2020各地模拟试题(数学理科)分类汇编解析19 不等式选讲
2019-2020年高三高考仿真模拟考试理数试题含解析
2019-2020年高三高考仿真模拟考试理数试题含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.抛物线y =8x上到焦点距离等于6的点的横坐标为（）A. 2 B . 4 C . 6D. 8【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线於=吐，得2戸=&彳=2,所以抛物线焦点龙巩2®,淮线为2汽殳抛物线上Jt-的点到焦点F（2Q的距离为6,根据抛物线的走义，得点尸到F的距离等于点尸到准线的距离，即\PF\^m+2^6t解得m=4.故选 B.考点：抛物线的方程•1112.已知乙=1 i （其中i为虚数单位），设Z|为复数乙的共轭复数，，则复数Z2Z2 Z1 Z1在复平面所对应点的坐标为（）A. 0,1B. 1,0 c. 0,2D. 2,0【答案】B【解析】- 11111111试题分析：因为z-i =1 i ,所以z = 1 - i ,由得,■z2z1z1z2z1z11 + i 1 -i1 -i 1 i 1 i 1 - i= ------------- +--------------- =-------------- =1.即z2=〔，即z2在复平面内对应的点为（1,0 ）, （1 i）（1 —i）（1 i）（1 —i） 2故选B.考点：复数的运算及几何意义3.在等差数列 GJ 中，2a 9 “12 12，则数列 曲 的前11项和Sn 二（）D. 132 【答案】D 【解析】试题分析：由等差中项得：2a 9 =q 2 1^a 12 a 6,所以a 6 =12.又2a^ a 1 a 1^ 24,所以考点：等差数列的等差中项及性质 4.给出下列命题，其中正确的命题为（）A. 若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；B. 直线a 与平面:-不垂直，则a 与平面〉内的所有直线都不垂直;C. 异面直线a,b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；D. 直线a 与平面:-不平行，则a 与平面〉的所有直线都不平行.【答案】C【解析】试题分析：直项，直线盘和b 共面，直线臼和芒共面X 和弐可能平行、相交或异面，故A 错误』B 项，若直线。
2020高考数学模拟试题(理)《不等式》分类汇编(含答案)
2020高考数学模拟试题（理）《不等式》分类汇编一．选择题（共29小题）1．（2020•涪城区校级模拟）若7020x y x x y k -+⎧⎪⎨⎪++⎩…„…且24z x y =+取得最小值为12-，则(k = )A ．2B ．9 C． D ．02．（2020•眉山模拟）已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y +的取值范围是( ) A． B ．4[,8]5C ．2[,8]5D ．[1，8]3．（2020•凯里市校级模拟）已知实数x ，y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,1)-D ．(0,1)4．（2020•邯郸模拟）设变量x ，y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩…„…则22(3)z x y =-+的最小值为( ) A ．2BC ．4D ．1655．（2020•邯郸模拟）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为( ) A ．32B ．53C ．74D ．956．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域内存在点0(x ，0)y ，使不等式0010x my ++„成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(-∞，5]2-B ．(-∞，1]2-C ．[4，)+∞D ．(-∞，4]-7．（2020•金安区校级模拟）若不等式组40300px qy px qy qx y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩„…„表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内（包括边界）时，64p q +的最大值和最小值之和为( )A ．52-B ．22-C ．38D ．268．（2020•武汉模拟）已知x ，y 满足不等式组2202100x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y 所在区域的面积是( ) A ．1B ．2C ．54D ．459．（2020•顺德区模拟）已知函数2()(3)1f x x =--，则平面图形D 内的点(,)m n 满足条件：()()0f m f n +<，且()()0f m f n ->，则D 的面积为( )A ．πB ．3C ．2πD ．110．（2020•临汾模拟）若0m n >>，1(),2m n a b e e c =+=( ) A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>11．（2020•漳州模拟）设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>12．（2020•平顶山一模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(2,1)，则2a b +的最小值为( ) A ．10B ．9C ．8D ．613．（2020•荆门模拟）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()2222224,|11(1)10x y x y x y x y x ⎧⎫⎧+⎪⎪⎪Ω=+-++⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎩⎭或„剠„，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[15,25]-B ．[25,25]-C ．[25,15]-D ．[4,15]-14．（2020•绵阳模拟）若0b a <<，则下列结论不正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab a > C ．||||||a b a b +>+ D 33a b15．（2020•南宁一模）已知函数2211()log (1)3||f x x x =++()3f lgx >的解集为( )A ．1(10，10)B ．(-∞，1)(1010⋃，)+∞ C ．(1,10)D ．1(10，1)(1⋃，10)16．（2020•金安区校级模拟）已知变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„，若222x y x k ++…恒成立，则实数k 的最大值为( ) A ．40B ．9C ．8D ．7217．（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为( ) A ．53B ．103 C ．32 D ．3 18．（2017•淄博一模）设向量(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．919．（2017•齐齐哈尔一模）设102m <<，若212212k k m m+--…恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[2-，0)(0⋃，4]B ．[4-，0)(0⋃，2]C ．[4-，2]D ．[2-，4]20．（2020•眉山模拟）已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y +的最小值是( ) AB ．45C ．25D ．121．（2020•五华区校级模拟）若实数x ，y 满足10220220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则32z x y =+的最大值为() A ．3-B ．2-C ．2D ．622．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两部分，则a 的值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．9423．（2020•石家庄一模）已知实数x ，y 满足约束条件13010x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则11y z x +=+的取值范围为( ) A ．1[2，3]2B ．1[2，2]3C ．(-∞，13][22U ，)+∞D ．(-∞，12][23U ，)+∞24．（2020•晋城一模）设函数1()(2)3x f x x lg x --=++，则不等式3(21)()2f x f --„的解集是( )A ．131(0,][,)482UB ．131(1,][,)482-UC ．13(,][,)44-∞+∞UD ．31(1,][,0)44---U25．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．(0)2a bab a b +>>… B ．222(0)a b ab a b +>>…C ．20)ab ab a b a b>>+„D ．22(0)22a b a b a b ++>>„ 26．（2020•金安区校级模拟）若实数x ，y 满足不等式组221x y y z y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则22(2)(3)x y ++-的最大值和最小值之和为( ) A ．192B ．352C ．14D ．1827．（2020•齐齐哈尔一模）若0x >，0y >．且122(2)40y x->．则( )A ．22x y <B ．lnx lny <C ．11y x<D ．22x y y x>28．（2020•河南模拟）设不等式组030x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩…„表示的平面区域为Ω，若从圆22:4C x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为( ) A ．524B ．724C ．1124D ．172429．（2020•乐山模拟）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x 名男生，y 名女生组成-个小组去参加数学文化知识竞赛，若x ，y 满足约束条件251127x y y x x -⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩……„，则该小组最多选拔学生( ) A ．21名B ．16名C ．13名D ．11名二．填空题（共11小题）30．（2020•麒麟区校级一模）已知0x >，0y >，且2x y xy +=，若222x y m m +>+恒成立，则xy 的最小值为 ，实数m 的取值范围为 ．31．（2020•临汾模拟）不等式210ax x ++>的解集为(,1)m ，则m a += ． 32．（2020•碑林区校级一模）已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等差数列，则14a b+的最小值为 ．33．（2020•鼓楼区校级模拟）已知x ，y 满足不等式组2202100x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y 所在区域的面积等于 ．34．（2020•重庆模拟）已知点(2,3)A ，(2,1)B -，若点(,)P x y 的坐标x ，y 满足1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则PA AB u u u r u u u rg 的最大值为 ．35．（2020•武侯区校级模拟）若实数a ，(0,1)b ∈且14ab =，则1211a b +--的最小值为 ． 36．（2020•淮南一模）已知函数()exf x lne x=-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 ． 37．（2020•佛山一模）若实数变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n += ．38．（2020•郑州一模）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab 的最小值为 ． 39．（2020•焦作一模）若正实数p ，q 满足21p q +=，求212p q++的最小值 ．40．（2020•汉中一模）已知函数()log (3)1(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为 ．答案解析一．选择题（共29小题）1．（2020•涪城区校级模拟）若702x yxx y k-+⎧⎪⎨⎪++⎩…„…且24z x y=+取得最小值为12-，则(k=)A．2B．9C．310D．0【解答】解：画出可行域，如图．将24z x y=+变形为124zy x=-+，画出直线124zy x=-+，平移至点A时，纵截距最大，z最大，由22412xx y=⎧⎨+=-⎩，解(2,4)A-，0x y k++=过点(2,4)-，2k∴=，故选：A．2．（2020•眉山模拟）已知实数x，y满足约束条件2202202x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y+的取值范围是()A．25[,22]B．4[,8]5C．2[,8]5D．[1，8]【解答】解：由题意作实数x，y满足约束条件2202202x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，平面区域如图，(2,2)A ，22x y +的几何意义是点(0,0)O 与阴影内的点的距离的平方，而222||228AP =+=，O 到220x y +-=的距离的平方为：24()514=+． 则22x y +的取值范围为：4[5，8]故选：B ．3．（2020•凯里市校级模拟）已知实数x ，y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,1)-D ．(0,1)【解答】解：由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 则由图可知，当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值， 就是目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1,3)B ， 则11a >>-， 故选：C ．4．（2020•邯郸模拟）设变量x ，y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩…„…则22(3)z x y =-+的最小值为( ) A ．2B ．45C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩…„…的可行域，可发现22(3)z x y =-+的最小值是(3,0)到220x y --=距离的平方． 取得最小值：216()541=+．故选：D ．5．（2020•邯郸模拟）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为( ) A ．32B ．53C ．74D ．95【解答】解：当2m n +=时，131135111 1212(1)(2)(1)(2)n m nm n m n m n m n++++=++=+=+++++++++g g，因为21225(1)(2)()24m nm n+++++=g„，当且仅当12m n+=+，即31,22m n==时取等号，则139125nm n++++…，即最小值为95．故选：D．6．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域内存在点(x，)y，使不等式0010x my++„成立，则实数m的取值范围为() A．(-∞，5]2-B．(-∞，1]2-C．[4，)+∞D．(-∞，4]-【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中(2,6)A，直线10x my++=过定点(1,0)D-，当0m=时，不等式10x+„表示直线10x+=及其左边的区域，不满足题意；当0m>时，直线10x my++=斜率1m-<，不等式10x my++„表示直线10x my++=下方的区域，不满足题意；当0m<时，直线10x my++=的斜率1m->，不等式10x my++„表示直线10x my++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点(x，)y，使不等式0010x my++„成立，只需直线10x my++=的斜率12ADKm-=„，解得12m-„．综上可得实数m的取值范围为(-∞，1]2-，故选：B．7．（2020•金安区校级模拟）若不等式组40300px qy px qy qx y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩„…„表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内（包括边界）时，64p q +的最大值和最小值之和为( )A ．52-B ．22-C ．38D ．26【解答】解：当点(1,2)-在Ω内时，有24023020p q p q q -+-⎧⎪--+⎨⎪--⎩„…„，即24023020p q p q q -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…， 画出不等式组表示的平面区域如图所示．其中点1(2A -，7)4，(8,2)B --，(7,2)C -，则64p q +在点B 处取得最小值56-，在点C 处取得最大值34， 故最大值与最小值之和为22-． 故选：B ．8．（2020•武汉模拟）已知x ，y 满足不等式组2202100x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y 所在区域的面积是( ) A ．1B ．2C ．54D ．45【解答】解：不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12， 所以两直线垂直， 故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，5||BD =，||5BC =所以阴影部分面积1155||||5224BCD S BD BC ∆===g ． 故选：C ．9．（2020•顺德区模拟）已知函数2()(3)1f x x =--，则平面图形D 内的点(,)m n 满足条件：()()0f m f n +<，且()()0f m f n ->，则D 的面积为( )A ．πB ．3C ．2πD ．1【解答】解：根据题意，函数2()(3)1f x x =--，若()()0f m f n +<，则有22(3)1(3)10m n --+--<，变形可得22(3)(3)2m n -+-<， 设(3,3)C ，则其对应的区域为圆22(3)(3)2x y -+-=的内部，若()()0f m f n ->，则有22(3)1(3)1()(6)0m n m n m n --+-+=-+->， 则有06m n m n ->⎧⎨+>⎩或06m n m n -<⎧⎨+<⎩，故区域D 为如图所示的阴影区域：其面积为21(2)2ππ⨯⨯=；故选：A ．10．（2020•临汾模拟）若0m n >>，1,(),2m n m n mna e eb e ec e=+=g ( )A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【解答】解：0m n >>Q ，∴m n +>，∴2m n+∴2m n a ec +>=，又1()2m n b e e a =+>=，b ac ∴>>．故选：A ．11．（2020•漳州模拟）设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>【解答】解：32222442411644,,e e a b c e e e e e =====，23499ed e e==，2.7e ≈Q ，27.39e ≈，320.09e ≈，234916e e e ∴>>>， 2222c d a b ∴>>>， c d a b ∴>>>．故选：B ．12．（2020•平顶山一模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(2,1)，则2a b +的最小值为( ) A ．10B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意可得，211a b+=， 则21222(2)()5549b aa b a b a b a b+=++=+++=…，当且仅当22b aa b=且211a b +=，即3a b ==时取等号，此时取得最小值9． 故选：B ．13．（2020•荆门模拟）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()2222224,|11(1)10x y x y x y x y x ⎧⎫⎧+⎪⎪⎪Ω=+-++⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎩⎭或„剠„，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[15,25]--B．