第二章 命题逻辑

数理逻辑是一门用数学方法来研究推理规律的科 学。所谓数学方法主要是指引进一套符号体系的 方法，所以数理逻辑也称做符号逻辑。
任课教师:刘灵会
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第二章 命题逻辑
近年来，数理逻辑与计算机科学的关 系日益密切，数理逻辑的大量方法已运
用于计算机软件的理论研究中，可以这
样说,数理逻辑在计算机科学的应用前景
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“真值表”的表格确定。由表6.1.1可知：
命题p为真，当且仅当 p 为假。
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表 6.1.1 p
0 1
p
1 0
【例】 (1) p：4是偶数。其真值为1。 p ：4不是偶数。其真值为0。 (2) q：这些都是男生。 p ：这些不都是男生。
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在自然语言中，上述命题是没有意义的，因为P 与Q没有什么联系，但作为数理逻辑中的命题P和 Q的合取P∧Q来说，它仍可作为一个新的命题
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3.析取“∨” 设p、q是任意两个命题，复合命题“p或q”称为p、q的析取
式，记作：p∨q。“∨”称为析取联结词。p∨q为假，当
一个复合命题。 一个复合命题的真值不仅与构成复合命题的命 题的真值有关，而且也与所用联结词有关。
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1、否定
" "
设p为任一命题，复合命题“非p”（p 的否定）称为p的 p " p 为真，当且 否定式，记作 ： " 为否定联结词。 仅当p为假。
p 的真值亦可由表6.1.1所示的称为
★否定联结词使用的原则：将真命题变成假命题，将 假命题变成真命题。但这并不是简单的随意加个不字
就能完成的。
例如上例中wk.baidu.com（2），q的否定式就不能写成“这
些都不是学生”。事实上严格来讲，“不是”不一定
否定“是”。不过，一般地，自然语言中的“不”、 “无”、“没有”、“并非”等词均可符号化为 " ".
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根据命题的构成形式，可以将命题分为：
原子命题:不能再细分的命题称为原子命题。
复合命题：由原子命题和命题联结词构成。
“明天下雪” “4是素数”都是原子命题
“明天下雨或明天下雪”是复合命题
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【例3】 下列命题不是简单命题：
相对悖论：世上没有绝对的真理。－－这是绝对的吗？
苏格拉底悖论：我现在唯一知道的事，就是我一无所知。 －－知道还是不知道？
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性质悖论：一切都是可能的，不可能也是如此。－－可
能还是不可能？
麦堆悖论：一粒麦子构不成麦堆，两粒也不行，三粒也 不行……所以无论多少麦粒都不能构成麦堆。－－肯
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命题+联结词=复合命题
联结词是复合命题的重要组成部分，又称为逻辑运算符。 常用的有五种： 否定 合取 析取 排斥析取 条件 → 双条件
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由命题和联结词构成的命题称为复合命题。
构成复合命题的可以是原子命题，也可以是另
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2.1 命题符号化及联结词 2.2 真值表与逻辑等价 2.3 永真蕴含式 2.4 推理理论
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研究人的思维形式和规律的科学称为逻辑学。 由于研究的对象和方法各有侧重而又分为:
形式逻辑、辩证逻辑、数理逻辑
数理逻辑
数学家希尔伯脱:“它把数学上的形式的方法，应用到 逻辑领域的结果。”
和
F
0
只有说法“真值为真”或“真值为假”—没有假值一说
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【例1】 下述各句是否为命题：
（1）4是偶数。
（2）煤是白色的。
（3）《几何原本》的作者是欧几里德。
（4）2190年人类将移居火星。
（5）地球外也有生命存在。
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【例2】 下列语句是否为命题：
p→q的形式。如：
“p仅当q（仅当q，则p）”、 “只有q才p”、“只要p就q”、
“除非q，否则非p（非p，除非q）”
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★在数理逻辑中，联结词所联结的命题可以毫无关系。
★逻辑中，作为一种“善意推断”的规定，前件p为假时，
无论后件q是真是假，蕴含式 p→q的真值均为1。 这与日常语言中的，特别是数学上常用的“真蕴含真” 不太一样。事实上并不矛盾。 “如果张三能及格，那太阳从西边升起” 它所要明确的是“张三能及格”是假命题。
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例如 P:张静是个女人。 上述命题的合取为： P∧Q ：张静是个女人并且是个教师。 P∧Q ：张静是个女教师。 Q:张静是个老师。
显然只有当“张静是个女人”与“张静是
个教师”都是真时，“张静是个女教师”才是 真的。
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【例】
(1) p：4是偶数。q：3是素数。则
★ 只有说法“真值为真”或“真值为假”——没有假值一 说。
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(1) 中华人民共和国首都是北京。 (2) 2是偶数。 (4) 我是工程师。 (6)明天开会吗？ (8)请进来。 (3) 雪是黑色的。 (5)外太空有生命 (7)多美妙啊！ (9)我正在说假话
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（1）你好吗？ （2）好棒啊！ （3）请勿吸烟。 （ 4） x＞ 3。 （5）我正在说谎。
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几个有趣的悖论
说谎者悖论：“我正在说谎。”－－他到底说没说谎？
江湖传言悖论：没有人能避开西门吹雪的那一剑；陆小
凤的灵犀指可以夹住任何兵器的来袭。－－这两个人 交手的话，胜负如何？
p∧q：4是偶数且3是素数。真值为1。
(2) r：煤是白的。则
p∧r：4是偶数且煤是白的。真值为0。
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注意：联结词合取的概念与自然语言中的 “与”“并且”，意义相似，但并不完全相同。
P:我们去香山看红叶。 Q:教室里有两块黑板。 P∧Q:我们去香山看红叶与教室里有两块黑板。
且仅当p、q同为假。 表 6.1.3 p q p ∨q
