h（1）=＜，h（）=．令，由前面同理可得t＞e2，h（）=-e t+ln t+t-1，令φ（t）=-e t+ln t+t-1，φ′（t）=，当t＞e2时，φ′（t）＜0，φ（t）单调递减，则φ（t）＜φ（e2）＜0．∴a的取值范围是（，0）．【解析】（1）求出原函数的导函数f′（x）=ax+lnx，设g（x）=f′（x），当a=-时，求得g′（x）＜0，g（x）单调递减，可得f′（x）=g（x）≤g（e）=0，得到函数f（x）在其定义域上单调递减；（2）f（x）在其定义域上恰有两个零点，即函数h（x）=在（0，+∞）上恰有两个零点，当a≥0时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；当a＜0时，利用导数求最大值，由最大值等于0求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，训练了利用导数求最值，是中档题．22.【答案】解：（1）因为曲线M的参数方程为（α∈[0，π]为参数），所以曲线M是以（5，0）为圆心，5为半径的圆的上半部分，所以曲线M的极坐标方程为ρ=10cosθ（θ∈[0，]）．（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），由，得ρ2-10ρ+20=0，所以ρ1+ρ2=10，所以|OP|+|OQ|=10．【解析】（1）根据参数方程可得圆心坐标和半径，由此可写出圆的极坐标方程；（2）联立曲线M，曲线N的极坐标方程．消去θ后，根据韦达定理可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当x＜-时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜-，当-≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴-≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（2）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】（1）分当x＜-时，当-≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（2）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。

2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2＜1}，B={x|x≥-1}，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z=4-，则|z|=（）A. 4B. 3C. 5D. 23.已知a=log23，b=log43，c=log63，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.4.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a10=16，S7=14，则数列{a n}的公差为（）A. 3B. 2C. 1D. 65.已知2sin（+α）=，则sin2α=（）A. B. C. D.6.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B. 全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C. 全年中各月最低气温平均值不高于的月份有5个D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势7.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是（）A. 8B. 6C. 4D. 28.函数f（x）=的大致图象为（）A. B.C. D.9.已知圆（x+1）2+（y-1）2=2-m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（φ∈R），若f（-x）=f（x），且f（π）＞f（），则函数f（x）取得最大值时x的可能值为（）A. B. C. D.11.已知等比数列{a n}的前n项和S n=λ•3n-1-1（λ∈R），则=（）A. B. 3 C. 6 D. 912.已知A，B，C为椭圆+y2=1上三个不同的点，O为坐标原点，若=，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知||=1，•=2，则向量（2-）•=______．14.已知x，y满足，则z=x+y的最大值为______．15.在三棱锥A-BCD中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4，AB⊥BD，则三棱锥A-BCD外接球的体积的最小值为______．16.已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）+a（a∈R）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B+b cos2A=a．（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B．18.某校为了调查高三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了高三男生的学习时间（单位：小时）的频数分布表和女生的学习时间的频率分布直方图）（学习时间均在[0，6]内）．男生周日学习时间频数表（）根据调查情况该校高三年级周日学习用时较长的是男生还是女生？请说明理由；（2）从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率．19.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=4，BC=2，∠ACB=90°，A1B⊥AC1．（1）求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；（2）若∠A1AC=60°，P为线段AB的中点，求三棱锥B-PA1C1的体积．20.已知抛物线y2=2x，过点A（-2，4）的直线l交抛物线于B、C两点，设O为坐标原点，点P（，0）．（1）求tan∠PAO的值；（2）若△PAB，△PBC，△PAC的面积成等比数列，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=x+-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）讨论f（x）在[1，e]上的零点个数．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2a（a＞0）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，4），直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|=14，求a 的值．23.设函数f（x）=|x-a2|+|x+2b2|（a，b∈R）．（1）若a=1，b=0，求f（x）≥2的解集；（2）若f（x）的最小值为8，求a+2b的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|-1＜x＜1}，B={x|x≥-1}；∴A∩B=[-1，+∞）．故选：C．可解出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4-=，∴|z|=．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：a=log23＞1＞b=log43=＞=c=log63，∴a＞b＞c．故选：A．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，若a2+a10=16，则a6=×（a2+a10）=8，若S7=14，则有S7==7a4=14，则a4=2，则有2d=a6-a4=6，则d=3；故选：A．根据题意，由等差数列的性质可得a6=×（a2+a10）=8，又由S7==7a4=14，则a4=2，由等差数列的通项公式可得答案．本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由2sin（+α）=，得sin（+α）=，∴sin2α=-cos（）=-[1-2]=-[1-2×]=．故选：A．由已知结合诱导公式及二倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误故选：D．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，是四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，几何体的体积为：V==6．故选：B．利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力．8.【答案】A【解析】解：根据y=ln|x+1|，可得x≠-1；当-2＜x＜-1时，分母＜0，分子ln|x+1|＜0；∴函数f（x）=＞0；图象在x轴上方；当-2＞x时，分母＜0，分子ln|x+1|＞0；∴函数f（x）=＜0；图象在x轴下方；当0＜x时，函数f（x）==＞0；图象在x轴上方；综上可知满足的图象是A故选：A．带入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．9.【答案】B【解析】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y-1）2=2-a，则圆心坐标为（-1，1），半径r=，∵圆x2+y2+2x-2y+m=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，∴圆心到直线的距离d===，解得m=-4，故选：B．求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：因为f（-x）=f（x），即y=f（x）的图象关于直线x=对称，即函数f（x）在x=时取得最值，①当函数f（x）在x=时取得最大值时，又因为函数f（x）的周期为π，所以f（）＜f（）=f（π），满足题意，②当函数f（x）在x=时取得最小值时，又因为函数f（x）的周期为π，所以f（）＞f（）=f（π），不满足题意，综合①②得：函数f（x）取得最大值时x的可能值为．故选：A．由三角函数的最值得：因为f（-x）=f（x），即y=f（x）的图象关于直线x=对称，即函数f（x）在x=时取得最值，由三角函数的图象的性质得：讨论①当函数f（x）在x=时取得最大值时，②当函数f（x）在x=时取得最小值时，结合三角函数图象的性质求解即可．本题考查了三角函数的最值及三角函数的图象的性质，属中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，等比数列{a n}满足S n=λ•3n-1-1，当n=1时，有a1=S1=λ-1，有a2=S2-S1=（3λ-1）-（λ-1）=2λ，a3=S3-S2=（9λ-1）-（3λ-1）=6λ，则有6λ×（λ-1）=（2λ）2，解可得λ=3或-1（舍），首项a1=2，则==9；故选：D．根据题意，由其前n项和公式求出a1、a2、a3的值，由等比数列的定义可得6λ×（λ-1）=（2λ）2，解可得λ的值，据此可得=，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，关键是求出λ的值，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：设直线AB：y=kx+m，代入x2+2y2=2得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2-1）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，设C（x3，y3），由=，y3=-（y1+y2）=-[k（x1+x2）+2m]=-（-+2m）=-，代入x2+2y2=2得1+2k2=4m2，|AB|=|x1-x2|，O到直线AB的距离为d=，由三角形的重心性质可得S△OAB=d|AB|=|m|•=•=•|m|=，可得S△ABC=3S△OAB=．故选：C．设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理，设C（x3，y3），由向量的坐标计算公式可得C的坐标，将其代入椭圆的方程，可得1+2k2=4m2，表示|AB|的值，表示△OAB的面积，又由S△ABC=3S△OAB，计算可得答案．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查向量的坐标表示，点满足椭圆方程，考查三角形的重心性质，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=1，•=2，则向量（2-）•=2=4-1=3．故答案为：3．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．14.【答案】13【解析】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过A（6，7）时，z最大，最大值为：13．故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过可行域内的点A时，z最大，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15.【答案】【解析】解：∵AB=AC，DB=DC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，又AB⊥BD，即∠ABD=90°，∴∠ACD=90°，设AD的中点为O，则OA=OB=OD=OC，∴O为棱锥A-BCD的外接球的球心．