[25,25]-C ．[25,15]-+D ．[4,15]-+【解答】解：由题意可知：2z x y =+与22(1)1x y +-=相切时，切点在上方时取得最大值，如图： 可得：15„，解得1515z -+剟， 2z x y =+的最大值为：15+．当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值， 同理25„，即z 的最小值为：25-，所以[25z ∈-，15]+． 故选：C ．14．（2020•绵阳模拟）若0b a <<，则下列结论不正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab a > C ．||||||a b a b +>+ D 33a b【解答】解：0b a <<Q ，∴11a b<，2ab a >，由函数y =在R 上单调递增，． 设2a =-，1b =-时，||||||a b a b +=+与C 矛盾． 因此只有C 错误． 故选：C ．15．（2020•南宁一模）已知函数21()log (1)||f x x =+()3f lgx >的解集为( )A ．1(10，10)B ．(-∞，1)(1010⋃，)+∞ C ．(1,10)D ．1(10，1)(1⋃，10)【解答】解：函数21()log (1)||f x x =+(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，且在(0,)+∞上是单调递减函数； 又f （1）2log 23=+=，所以不等式()3f lgx >可化为0||1lgx <<， 即11lgx -<<，且0lgx ≠， 解得11010x <<，且1x ≠； 所以所求不等式的解集为1(10，1)(1⋃，10)．故选：D ．16．（2020•金安区校级模拟）已知变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„，若222x y x k ++…恒成立，则实数k 的最大值为( ) A ．40B ．9C ．8D ．72【解答】解：变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„的可行域如图， 222x y x ++是点(,)x y 到(1,0)-的距离的平方减1，故最小值为点P 到(1,0)-的距离的平方加1，222z x y x =++的最小值为：27()122-=若222x y x k ++…恒成立，即72k …．k 的最大值为：72．故选：D ．17．（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为( ) A ．53B ．103C ．32D ．3【解答】解：x Q ，y 为正实数，∴433x yx y x ++ 43(1)131yy x x=++-+ 432(1)141331yy x x+=-=+…， 当且仅当23(1)4y x+=即3x y =时“=”成立， 故选：D ．18．（2017•淄博一模）设向量(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．9【解答】解：(1,1)AB a =-u u u r，(1,2)AC b =--u u u r ，A Q ，B ，C 三点共线，2(1)(1)0a b ∴----=，化为：21a b +=．又0a >，0b >，则121244(2)()4428b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++⨯…，当且仅当122b a ==时取等号． 故选：C ．19．（2017•齐齐哈尔一模）设102m <<，若212212k k m m+--…恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[2-，0)(0⋃，4]B ．[4-，0)(0⋃，2]C ．[4-，2]D ．[2-，4]【解答】解：由于102m <<，则得到2112(12)12(12)[]2228m m m m +--=g g g „ （当且仅当212m m =-，即14m =时，取等号） ∴121812(12)m m m m +=--… Q212212k k m m+--…恒成立， 2280k k ∴--„，24k ∴-剟．故选：D ．20．（2020•眉山模拟）已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y +的最小值是( ) AB ．45C ．25D ．1【解答】解：由题意作实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„的平面区域如图，(2,2)A ， 22x y +的几何意义是点(0,0)O 与阴影内的点的距离的平方， O 到220x y +-=的距离的平方为最小值：245=． 则22x y +的最小值为：45． 故选：B ．21．（2020•五华区校级模拟）若实数x，y满足10220220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则32z x y=+的最大值为()A．3-B．2-C．2D．6【解答】解：画出实数x，y满足10220220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„可行域，由图可知目标函数32z x y=+经过点(2,0)A时取得最大值6．故选：D．22．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域被直线1y ax=+分为面积相等的两部分，则a的值为()A．12B．1C．2D．94【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：因为直线1y ax=+过定点(0,1)C，所以要使表示的平面区域被直线1y ax=+分为面积相等的两部分，则直线1y ax=+必过(2,6)A，(4,2)B的中点(3,4)D，由431a=+得1a=，故选：B．23．（2020•石家庄一模）已知实数x，y满足约束条件13010xx yx y⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则11yzx+=+的取值范围为()A．1[2，3]2B．1[2，2]3C．(-∞，13][22U，)+∞D．(-∞，12][23U，)+∞【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界），11yzx+=+Q可看作点(,)x y和(1,1)P--之间的斜率，由可行域可知(1,0)B，(1,2)C，且PB PCK z K剟；则1322z剟，故选：A．24．（2020•晋城一模）设函数21()(2)34(2)xf x x lgx x--=++-+，则不等式3(21)()2f x f --„的解集是( )A．131(0,][,)482UB ．131(1,][,)482-UC ．13(,][,)44-∞+∞UD ．31(1,][,0)44---U【解答】解：由题意知，函数()f x 可由21()14x g x x lg x x-=-+-g 向左平移两个单位而得到， 而函数()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数， Q 函数()m x x =和函数12()(1)11x n x lglg x x+==---在(0,1)上递增，且()0m x >，()0n x >， ∴1()()1xy x lgm x n x x-==-+g 在(0,1)上递减， ()g x ∴在(0,1)上递减，()f x ∴的定义域为(3,1)--，关于2x =-对称，并且在(2,1)--上递减，∴不等式3(21)()2f x f --„等价于32113|212|22x x -<-<-⎧⎪⎨-+-+⎪⎩…，解得314x -<-„或104x -<„． 故选：D ．25．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．(0)2a bab a b +>>… B ．222(0)a b ab a b +>>…C ．20)ab ab a b a b>>+„D ．22(0)22a b a b a b ++>>„ 【解答】解：由图形可知：11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-， 在Rt OCF ∆中，由勾股定理可得： 22221()()()222a b a b CF a b +-=++ CF OF Q …，∴2211()()22a b a b ++…，(,0)a b >． 故选：D ．26．（2020•金安区校级模拟）若实数x ，y 满足不等式组221x y y z y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则22(2)(3)x y ++-的最大值和最小值之和为( ) A ．192B ．352C ．14D ．18【解答】解：画出不等式组221x y y z y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…表示的平面区域如图所示；其中点(1,1)A -，(1,1)B ，(0,2)C ，而22(2)(3)x y ++-的几何意义是平面区域内的点(,)x y 与点(2,3)-的距离的平方， 最小值为点(2,3)-到直线20x y -+=的距离的平方， 即229()22d ==； 最大值为点(2,3)-到点B 的距离的平方，即222(12)(13)13d '=++-=， 所以最大值与最小值之和为9351322+=． 故选：B ．27．（2020•齐齐哈尔一模）若0x >，0y >．且122(2)40y x->．则( )A ．22x y <B ．lnx lny <C ．11y x<D ．22x y y x>【解答】解：0x >Q ，0y >，且122(2)40y x->，则22x y >，0x y ∴>>，33x y ∴>，∴22x y y x>， 故选：D ．28．（2020•河南模拟）设不等式组030x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩…„表示的平面区域为Ω，若从圆22:4C x y +=的内部随机选取一点P，则P取自Ω的概率为()A．524B．724C．1124D．1724【解答】解：作出Ω中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0x y+=，30x y-=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P取自Ω的概率为3746224πππ-=．故选：B．29．（2020•乐山模拟）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成-个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件251127x yy xx-⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩……„，则该小组最多选拔学生()A．21名B．16名C．13名D．11名【解答】解：画出x，y满足约束条件251127x yy xx-⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩……„，表示的平面区域，如图所示；要求招入的人数最多，即z x y=+取得最大值，目标函数化为y x z=-+；在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值1-，截距最大时的直线为过725xx y=⎧⎨-=⎩得(7,9)A，此时目标函数取得最大值为：9716z=+=．故选：B．二．填空题（共11小题）30．（2020•麒麟区校级一模）已知0x >，0y >，且2x y xy +=，若222x y m m +>+恒成立，则xy 的最小值为 8 ，实数m 的取值范围为 ． 【解答】解：0x >Q ，0y >，2x y xy +=，∴211x y+=， 21211x y x y∴=+g …， 8xy ∴„，当且仅当4x =，2y =时取等号， 2228x y xy ∴+厖（当2x y =时，等号成立），228m m ∴+<，解得42m -<<故答案为：8；(4,2)-31．（2020•临汾模拟）不等式210ax x ++>的解集为(,1)m ，则m a += 52- ．【解答】解：根据题意，不等式210ax x ++>的解集为(,1)m ，则1x =是方程210ax x ++=的根，即110a ++=，解可得2a =-；则不等式为2210x x -++>，解可得：112x -<<，则有12m =-，则有52m a +=-；故答案为：52-．32．（2020•碑林区校级一模）已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等差数列，则14a b+的最小值为94．【解答】解：aQ，2，b依次成等差数列，4a b∴+=，且0a>，0b>，∴1411414149 ()()(14)(52)4444ba b aa ba b a b a b a b+=++=++++=g g…，当且仅当4b aa b=，即823b a==时取等号，∴14a b+的最小值为94．故答案为：94．33．（2020•鼓楼区校级模拟）已知x，y满足不等式组220210x yx yx+-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y所在区域的面积等于54．【解答】解：先画出约束条件约束条件所表示的区域所围成图形是一个三角形ABC，如图，可知(0,2)A，(1,0)B，1(0,)2C-，∴三角形的面积1151[2()]224=⨯⨯--=．故答案为：54．34．（2020•重庆模拟）已知点(2,3)A，(2,1)B-，若点(,)P x y的坐标x，y满足1325xy xx y-⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则PA ABu u u r u u u rg的最大值为8-．【解答】解：由x，y满足1325xy xx y-⎧⎪⎨⎪+⎩……„作出可行域如图，则(2PA AB x =-u u u r u u u rg ，3)(4y --g ，2)1442x y -=-++；平移直线有2y x =-当过点B 时截距最大，此时z 最大； 325y x x y =⎧⎨+=⎩⇒11x y =⎧⎨=⎩； (1,1)B ∴；∴PA AB u u u r u u u rg 的最大值为：1441218-+⨯+⨯=-，故答案为：8-．35．（2020•武侯区校级模拟）若实数a ，(0,1)b ∈且14ab =，则1211a b +--的最小值为 424 ． 【解答】解：因为14ab =，所以14b a=， 因此1212111114a b a a+=+----， 18141aa a =+--， 12(41)2141a a a -+=+--， 122141a a =++--， 122()24144a a=++--， 212()[(41)(44)]234144a a a a=+-+-+--，2442(41)[12]234144a a a a--=++++--，2(3243++=+…，当且仅当a =，取“=”，及1211a b+--的最小值为43+，故答案为：4 36．（2020•淮南一模）已知函数()ex f x lne x=-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 4 ． 【解答】解：由()exf x ln e x=-，可得2()()2f x f e x ln ln lne +-=+==， 因为220181009()()()()2019201920192e e e f f f a b ++⋯+=+， 所以20181009()222a b +⨯=， 即有4a b +=， 由基本不等式可得2()42a b ab +=„，当且仅当2a b ==时取等号，此时取得最大值4． 故答案为：4．37．（2020•佛山一模）若实数变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n += 0 ． 【解答】解：作出可行域，如图所示，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线的纵截距， 平移直线2y x =-，结合图象可知，当2z x y =+过(1,1)A --时z 取最小值3-，当2z x y =+过(2,1)B -时z 取最大值3 故0m n +=， 故答案为：0．38．（2020•郑州一模）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab 的最小值为 32． 【解答】解：0a >，0b >，24a b +=，由基本不等式可得，422ab …2ab ∴„，当且仅当2b a =即2b =，1a =时取等号则3ab 的最小值为32． 故答案为：32． 39．（2020•焦作一模）若正实数p ，q 满足21p q +=，求212p q ++的最小值 83． 【解答】解：212222222222228()(2)(22)2223223223223p q p q p q p q p q p q q p q P +++++=+=+=+++⨯=+++++…， 当且仅当2222p q q p +=+时，即22p q +=时，与21p q +=结合得11,24p q ==时，等号成立． 故答案为：83．40．（2020•汉中一模）已知函数()log (3)1(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为 43 ． 【解答】解：由()log (3)1a f x x =+-知，()f x 过定点(2,1)A --．因为点A 在直线40mx ny ++=上，所以24m n +=， 又0mn >，所以0m >，0n >， 所以12121()()1136m nm n m n ++=++++22(1)2436(1)333n m m n +=++++…， 当且仅当2(1)6(1)3n m m n +=+，即12m =，3n =时取等号， 所以121m n++的最小值为43．故答案为：43。
2019-2020年高考数学模拟试卷 理(含解析)
2019-2020年高考数学模拟试卷理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的两根之比为( )A．i B．﹣i C．±i D．1±i2．已知：a是实数，命题P：∃x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命题Q：﹣4＜a＜0；则命题P为假命题是命题Q成立的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为( )A．0 B．1 C．2 D．114．已知由长方体截去一个棱锥所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．16 B．C．D．5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数，且各个数字之和为12，则这样的四位数的个数是( )A．108 B．128 C．152 D．1747．已知A、B为抛物线x2=2py（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①=0；②存在实数λ使得（点O为坐标原点）；③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有=0；④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．其中说法正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．48．已知n∈N*，数列{a n}的首项a1=1，函数f（x）=x，若x=a n+1是f（x）的极小值点，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．C．D．9．由二项式定理知识可将（n∈N*）展开并化简．若，则在（a+5）2n+1（n∈N*）的小数表示中，小数点后面至少连续有零的个数是( )A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+210．定义域为的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A．（2）若0＜ω＜1，当f（x0）=﹣，求f（x0+1）的值．18．已知等比数列{a n}的前三项的和为，前三项的积为．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等差数列，设b n=（2n+1）a n，求数列{b n}的前n项的和T n．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．20．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．21．椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，且最大值的取值范围是，其中c=．（1）求椭圆C1的离心率e的取值范围；（2）设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0．