2020各地模拟试题(数学理科)分类汇编解析19 不等式选讲

∴m2 − 2m + 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集．
Q f (x) =| x + 1| + | x − 2a | … | 2a + 1| ，∴ f (x) 的值域为 [| 2a + 1| ， +∞) ，
又 m2 − 2m + 4 = (m −1)2 + 3… 3 ，∴| 2a + 1| „ 3 ，
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4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | ． （1）当 a = 2 时，解不等式 f (x) < 2 ； （2）求 f (x) 的最大值．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) =| x +1| + | x − 2a | ． （1）若 a = 1，解不等式 f (x) < 4 ； （2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 − 2m + 4 = f (x) ，求实数 a 的取值范围．
11．（2020•吉林二模）已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc = 8 ，证明： （1） (4 + a)(4 + b)(4 + c)… 216 ； （2） (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2… 48 ．
12．（2020•桂林一模）设 a ， b ， c ∈ R ，且 a + b + c = 3 ． （1）求证： a2 + (b +1)2 + (c −1)2… 3 ； （2）若 t… 1 ，求证： (a −1)2 + (b − t)2 + (c + 2t)2… 3 ．
3a
10．（2020•河北模拟）已知函数 f (x) =| x − 2 | + | 2x −1| ． （1）求不等式 f (x)… 3 的解集； （2）记函数 f (x) 的最小值为 m ，若 a ，b ，c 均为正实数，且 1 a + b + c = m ，求 a2 + b2 + c2
2
的百度文库小值．
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5
综上，不等式的解集为 (2, +∞) ；
（2） f (x) = (m + 2)x − 2, x… 1 ，
(m − 2)x + 2, x < 1
令
f
(x)
=
0
，则
x
=
2 m+
2 (x…
1)
或
x
=
2
2 (x −m
< 1)
，显然需要 m
−2
<
0
<
m
+
2
，即 −2
<
m
<
2
，
如图，
则 A(
2
,0), B(
2
6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) =| x + a −1| + | x − 2a | ． （1）若 f （1） < 2 ，求实数 a 的取值范围； （2）若 a„ −1， x ∈ R ，求证： f (x)… 4 ．
7．（2020•临汾模拟）设函数 f (x) =| 2x + a | （其中 a < 0) ． （1）解不等式： f (x)… 3 ； （2）若 a = −1，解不等式 f (x)+ | x − 1 |< 2 ．
，
∴1 < x < 3 或 −1 < x„ 1，∴ −1 < x < 3 ，
∴不等式的解集为{x | −1 < x < 3} ．
（2）由（1）知， g(x)min = 3 ． Q不等式 f (x) > g(x) 解集中包含 (−2,1) ，
∴ g(x)min = 3 < ax + 4 对任意的 x ∈ (−2,1) 恒成立，
或
或
，
2x −1 < 4 3 < 4
−2x + 1 < 4
剟 ∴ 2 < x < 5 或 −1 x 2 或 − 3 < x < −1，∴ − 3 < x < 5 ，
2
2
2
2
∴不等式的解集为{x | − 3 < x < 5} ．
2
2
（2）Q对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 − 2m + 4 = f (x) ，
2
（2）Q f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | „ | (ax − 4) − (ax + 8) |= 12 ，
∴ f (x) 的最大值为 12．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) =| x +1| + | x − 2a | ．
（1）若 a = 1，解不等式 f (x) < 4 ；
3．（2020•内蒙古模拟）已知函数 f (x) = ax + 4(a ∈ R) ， g(x) =| x + 2 | + | x −1| ． （1）若 a = 1，求不等式 f (x) > g(x) 的解集； （2）若不等式 f (x) > g(x) 解集中包含 (−2,1) ，求 a 的取值范围．
f
(x)
=
−3x, x„ −x + 2,
−1 −1 <
x
<
1
，
2
3x, x…
1 2
图象如图：
则当 x = 1 时，函数 f (x) 取最小值 3 ，
2
2
若对于任意的 x1 ∈ R ，都存在 x2 ∈ R ，使得 f (x1) = g(x2 ) 成立，
则|a −2|„
3
，
2
剟1
解得：
a
7
．
22
故实数 a 的取值范围为[1 ， 7 ] ．
c
+
c
…
b
2
；
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a2 + b2 + c2 = 4
（2）已知
a
，b
，c
，x
，y
，z
都是正实数，且满足不等式组：
x2
+
y2
+
z2
=
9
，求
a
+
b
+
c
ax + by + cz = 6
x+ y+z
的值．
15．（2020•九江一模）已知函数 f (x) = x2 − x +1 ，且 m ， n ∈ R ． （Ⅰ）若 m + 2n = 2 ，求 f (m) + 2 f (n) 的最小值，并求此时 m ， n 的值； （Ⅱ）若 | m − n |< 1，求证： | f (m) − f (n) |< 2(| m | +1) ．
22
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3．（2020•内蒙古模拟）已知函数 f (x) = ax + 4(a ∈ R) ， g(x) =| x + 2 | + | x −1| ．
（1）若 a = 1，求不等式 f (x) > g(x) 的解集；
（2）若不等式 f (x) > g(x) 解集中包含 (−2,1) ，求 a 的取值范围．
13．（2020•福州一模）已知 a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ，且 a + b + c = 2 ． （1）求 a2 + b + c 的取值范围； （2）求证： 1 + 4 + 9 … 18 ．