∵AB+BD=4，∴AD2=AB2+（4-AB）2=2AB2-8AB+16=2（AB-2）2+8，∴当AB=2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，∴棱锥外接球的最小半径为AD=，∴外接球的最小体积为V==．故答案为：．由三角形全等可得∠ABD=∠ACD=90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．本题考查棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16.【答案】[0，e]【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：则当-2≤x≤0时，抛物线的对称轴为x=-1，若函数g（x）=f（x）+a有三个不同的零点x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，即g（x）=f（x）+a=0，f（x）=-a有三个不同的根，则0≤-a≤1，即-1≤a≤0，当x≤0时，-x2-2x+a=0，即x2+2x-a=0，则x1x2=-a，当x＞0时，由lnx3+a=0，得lnx3=-a，即x3=e-a，则x1•x2•x3=-ae-a，设g（a）=-ae-a，-1≤a≤0，则导数g′（a）=-e-a+ae-a=e-a（a+1），则当-1≤a≤0时，g′（a）≤0恒成立，即此时函数g（a）为减函数，则g（0）=0，g（-1）=e，即0≤g（a）≤e，即0≤x1•x2•x3≤e，即x1•x2•x3的取值范围是[0，e]，故答案为：[0，e]．作出f（x）的图象，根据g（x）=f（x）+a有三个不同的零点，转化为f（x）+a=0，有三个根，求出x1，x2，x3，关系，构造函数求出函数的导数，利用导数研究取值范围即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为关于a的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的取值范围是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由正弦定理可得a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，则2R sin A sinAsin B+2R sin B cos2A=2R sin A，则sin B（sin2A+cos2A）=sin A，则=，即=，∴=；（2）由余弦定理可得：cos B==，由b=a，则cos2B=，由c＞b，则C＞B，即B为锐角，cos B＞0，则cos B=，即B=45°，∴B为45°．【解析】（1）利用正弦定理及同角三角函数的基本关系，即可求得=；（2）利用余弦定理及三角形的性质，即可求得B的值．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，同角三角函数的性质，考查转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图得女生周日学习用时的平均数为：1.5×0.15+2.5×0.2+3.5×0.3+4.5×0.25+5.5×0.1=3.45（小时），由频率分布表得男生周日学习用时的平均数为：（0.5×8+1.5×10+2.5×7+3.5×9+4.5×4+5.5×2）=2.425，∵3.45＞2.425，∴该校高三年级周日学习用时较长的是女生．（2）80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中，男生有2人，女生有0.1×40=4人，从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，基本事件总数n==15，恰巧抽到1男1女包含的基本事件个数m==8，∴恰巧抽到1男1女的概率p=．【解析】（1）由频率分布直方图求出女生周日学习用时的平均数，由频率分布表求出男生周日学习用时的平均数，由此得到该校高三年级周日学习用时较长的是女生．（2）80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中，男生有2人，女生有4人，从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，基本事件总数n==15，恰巧抽到1男1女包含的基本事件个数m==8，由此能求出恰巧抽到1男1女的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=4，BC=2，∠ACB=90°，A1B⊥AC1．∴四边形A1ACC1是菱形，AC⊥BC，∴A1C⊥AC1，∵A1B∩A1C=A1，∴AC1⊥平面A1BC，∴BC⊥AC1，∵AC1∩AC=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面ABC，∴平面A1ACC1⊥平面ABC．解：（2）∠A1AC=60°，P为线段AB的中点，取A1C1中点E，连结CE，以C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，2，0），P（2，1，0），A1（2，0，2），C1（-2，0，2），=（0，-1，2），=（-4，-1，2），=（-2，1，0），设平面PA1C1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），∴B到平面PA1C1的距离d==，△ ==×=2，∴三棱锥B-PA1C1的体积：V=△ ==．【解析】（1）推导出四边形A1ACC1是菱形，AC⊥BC，从而A1C⊥AC1，进而AC1⊥平面A1BC，再由BC⊥AC1，得BC⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1ACC1⊥平面ABC．（2）取A1C1中点E，连结CE，以C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥B-PA1C1的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由两直线的夹角公式可得tan∠PAO=||=||=；（2）△PAB，△PBC，△PAC的面积成等比数列，可得S△PBC2=S△PAB•S△PAC，设P到直线AB的距离为d，即有（d|BC|）2=d|AB|•d|AC|，可得|BC|2=|AB|•|AC|，即有（|AC|-|AB|）2=|AB|•|AC|，化简可得（|AC|+|AB|）2=5|AB|•|AC|，①设直线l的方程为（t为参数），代入抛物线方程y2=2x可得t2sin2α+（8sinα-2cosα）t=20=0，则t1+t2=，t1t2=，由①可得（）2=5•，解得tanα=-1或，则直线l的方程为y=-x+2或y=x+．【解析】（1）运用两直线的夹角公式，计算可得所求值；（2）由三角形的面积公式和等比数列中项性质，可得|BC|2=|AB|•|AC|，化简可得（|AC|+|AB|）2=5|AB|•|AC|，再设直线l的参数方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和参数的几何意义，解方程即可得到所求直线的斜率，进而得到所求直线方程．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线的参数方程的运用，以及参数的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，若a+1≤0，即a≤-1，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a+1＞0，即a＞-1，则当x∈（0，a+1）时，f′（x）＜0，当x∈（a+1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增；（2）①由（1）可知当a≤-1，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（1）=1+a+1=a+2，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，当a+2＞0时，即-2＜a≤-1时，f（1）＞0，此时f（x）在[1，e]上无零点，当a+2≤0时，即a≤-2时，f（1）≤0，此时f（x）在[1，e]上有一个零点，②当a＞-1时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，若a+1≤1，即-1＜a≤0时，此时f（x）在[1，e]上单调递增，∵f（1）=a+2＞0，此时f（x）在[1，e]上无零点，当1＜a+1＜e时，即0＜a＜e时，f（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∵f（1）＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，f（x）min=f（a+1）=（a+1）+-a ln（a+1）=a+2-a ln（a+1），令h（a）=a+2-a ln（a+1），0＜a＜e，∴h′（a）=-ln（a+1），在（0，e）上单调递减．h′（0）=1＞0，h′（e）=-ln（e+1）＜0．∴存在唯一a0∈（0，e），使得=ln（a0+1）．此时函数h（a）在（0，a0）内单调递增，在（a0，e）内单调递减．h（0）=2，h（e）=e+2-e ln（e+1）＞0．h（a0）=a0+2-a0ln（a0+1）=a0+2-a0•=a0+1+＞0．∴f（x）min＞0，即函数f（x）在[1，e]上无零点．③a+1≥e，即a≥e-1时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（1）=a+2＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，函数f（x）在[1，e]上无零点．综上可得：①-2＜a≤-1时，f（x）在[1，e]上无零点，当a+2≤0时，f（x）在[1，e]上有一个零点，②-1＜a≤0时，f（x）在[1，e]上无零点，0＜a＜e时，函数f（x）在[1，e]上无零点．③a≥e-1时，函数f（x）在[1，e]上无零点．【解析】（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）①由（1）可知当a≤-1，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=a+2，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，对a分类讨论即可得出零点情况．②当a＞-1时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，对a分类讨论：a+1≤1，即-1＜a≤0时，此时f（x）在[1，e]上单调递增，可得零点情况．0＜a＜e时，f（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，f（1）＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，f（x）min=f（a+1）a+2-aln（a+1），令h（a）=a+2-aln（a+1），0＜a＜e，利用导数研究其取值即可得出．③a+1≥e，即a≥e-1时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（1）=a+2＞0，f（e）=（e+）+a （-1）＞0，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ=2a两边平方得ρ2（a2sin2θ+4cos2θ）=4a2，又ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴a2y2+4x2=4a2（a＞0），即曲线C的直角坐标方程为：4x2+a2y2=4a2．（2）消去参数t得直线l的普通方程为：y=x+4，易知P（0，4）在直线l上，所以直线l的斜率为，倾斜角为60°，所以直线l的参摄方程可设为：（t为参数），将以上参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理得：（1+a2）t2+4a2t+12a2=0设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=，所以|PM||PN|=|t1||t2|=|t1t2|==14，解得：a=．【解析】（1）两边平方后，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得曲线C的直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程化成标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，然后根据韦达定理以及参数的几何意义列方程可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）因为a=1，b=0，所以f（x）=|x-1|+|x|，当x＜0时，1-x-x≥2⇒x≤-，∴x≤-；当0≤x＜1时，1-x+x≥2⇒x∈ϕ；当x≥1时，x-1+x≥2⇒x≥，∴x≥．综上所述：x∈（-∞，-]∪[，+∞）．（Ⅱ）∵|x-a2|+|x+2b2|≥|x-a2-x-2b2|=a2+2b2=8，解：由a2+2b2=8，变形得：+=1，即（）2+（）2=1，令=cos x，=sin x，∴a=cos x，b=2sin x，则a+2b=2cos x+2sin x=4（cos x+sin x）=4sin（x+），当sin（x+）=1时，a+2b有最大值，最大值为4．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的解析式，由绝对值的意义讨论x的范围，去绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值，再由三角函数的性质求出a+2b的最大值即可．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