（1）当a=﹣4时，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当n∈N*，求证：ln2．湖北省随州市随县一中xx高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的两根之比为( )A．i B．﹣i C．±i D．1±i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：在复数范围内，解方程x2﹣2x+2=0，进而根据复数的除法运算，可求出两根之比．解答：解：∵方程x2﹣2x+2=0的判别式△=﹣4，∴方程x2﹣2x+2=0有复数解x=1±i，两根之比为或，故选C点评：本题考查复数的基础知识，实系数一元二次方程的解法以及复数的运算．虽然教材中并没有涉及实系数一元二次方程的解法，但是利用复数的引入知识和在复数的概念的基础上应具备创新的能力，这也是新课程标准所要求的．2．已知：a是实数，命题P：∃x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命题Q：﹣4＜a＜0；则命题P为假命题是命题Q成立的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由于命题P：∃x∈R，使；是假命题，则¬P：∀x∈R，x2+2ax﹣4a≥0就是真命题，故△=4a2+16a≤0⇒﹣4≤a≤0，则命题P为假命题是命题Q成立必要不充分条件，故选B点评：此题考查特称命题的判断以及充要条件的概念．根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为( )A．0 B．1 C．2 D．11考点：循环结构．专题：图表型．分析：当x=2×x+1，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x=2×11+1=23，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，输出此时的x的值．解答：解：x=2×2+1=5，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；x=2×5+1=11，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体；x=2×11+1=23，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体，上述过程反过来看即可得．则输入的x值为：2故选：C．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．4．已知由长方体截去一个棱锥所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．16 B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个长方体截去一个三棱锥得到的组合体，求出长方体和三棱锥的体积，相减可得答案．解答：解：利用三视图的知识可知该几何体是由一个长方体截去一个三棱锥得到，如下图所示，故可得几何体的体积为，故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：反证法与放缩法．专题：解三角形．分析：依题意知，△A1B1C1为锐角三角形，利用诱导公式易得由于，，，假设△A2B2C2是锐角三角形，可推得A2+B2+C2=，导出矛盾，从而推翻假设，肯定结论成立．解答：解：因为三角形内角的正弦均为正值，故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正，所以△A1B1C1为锐角三角形．由于，，，若△A2B2C2是锐角三角形，则，与三角形内角和为π弧度矛盾，故△A2B2C2是钝角三角形，故选：C．点评：本题考查三角函数与三角形的概念以及用反证法推理的基本数学思想，属于中档题．6．已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数，且各个数字之和为12，则这样的四位数的个数是( )A．108 B．128 C．152 D．174考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分类计数问题，当数字中不含有0时，把12分成4个不同的数之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6，排列出结果，当数字含有0时，可以是0，1，2，9；0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7种情况满足条件，得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，当数字中不含有0时，把12分成4个不同的数之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+64个个位数和是12，也就是说，平均值是3∴可能是3﹣1，3﹣2，3+1，3+2这一种情况，就是1，2，4，5而如果出现3的话，剩下三个数和为9，那么可能是1、2、3、6由1，2，4，5，组成的四位数，可能有A44=24种，同样由1、2、3、6组成四位数，也有24种，∴不含有0的数字有24+24=48种结果，当数字含有0时，可以是0，1，2，90，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7种情况满足条件，而每一种可以组成数字3×3×2=18∴共有48+18×7=174故选D．点评：本题考查计数原理，对于比较复杂的问题，一般是既有分类又有分步，本题解题的关键是先分成含有0和不含有0两种情况．7．已知A、B为抛物线x2=2py（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①=0；②存在实数λ使得（点O为坐标原点）；③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有=0；④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．其中说法正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：设直线AB方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则由，①由抛物线定义可知：AF=AC，BF=BD，AC∥BD∥y轴，∠AFC=∠CFO，∠BFD=∠DFO，所以∠CFD=90°即；①正确②，∴AO∥DO即存在实数λ使得；②正确③因为，由于，若k≠0则k FT•k AB=﹣1，；若k=0显然；③正确④由于，抛物线在A点的切线斜率为，抛物线在B点切线斜率为因为，故一定相交，并且相互垂直．④正确故选D．点评：本题考查抛物线的概念和性质，注重平时复习对知识的理解和重要内容的记忆，特别是教材中例题研究的方法和结论，都会是xx高考命题的主要来源．8．已知n∈N*，数列{a n}的首项a1=1，函数f（x）=x，若x=a n+1是f（x）的极小值点，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法；利用导数研究函数的极值．专题：等差数列与等比数列．分析：f'（x）=x2﹣2（a n+n+3）x+2（2n+6）a n=（x﹣2a n），当2a n＜2n+6时，极小值点为a n+1=2n+6；当2a n＞2n+6时，极小值点为a n+1=2a n，比较2a n与2n+6的大小即可得出．解答：解：f'（x）=x2﹣2（a n+n+3）x+2（2n+6）a n=（x﹣2a n）当2a n＜2n+6时，极小值点为a n+1=2n+6当2a n＞2n+6时，极小值点为a n+1=2a n比较2a n与2n+6的大小：当n=1时2n+6=8＞2a1=2，∴；当n=2时2n+6=10＜2a2=16，∴；当n=3时2n+6=12＜2a3=32，∴；用数学归纳法可证明：当n≥2时，2a n＞2n+6．故，故选：D点评：本题考查函数极值点概念和求法、数列的概念、等差等比数列的判断，以及分类讨论的思想和代数推理的能力，属于中档题．9．由二项式定理知识可将（n∈N*）展开并化简．若，则在（a+5）2n+1（n∈N*）的小数表示中，小数点后面至少连续有零的个数是( )A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+2考点：二项式定理的应用；定积分．专题：综合题；二项式定理．分析：先求出a，利用与的小数部分完全相同，即可得出结论．解答：解：因为由题目给出的提示：由二项式定理，因此与的小数部分完全相同．∵，∴，即的小数表示中小数点后面至少接连有2n+1个零，因此，的小数表示中，小数点后至少连续有2n+1个零．故选C．点评：本题考查简单定积分的计算和二项式定理的应用以及化归的数学思想．10．定义域为的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A．13．若从区间（0，2）内随机取两个实数，则“这两个实数的平方和不小于4”概率为1﹣，类比前面问题的解法解：若从区间（0，2）内随机取三个实数，则“这三个实数的平方和不小于4”的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设这两个实数为x，y，由题意列出不等式组，以及这两个实数的平方和不小于4的不等式组，分别求出区域面积，利用几何概型的概率公式解答．解答：解：设这两个实数为x，y，则x，y满足，基本事件构成平面区域的面积为4，事件“这两个实数的平方和不小于4”满足，其构成平面区域的面积为正方形面积减去半径为2的圆面积的四分之一，即4﹣π，故所求概率为类比到空间：设这三个实数为x，y，z，则，基本事件构成空间区域的体积为棱长为2的正方体其体积为8；事件“这三个实数的平方和不小于4”满足其构成空间区域的体积为正方体体积减去半径为2的球的体积的八分之一，即．故所求概率为．点评：这是一个几何概型问题．考查学生建立数学模型的能力，并能利用合情推理之类比推理的方法解决新的问题，培养和提高创新能力．14．已知f（x）=e x+cosx，g（x）=x，若存在x1，x2∈．…（2）因为0＜ω＜1，所以，即∵，即…由，可得，所以…f（x0+1）=2sin=2sin=…点评：本题主要考察三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系、两角和的正余弦公式、两倍角公式等基础知识，考查运算能力，数形结合、整体转化等数学思想，三角函数以向量为载体的形式给出，在三角函数图象中巧妙嵌入直角三角形，活而不难、平中见奇．18．已知等比数列{a n}的前三项的和为，前三项的积为．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等差数列，设b n=（2n+1）a n，求数列{b n}的前n项的和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的性质即可求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{b n}的前n项的和T n．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则前三项为；依题意，前三项的积为，可得，由于，解得q=﹣2或，所以等比数列的通项公式为：或．（Ⅱ）若，则不成等差数列，不合条件，舍去．若，则成等差数列，满足条件，故，，T n=3×（）1+5×（）2+7×（）3+…+（2n+1）×（）n，将上两式相减得：==所以．点评：本题主要考查两个基本数列：等差数列和等比数列的概念及其通项公式，并考查了数列求和中的错位相减法，是最简单也是最常用的数学知识和数学方法．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．专题：计算题；证明题．分析：（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．解答：证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则，即．令，则n=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．20．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；计数原理的应用．专题：概率与统计．分析：（1）若8种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有8种．由此能求出小王共有多少种选择方式．（2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差．解答：（本题满分12分）解：（1）若8种口味均不一样，有=56种，若其中两瓶口味一样，有=56种，若三瓶口味一样，有8种．所以小王共有56+56+8=120种选择方式．…（2）ξ的取值为0，1，2，3．由于各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为，…故随机变量ξ服从二项分布，即，，，，，∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…其数学期望，方差．…点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，要认真审题，要将题目中的关系读懂，是中档题．21．椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，且最大值的取值范围是，其中c=．（1）求椭圆C1的离心率e的取值范围；（2）设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用数量积运算、椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）当时，，可得，A（2c，0）．设B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），代入双曲线方程，当AB⊥x 轴时，x0=2c，y0=3c，可得．故，猜想λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A总成立，当x0≠2c时，利用斜率计算公式可得，即可．解答：解：（1）设P（x，y），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∴，又得，∴，∴当x2=a2时，取得最大值b2，∴c2≤b2≤3c2，c2≤a2﹣c2≤3c2∴，即，∴．（2）当时，，∴，A（2c，0）．设B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，当AB⊥x轴时，x0=2c，y0=3c，则，∴．故，猜想λ=2，使∠BA F1=λ∠BF1A总成立，当x0≠2c时，∴，又∴tan2∠BF1A===tan∠BAF1，又2∠BF1A与∠BAF1同在内，∴2∠BF1A=∠BAF1，故存在λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立．点评：本题考查圆锥曲线的基本知识，重点落脚在椭圆的性质和运用上，了解双曲线基本知识，然后利用研究圆锥曲线的思想和方法，通过类比的方式解决问题，将常用的创新思想：归纳、猜想、证明用于解题之中．学数学不仅仅是要会解数学题，更重要的是学会用数学的眼光看世界，用数学的方法解决问题，属于难题．22．已知函数f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0．（1）当a=﹣4时，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当n∈N*，求证：ln2．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）代入a=﹣4化简F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定义域为；求导并令，从而判断导数的正负以确定单调性，再求最大值；（2）由1+ax2＞0知ax2＞﹣1（a≠0），再求导，讨论a以确定函数的定义域及导数的正负，从而确定函数的单调性；（3）设不等式左边为S n，化简S n==；构造函数，从而化，其中；利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间上与x轴围成的面积的过剩近似值；从而证明．解答：解：（1）当a=﹣4时，F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定义域为；由，可得，∵，∴；故当，F（x）单调递增，当，F（x）单调递减；故F（x）的最大值为．（2）因为1+ax2＞0，可知ax2＞﹣1（a≠0），又；当a＞0，f（x）定义域为R，若x＞0则f′（x）＞0，若x＜0则f′（x）＜0；故f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）．当a＜0，f（x）定义域为，若x＞0则f′（x）＜0，若x＜0则f′（x）＞0；故f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（3）证明：设不等式左边为S n，则S n===；构造函数，由（2）可知当a=1时，f（x）=ln（1+x2），f′（x）=g（x）；，其中；利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间上与x轴围成的面积的过剩近似值；故有；故当n∈N*，成立．点评：本题考查利用函数的导数解决函数的最值和单调性问题，并通过构造函数利用微积分的思想证明不等式问题，需要较强的综合运用知识和开拓创新能力．考查了函数的思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等常用的数学思想．。
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)(含答案解析)
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2+i)z=3+4i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ）A ．2−iB ．2+iC ．1−2iD ．1+2i 2．已知集合M ={−1，0，1}，N ={y |y =1+sin2x π，x ∈M }，则集合M ∩N 的真子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 6 8 10 12 y2356根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x +a ，据此可以预测当x =15时，y =（ ） A ．7.8 B ．8.2 C ．9.6 D ．8.5 4．若向量a ，b 满足|a |=3，|b |=2，a ⊥(a −b )，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2π B ．23π C ．6πD ．56π5．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．{x ∈R |0 x 2log 3}B ．{x ∈R |−2 x 2}C ．{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}D ．{x ∈R |−2 x 2log 3或x =2}6．设变量x ，y 满足10222270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤，z =2a x y +(0<a)的最大值为5，则a =（ ）A ．1B ．12C．2 D7．已知双曲线2x −2y =1的左、右两个焦点分别是1F 、2F ，O 为坐标原点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线lt -+=0与圆O 有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[−2，2] B ．[0，2] C ．[−4，4] D ．[0，4]8．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，首项1a =d ，数列{2n a }的前n 项和为n S ，等比数列{n b }是公比q 小于1的正项有理数列，首项1b =2d ，其前n 项和为n T ，若33S T 是正整数，则q 的可能取值为（ ）A ．17B ．37C ．12D ．349．若函数y=cos(2x +φ)(0<φ<2π)的图象的对称中心在区间(6π，3π)内只有一个，则φ的值可以是（ ） A ．12π B ．6π C ．3πD ．56π 10．已知三棱锥P −ABC 的顶点都在同一个球面上(球O )，且P A =2，PB =PC，当三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是（ ） A ．316π B ．38π C ．116πD ．18π11．已知抛物线2y =8x 的准线与双曲线22221x y a b-=相交于A ，B 两点， 若直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2 CD12．已知函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1e +1，e −1]B ．[1e+1，e −1)C．{1}∪(1e+1，e−1] D．