第二章 命题逻辑
命题逻辑ppt课件
9
例 (续)
(4) (p)∧q. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) r∧s. (6) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5)
命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 二者取一 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例 下列句子中那些是命题？ (1) 2是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
这就产生了矛盾。
5
命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题
6
简单命题符号化
在本书中用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示简单命题，将 表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 用“1”表示真，用“0”表示假 对简单命题而言，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
表达。 3：命题公式 层次 成真赋值 成假赋值 真值表的定义 4：构造真值表的具体步骤，重言式 矛盾式 可满足式 定
义
29
上节知识复习
1:定义：命题 真(假)命题 命题常(变)项 2:五个联结词定义及取值情况，对应的
语言表达 3:复合命题符号化的步骤 4:命题公式 命题公式的层次定义及判断 5:成真赋值 成假赋值 重言式 矛盾式
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，别同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的确信为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能浮现一次，求极小项时变元别够合取真，求极大项时变元别够析取假；5.求范式时，为保证编码别错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的办法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算办法：P规则，T规则①真值表法；②直截了当证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词惟独一具个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，别包括0；2.基：集合A中别同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一具分划基本上由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应浮现且仅浮现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都浮现，没有要求只浮现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基2种别同的关系；数为mn，A到B上能够定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个别同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满脚自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满脚自反性，反对称性和传递性，则称R 是A上的一具偏序关系；8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在也许别唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在也许别唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称那个元素是B的上界(若存在，也许别唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称那个元素是B的下界(若存在，也许别唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种别同的关系，有m n种别同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn 数；2.在一具有n个元素的集合上，能够有22n种别同的关系，有n n种别同的函数，有n!种别同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m,满脚f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元别能是生成元；5.任何一具循环群必然是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 汲取律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配别等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模别等式a≤c av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满脚a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必然是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，假如a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一具补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一具有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平庸图：惟独一具孤立点构成的图；4.简单图：别含平行边和环的图；5.无向彻底图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向彻底图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向彻底图有n(n-1)/2条边，有向彻底图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必然是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必然包含一条回路；12.可达：关于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称iv与j v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v i的路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一具方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必然是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图别连通了，假如删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：假如一具点构成点割集，即删去图中的一具点后所得子图是别连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为ij列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为i列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只拜访每个节点一次，通过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种办法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②挑选一具与v邻接且未被拜访过的节点1v；③从v动身按邻接方向接着拜访，当遇到一具节点所有邻接1点均已被拜访时，回到该节点的前一具点，再寻求未被拜访过的邻接点，直到所有节点都被拜访过一次；广度优先：①选定起始点v；②拜访与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一具节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被拜访过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种办法：克鲁斯卡尔办法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔办法①将所有权值按从小到大罗列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，挑选时要满脚别能浮现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被拜访过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被拜访过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，假如最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直截了当连接，否则退回1。
第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3：设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p Ú q ，符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表：
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p：小李是学数学 q：小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）3不是偶数。
复合命题
（7）林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。
p q
（2）吴颖不仅用功而且聪明。
p q
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。
p q
（4）张辉与王丽都是三好学生。
r s
（5）张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意：若“和”、“与”连接的是主语成分，则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充：翻译语句
因为语言（包括一切人类语言）常有二义性，把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
第2章_1节-命题逻辑基本概念
定义2.4 设p，q为两个 命题“如果p，则q” 称作p与q的蕴涵式， 记作 pq，并称p是 蕴涵式的前件，q为蕴 涵式的后件，称蕴 涵联接词.其真值表为 ： p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
pq也可表示为： （1）只要p，就q； （2）因为p，所以q （3）p仅当q； （4）只有q，才p； （5）除非q，才平； （6）除q，否则非p； （7）假如没有q，就没有p.
离散数学
主讲教师：易静
1
2.1 命题逻辑基本概念
关键知识点： • 命题与真值 •联结词(¬ , , , , , ) •命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) •重要等值式 •重要推理规则 •个体,个体域与谓词 •全称量词与存在量词
2
命题与真值
命题:所表达的判断是真（正确）或假（错误）但不能可 真可假的陈述句。通常用p,q,r等表示（即命题符号化） 命题的真值:作为命题所表达的判断只有两个结果：正确 和错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误 的，称此命题的真值为假。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用 1和0来表达，也有时分别用T(True)和F(False)来表 达。本书用1和0来表达。（即真值的符号化） 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.