2019年广西桂林市高考数学模拟试卷和答案(文科)(3月份)

2019年广西桂林市高考数学模拟试卷和答案(文科)(3月份)

一、选择题：本大题共 12 小题，每小題 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
（1）求 tan∠PAO 的值； （2）若△PAB，△PBC，△PAC 的面积成等比数列，求直线 l 的方程． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝x+ ﹣alnx（a∈R）．
（1）讨论 f（x）的单调性； （2）讨论 f（x）在[1，e]上的零点个数． （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分.[选修 4-4：极坐标系与参数方程]
﹣BCD 外接球的体积的最小值为
．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝
，函数 g（x）＝f（x）+a（ a∈R）有三个
不同的零点 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是
．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考題，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
2019 年广西桂林市高考数学模拟试卷（文科）（3 月份）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小題 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合 A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x≥﹣1}，则 A∪B＝（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，+∞）
C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1]
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23．设函数 f（x）＝|x﹣a2|+|x+2b2|（a，b∈R）． （1）若 a＝1，b＝0，求 f（x）≥2 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 8，求 a+2b 的最大值．

2019年广西南宁市高考一模数学试卷含参考答案(文科)

2019年广西南宁市高考一模数学试卷含参考答案(文科)

2019年广西南宁市高考一模数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R, 集合A＝{x|x＜﹣1}, B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}, 则∁U（A∪B）＝（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|x≤﹣3或x≥﹣1|C．{x|x≥1}D．{x|x≥﹣3}2．（5分）已知复数z＝+2i﹣1, 则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1, ﹣3）B．（﹣1, 3）C．（1, 3）D．（﹣1, ﹣3）3．（5分）在等比数列{a n}中, 若a2＝3, a5＝﹣24, 则a1＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知α∈（﹣）, tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°, 则sinα＝（）A．B．C．D．5．（5分）如图, 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E, F, AB＝6, AD＝8, AA1＝7, 则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知直线l：3x﹣4y﹣15＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+5﹣r2＝0（r＞0）相交于A, B 两点, 若|AB|＝6, 则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝36B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16D．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝497．（5分）已知P（, 1）, Q（, ﹣1）分别是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0, |φ|＜）图象上相邻的最高点和最低点, 则ωφ＝（）A．B．C．D．8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒, 携着游春走, 遇店添一倍, 逢友饮一斗, 店友经三处, 没了壶中酒, 借问此壶中, 当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的, 则输入的x＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x, y满足, 则目标函数z＝4x﹣3y的最小值为（）A．﹣24B．﹣22C．﹣17D．﹣710．（5分）已知四棱锥M﹣ABCD, MA⊥平面ABCD, AB⊥BC, ∠BCD+∠BAD＝180°, MA＝2, BC＝2, ∠ABM＝30°．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上, 则该球的表面积为（）A．20πB．22πC．40πD．44π11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F, 准线为l, 直线y＝k（x﹣）交抛物线于A, B两点, 过点A作准线l的垂线, 垂足为E, 若等边△AFE的面积为36, 则△BEF的面积为（）A．6B．12C．16D．2412．（5分）设a＝log23, b＝log34, c＝log58, 则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）在正方形ABCD中, E为线段AD的中点, 若＝+, 则λ+μ＝．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n, 若a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n, a1＝2, a3＝8, 则S4＝．15．（5分）不透明的袋中有5个大小相同的球, 其中3个白球, 2个黑球, 从中任意摸取2个球, 则摸到同色球的概率为．16．（5分）已知函数f（x）＝+x+a﹣1的图象是以点（﹣1, ﹣1）为中心的中心对称图形, g（x）＝e x+ax2+bx, 曲线y＝f（x）在点（1, f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（0, g（0））处的切线互相垂直, 则a+b＝．三、解答题：本大题共5小题, 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且3b2+3c2﹣4bc ＝3a2．（1）求sin A；（2）若3c sin A＝a sin B, △ABC的面积为, 求c的值．18．（12分）某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者, 并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查, 统计情况如表所示．年龄[10, 20）[20, 30）[30, 40）[40, 50）[50, 60）[60, 70）人数100150a200b50已知[30, 40）, [40, 50）, [50, 60）三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列．（1）求a, b的值；（2）若将年龄在[30, 50）内的上网购物者定义为“消费主力军”, 其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人, 再从这5人中抽取2人, 求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．19．（12分）如图, 在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD为菱形, ∠ABC＝60°, PB＝PC, E为线段BC的中点, F为线段PC上的一点．（1）证明：平面P AE⊥平面BCP．（2）若AC交BD于点O, P A＝AB＝PB＝4, CF＝3FP, 求三棱锥F﹣AOE的体积．20．（12分）设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点, m是过点D且与x轴垂直的直线, E 是直线m与x轴的交点, 点Q在直线m上, 且满足2|EQ|＝|ED|．当点D在圆O上运动时, 记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2, 3）, 过F（2, 0）的直线l交曲线C于A, B两点, 交直线x＝8于点M．判定直线P A, PM, PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝1+lnx﹣ax2．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）证明：xf（x）＜•e x+x﹣ax3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为（r＞0, φ为参数）, 以坐标原点O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0．若直线l与曲线C相切．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上任取两点M, N, 该两点与原点O构成△MON, 且满足∠MON＝, 求△MON面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x+）+f（x﹣1）, g（x）的最大值为t, 若正数m, n满足m+n ＝t, 证明：．2019年广西南宁市高考一模数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R, 集合A＝{x|x＜﹣1}, B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}, 则∁U（A∪B）＝（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|x≤﹣3或x≥﹣1|C．{x|x≥1}D．{x|x≥﹣3}【解答】解：B＝{x|﹣3＜x＜1}；∴A∪B＝{x|x＜1}；∴∁U（A∪B）＝{x|x≥1}．故选：C．2．（5分）已知复数z＝+2i﹣1, 则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1, ﹣3）B．（﹣1, 3）C．（1, 3）D．（﹣1, ﹣3）【解答】解：∵z＝+2i﹣1＝,∴,则在复平面内对应的点的坐标为（﹣1, ﹣3）．故选：D．3．（5分）在等比数列{a n}中, 若a2＝3, a5＝﹣24, 则a1＝（）A．B．C．D．【解答】解：设公比为q, 则＝q3＝﹣8, 则q＝﹣2,则a1＝＝﹣,故选：C．4．（5分）已知α∈（﹣）, tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°, 则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin（76°﹣46°）＝sin30°＝,且α∈（﹣）, ∴α∈（0, ）,联立, 解得sinα＝．故选：A．5．（5分）如图, 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E, F, AB＝6, AD＝8, AA1＝7, 则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：取A1B1中点G, 连接EG, FG, EG⊥FG, 因为EG∥AA1,所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角,在△EFG中, FG＝5, EG＝7, 所以tan∠FEG＝,故选：A．6．（5分）已知直线l：3x﹣4y﹣15＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+5﹣r2＝0（r＞0）相交于A, B 两点, 若|AB|＝6, 则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝36B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16D．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝49【解答】解：化圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+5﹣r2＝0（r＞0）为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2, 可得圆心坐标为（1, 2）, 半径为r,由圆心（1, 2）到直线l：3x﹣4y﹣15＝0的距离d＝,且|AB|＝6,得r2＝32+42＝25．∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．故选：B．7．