abc
14．（2020•新建区校级模拟）（1）已知 a
，b
，c
都是正实数，证明：
b a
+
b
a +
2020 各地模拟试题（数学理科）分类汇编解析 19 不等式选讲
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) = 2 | x −1| +mx ， m ∈ R ． （1）当 m = −3 时，求不等式 f (x) + 4 < 0 的解集； （2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
a
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8．（2020•长治一模）设函数 f (x) =| 2x + 2 | − | 2x | 的最大值 m ． （1）求 m 的值． （2）若正实数 a ， b 满足 a + b = m ，求 a2 + b2 的最小值．
b+1 a +1
9．（2020•吉林二模）已知函数 f (x) = 16− | 2x −1| ． （1）解不等式 f (x)„ | x + 2 | ； （2）若函数 y = f (x) − a 存在零点，求 a 的求值范围．
故m=− 3．
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2．（2020•眉山模拟）已知函数 f (x) =| x + 1| + | 2x −1| ．
（1）解不等式 f (x)„ x + 2 ；
（2）若函数 g(x) =| x + 2019 | + | x + 2021 − a | ，若对于任意的 x1 ∈ R ，都存在 x2 ∈ R ，使得
2x + 1, x > 1
剟 解：（1）当 a
= 1时，
f
(x)
=
x
+
4，
g(x)
=|
x
+
2|
+
|
x
− 1 |=
3, −2
x
1
．
−2x −1, x < −2
2x + 1 < x + 4 3 < x + 4 −2x − 2 < x + 4
Q f (x) > g(x) ，∴
x >1
剟 或
或
−2 x 1 x < −2
剟 ∴−2 a 1 ，
∴实数 a 的取值范围为[−2 ，1] ．
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6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) =| x + a −1| + | x − 2a | ．
（1）若 f （1） < 2 ，求实数 a 的取值范围；
（2）若 a„ −1， x ∈ R ，求证： f (x)… 4 ．
16．（2020•开封一模）已知 a ， b ， c 为一个三角形的三边长．证明：
（1） b + c + a … 3 ；
abc
（2） ( a + b + c)2 > 2 ．
a+b+c
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参考答案
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) = 2 | x −1| +mx ， m ∈ R ．
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−12, x > 2
剟 解：（1）当
a
=
2
时，
f
(x)
=|
2x
−
4
|
−
|
2x
+
8
|=
−4x
−
4, −4
x
2．
12, x < −4
−4x − 4 < 2
剟 Q f (x) < 2 ，∴ x > 2 或
，
−4 x 2
∴x > 2或−3
2
< x„
2 ，∴
x>−3，
2
∴不等式的解集为{x | x > − 3} ．
f (x1) = g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
解：（1）当 x„
−1时，不等式 f (x)„
4 可化为： −3x„
x + 2 ，解得： x…
− 1 （舍去）；
2
当 −1 < x <
1 2
时，不等式
f (x)„
4 可化为 −x + 2„
x + 2 ，解得： x…
0 ，即 0„
x<
1 2
；
剟 当 x…
1
时，不等式
2
f (x)„
4 可化为 3x„
x + 2 ，解得： x„
1 ，即 1
2
x 1．
综上可得：不等式 f (x)„ x + 2 的解集为[0 ，1] ；
（2） g(x) =| x + 2019 | + | x + 2021 − a | ，
则 g(x) =| −x − 2019 | + | x + 2021 − a | … | −x − 2019 + x + 2021 − a |=| a − 2 | ，
uuur
, 0),C(1, m) ， AC = (1 −
2
uuur , m), BC = (1 −
2
,m) ，
m+2
2−m
m+2
2−m
uuur uuur
依题意， AC BC = (1 −
2
)(1 −
2
) + m2 = 0 ，解得 m = ± 3 ．
m+2 2−m
当 m = 3 时，点 C 在 x 轴上方，不合题意，当 m = − 3 时，满足题意．
剟 即 ax > 1 对任意的 x ∈ (−2,1) 恒成立，∴ −1 a
1
，
2
∴a 的取值范围为[−1, 1] ．
2
4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | ．
（1）当 a = 2 时，解不等式 f (x) < 2 ；
（2）求 f (x) 的最大值．
（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 − 2m + 4 = f (x) ，求实数 a 的取值范围．
2x −1, x > 2
剟 解：（1）当
a
= 1时，
f
(x)
=|
x
+1|
+
|
x
−
2 |=
3, −1
x
2
．
−2x + 1, x < −1
x > 2
剟 −1 x 2 x < −1
Q f (x) < 4 ，∴
2．（2020•眉山模拟）已知函数 f (x) =| x + 1| + | 2x −1| ． （1）解不等式 f (x)„ x + 2 ； （2）若函数 g(x) =| x + 2019 | + | x + 2021 − a | ，若对于任意的 x1 ∈ R ，都存在 x2 ∈ R ，使得 f (x1) = g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
（1）当 m = −3 时，求不等式 f (x) + 4 < 0 的解集；
（2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
解：（1）当
m
=
−3
时，
f
(x)
=
2|
x
−1|
−3x
=
−x
−
2, x…
1
，
2 − 5x, x < 1
当 x… 1 时， f (x) + 4 < 0 即 −x − 2 + 4 < 0 ，解得 x > 2 ； 当 x < 1 时， f (x) + 4 < 0 即 2 − 5x + 4 < 0 ，解得 x > 6 ，此时无解．