{1}∪[1e+1，e−1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若261()(2)x a xx+-展开式中的常数项为60，则实数a的值为．14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(B+C)+3sin(A+C)cos C=0，则tan A的最大值为．16．已知函数()f x=212ln xx-，若对任意的1x，2x∈(0，1e]，且1x≠2x，122212()()||f x f xx x-->2212kx x⋅恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，且满足3nS=2na+1．(1)求数列{na}的通项公式；(2)设数列{nb}满足nb=(n+1)na，求数列{nb}的前n项和nT．18．(本小题满分12分)某运动会为每场排球比赛提供6名球童，其中男孩4名，女孩2名，赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球，假设每名球童被选中是等可能的．(1)在一场排球比赛中，在已知预备球童是男孩的前提下，求2名正选球童也都是男孩的概率；(2)(i)求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率；(ii)某比赛场馆一天有3场排球比赛，若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择，记球童选取情况恰为(i)中结果的场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)已知四棱锥A−BCPM及其三视图如图所示，其中PC⊥BC，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形．(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角M−AC−B的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为1F，2F，过点A (−4，0)的直线l与椭圆C相切于点B，与y轴交于点D(0，2)，又椭圆的离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)圆Q与直线l相切于点B，且经过点2F，求圆Q的方程，并判断圆Q与圆2x+2y=2a的位置关系．21．(本小题满分12分)已知函数()f x=ax+ln x−2，a∈R．(1)若曲线y=()f x在点P(2，m)处的切线平行于直线y=−32x+1，求函数()f x的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数()f x在(0，2e]上有最小值2?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−6π)=12．(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆ρ=2相交于A ，B 两点，求点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲设函数()f x =1+|2x −3|，()g x =|9x +3|．(1)求不等式()f x13()g x 的解集； (2)若不等式()f x 2t x +12+|x −32|的解集非空，求实数t 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)答案1．A 【解析】由(2+i)z=3+4i ，得z=34i (34i)(2i)105i2i (2i)(2i)5++-+==++-=2+i ，则z 的共轭复数为2−i ，选A ．2．B 【解析】因为N ={0，1，2}，所以M ∩N ={0，1}，其真子集的个数是3，故选B ． 3．B 【解析】根据题中表格可知x =6810124+++=9，y =23564+++=4，所以a =y −0.7x =4−0.7×9=−2.3，所以ˆy=0．7x −2.3， 当x =15时，y =0.7×15−2.3=8.2．4．C 【解析】通解 因为a ⊥(a −b )，所以a ·(a −b )=0，即a ·a −a ·b =|a |2−|a |·|b |cos<a ，b >=0，所以cos<a ，b >=2||||||⋅a a b =32，又<a ，b >∈[0，π]，故a 与b 的夹角为6π，选C ．优解 因为a ⊥(a −b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a −b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C ．5．C 【解析】根据题意，得当x ∈(−2，2)时，()f x =2x ，由1 2x 3，得0 x 2log 3；当x ∉(−2，2)时，()f x =x +1，由1 x +1 3，得0 x 2，即x =2．故输入的实数x 的取值范围是{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}．故选C ．6．A 【解析】如图，画出可行域，∵z =2a x +y ，∴y =−2a x z +，求z 的最大值，即求直线y=−2a x z+在y 轴上的最大截距，显然当直线y=−28a x +过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由10270x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A (2，3)，则22a +3=5，可得a =1．故选A ．7．C 【解析】双曲线2x −2y =1的两个焦点分别是1F (2，0)，2F 2，0)，从而圆O 的方程为2x +2y =253x t +=0与圆O 有公共点，，即|t| 4，从而实数t的取值范围是[−4，4]，故选C．8．C【解析】由题意知，33ST=2222222249141d d dd d q d q q q++=++++为正整数，设为t，则1+q+2q=14t，即2q+q+1−14t=0，因为q有解，故1−4(1−14t) 0，t563．故q因而t整除56，即t的可能取值为1、2、4、7、8、14，经检验当t=8时符合题意，此时q12=，故选C．9．A【解析】令2x+φ=2π+kπ(k∈Z)，则x=4π+2kπ−2ϕ，所以6π<4π+2kπ−2ϕ<3π，即ϕπ−16<k<ϕπ+16．又由0<φ<2π，得−16<ϕπ−16<13，16<ϕπ+16<23，所以k=0，此时φ∈(−6π，6π)，选A．10．A【解析】三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和为12×sin∠APB+12×sin∠APC+12sin∠BPC，由于∠APB，∠APC，∠BPC相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和最大，此时P A，PB，PC两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥P−ABC与该长方体有共同的外接球，故球O的半径r==2，所以三棱锥P−ABC的体积与球O的体积的比值是311233241623ππ⨯⨯=⨯．11．A【解析】通解因为直线AF(点F为抛物线的焦点)与直线y=x垂直，所以直线AF的斜率为AFk=−1，又抛物线2y=8x的焦点为F(2，0)，则直线AF的方程为y=−x+2，与抛物线的准线：x=−2联立，得点A(−2，4)，又点A在双曲线上，所以24a−1616=1，解得2a=2，故2e=22ca=9，双曲线的离心率e=3．故选A．优解 因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，所以直线AF 的斜率为AF k =−1，又A ，B 两点是抛物线2y =8x 的准线与双曲线222116x y a -=的交点，根据双曲线的对称性，可知△ABF 是等腰直角三角形，故由点A 的横坐标为−2，AF k =−1，知点A 的纵坐标为4，即A (−2，4)，代入双曲线方程可得24a −1616=1，解得2a =2， 2e =22c a =9，故双曲线的离心率e =3．故选A ．12．C 【解析】因为函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，即点(x ，y )与(x ，−y )分别在两个函数的图象上，且唯一．又1ex e ，所以()ln ()y f x x y g x x a==⎧⎨=-=-⎩，即方程ln x =x −a 在[1e ，e ]上有唯一解，所以函数()f x =ln x 的图象和直线y=x −a 在区间[1e ，e ]上有唯一的公共点，作出大致图象如图所示．当两函数图象相切时， 设切点为(0x ，0y )，1()(ln )f x x x''==，所以001()f x x '=，所以0x =1，切点为(1，0)，代入直线方程得a =1．当直线y =x −a 过点A (1e ，−1)时，a =1e+1；当直线y =x −a 过点B (e ，1)时，a =e −1．结合图象可知，若恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则a =1或1e+1<a e −1．13．1【解析】261(2)x x -展开式的通项为1r T +=6C r 26(2)r x -−1()r x-=(−1)r ×62r -6C r 123rx -，当12−3r =0时，r =4，而12−3r =−1时，r =133不符合题意，所以常数项为(−1)4×2246C a =60，解得a =1．14．4【解析】由三视图得该几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥，所以该几何体的体积为13×242+×2×2=4．15．34【解析】因为sin (B +C )+3sin (A +C )cos C =0，所以sin(B +C )=−3sin B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =−3sin B cos C ，sin C cos B =−4sin B cos C ．易知C ≠90°， 所以tan C =−4tan B ，所以tan(A +B )=4tan B ， 所以tan A =tan[(A +B )−B ]=2tan()tan 3tan 1tan()tan 14tan A B B BA B B B+-==-+⋅+114tan 3tan 3B B +34=(B 是锐角，tan B >0)，当且仅当1tan B=4tan B ， 即tan B =12时取等号，所以tan A 的最大值为34． 16．(−∞，4]【解析】由对任意的1x ，2x ∈(0，1e]，且1x ≠2x ，122212()()||f x f x x x -->2212kx x ⋅， 得122212()()||11f x f x x x --min >k ，令g (21x )=()f x ，x ∈(0，1e ]，则()g x =x +x ln x ，x ∈[2e ，+∞)，()g x '=2+ln x ≥4，又122212()()||11f x f x x x --=2212221211()()||11g g x x x x --表示曲线y=()g x在[2e ，+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值， 则122212()()||11f x f x x x -->4，则k ≤4，即实数k 的取值范围是(−∞，4]．17．【解析】(1)当n =1时，31S =21a +1⇒1a =1，当n ≥2时，由11321321n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩，得3(n S −1n S -)=2n a −21n a -⇒n a =−21n a -，从而n a =(−2)1n -．（4分）(2)由n b =(n +1) n a 得n b =(n +1)×(−2)1n -，则n T =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+…+(n +1)×(−2)1n -， ① −2n T =2×(−2)1+3×(−2)2+4×(−2)3+…+(n +1)×(−2)n ， ② 由①−②得，3n T =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+…+(−2)1n -−(n +1)×(−2)n=1+1(2)1(2)n ----−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ，从而n T =49−349n +×(−2)n ． （12分）18．【解析】(1)从6名球童中选取3名球童，已知预备球童为男孩，2名正选球童从其余5人中选取，共有25C =10种不同的选法，因为2名正选球童都是男孩，则需要从剩余3名男球童中选取，有23C =3种选法，由古典概型的概率计算公式，得2名正选球童也都是男孩的概率P =310． （5分）(2)(i)从6名球童中选取3名球童，共有36C =20种不同的选法，记事件A 为“选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩”，则事件A 包含的选法有2142C C =12种，由古典概型的概率计算公式，得P (A )=123205=． （7分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ~B (3，0.6)，P (ξ=0)=03C (0.6)0×(0.4)3=0.064，P (ξ=1)=13C (0.6)1×(0.4)2=0.288， P (ξ=2)=23C (0.6)2×(0.4)1=0.432，P (ξ=3)=33C (0.6)3×(0.4)0=0.216．（10分） 因而ξ的分布列为P0.064 0.288 0.432 0.216Eξ=3×0.6=1.8．（12分） 【备注】在解决概率与统计问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的情况，从而选择正确的概率计算公式，同时注意上述几种事件的综合问题，要全面考虑．19．【解析】(1)由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，又平面PCBM ∩平面ABC =BC ，且PC ⊥BC ，（2分）∴PC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．（4分）(2)解法一 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ，易知AC ⊥MH ，∴∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角．（6分）由三视图可知PC =MN =1，PM =CN =1，CB =2，AC =1，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则A 到直线BC 的距离为AE 3（7分） 在Rt △AEC 中，AC =1，AE 3sin ∠ACE 3 ∴∠ACE =60°，∴∠ACB =120°，（8分） 在Rt △NHC 中，∵∠NCH =∠ACE =60°，∴NH =CN ·sin ∠NCH =1×sin 60°=32．（10分） 在Rt △MNH 中，∵MH 22MN NH +7cos ∠MHN =NH MH =217．故二面角M −AC −B的余弦值为217．（12分）解法二 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．（5分）由三视图知PC =MN =1，CB =2，AC =1，过A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则点A 到直线BC 的距离为AE =32．（6分） 在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立如图所示的空间直角坐标系．在Rt △AEC 中，AC =1，AE =32，∴CE =12， ∴C (0，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，1)，B (0，2，0)，A 3−12，0)， ∴CA u u u r 3−12，0)，AM u u u u r =(3，32，1)．（8分） 设平面MAC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，得33023102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令z =1，则x =3y =−1， ∴n =(−33，−1，1)是平面MAC 的一个法向量．（10分） 又平面ABC 的一个法向量为CP u u u r =(0，0，1)，∴cos<n ，CP u u u r >=||||CP CP ⋅=u u u r u u u r n n 21． 由图可知二面角M −AC −B 为锐二面角，∴二面角M −AC −B 的余弦值为217．（12分）20．【解析】(1)由题意知，直线l的方程为x−2y+4=0，由22221240 x yabx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得(2a+42b)2y−162b y+162b−2a2b=0，（2分）又椭圆的离心率e=ca=12，所以2e=2222214c a ba a-==，因而42b=32a，则42a2y−122a y+234a(16−2a)=0，（3分）由直线l与椭圆相切，得Δ=22(12)a−124a(16−2a)=0，则2a=4，2b=3，所以椭圆C的方程为22143x y+=．（5分）(2)由(1)得B(−1，32)，2F(1，0)，由题意知圆心Q在过点B与l垂直的直线上，该直线方程为y−32=−2(x+1)，即4x+2y+1=0．（6分）设圆心Q(x，y)，因而4x+2y+1=0，连接QB，2QF，则|QB|=|2QF|，（7分）从而2(1)x++23()2y-=2(1)x-+2y，解得x=−38，y=14，则Q(−38，14)，圆Q的半径R=|QB223135(1)()8428-++-=，（9分）所以圆Q的方程为(x+38)2+(y−14)2=12564．（10分）而2x +2y =4的圆心为O (0，0)，半径r =2，两圆的圆心距|OQ ，（10分）由于144>125，因而16−5因而|OQ <2，即两圆内含． （12分）【备注】分析近几年的高考题可知，解析几何的考查基本稳定在椭圆与圆、抛物线与圆、椭圆与抛物线的结合上，已知条件以向量的形式呈现也很普遍，而众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论更是备受青睐，因而在复习备考阶段，应加以强化，这些结论不但要知其然，更要知其所以然，突破传统思维定势的影响，寻求解题的突破口，提高复习的全面性与灵活性．21．【解析】(1)∵()f x =a x+ln x −2(x >0)， ∴()f x '=2a x -+1x(x >0)，（1分） 又曲线y =()f x 在点P (2，m )处的切线平行于直线y =−32x +1， ∴(2)f '=−14a +12=−32⇒a =8． ∴()f x '=28x -+1x =28x x -(x >0)，（3分） 令()f x '>0，得x >8，()f x 在(8，+∞)上单调递增；令()f x '<0，得0<x <8，()f x 在(0，8)上单调递减．∴()f x 的单调递增区间为(8，+∞)，单调递减区间为(0，8)．（5分）(2)由(1)知()f x '=2a x -+1x =2x a x- (x >0)． (i)当a 0时，()f x '>0恒成立，即()f x 在(0，2e ]上单调递增，无最小值，不满足题意．（6分）(ii)当a >0时，令()f x '=0，得x =a ，所以当()f x '>0时，x >a ，当()f x '<0时，0<x <a ，（7分）此时函数()f x 在(a ，+∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =2()f e =2a e +ln 2e −2=2a e ， 由2a e=2，得a =22e ，满足a >2e ，符合题意；（8分） 若a 2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =()f a =a a +ln a −2=ln a −1， 由ln a −1=2，得a =3e ，不满足a 2e ，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a =22e ，使函数()f x 在(0，2e ]上有最小值2．（12分）22．【解析】(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得y −1=3(x −1)， 显然，直线l 过定点(1，1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（5分）(2)圆ρ=2的直角坐标方程为22x y +=4，把12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x y +=4， 得)2+(1+12t )2=4，2t+1)t −2=0， 因为+1)2+8>0，故设其两根分别为1t ，2t ，显然12t t =−2，故点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积为2．（10分）【备注】极坐标方程与直角坐标方程互化及参数方程与普通方程互化是本知识板块的基础，当然也是近年高考命题的重点与热点．直线参数方程中参数的几何意义的应用也是重要的考点，值得考生关注．23．【解析】(1)由()f x 13()g x，可得|3x+1|−|2x−3| 1，则当x32时，3x+1−2x+3 1，即x −3，∴不符合题意；当−13x<32时，3x+1+2x−3 1，∴−13x35；当x<−13时，−3x−1+2x−3 1，∴−5 x<−13．综上，不等式()f x13()g x的解集为{x|−5 x35}．（5分）(2)根据题意，由不等式()f x−2tx12+|x−32|，化简得()f x−tx 0，即()f x tx．由()f x=1+|2x−3|=322,2342,2x xx x⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩≥，作出y=()f x与y=tx的大致图象如图所示．由单调性可知()f x的最小值点为A(32，1)，∵当过原点的直线y=tx经过点A时，t=23，当直线y=tx与AC平行时，t=−2．∴当−2 t<23时，y=()f x与y=tx的图象无交点，且y=tx的图象都在y=()f x的图象的下方，∴当不等式()f x−tx 0的解集非空时，t的取值范围是(−∞，−2)∪[23，+∞)．（12分）。