（5分）已知P（, 1）, Q（, ﹣1）分别是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0, |φ|＜）图象上相邻的最高点和最低点, 则ωφ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数过点P（, 1）, Q（, ﹣1）,∴由题意, 得T＝﹣,∴T＝＝,∴ω＝3,∴f（x）＝sin（3x+φ）,∴将点P（, 1）代入, 得：sin（3×+φ）＝1,∴3×+φ＝kπ+, k∈Z, 解得：φ＝kπ+, k∈Z,∵|φ|＜,∴φ＝,∴ωφ＝3×＝．故选：C．8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒, 携着游春走, 遇店添一倍, 逢友饮一斗, 店友经三处, 没了壶中酒, 借问此壶中, 当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的, 则输入的x＝（）A．B．C．D．【解答】解：i＝1时．x＝2x﹣1, i＝2时, x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3,i＝3时, x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7,i＝4时, 退出循环, 此时8x﹣7＝x解得x＝,故选：C．9．（5分）已知实数x, y满足, 则目标函数z＝4x﹣3y的最小值为（）A．﹣24B．﹣22C．﹣17D．﹣7【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示,由图形知, 当目标函数z＝4x﹣3y过点A时取得最小值,由, 解得A（﹣4, 2）,代入计算z＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22,所以z＝4x﹣3y的最小值为﹣22．故选：B．10．（5分）已知四棱锥M﹣ABCD, MA⊥平面ABCD, AB⊥BC, ∠BCD+∠BAD＝180°, MA＝2, BC＝2, ∠ABM＝30°．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上, 则该球的表面积为（）A．20πB．22πC．40πD．44π【解答】解：由于∠BCD+∠BAD＝180°, 则四边形ABCD四点共圆,由于MA⊥平面ABCD, AB⊂平面ABCD, 所以, MA⊥AB,在Rt△ABM中, ∵∠ABM＝30°, MA＝2, 所以, ,∵AB⊥BC, 所以, 四边形ABCD的外接圆直径为,因此, 四面体MACD的外接球直径为,所以, 该球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝40π．故选：C．11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F, 准线为l, 直线y＝k（x﹣）交抛物线于A, B两点, 过点A作准线l的垂线, 垂足为E, 若等边△AFE的面积为36, 则△BEF的面积为（）A．6B．12C．16D．24【解答】解：因为△AFE是等边三角形, 所以k＝, △AFE的边长为：2p,由, 解得p＝6, 抛物线方程为：y2＝12x,联立, 解得x2﹣10x+9＝0, 所以, x A＝9, x B＝1,所以|BF|＝4, |AF|＝12,故△BEF的面积为：＝12．故选：B．12．（5分）设a＝log23, b＝log34, c＝log58, 则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵, ；又lg27＞lg25＞1, lg64＞1；∴；∴log34＜log58；∵82＜53；∴；∴；又；∴log23＞log58＞log34；∴a＞c＞b．故选：D．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）在正方形ABCD中, E为线段AD的中点, 若＝+, 则λ+μ＝．【解答】解：如图所示,＝+, ＝, ＝．∴＝+．又＝+,则λ＝, μ＝1．则λ+μ＝．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n, 若a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n, a1＝2, a3＝8, 则S4＝26．【解答】解：由a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n, 可得：数列{a n}为等差数列, 设公差为d．∵a1＝2, a3＝8, ∴2+2d＝8, 解得d＝3．则S4＝4×2+×3＝26．故答案为：26．15．（5分）不透明的袋中有5个大小相同的球, 其中3个白球, 2个黑球, 从中任意摸取2个球, 则摸到同色球的概率为．【解答】解：不透明的袋中有5个大小相同的球, 其中3个白球, 2个黑球, 从中任意摸取2个球,基本事件总数n＝＝10,摸到同色球包含的基本事件个数m＝＝4,∴摸到同色球的概率p＝．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝+x+a﹣1的图象是以点（﹣1, ﹣1）为中心的中心对称图形, g（x）＝e x+ax2+bx, 曲线y＝f（x）在点（1, f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（0, g（0））处的切线互相垂直, 则a+b＝﹣．【解答】解：由y＝x+的图象关于（0, 0）对称, y＝f（x）的图象可由y＝x+平移可得．函数f（x）＝+x+a﹣1的图象是以点（﹣1, ﹣1）为中心的中心对称图形,可得a﹣2＝﹣1, 即a＝1, 则f（x）＝+x,f′（x）＝1﹣, 可得f（x）在x＝1处的切线斜率为,g（x）＝e x+x2+bx的导数为g′（x）＝e x+2x+b, 可得g（x）在x＝0处的切线斜率为1+b, 由题意可得（1+b）•＝﹣1, 可得b＝﹣,则a+b＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题, 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且3b2+3c2﹣4bc ＝3a2．（1）求sin A；（2）若3c sin A＝a sin B, △ABC的面积为, 求c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵3b2+3c2﹣4bc＝3a2,∴b2+c2﹣a2＝bc, …2分∴由余弦定理得cos A＝＝, …4分又0＜A＜π,∴sin A＝＝, …6分（2）∵3c sin A＝a sin B,∴3ac＝ab, 可得：b＝, …8分∵△ABC的面积为,∴bc sin A＝, 即：×＝, …10分∴解得：c＝2．…12分18．（12分）某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者, 并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查, 统计情况如表所示．年龄[10, 20）[20, 30）[30, 40）[40, 50）[50, 60）[60, 70）人数100150a200b50已知[30, 40）, [40, 50）, [50, 60）三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列．（1）求a, b的值；（2）若将年龄在[30, 50）内的上网购物者定义为“消费主力军”, 其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人, 再从这5人中抽取2人, 求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．【解答】解：（1）由题意得：,解得a＝400, b＝100．（2）由题意可知在抽取的5人中, 有3人是消费主力军, 分别记为a1, a2, a3,有2人是消费主力军, 分别记为b1, b2,记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件A,从这5人中抽取2人所有可能情况有10种, 分别为：（a1, a2）, （a1, a3）, （a1, b1）, （a1, b2）, （a2, a3）,（a2, b1）, （a2, b2）, （a3, b1）, （a3, b2）, （b1, b2）．符合条件A的有7种, 分别为：（a1, b1）, （a1, b2）, （a2, b1）, （a2, b2）, （a3, b1）, （a3, b2）, （b1, b2）,∴这2人中至少有一人是消费潜力军的概率P＝．19．（12分）如图, 在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD为菱形, ∠ABC＝60°, PB＝PC, E为线段BC的中点, F为线段PC上的一点．（1）证明：平面P AE⊥平面BCP．（2）若AC交BD于点O, P A＝AB＝PB＝4, CF＝3FP, 求三棱锥F﹣AOE的体积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD为菱形, ∠ABC＝60°, PB ＝PC,AC交BD于点O, E为线段BC的中点, F为线段PC上的一点．∴AE⊥BC, PE⊥BC,∵AE∩PE＝E, ∴BC⊥平面P AE,∵BC⊂平面BCP, ∴平面P AE⊥平面BCP．解：（2）∵P A＝AB＝PB＝4, ∴P A2+AB2＝PB2, ∴P A⊥AB,∵BC⊥平面P AE, P A⊂平面P AE, ∴P A⊥BC,∵AB∩BC＝B, ∴P A⊥平面AOE,∵CF＝3FP, ∴点F到平面AOE的距离d＝,S△AOE＝＝＝＝,∴三棱锥F﹣AOE的体积：V＝＝＝．20．（12分）设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点, m是过点D且与x轴垂直的直线, E 是直线m与x轴的交点, 点Q在直线m上, 且满足2|EQ|＝|ED|．当点D在圆O上运动时, 记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2, 3）, 过F（2, 0）的直线l交曲线C于A, B两点, 交直线x＝8于点M．判定直线P A, PM, PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【解答】解：（1）设Q（x, y）, D（x0, y0）, ∵2|EQ|＝|ED|, Q在直线m上,∴x0＝x, |y0|＝|y|．①∵点D在圆x2+y2＝16上运动,∴x02+y02＝16,将①式代入②式即得曲线C的方程为x2+y2＝16, 即+＝1,（2）直线P A, PM, PB的斜率成等差数列, 证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2＝48,直线l的方程为y＝k（x﹣2）,代入椭圆方程并整理, 得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．设A（x1, y1）, B（x2, y2）, 直线P A, PM, PB的斜率分别为k1, k2, k3, 则有x1+x2＝, x1x2＝,可知M的坐标为（8, 6k）．∴k1+k3＝+＝+＝2k﹣3•＝2k﹣3•＝2k﹣1,2k2＝2•＝2k﹣1．∴k1+k3＝2k2．故直线P A, PM, PB的斜率成等差数列．21．（12分）已知函数f（x）＝1+lnx﹣ax2．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）证明：xf（x）＜•e x+x﹣ax3．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0, +∞）,f′（x）＝,故a≤0时, f′（x）＞0, f（x）在（0, +∞）递增,当a＞0时, 令f′（x）＝0, 解得：x＝,故f（x）在（0, ）递增, 在（, +∞）递减；（2）证明：要证xf（x）＜•e x+x﹣ax3,即证xlnx＜•e x, 也即证＜,令g（x）＝•（x＞0）,则g′（x）＝,故g（x）在（0, 2）递减, 在（2, +∞）递增,故g（x）最小值＝g（2）＝,令k（x）＝, 则k′（x）＝,故k（x）在（0, e）递增, 在（e, +∞）递减,故k（x）最大值＝k（e）＝,∵＜,故k（x）＜h（x）,即lnx＜,故xf（x）＜•e x+x﹣ax3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为（r＞0, φ为参数）, 以坐标原点O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0．若直线l与曲线C相切．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上任取两点M, N, 该两点与原点O构成△MON, 且满足∠MON＝, 求△MON面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知, 直线l的直角坐标方程为﹣y+2＝0,曲线C是圆心为（, 1）, 半径为r的圆, 由直线l与曲线C相切可得r＝＝2,可知曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2＝4,所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0, 即ρ＝4sin（θ+）．（2）由（1）不放设M（ρ1, θ）, N（ρ2, ）（ρ1＞0, ρ2＞0, ﹣＜θ＜）．S△MON＝|OM||ON|sin＝ρ1ρ2＝4sin（θ+）sin（θ+）＝2sinθcosθ+2cos2θ＝sin2θ+cos2θ+＝2sin（2θ+）+,当θ＝时, △MON面积的最大值为2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x+）+f（x﹣1）, g（x）的最大值为t, 若正数m, n满足m+n ＝t, 证明：．【解答】解：（1）将（﹣1, 3）代入函数的解析式得：3＝|﹣a﹣1|﹣|﹣2+a|, 解得：a＝2；（2）由（1）f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|,故g（x）＝|2x﹣3|﹣|2x+3|≤|2x﹣3﹣2x﹣3|＝6,故t＝6, 故m+n＝6,故+＝（+）（+）＝+++≥+2＝,当且仅当2n＝3m时“＝”成立．。