定义2.2 设p，q为二 命题，复合命题“p并 且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式， 记作pq，称作合取 联接词. 其真值表为：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
也可表示联接词： “既......,又.......”， “不但......而 且......”, “虽然......但 是.......”, “一面......一 面.......”等
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23
逻辑2
(6)逆蕴涵词： 只有… (6)逆蕴涵词： 只有…才 逆蕴涵词 必要条件假言命题 只有经历风雨，才能见彩虹。 例：只有经历风雨，才能见彩虹。 无之必不然，有之不确定。 无之必不然，有之不确定。 除非… ），不 除非…不（才），不…不 我不去，除非你去。 我不去，除非你去。 不如虎穴，焉得虎子。 不如虎穴，焉得虎子。 等值词： （7）等值词：当且仅当 充分必要条件假言命题 樱桃红了，当且仅当，芭蕉绿了。 例：樱桃红了，当且仅当，芭蕉绿了。 那么，只有… “如果 …那么，只有…才”
负命题的真值表 p：一个在真值域中取值的命题变 元。 p只有一个命题变元， 只有一个命题变元， 它的真值运算叫做一元运算。 它的真值运算叫做一元运算。
p 1 0
p 0 1
2、合取命题的逻辑性质 鲁迅是文学家并且是思想家。 例：鲁迅是文学家并且是思想家。 同真为真， 同真为真，否则为假 p ∧ q有两个在真值域中取值的命题变元，求这种复合命题的真值运 有两个在真值域中取值的命题变元， 叫二元真值运算。 算，叫二元真值运算。
例：如果中国的火药没有传入欧洲，那么世界的历史就会改写。 如果中国的火药没有传入欧洲，那么世界的历史就会改写。 如果天下雨， 如果天下雨，那么地面会湿 。 逻辑性质： 前真后假不可能,其余为真。假言命题p为前件， 为后件。 逻辑性质： 前真后假不可能,其余为真。假言命题p为前件， q为后件。 p → q（有两个命题变元，也有4种真值组合。） q（有两个命题变元，也有4种真值组合。）
三、复合命题的真值
1、负命题的逻辑性质 ）：所有科学家都是大学毕业生。（假 所有科学家都是大学毕业生。（ 例（1）：所有科学家都是大学毕业生。（假） 负命题：并非所有科学家都是大学毕业生。（ 。（真 负命题：并非所有科学家都是大学毕业生。（真） ）：燕山大学位于秦皇岛市河北大街。（真 燕山大学位于秦皇岛市河北大街。（ 例（2）：燕山大学位于秦皇岛市河北大街。（真） 负命题：并非燕山大学位于秦皇岛市河北大街。（ 。（假 负命题：并非燕山大学位于秦皇岛市河北大街。（假） 负命题与原命题逻辑真值恰恰相反
第二章 命题逻辑[2010](1)
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（二）不相容选言命题
• 不相容选言命题是断定两种事物情况中有且只 有一种情况成立的选言命题。 有一种情况成立的选言命题。 • 或为玉碎，或为瓦全。 或为玉碎，或为瓦全。 • 今天不是星期一，就是星期二。 今天不是星期一，就是星期二。 • 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。
• • • • • • •
并非：并不是，…不成立，…是假的，…不符 并不是， 不成立， 是假的， 并不是 合事实，等等。 合事实，等等。 并且：和；然后；不但，而且；虽然，但是； 和 然后；不但，而且；虽然，但是； 不仅， 等等。 不仅，还；等等。 或者：要么，要么；二者必居其一；等。 要么，要么；二者必居其一； 要么 要么：或者；要么，要么；二者必居其一；等。 或者；要么，要么；二者必居其一； 或者 如果，则：假如，就；倘若，便；只要，就； 假如， 假如 倘若， 只要， 哪怕， 就算， 哪怕，也；就算，也；当…时；等。 只有，才：除非，才；除非，不；不，就不； 除非， 除非 除非， 就不； 仅当， 等等。 仅当，才；等等。 当且仅当：如果…则…并且只有…才…，如 如果… 如果 并且只有… 并且如果非…则非… 等等。 果…则…并且如果非…则非…，等等。
约定： 约定：
• 整个公式外面的括号可以省略； 整个公式外面的括号可以省略； • 各联结词的结合力依下列次序递减： 各联结词的结合力依下列次序递减：
¬；∧；∨；→；↔