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 不等式选讲 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数) 不等式选讲 大题1.已知f(x)=|2x-1|＋|ax-5|(0<a<5)．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a 的值．2.设函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)≤f(x ＋1)-|x-a|的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．3.已知函数f(x)=|2x-1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x ＋1|的值域为M ，若t∈M，证明：t 2＋1≥3t＋3t.4.设函数f(x)=|x-a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a≠0，a∈R)． (1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．5.已知函数f(x)=|x-m|，m<0.(1)当m=-1时，求解不等式f(x)＋f(-x)≥2-x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．6.设函数f(x)=|2x＋1|＋|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．7.设f(x)=|x|＋2|x-a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．8.已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：4α＋1β≥3.9.已知函数f(x)=|2x＋1|，g(x)=|x|＋a．(1)当a=0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．10.已知函数f(x)=|x＋1|．(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0-2)-f(x0-3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a-1)(b-1)(c-1)=t，求证：abc≥8．答案解析1.解：(1)当a=1时，f(x)=|2x-1|＋|x-5|=⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x<12，x ＋4，12≤x<5，3x －6，x≥5，∴f(x)≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x<12，6－3x≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x<5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x≥5，3x －6≥9.解得x≤-1或x≥5，即所求不等式的解集为(-∞，-1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴5a>1，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－＋＋6，x<12，－＋4，12≤x≤5a ，＋－6，x>5a.∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得， ∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a≤2，min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a≤5，min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a=2.2.解：(1)因为f(x)≤3-f(x-1)，所以|x-1|≤3-|x-2|， 即|x-1|＋|x-2|≤3， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x<1，3－2x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －3≤3， 解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3， 故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ， 所以当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f(x)≤f(x＋1)-|x-a|恒成立， 而f(x)≤f(x＋1)-|x-a|⇔|x-1|-|x|＋|x-a|≤0⇔|x-a|≤|x|-|x-1|，因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x-a|≤1，即x-1≤a≤x＋1， 由题意，知x-1≤a≤x＋1对于x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a≤2， 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 3.解：(1)依题意，得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x≤－1，2－x ，－1<x<12，3x ，x≥12，于是f(x)≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x≤3，解得-1≤x≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}．(2)证明：g(x)=f(x)＋|x ＋1|=|2x-1|＋|2x ＋2|≥|2x -1-2x-2|=3， 当且仅当(2x-1)(2x ＋2)≤0时取等号，∴M=[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2-3t ＋1-3t≥0，t 2-3t ＋1-3t =t 3－3t 2＋t －3t =－2＋t.∵t∈M，∴t-3≥0，t 2＋1>0，∴－2＋t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t.4.解：(1)当a=1时，f(x)=|x-1|＋|x ＋2|，故f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>1，3，－2≤x≤1，－2x －1，x<－2.①当x>1时，由2x ＋1≤5，得x≤2，故1<x≤2；②当-2≤x≤1时，由3≤5，得x∈R ，故-2≤x≤1； ③当x<-2时，由-2x-1≤5，得x≥-3，故-3≤x<-2. 综上，不等式的解集为[-3,2]．(2)f(x)=|x-a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪－－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g(a)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a =|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a =22，当且仅当|a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a=±2时等号成立， 所以g(a)min =2 2. 5.解：(1)设F(x)=f(x)＋f(-x)=|x-1|＋|x ＋1|=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x<－1，2，－1≤x<1，＝2－x ，2x ，x≥1，由F(x)≥G(x)解得{x|x≤-2或x≥0}． (2)f(x)＋f(2x)=|x-m|＋|2x-m|，m<0. 设g(x)=f(x)＋f(2x)，当x≤m 时，g(x)=m-x ＋m-2x=2m-3x ，则g(x)≥-m ；当m<x<m 2时，g(x)=x-m ＋m-2x=-x ，则-m2<g(x)<-m ；当x ≥m 2时，g(x)=x-m ＋2x-m=3x-2m ，则g(x)≥-m 2.则g(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞， 不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>-m2，解得m>-2，由于m<0，则m 的取值范围是(-2,0)． 6.解：(1)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x≥1.y=f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2， 且各部分所在直线斜率的最大值为3， 故当且仅当a≥3且b≥2时， f(x)≤ax＋b 在[0，＋∞)成立， 因此a ＋b 的最小值为5. 7.解：(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x-1|=⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x<0，2－x ，0≤x≤1，3x －2，x>1.当x<0时，由2-3x≤4，得-23≤x<0；当0≤x≤1时，由2-x≤4，得0≤x≤1； 当x>1时，由3x-2≤4，得1<x≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f(x)=|x|＋2|x-a|=⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x<0，2a －x ，0≤x≤a，3x －2a ，x>a.可见，f(x)在(-∞，a]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x=a 时，f(x)取得最小值a. 若f(x)≥4恒成立，则应a≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)． 8.解：(1)因为|x-m|＋|x|≥|(x -m)-x|=|m|.所以要使不等式|x-m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得-2<m<2.因为m∈N *，所以m=1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)=2α-1＋2β-1=4，即α＋β=3，所以4α＋1β=13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ=3. 当且仅当4βα=αβ，即α=2，β=1时等号成立，故4α＋1β≥3. 9.解：(1)当a=0时，由f(x)≥g(x)得|2x ＋1|≥|x|，两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x≤-1或x≥-13，∴原不等式的解集为(-∞，-1]∪-13，＋∞．(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|-|x|， 令h(x)=|2x ＋1|-|x|，则h(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x≤－12，3x ＋1，－12<x<0，x ＋1.x≥0，故h(x)min =(h- 12)=-12，所以实数a 的取值范围为a≥- 12．10.解：(1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|=⎩⎪⎨⎪⎧－1，x≤1，2x －3，1＜x ＜2，1，x≥2，则-1≤f(x)≤1，由于∃x 0∈R ，使不等式|x 0-1|-|x 0-2|≥u 成立，所以u≤1，即M={u|u≤1}．(2)证明：由(1)知t=1，则(a-1)(b-1)(c-1)=1， 因为a>1，b>1，c>1，所以a-1>0，b-1>0，c-1>0，则a=(a-1)＋1≥2a －1>0(当且仅当a=2时等号成立)， b=(b-1)＋1≥2b －1>0(当且仅当b=2时等号成立)， c=(c-1)＋1≥2c －1>0(当且仅当c=2时等号成立)，则abc≥8(a －1)(b －1)(c －1)=8(当且仅当a=b=c=2时等号成立)．。
2020年全国1卷省份高考模拟理科数学分类---线性规划与不等式
2020年高考全国1卷省份高考模拟理科数学分类----线性规划与不等式1.（2020深圳模拟）已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ）A. 724a -<<B. 7a =或24a =C. 7a <或24a >D. 247a -<<【答案】A【分析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧， ∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<.故选：A.【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题.2.（2020福建模拟）设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是( )A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．【详解】解：作出x ，y 满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中(2A ，1 )，(1,1)B ，O 为坐标原点设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值 (z F ∴=最大值 2，1)2215=⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.（2020山西运城模拟）设,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_.【答案】1-【解析】【分析】根据,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，画出可行域，将目标函数2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-，找到直线2y x z =-+在y 轴上截距最小时的点，此时，目标函数 2z x y =+取得最小值.【详解】由,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-，找到直线2y x z =-+在y 轴上截距最小时的点()1,3A -此时，目标函数 2z x y =+取得最小值，最小值为1-故答案为：-1【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.4（2020湖南长郡中学模拟）.设222:(,,0)p x y r x y r +≤∈>R ；1:40(,)0x q x y x y x y ≥⎧⎪+-≤∈⎨⎪-≤⎩R ，若p 是q的必要不充分条件，则r 的取值范围为________.【答案】)+∞【分析】设p 表示的是集合A ,q 表示的是集合B ,则依据题意有B A ,再在坐标中作出对应图象,结合图象即可得出结论.【详解】设p 表示的是集合A ,q 表示的是集合B ,若p 是q 的必要不充分条件,则B A ,在坐标轴中作出满足q 的可行域,如下图阴影部分所示:由1(1,3)40x A x y =⎧⇒⎨+-=⎩,则结合上图可知,点A 应在圆222(0)x y r r +=>内部或者圆上,即210r ≥,解得10r ≥,故答案为:[10,)+∞.【点睛】本题综合考查了充分必要条件的基本应用,结合了圆,可行域等相关知识,考查了学生数形结合方法的运用,属于中档题.5.（2020河南南阳市模拟）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+最大值为n ，则2n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( ) A. 60B. 80C. 90D. 120【答案】B【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数， 32z x y =-+，即322z y x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 的取2r 得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生计算能力和综合应用能力.6.（2020河北省理科模拟）若x ，y 满足约束条件{4x −5y +20≥04x +5y +20≥0x ≤0，则z ＝2x +3y ﹣1的最大值为（ ）A ．﹣13B ．13C ．﹣11D ．11由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．由x ，y 满足约束条件{4x −5y +20≥04x +5y +20≥0x ≤0，作出可行域如图，A （﹣5，0）．B （0，4），由图可知，当z ＝2x +3y ﹣1过B 时，z 有最大值为11．故选：D ．本题考查线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 7.（2020华南师大附中理科模拟）已知实数x ，y 满足，则z ＝x ﹣y 的最小值是 ﹣4 ． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x ，y 满足作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣y 为y ＝x ﹣z ，由图可知，当直线y ＝x ﹣z 过点A （0，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣4． 故答案为：﹣4．的【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．。
2020年高考数学分类之不等式选讲详解
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）
,
7 6
.
【详解】
x 3, x 1
（1）因为
f
x 5x 1,
1 3
x 1 ，作出图象，如图所示：
x 3, x 1 3
（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 f x 1 的图象，如图所示：
四.基本不等式 9．（2020 海南卷 12 山东卷 11)已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1，则（ ）
A． a2 b2 1 2
B． 2a b 1
2
C． log a log b 2
2
2
D． a b 2
【答案】ABD
【详解】对于
A， a2
b2
a2
1 a 2
2a2
2a1
x 1,
的最大值为_________．
【答案】7
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为 z 3x 2y ，所以 y 3x z ，易知截距 z 越大，则 z 越大，
22
2
平移直线 y 3x ，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，
2
22
y 2x x 1
由
x 1
，得
y
2
，
A(1,
2)
，
所以 zmax 3 1 2 2 7 .
故答案为：7.
2x y 2 0,
7．（2020·全国Ⅰ卷高考真题（文理
13））若
x，y
满足约束条件
x
y
1
0,
y 1 0,
则z x7y
的最大值为____________.