2019年高考全国一卷文科数学真题卷(含答案)

2019年高考全国一卷文科数学真题卷(含答案)

的程序框图，图中空白框中应填入
2
D． 5π 6
A．A= 1 2 A
B．A= 2 1 A
C．A= 1 1 2A
D．A=1 1 2A
10．双曲线
C：
x2 a2

y2 b2
1(a

0, b
0) 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则
C 的离心率为
A．2sin40°
B．2cos40°
C． 1 sin50
D． 1 cos50
11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA=- 1 ，则 b = 4c
A．6
B．5
C．4
D．3
12． 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F1(1, 0), F2 (1, 0) ， 过 F2 的 直 线 与 C 交 于 A， B 两 点 .若 | AF2 | 2 | F2B | ，
k
3.841 6.635 10.828
18．（12 分） 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S9=-a5． （1）若 a3=4，求{an}的通项公式； （2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
19．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点.
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

x

1 1

t2 t2
，
（t
为参数），以坐标原点

2019年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷(文)含答案解析

2019年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷(文)含答案解析

2019年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷（文科）一、选择题1．设平面向量，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数z 满足z=，则|z |=（ ）A ．B ．C ．D ．3．设集合A={{x |＜2x ＜16}，B={x |y=ln （x 2﹣3x ）}，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，给出的是求+++…+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．i ≥15B ．i ≤15C ．i ≥14D ．i ≤145．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．4πB ．πC ．πD ．4+π6．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1，a 4=2S 3+1，则公比q=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．3 D ．17．已知x，y满足不等式组，则函数z=2x+y的最小值是（）A．3 B．C．12 D．238．已知函数f（x）=cos（4x﹣），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[，]D．[，]9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．10．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C． +3 D．﹣+312．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为．14．函数f（x）=lnx﹣x2的单调增区间是．15．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列，数列{a n}的通项公式a n=．16．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=．三、解答题17．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．18．某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．19．如图ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE=CE=，求三棱锥B﹣ADE的体积V B﹣ADE ．20．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）求椭圆方程；（2）求证：OA⊥OB．21．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．（1）求证：PQ2=PD•PB；（2）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆C及内部的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣1|．（1）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．2019年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设平面向量，若，则等于（）A．B． C． D．【分析】由向量平行的到b=﹣4，从而得到=（﹣3，6），由此能求出．【解答】解：∵平面向量，，∴，解得b=﹣4．∴=（2，﹣4），=（﹣3，6），∴==3．故选：D．2．若复数z满足z=，则|z|=（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z==，∴．故选：C．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln（x2﹣3x）}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A．B．C．D．【分析】先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．【解答】解：∵集合A={x|＜2x＜16}=（﹣2，4），B={x|y=ln（x2﹣3x）}=（0，3），∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事件“x∈A∩B”的概率是=故选：C．4．如图，给出的是求+++…+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A．i≥15 B．i≤15 C．i≥14 D．i≤14【分析】由已知中程序的功能是计算+++…+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可知程序的功能是计算+++…+的值，即n≤30，i≤15时，进入循环，当i=16时，退出循环，则判断框内填入的条件是i≤15．故选：B．5．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．4πB．π C．π D．4+π【分析】由三视图可知：该几何体是由两部分组成的，上面是一个球，下面是一个倒立的圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由两部分组成的，上面是一个球，下面是一个倒立的圆锥．∴该几何体的体积V=×13+=．故选：B．6．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：C．7．已知x，y满足不等式组，则函数z=2x+y的最小值是（）A．3 B．C．12 D．23【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，1），此时z=2×1+1=3，故选：A．8．已知函数f（x）=cos（4x﹣），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[，]D．[，]【分析】横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式为f（x）=cos（2x﹣），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为y=sin2x，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：把函数f（x）=cos（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为f（x）=cos（2x﹣），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为y=cos[2（x﹣）﹣]=sin2x，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故当k=0时，函数y=g（x）的一个单调递增区间为：[﹣，]．故选：B．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．【分析】根据平面向量垂直时数量积为0求出tanα，再利用两角和的正切公式求值即可．【解答】解：∵=（x，y），向量=（3，4），且⊥，∴3x+4y=0，则=﹣，∴tanα=﹣，∴tan（α+）===．故选：D．10．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【分析】求得双曲线的渐近线方程，将直线y=1﹣x联立，求得交点A，B的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为y=±x，把y=1﹣x代入y=±x，可得A（，），B（，），可得AB的中点M为（，）由过原点和线段AB中点的直线的斜率为，即有k OM===，故选：A．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C． +3 D．﹣+3【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．12．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．二、填空题13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为4800．【分析】求出抽样比，然后求解即可．【解答】解：样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，可得抽样比为：=，该批次产品总数为：=4800．故答案为：4800；14．函数f（x）=lnx﹣x2的单调增区间是（0，1] ．【分析】先求出其导函数，再求出导函数大于等于0的区间即可得到其单调递增区间．（注意是在定义域内找增减区间，避免出错）【解答】解：由题得：x＞0∵；∴f′（x）=﹣x=；所以：f′（x）≥0⇒≥0⇒0＜x≤1．∴函数的单调递增区间是：（0，1]．故答案为：（0，1]．15．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列，数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，由已知列式求得a1，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，且公差为2，由S1，S2，S4成等比数列，得，解得：a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．16．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=﹣1．【分析】根据奇函数的性质可得f（0）=0，由条件可得f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，f（x）=f（x+6），函数为周期函数，进而求出结果．【解答】解：奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，∴f（0）=0，f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，∴f（x）=f（x+6），函数为周期函数，∴f=f（5）+f（0）=f（5）=f（﹣1）+f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．故答案为﹣1．三、解答题17．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．【分析】（Ⅰ）由题意分别在RT △ABC 和RT △ADE 由三角函数定义∠DAE 和∠CAB 的正余弦值，由和差角的三角函数公式可得；（Ⅱ）由中位线可得DF=EF=BC=，代入三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得在四边形BCDE 为边长为1的正方形，在RT △ABC 中sin ∠CAB==，cos ∠CAB==，同理RT △ADE 中sin ∠DAE=cos ∠CAB=∴sin ∠CAD=sin （∠DAE ﹣∠CAB ）=×﹣×=；（Ⅱ）由题意可得DF=EF=BC=，∴△ADF 的面积S=×DF ×AE=××1=18．某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS ）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．【分析】（1）设这100名学生参加初赛成绩的中位数为x ，由频率分布直方图的性质能求出这100名学生参加初赛成绩的中位数．（2）由频率分布直方图得该校初赛分数在[110，130）的人数为4人，分数在[130，150]的人数为2人，由此能求出选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率． 【解答】解：（1）设这100名学生参加初赛成绩的中位数为x ， 由频率分布直方图，得：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x ﹣70）=0.5，解得x=81．∴这100名学生参加初赛成绩的中位数为81．（2）由频率分布直方图得该校初赛分数在[110，130）的人数为：0.002×20×100=4人， 分数在[130，150]的人数为0.001×20×100=2人，该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，基本事件总数n==20，选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组包含的基本事件个数m==4，∴选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率p==．19．如图ABCD 是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE ，平面BCE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BD ⊥CE ；（Ⅱ）若BE=CE=，求三棱锥B ﹣ADE 的体积V B ﹣ADE ．【分析】（I ）根据勾股定理的逆定理可证BD ⊥BC ，由面面垂直的性质可得BD ⊥平面EBC ，故BD ⊥CE ；（II ）取BC 中点F ，连接EF ，DF ，AF ．则EF ⊥平面ABCD ，利用勾股定理求出EF ，AF ，DF ，AE ，DE ，利用V E ﹣ABD ，计算三棱锥B ﹣ADE 的体积V B ﹣ADE ． 【解答】（I ）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=4，∵BC=2，BD=2，∴BD 2+BC 2=CD 2，∴BD ⊥BC ，又平面BCE ⊥平面ABCD ，平面BCE ∩平面ABCD=BC ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面BCE ，∵CE ⊂平面BCE ， ∴BD ⊥CE ．（II ）解：取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，AF ． ∵EB=EC ，∴EF ⊥BC ，∵平面EBC ⊥平面ABCD ，平面EBC ∩平面ABCD=BC ， ∴EF ⊥平面ABCD ．∵BE=CE=，BC=2，∴EF==3，DF==，AF=，∴DE==，AE==．∴V B ﹣ADE =V E ﹣ABD ==2．20．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）求椭圆方程；（2）求证：OA⊥OB．【分析】（1）由题意可得：a+c﹣（a﹣c）=，b=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）单位圆的方程为：x2+y2=1．对切线的斜率分类讨论：设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得=1，即m2=1+k2．与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可证明．圆的切线斜率不存在时直接求出验证即可得出．【解答】（1）解：∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），∴a+c﹣（a﹣c）=，b=，又a2=b2+c2，联立解得，b=，a2=4．∴椭圆的标准方程为： +=1．（2）证明：单位圆的方程为：x2+y2=1．设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得=1，即m2=1+k2．联立，化为：（1+3k2）x2+6kmy+3m2﹣4=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=．∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）﹣+m2==0．∴，∴OA⊥OB．当圆的切线斜率不存在时方程为：x=±1，代入椭圆方程可得：1+3y2=4，解得y=±1，∴A（1，1），B（1，﹣1）；A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1）．满足OA⊥OB．综上可得：OA⊥OB．21．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b ．则f （x ）=lnx ﹣ax +，∴，则f ′（1）=1﹣2a ， 又f （1）=0，∴f （x ）的图象在x=1处的切线方程为y ﹣0=（1﹣2a ）（x ﹣1），即y=（1﹣2a ）x ﹣1+2a ． ∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a ，即a=﹣2；（2）证明：∵f （x ）=lnx ﹣ax +，∴=，令g （x ）=（0＜x ＜1），则=＜0．∴g （x ）在（0，1）上为减函数，∵x ∈（0，1）时，g （x ）＞g （1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a ＜1时，；（3）由f （x ）=lnx ﹣ax +，得=．当a=0时，，f （x ）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a ＜0时，，f （x ）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a ＞0时，由△=1﹣4a 2＞0，得0．则当x ∈（0，），（）时，f ′（x ）＜0；当x ∈（）时，f ′（x ）＞0．设，则x 1＜1，x 2＞1，∵f （x ）在（x 1，1）上递增，∴f （x 1）＜f （1）=0，又，∴存在，使得f （x 0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三个不同的零点．综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．（1）求证：PQ2=PD•PB；（2）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．【分析】（1）推导出AB=BC=DC，∠BAC=∠CBD，∠AQP=∠BAC+∠ABQ，∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，从而∠PAQ=∠PQA，进而PA=PQ，由此利用切割线能证明PQ2=PA2=PD•PB．（2）由∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，得△ABP∽△APD，从而，求出PD，由此能求出AQ=DQ=PQ﹣PD，从而能求出结果．【解答】证明：（1）四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，∴AB=BC=DC，∴∠BAC=∠CBD，∴∠AQP=∠BAC+∠ABQ，∵AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P，∴∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，∴∠PAQ=∠PQA，∴PA=PQ，∴PQ2=PA2=PD•PB．解：（2）∵AB=3，AP=2，AD=，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P，PQ2=PA2=PD•PB∴PQ2=4=PD•PB，∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，∴△ABP∽△APD，∴，∴PD===，∴AQ=DQ=PQ﹣PD=2﹣=．[选修4-4：坐标系与参数方程选]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆C及内部的公共点，求x+y的取值范围．【分析】（1）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，化极坐标方程为普通方程；（2）由点P在圆内，代入圆的方程，可得t的范围，再由不等式的性质，即可得到x+y 的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=4sin（θ﹣）=2sinθ﹣2cosθ．∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ．∴x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣）2=4，所以曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣）2=4，（Ⅱ）∵x+y=（﹣1﹣t）++t=﹣t，由P在圆内，可得（﹣1﹣t+1）2+（+t﹣）2＜1，即t2+t2＜1，即t2＜1，解得﹣1＜t＜1，∴﹣1＜﹣t＜1，即x+y的范围是（﹣1，1）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣1|．（1）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．【分析】（1）当a=﹣2时，根据否定即可解不等式f（x）＞5，（2）利用参数分离法，转化为求值函数的最值问题．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=|x+1|+2|x﹣1|，则不等式f（x）＞5等价为|x+1|+2|x﹣1|＞5；若x≥1，则不等式等价为x+1+2（x﹣1）＞5，即3x＞6，得x＞2，此时x＞2，若﹣1＜x＜1，则不等式等价为x+1﹣2（x﹣1）＞5，即﹣x＞2，得x＜﹣2，此时﹣1＜x＜1，若x≤﹣1，则不等式等价为﹣（x+1）﹣2（x﹣1）＞5，即﹣3x＞4，得x＜﹣，此时x＜﹣，综上不等式的解为x＞2或﹣1＜x＜1或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞2或﹣1＜x＜1或x＜﹣}．（2）若f（x）≤a|x+3|，则|x+1|﹣a|x﹣1|≤a|x+3|，即|x+1|≤a（|x﹣1|+|x+3|），即a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|∴=，当且仅当x≥1或x≤﹣3时，取等号，即a≥，则a的取值范围a≥．2019年8月18日。