• 连续的“→”从后向前结合。 连续的“→”从后向前结合。 从后向前结合
（一）逻辑性质
• 联言命题是判定几种事物同时存在的复合命题 • 只有他的各个联言支都是真的，它本身才是真的 只有他的各个联言支都是真的， 如果由一个支命题为假，则联言命题为假。 ；如果由一个支命题为假，则联言命题为假。 • p∧q
逻辑学导论第二章
联言推理的有效式
合成式
如果分别肯定两个联 言支，则可以肯定由 这两个联言支组成的 联言命题。 p
分解式
如果肯定一个联言命 题，则可以分别肯定 其中的每一个联言支。 p并且q
否定式
如果否定一个联言支， 则可以否定包涵这个 联言支的联言命题。 并非p
q
所以，p并且q 或者
所以，ｐ
所以，并非（p且q）
p并且q
真值联结词
真值联结词 ∧ ∨
读作 合取 析取 蕴涵 等值 否定
意义 并且 或者 如果，则 当且仅当 并非
二元联结词 一元联结词
为了表示符号间的结构关系，还需要一些辅助 符号，如括号“（”，“）”
D1 真值形式的定义
任一命题变项p，q，r，s等是真值形式
如果A是真值形式，则A是真值形式
或者非P或者q 并非(P并且非q)
充分条件假言命题的有效式
肯定前件式
如果p，那么q p 所以，q
如果p，那么q
否定后件式
非q
所以，非p
必要条件假言命题
只有P，才q
逻辑性质：
只有在前件假后件真的情况下，它才是假的
有效式
否定前件式
只有p，才q 非p 所以，非q
肯定后件式
只有p，才q q 所以，p
充分必要条件假言命题
五种最基本的公式
p
否定式 合取式
q∧ s
r∨ s
p q qs
析取式
蕴涵式 等值式
联结词的结合力按下述秩序递减：
，∧，∨，，
指派与赋值
真值形式是由命题变项使用真值联结词逐步生成的。
命题变项 的真值
பைடு நூலகம்
真值形式 的真值
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
人民大2024逻辑学导论(第5版)PPT第二章 命题逻辑
第二章：命题逻辑
• 为了避免结构歧义，二元联结词为主联结词的公式外侧总有括号。但层层叠叠的括号有时
令人困扰，所以这里约定三条省略括号的规则。
• (1)公式最外层的括号总是可以省略。例如：(p∧q)可写作p∧q，(┑((p∧q) (r∨s))∧p)可写
第二章：命题逻辑
• 1.充分条件假言命题及其推理 • 充分条件假言命题是由“如果，则”这类联结词连接两个支命
题而形成的命题，它在自然语言中有多种表述方式，例如： • (1)如果物体摩擦，则物体生热。 • (2)只要你勤奋耕耘，总会有所收获。 • (3)假如这个玻璃杯从我手中滑落，则它会摔得粉碎。
第二章：命题逻辑
题同时为真外，还表示并列关系、承接关系、递进关系、转折关系、对比关 系等等。
第二章：命题逻辑
• 为了与日常联结词相区别，同时也为了书写的方便，逻辑学家们特制了一些
专门的符号去表示真值联结词：
• (1)∧：读作“合取”(conjunction)，相当于日常语言中的“并且”。
• (2)∨：读作“析取”(disjunction)，相当于日常语言中的“或者”。
第二章：命题逻辑
第二节 真值联结词 真值形式
第二章：命题逻辑
一、从日常联结词到真值联结词
• 在命题逻辑中，简单命题究竟是一个什么样的命题，究竟是真是假，实际上 是无关紧要的；真正重要的是复合命题的逻辑性质，以及由这种性质所决定 的复合命题与其支命题之间以及复合命题相互之间的逻辑关系。而这是由命 题联结词决定的。
• 命题形式有两种成分：代表具体内容的位置，由命题变项表示；连接或组合 这些位置的结构成分，即命题联结词，亦称“逻辑常项”。
逻辑学第二章
（二）、不相容选言推理
1、定义：不相容选言推理就是前提中有 一个是不相容选言命题，并根据不相容 选言命题的逻辑特征进行的推理。 2、规则：（1）肯定一个选言肢，就要 否定其它的选言肢。 （2）否定一个选言肢以外的选言肢，就 要肯定余下的那个选言肢。
在现代汉语中并列复句、递进复句、 转折复句、连贯复句都表达联言命题。
例1、“我们不但善于破坏一个旧世界， 我们还将善于建设一个新世界”（递进） 2、“虽然我现在放假了,但比上班还要 忙碌。”(转折) 3、前一个星期天，我们班的同学先到山 上采果实，接着又到溪边野炊。（连贯） 联结词有时可以省略。
二、联言命题的逻辑值
1、联言命题的真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p ∧ q 真 假 假 假