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任课教师:刘灵会
【例】 (1) p：小王喜欢唱歌。 q：小王喜欢跳舞。则 p∨q：小王喜欢唱歌或喜欢跳舞。 (2) p：明天刮风。 q：明天下雨。则
p∨q：明天或者刮风或者下雨。
★ “∨”的逻辑关系是明确的。即p、q二命题中至少有一
标识符。集合{T,F}是命题变元的值域。 指派：命题变元用一个特定命题取代，从而成为一个命
题，这个过程称为对命题变元进行指派。
注
命题变元不是命题
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用P表示任意的命题，则是命题变元，没有
确定的真值；
当用具体的命题，如“雪是黑色的”代入 后，P就表示命题：雪是黑色的，这时有确 定真值：F。
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2.合取“∧” 设p、q是任意两个命题，复合命题“p且q”（p与q）称为 p与q的合取式，记作：p∧q。“∧”是合取联结词。 p∧q为真，当且仅当p、q 都为真。 表 6.1.2 p 0 0 1 q 0 1 0 p^ q 0 0 0
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析取。
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5、条件“→” 设p、q是任意两个命题，复合命题“如果p，则q”称为p与q
的蕴含涵式，记作：p→q。P称为蕴含式的前件，q称为蕴
含式的后件，→称为蕴含联结词。p→q为假，当且仅当p为 真、q为假。
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表 6.1.5
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p →q
1 1 0 1
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（1）P：天不下雨
Q：我去看电影
P→Q ：如果天不下雨，那么我去看电影。 （2）P：我生病。 Q：我不到学校去。
P→Q ：如果我生病，那么我不到学校去。 条件命题P→Q用自然语句可读作“如果P则Q”
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个为真则析取式为真。因而，自然语言中常用的联结词诸 如：“或者……或者……”、“可能……可能……”等，都可以符 号化为“∨”。
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（1）
P：我吃香蕉。 Q：我吃橘子。
R：我吃香蕉或橘子。
这里的“或”是“兼并或”，可以同时为真。因此可
以符号化为 P∨Q
（2） P：今晚我在家复习功课。 Q：今晚我去图书馆查阅资料。 R：今晚我在家复习功课或去图书馆查阅资料。 这里的或是“排斥或”，可以符号化为
定错了，但是错在哪里了？
语言悖论：这句话包含七个字。－－对还是错？
说明：以上不都是命题逻辑中讲的悖论，同学们 可以课余自行考虑。
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命题是非真即假的陈述句。 ★一个陈述句在客观上能判断真假，而不受人的知识范围 的限制。
★一个陈述句暂时不能确定真值，但到了一定时候就可以 确定，与一个陈述句的真值不能唯一确定是不同的。
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只要天不下雨，我就骑自行车上班 只有天不下雨，我才骑自行车上班
解：设P：天下雨，Q：我骑车上班 (1) P Q (2) Q P, P Q
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6、等价” “ 设p、q是任意两个命题，复合命题“p当且当q”称为p与q 的等价式，记作： pq。 “”称为等价联结词。 pq 为真，当且仅当p、q真值相同。 表 6.1.6 p 0 q 0 p q 1
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【例】 (1) p：天下雨了。 q：路面湿了。
p→q：如果天下雨，则路面湿。 (2) r：三七二十一。 p→r：如果天下雨，则三七二十一。
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★ p→q的逻辑关系是：p是q的充分条件，q是p的必要条件。
q是p的必要条件还有许多不同的叙述方式，均可符号化成
是极其广阔的。
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2.1 命题符号化及联结词
任何基于命题分析的逻辑称为命题逻辑。 命题是非真即假的陈述句。
首先判断它是否为陈述句
其次判断它是否有唯一的真值
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真值只有两个：真
或
假
记作: True 和 False
符号：T
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注
和
（1）4是偶数且是2的倍数。
（2）北京不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三内角相等。
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命题常量：表示具体命题的命题标识符 例如,P:今天天气晴好。则P是命题常量
命题变元：未指定具体命题，可以代表任意命题的命题
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4.排斥析取
设P、Q是命题，P和Q的排斥析取也是个命题,记作P Q 。
当且仅当P和Q的真值不相同时，P Q为T，在其他情况 下, P Q 的真值都是F。 p 0 1 q 1 0
P Q
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例1 请指出下列命题中的“或”是析取还是排斥析取。
（1）我吃面包或蛋糕。
（2）今晚我去看演出或在家里看电视现场转播。
（3）他是一百米冠军或跳高冠军。
（4）今晚九点，中央电视台一台播放电视剧或足球比赛。
（5）派小王或小赵出差去上海。
（6）派小王或小赵中的一个出差去上海。
其中1、3、5中的“或”为析取，2、4、6中的“或”为排斥
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以上所讨论的命题均是一些简单陈述句。在语言学
中称为简单句，其结构均具有“主语+谓语”的形式， 在数理逻辑中，我们将这种由简单句构成的命题称为简 单命题，或称为原子命题，用p、q、r 等符号表示（必 要时亦可用其它小写的英文字母表示）。如： p：4是偶数。 q：煤是白的。 r：《几何原本》的作者是欧几里德。
P Q P Q
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★日常语言中的“或”是具有二义性的，用
“或”联结的命题有时是具有相容性的，我们
称之为可兼或。
★而有时用“或”联结的命题又具有排斥性，
称为不可兼或（异或），如： （1）小李明天出差去上海或去广州。 （2）刘昕这次考试可能是全班第一也可能是全 班第二。