2019年新课标全国卷高考文科数学试卷及答案【word版】

2019年新课标全国卷高考文科数学试卷及答案【word版】

2019年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-（2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α（3）设i i z ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25 D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB. AD 21C. BC 21 D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3（C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2＜1}，B={x|x≥-1}，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z=4-，则|z|=（）A. 4B. 3C. 5D. 23.已知a=log23，b=log43，c=log63，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.4.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a10=16，S7=14，则数列{a n}的公差为（）A. 3B. 2C. 1D. 65.已知2sin（+α）=，则sin2α=（）A. B. C. D.6.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B. 全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C. 全年中各月最低气温平均值不高于的月份有5个D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势7.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是（）A. 8B. 6C. 4D. 28.函数f（x）=的大致图象为（）A. B.C. D.9.已知圆（x+1）2+（y-1）2=2-m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（φ∈R），若f（-x）=f（x），且f（π）＞f（），则函数f（x）取得最大值时x的可能值为（）A. B. C. D.11.已知等比数列{a n}的前n项和S n=λ•3n-1-1（λ∈R），则=（）A. B. 3 C. 6 D. 912.已知A，B，C为椭圆+y2=1上三个不同的点，O为坐标原点，若=，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知||=1，•=2，则向量（2-）•=______．14.已知x，y满足，则z=x+y的最大值为______．15.在三棱锥A-BCD中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4，AB⊥BD，则三棱锥A-BCD外接球的体积的最小值为______．16.已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）+a（a∈R）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B+b cos2A=a．（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B．18.某校为了调查高三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了高三男生的学习时间（单位：小时）的频数分布表和女生的学习时间的频率分布直方图）（学习时间均在[0，6]内）．男生周日学习时间频数表（）根据调查情况该校高三年级周日学习用时较长的是男生还是女生？请说明理由；（2）从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率．19.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=4，BC=2，∠ACB=90°，A1B⊥AC1．（1）求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；（2）若∠A1AC=60°，P为线段AB的中点，求三棱锥B-PA1C1的体积．20.已知抛物线y2=2x，过点A（-2，4）的直线l交抛物线于B、C两点，设O为坐标原点，点P（，0）．（1）求tan∠PAO的值；（2）若△PAB，△PBC，△PAC的面积成等比数列，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=x+-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）讨论f（x）在[1，e]上的零点个数．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2a（a＞0）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，4），直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|=14，求a 的值．23.设函数f（x）=|x-a2|+|x+2b2|（a，b∈R）．（1）若a=1，b=0，求f（x）≥2的解集；（2）若f（x）的最小值为8，求a+2b的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|-1＜x＜1}，B={x|x≥-1}；∴A∩B=[-1，+∞）．故选：C．可解出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4-=，∴|z|=．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：a=log23＞1＞b=log43=＞=c=log63，∴a＞b＞c．故选：A．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，若a2+a10=16，则a6=×（a2+a10）=8，若S7=14，则有S7==7a4=14，则a4=2，则有2d=a6-a4=6，则d=3；故选：A．根据题意，由等差数列的性质可得a6=×（a2+a10）=8，又由S7==7a4=14，则a4=2，由等差数列的通项公式可得答案．本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由2sin（+α）=，得sin（+α）=，∴sin2α=-cos（）=-[1-2]=-[1-2×]=．故选：A．由已知结合诱导公式及二倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误故选：D．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，是四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，几何体的体积为：V==6．故选：B．利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力．8.【答案】A【解析】解：根据y=ln|x+1|，可得x≠-1；当-2＜x＜-1时，分母＜0，分子ln|x+1|＜0；∴函数f（x）=＞0；图象在x轴上方；当-2＞x时，分母＜0，分子ln|x+1|＞0；∴函数f（x）=＜0；图象在x轴下方；当0＜x时，函数f（x）==＞0；图象在x轴上方；综上可知满足的图象是A故选：A．带入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．9.【答案】B【解析】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y-1）2=2-a，则圆心坐标为（-1，1），半径r=，∵圆x2+y2+2x-2y+m=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，∴圆心到直线的距离d===，解得m=-4，故选：B．求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：因为f（-x）=f（x），即y=f（x）的图象关于直线x=对称，即函数f（x）在x=时取得最值，①当函数f（x）在x=时取得最大值时，又因为函数f（x）的周期为π，所以f（）＜f（）=f（π），满足题意，②当函数f（x）在x=时取得最小值时，又因为函数f（x）的周期为π，所以f（）＞f（）=f（π），不满足题意，综合①②得：函数f（x）取得最大值时x的可能值为．故选：A．由三角函数的最值得：因为f（-x）=f（x），即y=f（x）的图象关于直线x=对称，即函数f（x）在x=时取得最值，由三角函数的图象的性质得：讨论①当函数f（x）在x=时取得最大值时，②当函数f（x）在x=时取得最小值时，结合三角函数图象的性质求解即可．本题考查了三角函数的最值及三角函数的图象的性质，属中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，等比数列{a n}满足S n=λ•3n-1-1，当n=1时，有a1=S1=λ-1，有a2=S2-S1=（3λ-1）-（λ-1）=2λ，a3=S3-S2=（9λ-1）-（3λ-1）=6λ，则有6λ×（λ-1）=（2λ）2，解可得λ=3或-1（舍），首项a1=2，则==9；故选：D．根据题意，由其前n项和公式求出a1、a2、a3的值，由等比数列的定义可得6λ×（λ-1）=（2λ）2，解可得λ的值，据此可得=，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，关键是求出λ的值，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：设直线AB：y=kx+m，代入x2+2y2=2得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2-1）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，设C（x3，y3），由=，y3=-（y1+y2）=-[k（x1+x2）+2m]=-（-+2m）=-，代入x2+2y2=2得1+2k2=4m2，|AB|=|x1-x2|，O到直线AB的距离为d=，由三角形的重心性质可得S△OAB=d|AB|=|m|•=•=•|m|=，可得S△ABC=3S△OAB=．故选：C．设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理，设C（x3，y3），由向量的坐标计算公式可得C的坐标，将其代入椭圆的方程，可得1+2k2=4m2，表示|AB|的值，表示△OAB的面积，又由S△ABC=3S△OAB，计算可得答案．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查向量的坐标表示，点满足椭圆方程，考查三角形的重心性质，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=1，•=2，则向量（2-）•=2=4-1=3．故答案为：3．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．14.【答案】13【解析】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过A（6，7）时，z最大，最大值为：13．故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过可行域内的点A时，z最大，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15.【答案】【解析】解：∵AB=AC，DB=DC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，又AB⊥BD，即∠ABD=90°，∴∠ACD=90°，设AD的中点为O，则OA=OB=OD=OC，∴O为棱锥A-BCD的外接球的球心．∵AB+BD=4，∴AD2=AB2+（4-AB）2=2AB2-8AB+16=2（AB-2）2+8，∴当AB=2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，∴棱锥外接球的最小半径为AD=，∴外接球的最小体积为V==．故答案为：．由三角形全等可得∠ABD=∠ACD=90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．本题考查棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16.