2、联言命题的逻辑特征：只有当每一个肢命 题同时为真时，联言命题才真。否则就假。
四、联言推理
联言推理是前提或结论为联言命题的推理。 联言推理的有效式 1、分解式 p并且q 所以，p (p ∧ q) p
四、联言推理
（一）充分条件假言命题
3、充分条件假言命题的公式： 如果p，那么q p → q (“→”是蕴涵符号，表示现代 汉语中的“如果……那么……”) 4、充分条件假言命题的语言表达形式： “如果……那么……”；“只要…… 就……”；“倘若……则……”等等。
（一）充分条件假言命题
5、充分条件假言命题的真值表
一、联言命题
1、定义：联言命题是反映若干事物情况同时 存在的命题。 例如：某商品价廉并且物美 在联言命题中，联言支可以是两个，也可以 是两个以上。 例：张红喜欢唱歌、并且喜欢跳舞，并且喜 欢打球。 2、公式：P并且q p ∧ q（“P”和“q”表示 肢命题，“并且”表示联结词。也可以用 “∧”合取符号表示“并且” ）
第2章 命题逻辑的等值演算
如果将真值1，0 看做是数，则每一个解释对应一 个n位二进制数。 假设使极小项m取1值的解释对应的二进制数为i， 今后将m记为mi。
例:
对p，q，r而言，pqr是极小项 解释{p，q，r}使该极小项取1值，解释{p，q， r} 对应的二进制数是2 (010) 于是pqr记为m2
例：
(p(qr))s (p(qr))s p(qr)s p(qr)s …………….
式)
(ps)(qr) (psq)(psr)
( 析取范
…… (合取范式)
主范式
定义2. 4 设p1,…,pn是n个不同原子，一个简单合取式如果 恰好包含所有这n个原子或其否定，且其排列顺序与 p1,…,pn的顺序一致，则称此简单合取式为关于p1,…,pn的 一个极小项。 显然，共有2n个不同的极小项。 例如: 对原子 p，q，r 而言， pqr，pqr，pqr 都是 极小项，但是，p，pq不是极小项， 对原子p，q而言,pq是极小项。
例
判断公式 (pq)(qr)(rp)是否永假? 解： (pq)(qr)(rp) (pq)(qr)(rp) ((pq)(qq)(pr)(qr))(rp) (pqr)(qqr)(prr)(q rr)(pqp)(qqp)(prp) (qrp) 故公式(pq)(qr)(rp)不是永假的。
命题公式和真值表的关系
从0来列写
B (…) ∧ (…)
由1列写的方式进行转化： B (…)∨ (…) B (…) ∧ (…) (…) 写成析取式，表示一种 B 值为假的情况。如 p=1，q=0 时为假，
(…) 写成p ∧q， (…)写成 p ∨ q
1值取p形式
定理
对于任意公式G，存在唯一一个与G等值的主析取 范式。
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“p仅当q（仅当q，则p）”、 “只有q才p”、“只要p就q”、
“除非q，否则非p（非p，除非q）”
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
★在数理逻辑中，联结词所联结的命题可以毫无关系。
★逻辑中，作为一种“善意推断”的规定，前件p为假时，
无论后件q是真是假，蕴含式 p→q的真值均为1。 这与日常语言中的，特别是数学上常用的“真蕴含真” 不太一样。事实上并不矛盾。 “如果张三能及格，那太阳从西边升起” 它所要明确的是“张三能及格”是假命题。
和
F
0
只有说法“真值为真”或“真值为假”—没有假值一说
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
【例1】 下述各句是否为命题：
（1）4是偶数。
（2）煤是白色的。
（3）《几何原本》的作者是欧几里德。
（4）2190年人类将移居火星。
（5）地球外也有生命存在。
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
【例2】 下列语句是否为命题：
在自然语言中，上述命题是没有意义的，因为P 与Q没有什么联系，但作为数理逻辑中的命题P和 Q的合取P∧Q来说，它仍可作为一个新的命题
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
3.析取“∨” 设p、q是任意两个命题，复合命题“p或q”称为p、q的析取
式，记作：p∨q。“∨”称为析取联结词。p∨q为假，当
第二章 命题逻辑
2.1 命题符号化及联结词 2.2 真值表与逻辑等价 2.3 永真蕴含式 2.4 推理理论