2019-2020年高考数学模拟试卷1—5套含答案及解析(理科)
2019-2020年高考数学模拟试卷1—5套（理科）高考理科数学模拟试卷（一）时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（ ）． A. iB. 1C. i -D. 1-2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）． A. 1 B. 5C. 6D. 无数个3.“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若非零向量,a b rr 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=rr rrr，则,a b rr 的夹角为（ ）． A.6πB.3π C.56π D.23π 5.己知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则()35tan a a +的值为（ ）．A. 3B. C.3D. 33-6.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A.1415B.115C.29D.7.设log a =，2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. c b a >> B. a c b >> C. b a c >>D. c b a >>8.已知函数||()sin()(0,0,0)x f x A x e A ωϕωϕπ-=+⋅>><<的图象如图所示，则A ω的可能取值（ ）．A. 2πB. πC.23π D. 2π9.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）． A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 511.已如F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）．B.14+12.已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A. (0,)e B. (,)e +∞ C. (0,2)eD. ),2(+∞e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为cos2α=__________． 14.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22y x +的最大值是____________.15.若)22nx-展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是__________．16.函数()cos 2(sin cos )f x x x x α=+-在区间[0,]2π上单调递增，则实数α的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)
江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣74．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若S672=2，S1344=12，则S2016=（）A．22 B．26 C．30 D．346．设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π）满足f（n）=，则f（1）=（）8．已知函数f（n）（n∈N+A．97 B．98 C．99 D．1009．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．3211．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（﹣，）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，0）12．如图所示，已知椭圆C： =1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=_______．14．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（2x）•ln（2x+1）的定义域为_______．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =_______．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列． （1）若+=，求角B 的值；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x 1，y 1）（i=1，2，…6）如表所示： 试销价格x （元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y （件） b8483 807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且x i =39，y i =480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PC ，PB=PD=AB ． （1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由； （2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ． （1）证明：DB=DC ； （2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，α∈（0，）），以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．江西省九江市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标即可．【解答】解：．对应点的坐标（）在第三象限．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．【解答】解：，故选：D．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C 的圆心C （1，2），设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，由坐标原点到直线l 的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l 的方程．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C （1，2），∵直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1，此时坐标原点到直线l 的距离为1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2， 且=，解得k=﹣，∴直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1）+2，即x+2y ﹣5=0． 故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672=2，S 1344=12，则S 2016=（ ） A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，由此能求出S 2016． 【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 672=2，S 1344=12， 由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列， 得到：2×10=2+S 2016﹣12， 解得S 2016=30． 故选：C ．6．设x 1=18，x 2=19，x 3=20，x 4=21，x 5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ ）A ．S=2，即5个数据的方差为2B ．S=2，即5个数据的标准差为2C ．S=10，即5个数据的方差为10D ．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．7．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π【考点】轨迹方程．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆．如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5=π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，合起来就是：2×4+π=8+π．故选：B．8．已知函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，则f（1）=（）+A．97 B．98 C．99 D．100【考点】函数的值．【分析】由已知条件，利用分段函数的性质推导出f（96）=f[f=97，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，+∴f=f[f=98，f（98）=f[f=97，f（97）=f[f=98，f（96）=f[f=97，依此类推，得f（99）=f（97）=…=f（1）=98．故选：B．9．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数，由此能求出A、B入住同一标间的概率．【解答】解：某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间，共有种情形，A、B入住同一标间有种情形，∴A、B入住同一标间的概率为．故选：B．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ，即可得出．【解答】解：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1， 即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ， ∴．故选：C ．11．若函数f （x ）=cosx+axsinx ，x ∈（﹣，）存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理． 【分析】确定函数是偶函数，a ＜0，f （x ）在上只有一个零点，即可得出结论．【解答】解：∵f （﹣x ）=cos （﹣x ）﹣axsin （﹣x ）=cosx+axsinx=f （x ）， ∴函数是偶函数，当a ≥0时，恒成立，函数无零点，当a ＜0时，，∴函数f （x ）在上单调递减，∵，∴f （x ）在上只有一个零点，由f （x ）是偶函数可知，函数恰有两个零点．故选：D ．12．如图所示，已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2+y 2=b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且为定值，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设P （x 1，y 1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x 1 的方程，由系数相等可得a ，c 的关系式，从而求得椭圆C 的离心率． 【解答】解：设F （﹣c ，0），c 2=a 2﹣b 2， 设P （x 1，y 1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b 2a 2=λ（b 2+c 2），a=λc， 故c （b 2+a 2）=a （b 2+c 2），即2ca 2﹣c 3=a 3， 即e 3﹣2e+1=0，即（e ﹣1）（e 2+e ﹣1）=0， 又0＜e ＜1， ∴．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得实数a 的值． 【解答】解：由题意可得二项展开式的第三项系数为，∴10a 3=80，解得a=2， 故答案为：2．14．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，可得f （2x ）的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合，再与2x+1＞0的解集取交集即可得到函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域． 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．∴函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．故答案为：．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：当n=1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n ﹣1=a n ﹣1a n ，两式相减得2a n =a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴{a 2k ﹣1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ， ∴S n =．故答案为：．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，则MN⊥PD．DO==．MN=1，PM=h﹣1，∴PN===．∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴，即，∴a=．∴，，令V'=0得h=4，故当h=4时，．故答案为8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，由正弦定理，得b=4sinB，∴△ABC的面积，∵，∴，∴．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x1，y1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y（件） b 84 83 80 75 68已知变量x，y具有线性负相关关系，且xi =39， yi=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）xi =39， yi=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得，，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将，，代入验证，乙同学的正确；（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，i∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X 0 1 2 3P =数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，不妨设PB=PD=AB=2，则BO=，∴PO=1．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∴P（0，0，1），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）．∴=（，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（﹣，0，﹣1）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即．令x=1得=（1，﹣，﹣）．∴cos＜＞===．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA •k OB =﹣4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值． 【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为F （，0），∴，由，得，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1， ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣，令y=0得x=﹣． ∴，解得p=2．∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）k OA =2，k OB =﹣2，∴k OA •k OB =﹣4，设，则，∴y 1y 2=﹣4．令直线MN 的方程为x=ty+n ， 联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n=0，则y 1y 2=﹣4n ，y 1+y 2=4t ，∵y 1y 2=﹣4，∴n=1．即直线MN 过点（1，0）． ∴．∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2，+∞）．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由； （2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ），g （x ）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，即可判断存在a=e ﹣1及l ：y=ex ； （2）求出F （x ）的解析式和导数，令，求出导数，判断单调性，再对a 讨论，分a ≤2，a ＞2，判断h （x ）的单调性，进而得到F （x ）的单调性，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）g （x ）的导数为g'（x ）=e x ， 设曲线y=g （x ）在点处切线过原点，则切线方程为，由点在切线上，可得，解得x 1=1，即有切线方程为y=ex ，设直线y=ex 与曲线y=f （x ）切于点（x 2，y 2）， 由f （x ）的导数为，可得，即有，又，则，可得，解得x 2=1，a=e ﹣1．故存在a=e ﹣1及l ：y=ex ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切． （2），，令，则，易知h'（x ）在（0，1]上单调递减，从而h'（x ）≥h'（1）=2﹣a ．①当2﹣a ≥0时，即a ≤2时，h'（x ）≥0，h （x ）在区间（0，1]上单调递增， 由h （1）=0，可得h （x ）≤0在（0，1]上恒成立， 即F'（x ）≤0在（0，1]上恒成立．即F （x ）在区间（0，1]上单调递减，则a ≤2满足题意；②当2﹣a ＜0时，即a ＞2时，由h'（1）=2﹣a ＜0，当x ＞0且x→0时，h'（x ）→+∞， 故函数h'（x ）存在唯一零点x 0∈（0，1]，且h （x ）在（0，x 0）上单调递增， 在（x 0，1）上单调递减，又h （1）=0，可得F （x ）在（x 0，1）上单调递增．注意到h （e ﹣a ）＜0，e ﹣a ∈（0，x 0），即有F （x ）在（0，e ﹣a ）上单调递减， 这与F （x ）在区间（0，1]上是单调函数矛盾，则a ＞2不合题意． 综合①②得，a 的取值范围是（﹣∞，2]．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ． （1）证明：DB=DC ； （2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到线段BF的长【解答】（1）证明：连接DE交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DE⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（2）解：设DE与BC相交于点G，由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线．∵，∴．连接BO，∵圆O的半径为1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，∴CF⊥BF．，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈（0，）），以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C 的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=（6cosα）2﹣20=0，解得．∴点M的直角坐标为．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．线段AB的中点对应的参数为．则，解得．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，∴﹣＜x＜；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）a=0时，不等式成立，a≠0时，|f（x）|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||＜2，∴|f（x）|≥2，x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}．。
高考模拟试卷理科数学试题及详细答案解析19
高考模拟试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|10}A x x =->，{|3,}xB y y x ==∈R ，则=B A I （ ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞2．已知复数13i 22z =--，则||z z +=（ ） A ．13i 22-- B ．13i 22-+ C ．13i 22+ D ．13i 22-3．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．624- B ．624+ C ．187D ．324．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π 5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 6．世界数学名题“13+x 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的5=N ，则输出=i （ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．7 7．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0,||)A ωφ>><π的部分图象如图所示，则函数)cos()(ϕω+=x A x g 图象的一个对称中心可能为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(8．函数sin e ()x y x =-ππ≤≤的大致图象为（ ）A ．B ．C ． D．9．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π10．F 为双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．311．已知不等式组036060x y k x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥表示的平面区域恰好被圆222)3()3(:r y x C =-+-所覆盖，则实数k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0x 是方程222e ln 0x x x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01e x < C ．0ln 200=+x x D ．002e ln 0x x +=第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．5(1)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 ．（用数字表示） 14．已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r ，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 在b r 方向上的投影为 ． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为 ． 16．如图所示，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，)1()2(1+++=+n n S n na n n ，*n ∈N ． （1）证明：数列}1{+n S n 为等比数列； （2）求n n S S S T +++=Λ21． 18．如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，a AB 2=，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，BF DE //，DE BD ⊥，a BF DE 222==，平面⊥BDEF 底面ABCD ．（1）证明：平面⊥AEF 平面AFC ；（2）求二面角F AC E --的余弦值．19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数e ()(ln )x f x a x x x =--． （1）当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间； （2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：θρsin 12-=，直线⎩⎨⎧==ααsin cos :t y t x l （t 为参数，0α<π≤）． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点（A 在第一象限），当30OA OB +=u u u r u u u r r 时，求a 的值．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||12|)(++-=x x x f ． （1）求不等式()3f x ≤的解集； （2）若函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22，试证明：221418117a b +++≥．答 案一、选择题1．【答案】C 【解析】{}11A x x x =><-或，{}0B y y =>，{}1A B x x ∴=>I ，选C ．2．【答案】C【解析】12z =-Q ，1z =，12z z ∴+=．故选C ．3．【答案】A 【解析】0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q，sin 4απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭sin sin 44αα⎡ππ⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选A ．4．【答案】A【解析】几何概型．5．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的14组成的，故选C ．6．【答案】C7．【答案】C【解析】由题知A =()2262ωπ=+，8ωπ=，再把点(2,-代入可得34ϕπ=-，()384g x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，故选C ．8．【答案】D【解析】由函数()sin e x y x =-ππ≤≤不是偶函数，排除A 、C ，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，sin y x=为单调递增函数，而外层函数e x y =也是增函数，所以()sin e x y x =-ππ≤≤在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数．故选D ．9．【答案】D【解析】根据条件可知球心O 在侧棱DA 中点，从而有AC 垂直CD ，4AD =，所以球的半径为2，故球的表面积为16π．10．【答案】B【解析】设()00 M x y ，，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02c x =，∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴ 2c M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程得2114e -=，∵1e >，∴e =B ． 11．【答案】D 【解析】由于圆心(3,3)在直线360x y --=上，又由于直线0x y k -+=与直线60x y ++=互相垂直其交点为6262k x k y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，直线360x y --=与60x y ++=的交点为(0,6)-．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r ==6k =或6k =-（舍去）．故选D ． 12．【答案】C 【解析】方程即为022002e ln x x x =-，即()002ln 002e e ln x x x x -=-，令()e x f x x =，()()002ln f x f x ∴=-，则()()e 10x f x x '=+>，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：002ln x x =-，故选C ． 二、填空题 13．【答案】0 【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为10-10=0． 14．【答案】 【解析】由题知1λ=． 15．【答案】【解析】tan tan 2tan b B b A c B +=-Q ，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=，8a =Q ，由余弦定理可得：()22264b c bc b c bc =++=+-，又因为ABC △面积1sin 2bc A=12=，16bc =，b c +=16．【答案】8,12（）【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心为（2，0），正好是抛物线x y 82=的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线x y 82=在第一象限交于点4(2)C ，，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为点D ，则AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点（6，0）时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<．三、解答题17．