【答案】[0，e]【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：则当-2≤x≤0时，抛物线的对称轴为x=-1，若函数g（x）=f（x）+a有三个不同的零点x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，即g（x）=f（x）+a=0，f（x）=-a有三个不同的根，则0≤-a≤1，即-1≤a≤0，当x≤0时，-x2-2x+a=0，即x2+2x-a=0，则x1x2=-a，当x＞0时，由lnx3+a=0，得lnx3=-a，即x3=e-a，则x1•x2•x3=-ae-a，设g（a）=-ae-a，-1≤a≤0，则导数g′（a）=-e-a+ae-a=e-a（a+1），则当-1≤a≤0时，g′（a）≤0恒成立，即此时函数g（a）为减函数，则g（0）=0，g（-1）=e，即0≤g（a）≤e，即0≤x1•x2•x3≤e，即x1•x2•x3的取值范围是[0，e]，故答案为：[0，e]．作出f（x）的图象，根据g（x）=f（x）+a有三个不同的零点，转化为f（x）+a=0，有三个根，求出x1，x2，x3，关系，构造函数求出函数的导数，利用导数研究取值范围即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为关于a的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的取值范围是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由正弦定理可得a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，则2R sin A sinAsin B+2R sin B cos2A=2R sin A，则sin B（sin2A+cos2A）=sin A，则=，即=，∴=；（2）由余弦定理可得：cos B==，由b=a，则cos2B=，由c＞b，则C＞B，即B为锐角，cos B＞0，则cos B=，即B=45°，∴B为45°．【解析】（1）利用正弦定理及同角三角函数的基本关系，即可求得=；（2）利用余弦定理及三角形的性质，即可求得B的值．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，同角三角函数的性质，考查转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图得女生周日学习用时的平均数为：1.5×0.15+2.5×0.2+3.5×0.3+4.5×0.25+5.5×0.1=3.45（小时），由频率分布表得男生周日学习用时的平均数为：（0.5×8+1.5×10+2.5×7+3.5×9+4.5×4+5.5×2）=2.425，∵3.45＞2.425，∴该校高三年级周日学习用时较长的是女生．（2）80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中，男生有2人，女生有0.1×40=4人，从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，基本事件总数n==15，恰巧抽到1男1女包含的基本事件个数m==8，∴恰巧抽到1男1女的概率p=．【解析】（1）由频率分布直方图求出女生周日学习用时的平均数，由频率分布表求出男生周日学习用时的平均数，由此得到该校高三年级周日学习用时较长的是女生．（2）80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中，男生有2人，女生有4人，从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，基本事件总数n==15，恰巧抽到1男1女包含的基本事件个数m==8，由此能求出恰巧抽到1男1女的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=4，BC=2，∠ACB=90°，A1B⊥AC1．∴四边形A1ACC1是菱形，AC⊥BC，∴A1C⊥AC1，∵A1B∩A1C=A1，∴AC1⊥平面A1BC，∴BC⊥AC1，∵AC1∩AC=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面ABC，∴平面A1ACC1⊥平面ABC．解：（2）∠A1AC=60°，P为线段AB的中点，取A1C1中点E，连结CE，以C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，2，0），P（2，1，0），A1（2，0，2），C1（-2，0，2），=（0，-1，2），=（-4，-1，2），=（-2，1，0），设平面PA1C1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），∴B到平面PA1C1的距离d==，△ ==×=2，∴三棱锥B-PA1C1的体积：V=△ ==．【解析】（1）推导出四边形A1ACC1是菱形，AC⊥BC，从而A1C⊥AC1，进而AC1⊥平面A1BC，再由BC⊥AC1，得BC⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1ACC1⊥平面ABC．（2）取A1C1中点E，连结CE，以C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥B-PA1C1的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由两直线的夹角公式可得tan∠PAO=||=||=；（2）△PAB，△PBC，△PAC的面积成等比数列，可得S△PBC2=S△PAB•S△PAC，设P到直线AB的距离为d，即有（d|BC|）2=d|AB|•d|AC|，可得|BC|2=|AB|•|AC|，即有（|AC|-|AB|）2=|AB|•|AC|，化简可得（|AC|+|AB|）2=5|AB|•|AC|，①设直线l的方程为（t为参数），代入抛物线方程y2=2x可得t2sin2α+（8sinα-2cosα）t=20=0，则t1+t2=，t1t2=，由①可得（）2=5•，解得tanα=-1或，则直线l的方程为y=-x+2或y=x+．【解析】（1）运用两直线的夹角公式，计算可得所求值；（2）由三角形的面积公式和等比数列中项性质，可得|BC|2=|AB|•|AC|，化简可得（|AC|+|AB|）2=5|AB|•|AC|，再设直线l的参数方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和参数的几何意义，解方程即可得到所求直线的斜率，进而得到所求直线方程．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线的参数方程的运用，以及参数的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，若a+1≤0，即a≤-1，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a+1＞0，即a＞-1，则当x∈（0，a+1）时，f′（x）＜0，当x∈（a+1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增；（2）①由（1）可知当a≤-1，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（1）=1+a+1=a+2，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，当a+2＞0时，即-2＜a≤-1时，f（1）＞0，此时f（x）在[1，e]上无零点，当a+2≤0时，即a≤-2时，f（1）≤0，此时f（x）在[1，e]上有一个零点，②当a＞-1时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，若a+1≤1，即-1＜a≤0时，此时f（x）在[1，e]上单调递增，∵f（1）=a+2＞0，此时f（x）在[1，e]上无零点，当1＜a+1＜e时，即0＜a＜e时，f（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∵f（1）＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，f（x）min=f（a+1）=（a+1）+-a ln（a+1）=a+2-a ln（a+1），令h（a）=a+2-a ln（a+1），0＜a＜e，∴h′（a）=-ln（a+1），在（0，e）上单调递减．h′（0）=1＞0，h′（e）=-ln（e+1）＜0．∴存在唯一a0∈（0，e），使得=ln（a0+1）．此时函数h（a）在（0，a0）内单调递增，在（a0，e）内单调递减．h（0）=2，h（e）=e+2-e ln（e+1）＞0．h（a0）=a0+2-a0ln（a0+1）=a0+2-a0•=a0+1+＞0．∴f（x）min＞0，即函数f（x）在[1，e]上无零点．③a+1≥e，即a≥e-1时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（1）=a+2＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，函数f（x）在[1，e]上无零点．综上可得：①-2＜a≤-1时，f（x）在[1，e]上无零点，当a+2≤0时，f（x）在[1，e]上有一个零点，②-1＜a≤0时，f（x）在[1，e]上无零点，0＜a＜e时，函数f（x）在[1，e]上无零点．③a≥e-1时，函数f（x）在[1，e]上无零点．【解析】（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）①由（1）可知当a≤-1，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=a+2，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，对a分类讨论即可得出零点情况．②当a＞-1时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，对a分类讨论：a+1≤1，即-1＜a≤0时，此时f（x）在[1，e]上单调递增，可得零点情况．0＜a＜e时，f（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，f（1）＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，f（x）min=f（a+1）a+2-aln（a+1），令h（a）=a+2-aln（a+1），0＜a＜e，利用导数研究其取值即可得出．③a+1≥e，即a≥e-1时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（1）=a+2＞0，f（e）=（e+）+a （-1）＞0，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ=2a两边平方得ρ2（a2sin2θ+4cos2θ）=4a2，又ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴a2y2+4x2=4a2（a＞0），即曲线C的直角坐标方程为：4x2+a2y2=4a2．（2）消去参数t得直线l的普通方程为：y=x+4，易知P（0，4）在直线l上，所以直线l的斜率为，倾斜角为60°，所以直线l的参摄方程可设为：（t为参数），将以上参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理得：（1+a2）t2+4a2t+12a2=0设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=，所以|PM||PN|=|t1||t2|=|t1t2|==14，解得：a=．【解析】（1）两边平方后，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得曲线C的直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程化成标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，然后根据韦达定理以及参数的几何意义列方程可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）因为a=1，b=0，所以f（x）=|x-1|+|x|，当x＜0时，1-x-x≥2⇒x≤-，∴x≤-；当0≤x＜1时，1-x+x≥2⇒x∈ϕ；当x≥1时，x-1+x≥2⇒x≥，∴x≥．综上所述：x∈（-∞，-]∪[，+∞）．（Ⅱ）∵|x-a2|+|x+2b2|≥|x-a2-x-2b2|=a2+2b2=8，解：由a2+2b2=8，变形得：+=1，即（）2+（）2=1，令=cos x，=sin x，∴a=cos x，b=2sin x，则a+2b=2cos x+2sin x=4（cos x+sin x）=4sin（x+），当sin（x+）=1时，a+2b有最大值，最大值为4．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的解析式，由绝对值的意义讨论x的范围，去绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值，再由三角函数的性质求出a+2b的最大值即可．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)

2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)

绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)-含详细答案

2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)-含详细答案

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）含详细答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=3−i1+2i，则|z|=()A. 2B. √3C. √2D. 12.已知集合U={1,2，3，4，5，6，7}，A={2,3，4，5}，B={2,3，6，7}，则B∩∁U A=()A. {1,6}B. {1,7}C. {6,7}D. {1,6，7}3.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生7.tan255°=()A. −2−√3B. −2+√3C. 2−√3D. 2+√38.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |，且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69.下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A10.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为()A. 2sin40°B. 2cos40°C.D.11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=−14，则bc=()A. 6B. 5C. 4D. 312.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34，则S4=___________．15.函数f(x)=sin(2x+3π2)−3cosx的最小值为___________．16.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=−a5．(1)若a3=4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．19.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN//平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．20.已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．21.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．(1)若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|−|MP|为定值？并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．直接利用复数商的模等于模的商求解．【解答】解：由z=3−i1+2i ，得|z|=|3−i1+2i|=|3−i||1+2i|=√10√5=√2．故选C．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题．先求出∁U A，然后再求B∩∁U A即可求解．【解答】解：∵U={1,2，3，4，5，6，7}，A={2,3，4，5}，B={2,3，6，7}，∴∁U A={1,6，7}，则B∩∁U A={6,7}，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b，故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．充分运用黄金分割比例，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12，可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=5−1≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12，可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A，然后计算f(π)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．【解答】解：∵f(x)=sinx+xcosx+x2，x∈[−π,π]，∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴f(x)为[−π,π]上的奇函数，因此排除A；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C，故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔，属于基础题．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第5组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为1000100=10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{a n}，则a n=6+10(n−1)=10n−4，当n=62时，a62=616，即在第62组抽到616，故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的求值，考查诱导公式与两角和的正切公式应用，是基础题．利用诱导公式变形，再由两角和的正切即可求解．【解答】解：tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)，故选D ． 8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，可得(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =0，进一步得到|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0，然后求出夹角即可．【解答】 解：∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0，∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗|2|a ⃗ ||b ⃗ |=12，∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3，故选B ．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： A =12，k =1；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12，k =2；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12+12，k =3；此时，不满足条件k ≤2，退出循环，输出A 的值为12+12+12，观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A ． 故选A ．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．由已知求得ba=tan50°，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．【解答】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得−ba=tan130°=−tan50°，则ba =tan50°=sin50°cos50∘，∴b2a2=c2−a2a2=c2a2−1=sin250°cos250∘=1cos250∘−1，得e2=1cos250∘，∴e=1cos50∘，故选：D．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设该三角形外接圆的半径为R，根据正弦定理有：又asinA−bsinB=4csinC，∴a·a2R −b·b2R=4c·c2R,即a2=4c2+b2，又，∴{a2−b2=4c2cosA=b2+c2−a22bc=−14，解得bc=6，故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3，b=√2，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a2，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，则|AF2|=|AF1|=a，所以A为椭圆短轴端点，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a +4−2a22a=0，解得a2=3，∴a=√3，b2=a2−c2=3−1=2．所以椭圆C的方程为：x23+y22=1，故选B．13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属基础题．对y=3(x2+x)e x求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y=3(x2+x)e x，∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1)，∴当x=0时，y′=3，∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y=3x．故答案为y=3x．14.【答案】58【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，a1=1，S3=34，∴q≠1，1−q31−q =34，整理可得q2+q+14=0，解得q=−12，故S4=1−q41−q =1−1161+12=58，故答案为58．15.【答案】−4【解析】【分析】先利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的单调性即可求解最小值．本题主要考查了诱导公式、二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用；利用余弦函数、二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题．【解答】解：∵f(x)=sin(2x+3π2)−3cosx=−cos2x−3cosx=−2cos2x−3cosx+1，令t=cosx，则−1≤t≤1，∴f(t)=−2t2−3t+1的开口向下，对称轴t=−34，在[−1,1]上先增后减，故当t=1即cosx=1时，函数有最小值−4．故答案为：−416.【答案】√2【解析】【分析】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD=PE=√3，从而CD=CE=OD=OE=√22−(√3)2=1，由此能求出P到平面ABC的距离．【解答】解：∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD=PE=√3，∴由题意得CD=CE=OD=OE=√22−(√3)2=1，∴PO=√PD2−OD2=√3−1=√2．∴P到平面ABC的距离为√2．故答案为√2．17.【答案】解：(1)由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P=4050=45，女顾客对该商场服务满意的概率P=3050=35；(2)由题意可知，K2=100(40×20−30×10)270×30×50×50=10021≈4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【解析】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础题．(1)由题中数据，结合等可能事件的概率求解；(2)代入计算公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．18.【答案】解：(1)根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9=−a5，则S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，变形可得a5=0，即a1+4d=0，若a3=4，则d=a5−a32=−2，则a n=a3+(n−3)d=−2n+10；(2)若S n≥a n，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，当n=1时，不等式成立，当n≥2时，有nd2≥d−a1，变形可得(n−2)d≥−2a1，又由S9=−a5，即S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，则有a5=0，即a1+4d=0，则有(n−2)−a14≥−2a1，又由a1>0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：1≤n≤10.n∈N．【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题．(1)根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9=−a5，即可得S9=(a1+a9)×92= 9a5=−a5，变形可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；(2)若S n≥a n，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，分n=1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．19.【答案】证明：(1)连结B1C,ME.因为M，E分别为B1B，BC的中点，所以ME//B1C，且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．可得ME=//ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN//DE .又MN⊄平面C1DE，所以MN//平面C1DE ．(2)(方法一)：过C做C1E的垂线，垂足为H．由已知可得DE⊥BC，DE⊥CC1.所以，故DE⊥CH，从而，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE=1，CC1=4，所以C1E=√17，故CH=4√1717．(方法二)：设点C到平面C1DE的距离为h，由已知可得V C1−DEC =V C−C1DE，，V C−C1DE =13S△C1DE·ℎ，C1E=√12+42=√17，，DC1=√42+22=2√5，可得：C1E2+DE2=DC12，故△C1DE为直角三角形，S△C1DE =12DE·C1E=12√3·√17=√512，综上可得ℎ=3V C−C1DES△C1DE=4√1717，即为点C到平面C1DE的距离．【解析】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．(1)连结B1C,ME，证明四边形MNDE为平行四边形，MN//DE，DE⊂平面C1DE，MN⊄平面C1DE，证得．(2)方法一：做C1E的垂线CH，利用勾股定理求得点C到平面C1DE的距离；方法二：利用等体积法，转换顶点，先求得三棱锥C1−DEC的体积，再表示出三棱锥C−C1DE的体积，体积相等，求出点C到平面C1DE的距离；20.【答案】解：(1)证明：∵f(x)=2sinx−xcosx−x，∴f′(x)=2cosx−cosx+xsinx−1=cosx+xsinx−1，令g(x)=cosx+xsinx−1，则g′(x)=−sinx+sinx+xcosx=xcosx，当x∈(0,π2)时，xcosx>0，当x∈(π2,π)时，xcosx<0，∴当x=π2时，极大值为g(π2)=π2−1>0，又g(0)=0，g(π)=−2，∴g(x)在(0,π)上有唯一零点，即f′(x)在(0,π)上有唯一零点；(2)由(1)知，f′(x)在(0,π)上有唯一零点x0，使得f′(x 0)=0，且f′(x)在(0,x 0)为正，在(x 0,π)为负，∴f(x)在[0,x 0)递增，在(x 0,π]递减，结合f(0)=0，f(π)=0，可知f(x)≥0在[0,π]上恒成立，令ℎ(x)=ax ，表示横过定点(0,0)的直线，∵f(x)≥ℎ(x)恒成立，∴a ∈(−∞,0]．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点和恒成立问题，属于较难题．(1)令g(x)=f ′(x)，对g(x)再求导，研究其在(0,π)上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；(2)利用(1)的结论，可设f ′(x)的零点为x 0，并结合f ′(x)的正负分析得到f(x)的情况，得出结论．21.【答案】解：∵⊙M 过点A ，B 且A 在直线x +y =0上，∴点M 在线段AB 的中垂线x −y =0上，设⊙M 的方程为：(x −a)2+(y −a)2=R 2(R >0)，则圆心M(a,a)到直线x +y =0的距离d =2，又|AB|=4，∴在Rt △OMB 中，d 2+(12|AB|)2=R 2，即(2)2+4=R 2①又∵⊙M 与x =−2相切，∴|a +2|=R②由①②解得{a =0R =2或{a =4R =6, ∴⊙M 的半径为2或6；(2)存在定点P ，使得|MA|−|MP|为定值。

2019年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)含答案解析

2019年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)含答案解析
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4， ．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．设a＞0且a≠0，函数 ．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率；
则A∩B=[﹣2，0）∪（ ，1]，
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
200
150
50
（Ⅰ）为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
200
150
50
抽取人数
6
（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，C两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．
（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．
A． B． C． D．
10．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的6个顶点都在球O的球面上，若 ，AB⊥AC， ，则球O的直径为（ ）
A．2B． C． D．4
11．已知F1，F2是双曲线 的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）
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2019年广西高考文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．124．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．56．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16B ．8C ．4D ．27．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，ae ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．a =e ，b =–1B ．a =e ，b =1C ．a =e –1，b =1D ．a =e –1，1b =-8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________.14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15．设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题共12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 18．（本小题共12分）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．19．（本小题共12分）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2， ∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.20．（本小题共12分）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 21．（本小题共12分）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.参考答案一、选择题1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C10．B11．A12．C二、填空题 13．14．100 15． 16．118.8三、解答题17．解：（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35．b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知ABC △的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c Aa CC︒-===+．由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是82⎛⎝⎭． 19．解：（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG .由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ． 因此DM ⊥CG ．在Rt △DEM 中，DE =1，EM DM =2． 所以四边形ACGD 的面积为4．20．解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3a x =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -. 于是3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭． 当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27． 21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-． 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行， 所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．22．解：（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2c o s 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭. （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭. 23．解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，11 当且仅当x =53，13y =-，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． （2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+-- 2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦， 故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥， 当且仅当43a x -=，13ay -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +． 由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．。

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