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
研究人的思维形式和规律的科学称为逻辑学。 由于研究的对象和方法各有侧重而又分为:
形式逻辑、辩证逻辑、数理逻辑
数理逻辑
数学家希尔伯脱:“它把数学上的形式的方法，应用到 逻辑领域的结果。”
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
4.排斥析取
设P、Q是命题，P和Q的排斥析取也是个命题,记作P Q 。
当且仅当P和Q的真值不相同时，P Q为T，在其他情况 下, P Q 的真值都是F。 p 0 1 q 1 0
P Q
1 1
0
1
离散数学
0
1
第二章 命题逻辑
0
0为假”——没有假值一 说。
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
(1) 中华人民共和国首都是北京。 (2) 2是偶数。 (4) 我是工程师。 (6)明天开会吗？ (8)请进来。 (3) 雪是黑色的。 (5)外太空有生命 (7)多美妙啊！ (9)我正在说假话
离散数学
标识符。集合{T,F}是命题变元的值域。 指派：命题变元用一个特定命题取代，从而成为一个命
题，这个过程称为对命题变元进行指派。
注
命题变元不是命题
任课教师:刘灵会
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第二章 命题逻辑
用P表示任意的命题，则是命题变元，没有
确定的真值；
当用具体的命题，如“雪是黑色的”代入 后，P就表示命题：雪是黑色的，这时有确 定真值：F。
且仅当p、q同为假。 表 6.1.3 p q p ∨q
0
0 1 1
离散数学
0
1 0 1
第二章 命题逻辑
0
1 1 1
任课教师:刘灵会
【例】 (1) p：小王喜欢唱歌。 q：小王喜欢跳舞。则 p∨q：小王喜欢唱歌或喜欢跳舞。 (2) p：明天刮风。 q：明天下雨。则
p∨q：明天或者刮风或者下雨。
★ “∨”的逻辑关系是明确的。即p、q二命题中至少有一
（1）4是偶数且是2的倍数。
（2）北京不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三内角相等。
离散数学
第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
命题常量：表示具体命题的命题标识符 例如,P:今天天气晴好。则P是命题常量
命题变元：未指定具体命题，可以代表任意命题的命题
析取。
离散数学 第二章 命题逻辑 任课教师:刘灵会
5、条件“→” 设p、q是任意两个命题，复合命题“如果p，则q”称为p与q
的蕴含涵式，记作：p→q。P称为蕴含式的前件，q称为蕴
含式的后件，→称为蕴含联结词。p→q为假，当且仅当p为 真、q为假。
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
表 6.1.5
数理逻辑是一门用数学方法来研究推理规律的科 学。所谓数学方法主要是指引进一套符号体系的 方法，所以数理逻辑也称做符号逻辑。
任课教师:刘灵会
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第二章 命题逻辑
近年来，数理逻辑与计算机科学的关 系日益密切，数理逻辑的大量方法已运
用于计算机软件的理论研究中，可以这
样说,数理逻辑在计算机科学的应用前景
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
命题+联结词=复合命题
联结词是复合命题的重要组成部分，又称为逻辑运算符。 常用的有五种： 否定 合取 析取 排斥析取 条件 → 双条件
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
由命题和联结词构成的命题称为复合命题。
构成复合命题的可以是原子命题，也可以是另
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
2.合取“∧” 设p、q是任意两个命题，复合命题“p且q”（p与q）称为 p与q的合取式，记作：p∧q。“∧”是合取联结词。 p∧q为真，当且仅当p、q 都为真。 表 6.1.2 p 0 0 1 q 0 1 0 p^ q 0 0 0
1
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1
第二章 命题逻辑
是极其广阔的。
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
2.1 命题符号化及联结词
任何基于命题分析的逻辑称为命题逻辑。 命题是非真即假的陈述句。
首先判断它是否为陈述句
其次判断它是否有唯一的真值
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
真值只有两个：真
或
假
记作: True 和 False
符号：T
1
注
和
1
任课教师:刘灵会
例如 P:张静是个女人。 上述命题的合取为： P∧Q ：张静是个女人并且是个教师。 P∧Q ：张静是个女教师。 Q:张静是个老师。
显然只有当“张静是个女人”与“张静是
个教师”都是真时，“张静是个女教师”才是 真的。
离散数学 第二章 命题逻辑 任课教师:刘灵会
【例】
(1) p：4是偶数。q：3是素数。则
★否定联结词使用的原则：将真命题变成假命题，将 假命题变成真命题。但这并不是简单的随意加个不字
就能完成的。
例如上例中的（2），q的否定式就不能写成“这
些都不是学生”。事实上严格来讲，“不是”不一定
否定“是”。不过，一般地，自然语言中的“不”、 “无”、“没有”、“并非”等词均可符号化为 " ".
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
只要天不下雨，我就骑自行车上班 只有天不下雨，我才骑自行车上班
解：设P：天下雨，Q：我骑车上班 (1) P Q (2) Q P, P Q
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
6、等价” “ 设p、q是任意两个命题，复合命题“p当且当q”称为p与q 的等价式，记作： pq。 “”称为等价联结词。 pq 为真，当且仅当p、q真值相同。 表 6.1.6 p 0 q 0 p q 1
定错了，但是错在哪里了？
语言悖论：这句话包含七个字。－－对还是错？
说明：以上不都是命题逻辑中讲的悖论，同学们 可以课余自行考虑。
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
命题是非真即假的陈述句。 ★一个陈述句在客观上能判断真假，而不受人的知识范围 的限制。
★一个陈述句暂时不能确定真值，但到了一定时候就可以 确定，与一个陈述句的真值不能唯一确定是不同的。
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
根据命题的构成形式，可以将命题分为：
原子命题:不能再细分的命题称为原子命题。
复合命题：由原子命题和命题联结词构成。
“明天下雪” “4是素数”都是原子命题
“明天下雨或明天下雪”是复合命题
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
【例3】 下列命题不是简单命题：
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p →q
1 1 0 1
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
（1）P：天不下雨
Q：我去看电影
P→Q ：如果天不下雨，那么我去看电影。 （2）P：我生病。 Q：我不到学校去。
P→Q ：如果我生病，那么我不到学校去。 条件命题P→Q用自然语句可读作“如果P则Q”
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
【例】 (1) p：天下雨了。 q：路面湿了。
p→q：如果天下雨，则路面湿。 (2) r：三七二十一。 p→r：如果天下雨，则三七二十一。
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
★ p→q的逻辑关系是：p是q的充分条件，q是p的必要条件。
q是p的必要条件还有许多不同的叙述方式，均可符号化成
（1）你好吗？ （2）好棒啊！ （3）请勿吸烟。 （ 4） x＞ 3。 （5）我正在说谎。
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第二章 命题逻辑
任课教师:刘灵会
几个有趣的悖论
说谎者悖论：“我正在说谎。”－－他到底说没说谎？
江湖传言悖论：没有人能避开西门吹雪的那一剑；陆小