【答案】（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n nS S n n +=⨯++， 所以112(1)1n nS S n n ++=++，又1121S +=， 故数列{1}nS n +是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知111(1)221n n n S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L ．设212222n M n =⨯+⨯++⋅L ，则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+， 所以1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅+-．18．【答案】（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF I 平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥． 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF ==，2BD a =，EF ==，AE ==， 从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥． 又AF AC A =I ，所以EF ⊥平面AFC ． 又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ． （2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA u u u r ，OB u u u r ，OG u u u r 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a =--=u u ur (,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=u u ur (,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--u u ur (0,2,)a =． 由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =u u u r ． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以(0,n =r ．从而cos ,n EF <>=r u u ur ||||n EF n EF ⋅==⋅ru u u rr u u u r故所求的二面角E AC F --．19．【答案】（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=， 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人， 参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110C P C =-=．（2）女生志愿者人数0,1,2X =，则21222033(0)95C P X C ===，1112822048(1)95C C P X C ===，2822014(2)95C P X C ===．∴X 的分布列为∴X 的数学期望为()01295959595E X =⋅+⋅+⋅=．20．【答案】（1）由题意可得26a =，所以3a =．由椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点(2,，所以2440199b +=，解得28b =．所以椭圆C 的方程为22198xy +=．（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+． 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++． 当0k >时，89k k +=≥，所以0m <． 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为0m <． 21．【答案】（1）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=2(e )(1)x ax x x --=．当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立， 所以()0f x '>，1x >；()0f x '<，01x <<． 所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)． （2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解． 令()2(e )(1)0x ax x f x x --'==，e 0x ax -=，e x a x =． 设e ()x g x x =(0,1)x ∈， 所以()e (1)x x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立， 所以()g x 单调递减． 又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞， 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞， 所以当e a >时，()2(e )(1)0x ax x f x x --'==有解． 设()e x H x ax =-，则()e 0x H x a '=-<(0,1)x ∈， 所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减． 因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<， 所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ． 所以有：()H x + 0- ()f x ' - 0+ ()f x ] 极小值 Z 所以当a >当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立． 综上，a 的取值范围为(e,)+∞． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4—4：坐标系与参数方程【答案】（1）由21sin ρθ=-，得sin 2ρρθ=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为244x y =+；（2）设1(,)A ρα，则2(,)B ραπ+，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12303OA OB ρρ+=⇔=u u u v u u u v v ， 2231sin 1sin αα⎛⎫⇔= ⎪-+⎝⎭1sin 2α⇔=，∴6απ=． 23．选修4-5：不等式选讲．【答案】（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤ 从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-．（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =． 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()711a b a b ++++=++ 2222214(1)[5()]711b a a b ++++++≥2222214(1)18[527117b a a b +++⋅=++． 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +++≥得证．。
2020年高考理科数学全真模拟卷19(含解析)
冲刺2020年高考全真模拟演练（19）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷（选择题 60分)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z =22ii+-(i 是虚数单位)在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如果集合{}(,)|,U x y x y =∈∈R R ，2{|}0A x y x y m =-+>（，），{|0}B x y x y n =+-≤（，），那么点(2,3)U P A C B ∈⋂的条件是（）. A ．15m n >-<，B ．15m n <-<，C ．15m n >->，D ．15m n <->，3．已知p ：∃x 0∈R ，m 20x ＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤24．在等差数列{}n a 中，若28,a =-公差2d =，则12a =（ ） A ．10B ．12C ．14D ．165．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r rv v ，且||a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（ ）A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 6．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．关于直线π12x =-对称 D ．关于直线7π12x =对称 7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A．B．C．D．8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240 B．264 C．274 D．2829．我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的x，y分别是（）A．12，23 B．23，12C．13，22 D．22，1310．已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>及点B(0,a),过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF等于( )A．60°B．90°C．120°D．150°11．一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A ．164B ．5564C ．18D ．11612．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，若()0f x <，且()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()22213f f e< B ．()()21f f e< C ．()()2212f f e< D ．()()231f e f <⋅第II 卷（非选择题 90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是______． 14．二项式6(x x展开式中，含3x 的项的系数为_____．15．过抛物线2:6E y x =的焦点作直线l 交E 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，M 是线段AB 的三等分点，过M 作E 的准线的垂线，垂足是M '，则12x x =________；MM '的最小值等于________. 16．已知函数()222()31f x x ax b =----，当______时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有______.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组．．即可） ①12a ≤-②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：每小题12分，共60分.17．已知数列{a n }为等比数列，a 1=2，公比q>0，且a 2,6,a 3成等差数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设2log n n b a =,12233411111...n n n T b b b b b b b b +=++++,求使99100n T <的n 的最大值.18．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =，现将ACD ∆沿AC 折起，使D 折到P 的位置且P 在面ABC 的射影E 恰好在线段AB 上. （Ⅰ）证明：AP PB ⊥；（Ⅱ）求锐二面角B PC E --的余弦值.19．某中学德育处为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生（其中男、女生人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）写出女生组频率分布直方图中a 的值；（2）求抽取的40名学生中月上网次数不少于15的学生人数；（3）在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取3人，并用X 表示随机抽取的3人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望.20．已知圆C :22410x y ax y ++-+=()a R ∈，过定点(0,1)P 作斜率为1的直线交圆C 于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.（1）求a 的值；（2）设E 为圆C 上异于A 、B 的一点，求△ABE 面积的最大值；（3）从圆外一点M 向圆C 引一条切线，切点为N ，且有MN MP =, 求MN 的最小值，并求MN 取最小值时点M 的坐标.21．设函数()ln mf x x x=+，m R ∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数.（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t ay t α=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的的极坐标方程为p =（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若11||||MA MB +=，求sin α的值.23．已知()=|+2|f x ax .（1）当2a =时，求不等式()>3f x x 的解集； （2）若(1)f M ≤，(2)f M ≤，证明：23M ≥.一、单选题 1．复数z =22ii+-(i 是虚数单位)在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因复数()2222234225i i i z ii +++===--，所以复数在复平面内对应的点在第一象限. 考点：复数的运算及几何意义.2．如果集合{}(,)|,U x y x y =∈∈R R ，2{|}0A x y x y m =-+>（，），{|0}B x y x y n =+-≤（，），那么点(2,3)U P A C B ∈⋂的条件是（）. A ．15m n >-<， B ．15m n <-<，C ．15m n >->，D ．15m n <->，【答案】A 【解析】 【分析】先求得U C B ，由此求得U A C B ⋂满足的不等式组，将P 点坐标代入上述不等式组，解不等式组求得,m n 的取值范围. 【详解】依题意(){},|0U C B x y x y n =+->，所以UA CB ⋂满足的不等式组为200x y m x y n -+>⎧⎨+->⎩，由于()U P A C B ∈⋂，故430230m n -+>⎧⎨+->⎩，解得1m >-，5n <.故选:A 【点睛】本小题主要考查交集和补集的概念及运算，考查点与线性约束条件表示的区域的位置关系，属于基础题. 3．已知p ：∃x0∈R ，m 20x ＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m≥2B ．m≤－2C ．m≤－2或m≥2D ．－2≤m≤2 【答案】A 【解析】分析：先求出p ，q 是真命题的x 的范围，由于p 或q 为假命题，得到p ，q 应该全假，即p ，q 的否定为真，列出方程组，求出m 的范围． 解答：解：若p 真则m ＜0； 若q 真，即x 2+mx+1＞0恒成立， 所以△=m 2-4＜0， 解得-2＜m ＜2．因为p 或q 为假命题，所以p ，q 全假．所以有m 0{m 2m 2≥≤-≥或， 所以m≥2． 故选A4．在等差数列{}n a 中，若28,a =-公差2d =，则12a =（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可得到结果． 【详解】∵等差数列{}n a 中，28a =-，公差2d =， ∴1221082012d a a =+=-+=．故选B ． 【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本题也可求出等差数列的通项公式后再求出12a 的值，属于简单题．5．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r rv v ，且||a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（ ）A ．3π B ．23π C ．6πD ．56π【答案】B 【解析】 【分析】对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与a b -v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小. 【详解】因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .如图，设AB a =u u u v v ，AD b=u u u v v ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3BDA π∠=，23BDE π∠=.故选B.【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题. 6．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．关于直线π12x =-对称D ．关于直线7π12x =对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()f x 的最小正周期为π，求出ω，向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，求出ϕ，可得出()f x 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】根据三角函数的图象与性质2||Tπω=，可得||2ω=，因为0>ω，所以2ω= 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 设()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g x x x ϕππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 若()g x 为奇函数，则(0)0g =,故3k πϕπ+=(k Z ∈)，即(),3k k Z πϕπ=-+∈因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23x k ππ-=,(k Z ∈)解得62k x ππ=+,所以()f x 关于点,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,(k Z ∈)对称 A 项，不存在整数k ，使得76212k πππ+=，故A 项错误；B 项，不存在整数k ，使得6212k πππ+=-，故B 项错误；由232x k πππ-=+(k Z ∈)解得5122k x ππ=+,所以()f x 关于直线5122k x ππ=+(k Z ∈)对称 C 项，当1k =-时，12x π=-，故()f x 关于直线12x π=-对称，故C 项正确；D 项，不存在整数k ，使得5712212k πππ+=，故D 项错误.故选:C. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题.7．函数y=2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282 【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =，所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题9．我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的x ，y 分别是（ ）A ．12，23B ．23，12C ．13，22D ．22，13【答案】B 【解析】 【分析】分析程序框图功能，求当鸡、兔共35只头，94条腿时，鸡和兔各有多少只.根据条件确定跳出循环的S 值，即可得到输出值. 【详解】由程序框图，得1x =，34y =，138S =；3x =，32y =，134S =；5x =，30y =，130S =；7x =，28y =，126S =；……，23x =，12y =，94S =.输出23x =，12y =.故选B.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键.10．已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>及点B(0,a),过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A,F 为椭圆的右焦点,则∠ABF 等于( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，设出过B 的直线方程为y kx a =+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由判别式等于0求得k ，进一步得到直线方程，求出A 的坐标，然后可求得ABF ∠． 【详解】解如图，设过点B 的直线方程为：y kx a =+由22221y kx ax y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222342220a k b x a kx a a b +++-= 由()()62222422=440a k a k b aa b -+-=△，得ck a=±由题意取c k a =，则过点B 的直线方程为：cy x a a=+ 令0y =，得2a x c =-，所以20a A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在ABF V 中，4222||a AB a c=+，222||BF a c =+224222222||=2||||a a AF c c a AB BF c c ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭所以ABF V 为直角三角形，即=90ABF ∠︒ 故选：B【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题． 11．一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A ．164 B ．5564 C ．18D ．116 【答案】B 【解析】设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为,T E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则()()1131224P T P R ==-⨯=，所以灯亮的概率为()()1P P T P R =-⋅⋅()()3311551442264P C P D ⋅=-⨯⨯⨯=v v ， 故选B.【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，若()0f x <，且()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()22213f f e < B ．()()21f f e< C ．()()2212f f e< D ．()()231f e f <⋅【答案】C 【解析】 【分析】 由()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭得()2'()0f x f x +<，构造函数：2()()x g x e f x =⋅，求导判单调性得(2)(1)g g >，进而得22(2)(1)e f f ⋅>则可求 【详解】 因为()'()0211122f x f x +⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2'()0f x f x +<.构造函数：2()()x g x e f x =⋅，所以2'()()2()'()x x g x e f x e f x f x =⋅+⋅⋅()[()2'()]0x e f x f x f x =⋅⋅+>.所以函数()g x 在R 上单调递增，所以(2)(1)g g >，即222(2)(1)e f e f ⋅>⋅，即()()2212f f e<故选：C 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，考查构造函数的思想，考查逻辑推理能力，是中档题二、填空题 13．已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是______． 【答案】【解析】 ,,又,两方程联立解方程组得,所以所以f(x)的减区间为，故14．二项式6(x x展开式中，含3x 的项的系数为_____．【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，从而求得展开式中含3x项的系数．【详解】6(x-展开式的通项公式为3662166((2)rr r r r rrT C x C x--+==-g g g g，令3632r-=，解得2r=；∴展开式中含3x项的系数为226(2)41560C-=⨯=g．故答案为：60．【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式计算问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力运算求解能力，属于基础题.15．过抛物线2:6E y x=的焦点作直线l交E于()11,A x y、()22,B x y两点，M是线段AB的三等分点，过M作E的准线的垂线，垂足是M'，则12x x=________；MM'的最小值等于________.【答案】9432+【解析】【分析】由抛物线方程，求出焦点坐标3,02⎛⎫⎪⎝⎭，设直线方程32x my=+，联立方程组，通过韦达定理求得12y y+和12y y，进而得出12x x；由抛物线的定义和性质，利用基本不等式求Mx最小值，即可得出结果.【详解】解：由题可知，抛物线2:6E y x=的焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l的方程为：32x my=+，设()()()1122,,,,,M MA x yB x y M x y，120,0x x>>，联立方程2326x myy x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2690y my--=，则126y y m +=，129y y =-，又因为()2121236y y x x =，则128136x x =， 解得：1294x x =. 因为M 是线段AB 的三等分点，则1223M x x x +=，即119243Mx x x +=，因为11924x x +≥=3M x ≥=当且仅当14x =时，取等号，得M x， 而32M MM x '=+，所以MM '的最小值为：32+. 故答案为：94；32【点睛】本题考查抛物线性质的应用，包括联立方程、韦达定理、抛物线的定义和性质，还利用基本不等式求最值，同时考查转化能力和解题能力，属于中档题. 16．已知函数()222()31f x x ax b =----，当______时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有______.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①12a ≤-②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点 【答案】① ⑥ 【解析】 【分析】本题为开放题型，根据选择的条件，把绝对值打开，求导研究函数单调性，继而研究函数的极值点，零点即可. 【详解】 .比如：当12a ≤-时，()422222422(23)3,(,1][1,)()31(23)3,(1,1)x a x a b x f x x a x b x a x a b x ⎧-+++-∈-∞-⋃+∞=----=⎨--+--∈-⎩ 22(23)4[],(,1][1,)2'()(23)4[],(1,1)2a x x x f x a x x x +⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎪=⎨-⎪-∈-⎪⎩由于(23)12a +≤，故2(23)4[]2a y x x +=-在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞无零点， 由于(23)22a -≤-，故2(23)02a y x +=->恒成立，2(23)4[],(1,1)2a y x x x -=-∈-有唯一零点x =0,且左负右正，故f (x )有唯一的极小值. 故答案为：①，⑥（答案不唯一） 【点睛】本题为开放题型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．已知数列{an}为等比数列，a1=2，公比q>0，且a2,6,a3成等差数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设2log n n b a =,12233411111...n n n T b b b b b b b b +=++++,求使99100n T <的n 的最大值.【答案】（1）2nn a =（2）98【解析】 【分析】(Ⅰ)由等比数列的通项公式及等差中项的定义，即可求得公比q ，进而得到等比数列通项公式．(Ⅱ)根据对数函数性质，可得数列n b 为等差数列，代入求得Tn 表达式为裂项形式，进而求得前n 项和Tn ，进而求得使99100n T <成立的n 的最大值． 【详解】解：（Ⅰ）数列{a n }为等比数列，a 1＝2，公比q ＞0，且a 2，6，a 3成等差数列． 故：12＝2q +2q 2，解得：q ＝2或﹣3（负值舍去），故：1222n nn a -=⋅=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：b n ＝log 2a n ＝n ，所以：()1111111n n b bn n n n +==-++， 所以：12233411111n n n T b b b b b b b b L +=++++， ＝1111112231n n -+-++-+L ， 1n n =+， 所以：使99100n T ＜的n 的最大值为：991100n n +＜，解得：n ＜99， 故：n 的最大值为98． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等差中项的定义和裂项求和法的应用，关键是注意计算，属于基础题． 18．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =，现将ACD ∆沿AC 折起，使D 折到P 的位置且P 在面ABC 的射影E 恰好在线段AB 上. （Ⅰ）证明：AP PB ⊥；（Ⅱ）求锐二面角B PC E --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1313. 【解析】试题分析：(1)先证明BC ⊥平面PAB ，进而得到AP ⊥平面PBC ，从而得证；(2) 以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -.求出平面EPC 与平面PBC 的法向量，代入公式得到结果. 试题解析：（Ⅰ）由题知PE ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴PE BC ⊥； 又AB BC ⊥且AB PE E ⋂=，∴BC ⊥平面PAB ；又AP ⊂平面PAB ，∴BC AP ⊥；又AP CP ⊥且BC CP C ⋂=，∴AP ⊥平面PBC ； 又PB ⊂平面PBC ，所以AP PB ⊥.L（Ⅱ）在Rt PAB ∆中，2AP =,4AB =由射影定理知1AE =，3PE =以E 为原点，建立如图所示空间直角坐标系E xyz -.则()0,0,0E ,(3P ，()0,3,0B ,()2,3,0C -，(2,3,3PC u u u v=--，(3EP u u u v=,(0,3,3PB =-u u u v设(),,m x y z =v是平面EPC 的一个法向量，则m PC m EP ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，∴00m PC m EP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即()(()(,,2,3,30,,30x y z x y z ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23300x y z z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取320x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()3,2,0m =v ；设(),,n a b c =v是平面PBC 的一个法向量，则n PC n PB u u u v v u u u v v ⎧⊥⎨⊥⎩，∴00n PC n PB u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()(()(,,2,3,30,,0,3,30a b c a b c ⎧⋅--=⎪⎨⋅-=⎪⎩，即2330330a b c b c ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，取013a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以(3n =v ； 设锐二面角B PC E --的大小为θ，则213cos cos ,13134m n m nm nθ⋅===⋅⋅v v v vv v所以锐二面角B PC E --余弦值为13. 点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．某中学德育处为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生（其中男、女生人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）写出女生组频率分布直方图中a 的值；（2）求抽取的40名学生中月上网次数不少于15的学生人数；（3）在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取3人，并用X 表示随机抽取的3人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.05a = （2）14 （3） X 1 2 3 P 0.30.60.19()5E X =【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，求解a 的值； （2）根据频率分布直方图的数据求得频率，从而得结果；（3）确定X 的所有可能值，然后求得各个取值所对应事件的概率，然后得分布列，求数学期望. 【详解】（1）1(20.020.030.08)50.055a -⨯++⨯==（2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15的学生的频率为(0.050.02)50.35+⨯=，所以抽取的女生中，月上网次数不少于15的学生有0.35207⨯=（名）；在所抽取的男生中，月上网次数不少于15的学生的频率为(0.040.03)50.35+⨯=，所以抽取的女生中，月上网次数不少于15的学生有0.35207⨯=（名）；故抽取的40名学生中月上网次数不少于15的学生人数为7+7=14名.（3）在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.0250.1⨯=，学生人数为0.1202⨯=,同理在抽取的男生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.0350.15⨯=，学生人数为0.15203⨯=, 故X 的所有可能取值为1，2，3则：212335(1)0.3C C P X C ===，120323233355(2)0.6,(3)0.1C C C C P X P X C C ====== 所以X 的分布列为：9()10.320.630.15E X =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知圆C :22410x y ax y ++-+=()a R ∈，过定点(0,1)P 作斜率为1的直线交圆C 于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.（1）求a 的值；（2）设E 为圆C 上异于A 、B 的一点，求△ABE 面积的最大值；（3）从圆外一点M 向圆C 引一条切线，切点为N ，且有MN MP =, 求MN 的最小值，并求MN 取最小值时点M 的坐标.【答案】（1）2；（2）2+；（3；11(,)22．【解析】 【详解】试题分析：（1）通过CP ⊥AB 求解a 的值；（2）当E 为与AB 垂直的直径，且与AB 较远的直径端点时，△ABE 面积最大； （3）通过△CMN 为直角三角形勾股定理列出关系式，然后通过MN MP =进行转化， 找出点M 所在轨迹，然后利用点到直线的距离即可找到MN 的最小值，进而求出点M 的坐标． 试题解析：（1）由题知圆心C (,2)2a-，又(0,1)P 为线段AB 的中点，∴CP ⊥AB ， ∴1PCk =-，即1210()2a -=---，∴2a =．（2）由（1）知圆C 的方程为22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心(1,2)C -，半径2r =， 又直线AB 的方程是10x y -+=， ∴圆心C 到直线AB的距离1d ==AB ==当EC ⊥AB 时，△ABE面积最大，max 1(222S =⨯=+ （3）∵MN ⊥CN ，∴22||4MN MC =-， 又MN MP =，∴22||4MP MC =-．设(,)M x y ，则有2222(1)(1)(2)4x y x y +-=++--，整理得y x =，即点M 在y x =上，∴MN 的最小值即为MP的最小值22d ==， 由()220112x y x y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得1,2{1.2x y == ∴满足条件的M 点坐标为11(,)22．考点：1.弦所在直线方程的求解；2.最值问题． 21．设函数()ln mf x x x=+，m R ∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数.【答案】（1）极小值()ln 2ef e e e=+=； （2）①当23m >时，()g x 无零点， ②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点， ③当203m <<时，()g x 有两个零点.【解析】 【详解】试题分析：（1）要求()f x 的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对()f x 求导，可知()221e x e f x x x x-'=-=，再通过列表即可得当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e =+=；（2）令()0g x =，可得313m x x =-+，因此要判断函数()()3xg x f x '=-的零点个数，可通过画出函数31()3h x x x =-+的草图来判断，同样可以通过求导判断函数31()3h x x x =-+的单调性来画出函数图象的草图：()()()2111h x x x x =-+=-+-'，通过列表可得到()h x 的单调性，作出()h x 的图象，进而可得①当23m >时，()g x 无零点，②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点，③当203m <<时，()g x 有两个零点.试题解析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+，其定义域为()0,∞+，()221e x ef x x x x-'=-=，令()0f x '=，x e =，故当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=； （2）()()322133333x m x x m x g x f x x x x--=-=--='，其定义域为()0,∞+， 令()0g x =，得313m x x =-+， 设()313h x x x =-+，其定义域为()0,∞+.则()g x 的零点为()h x 与y m =的交点， ()()()2111h x x x x =-+=-+-'，故当1x =时，()h x 取得最大值()213h = 作出()h x 的图象，可得①当23m >时，()g x 无零点， ②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点，③当203m <<时，()g x 有两个零点.考点：导数的运用.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t ay t α=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的的极坐标方程为p =（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值. 【答案】(1) 22(2)(2)8x y -++= ，曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.(2) sin α=【解析】 【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式进行转化；（2）利用参数的几何意义求解. 【详解】（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-， 即2244x y x y +=-，()()22228x y -++=. 所以曲线2C 是以()2,2-为圆心，. （2）将2x tcos y tsin αα=⎧⎨=-+⎩代入()()22228x y -++=，整理得24cos 40t t α--=，设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.121211MA MB t t MA MB MA MB t t +++==124t t -====. 解得21cos 16α=，则sin α=【点睛】本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标和直角坐标的转化公式要熟记，参数几何意义的应用能简化解题过程.23．已知()=|+2|f x ax .（1）当2a =时，求不等式()>3f x x 的解集； （2）若(1)f M ≤，(2)f M ≤，证明：23M ≥【答案】(1) (,2)-∞ (2)见证明 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法讨论去掉绝对值求解； （2）利用绝对值不等式的性质进行证明. 【详解】（1）解：当2a =时，不等式()f x x <可化为223x x +>. 当1x ≤-时，223x x -->，25x <-，所以1x ≤-； 当1x >-时，223x x +>，12x -<<. 所以不等式()3f x x >的解集是(),2-∞.（2）证明：由()1f M ≤，()2f M ≤，得2M a ≥+，22M a ≥+，322222M M M a a =+≥+++，又2222422a a +++≥-=， 所以32M ≥，即23M ≥. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.。
2020年高考数学全真模拟试卷(十九)【含答案解析】
绝密★启用前2020年高考数学全真模拟试卷（十九）数学（理）试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）=i ，则|z|=（ ） A. 12B.22C. 1D. 22.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 32+4πB. 24+4πC. 4123π+D.4243π+3.在△ABC 中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( )A. 3B. 2C. 4D.144.已知在△ABC 中，AB =6，AC =3，BC =7，若O 为△ABC 的外心且满足AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则6x y +=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 65.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. －2和0 B. 0 和1C. ±1D. ±26.定义1nii nu =∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“快乐数”为131n +，则数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前2019项和为（ ） A. 20182019B.20192020C.20192018D.201910107.已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1()g x x=的定义域为N ，则M ∩N ==（ ） A. {}1x x ≤ B. {1x x ≤且0}x ≠ C. {1}x x > D. {1x x <且0}x ≠8.函数()32ln1y x x x =++-的图象大致为（ ）A. B.C. D.9.等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10 C. 8D. 2+log 3510.某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（ ）A. 语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小B. 数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小C. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小D. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 11.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ，使得∠MQN=90°，则实数a 的取值范围为（ ）A. [－13,3]B. [－3,1]C. [－3,13]D. [－13,13]12.已知2sin 52sin 3cos 2333x x x ππ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.19B. 19-C.13D. 13-第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）已知()()2log (0a f x ax x a =->且1a ≠）在[2,4]上是增函数，则实数a 取值范围是____ .14.已知实数x ，y 满足02601x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则x y +的最大值为_____．15.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法。
高考理科数学专项模拟解析汇编不等式选讲教师版
专题13 不等式选讲1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．【解析】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像．()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--．由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方，故不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．2．【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )= |x -a 2|+|x -2a +1|．（1）当a =2时，求不等式f (x )≥4的解集； （2）若f (x )≥4，求a 的取值范围．【解析】（1）当2a =时，72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式()4f x ≥的解集为311{|}22x x x ≤≥或．（2）因为222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-，故当2(1)4a -≥，即|1|2a -≥时，()4f x ≥．所以当a ≥3或a ≤-1时，()4f x ≥． 当-1<a <3时，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<， 所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．3．【2020年高考全国III 卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =． （1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{,,}a b c 34． 【解析】（1）由题设可知，a ，b 均不为零，所以 22221[()()]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++0<.（2）不妨设max{a ，b ，c }=a ，因为1,()abc a b c ==-+，所以a >0，b <0，c <0.由2()4b c bc +≤，可得34a abc ≤，故34a ≥，所以3max{,,}4abc ≥.4．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【解析】当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤； 当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<．1．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】已知函数()1=-f x x . （1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥. 【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）由()(1)4f x f x ++≥得14x x -+≥，当1x >时，得214x -≥，所以52x ≥； 当01x ≤≤时，得14≥，所以x ∈∅； 当0x <时，得124x -≥，所以32x ≤-； 综上，此不等式的解集为：35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）由1()()f x f x-+=111x x ++- ，由绝对值不等式得1111x x x x++-≥+， 又因为1,x x 同号，所以11x x x x+=+，由基本不等式得：12x x+≥，当且仅当1x =时，等号成立， 所以1()()2f x f x-+≥.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式解法，以及合理应用绝对值三角不等式和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】设a 、b 、c 均为正数， （Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++， 即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++， 故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=， 所以3a b c++得证．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．3．【2020·四川省泸县第二中学高三二模】已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值.【答案】（1）[]0,1（2）642+ 【解析】（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以32a b +=，从而9122a b +++=，从而()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()21212222642332912912a a b b a b a b ⎡⎡⎤+-⎛⎫+++=++≥+⋅=⎢⎢⎥ ⎪++++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣ 当且仅当()21212a b a b ++=++，即92111492,22a b -==时，等号成立， ∴1212a b +++642+. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题. 4．【2020·辽宁省高三三模】设函数()234f x x x =-+-．（1）解不等式()2f x >；（2）若()f x 最小值为m ，实数a 、b 满足343a b m +=，求()222a b -+的最小值．【答案】（1）{|1x x <或2}x >；（2）1625． 【解析】（1）()46,2423422,23446,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=-<<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩， 由()2f x >得2462x x ≥⎧⎨->⎩或423222x x ⎧<<⎪⎨⎪->⎩或43462x x ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩， 得2x >或∅或1x <，∴不等式解集{|1x x <或2}x >． （2）根据图象知：()min 4233f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴342a b +=， 所求可看做点()2,0到直线3420x y +-=的距离的平方，223224534d ⨯-==+． ∴()222a b -+的最小值为1625．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离是解题的关键.5．【2020·山西省高三其他】已知函数()36f x x =+，()3g x x =-. （1）求不等式()()f x g x >的解集；（2）若()()232f x g x a a +≥-对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）[]3,5-. 【解析】（1）由()()f x g x >，得363x x +>-， 平方得()()22363x x +>-， 得229363669x x x x ++>-+， 得2842270x x ++>， 得()()29430x x ++>， 解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）若()()232f x g x a a +≥-恒成立，即236392x x a a ++-≥-恒成立.只需2min (3633)2++-≥-x x a a 即可. 而()3639363915x x x x ++-≥+--=， 所以2215a a -≤，得22150a a --≤， 解得35a -≤≤.故实数a 的取值范围是：[]3,5-.【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法、含参不等式的恒成立问题，考察了数学运算技能和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.6．【2020·河北省高三其他】已知函数()122f x x x =++-，()13g x x x m m =-++-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）对于任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（Ⅰ）()31,11223,1131,1x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩，(],1∴-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()()12min f x f ∴==，故当1x =时，()f x 取得最小值2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()min 2f x =，而()1313g x x x m m x x m m =-++-≥----13m m =+-， 当1x =时等号成立，由题意知，对任意1x R ∈，存在2x R ∈使得()()12f x g x ≥成立， 则()()min min f x g x ≥， 即213m m ≥+-，所以2220(2)(13)m m m +≥⎧⎨+≥+⎩，解得：3142m -≤≤， 即m 的取值范围为31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质和根据不等式恒成立问题求参数取值范围，考查转化思想和运算能力．7．【2020·山西省太原五中高三月考】已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数a ，b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++.【答案】（1）{}|05x x ≤≤（2）证明见解析【解析】(1)()|4||1|f x x x =-+-25,43,1425,1x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪-+<⎩. ()5f x ,∴2554x x -⎧⎨>⎩或14x 或2551x x -+⎧⎨<⎩, 45x ∴<或14x 或01x <, 05x ∴,∴不等式的解集为{|05}x x ;(2)因为()|4||1||(4)(1)|3f x x x x x =-+-≥-+-=(当且仅当14x ≤≤等号成立), 所以()f x 的最小值3M =,即223a b +=, 所以()()222222111112121216a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++⨯ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭1(26≥+⨯23=(当且仅当21a =,22b =等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题. 8．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他】已知函数24()|2|(0)a f x x x a a+=+++<，()8|3|g x x =-+.（1）当1a =-时，求不等式()11f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[2,1]--，求a 的取值集合. 【答案】（1）[]4,7-；（2）{}2-【解析】（1）当1a =-时，()32,2527,2523,5x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，由32112x x -≤⎧⎨≤-⎩得：42x -≤≤-；由71125x ≤⎧⎨-<<⎩得：25x -<<；由23115x x -≤⎧⎨≥⎩得：57x ≤≤，综上所述：()11f x ≤的解集为[]4,7-.（2）由题意可知：当[]2,1x ∈--时，24283a x x x a ++++≤-+恒成立， 即24832a x x x a++≤-+-+恒成立， 0a <，240a a +∴<，当[]2,1x ∈--时，240a x a ++<，30x +>，20x +≥，2483232a x x x x a +∴--≤----=-，243a x a+∴≥-在[]2,1--上恒成立，244a a+∴≥-，又0a <，可解得：2a =-，a ∴的取值集合为{}2-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；关键是能够根据解集的子集将问题转化为在不等式在子集范围内恒成立问题的求解，进而通过分离变量将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系求解问题.9．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】函数()f x x a x b c =++-+，其中0a >，0b >，0c >．（1）当1a b c ===时，求不等式()4f x >的解集；（2）若()f x 的最小值为3，求证：2223b c a a b c ++≥．【答案】（1）33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）见解析【解析】（1）当1a b c ===时，不等式()4f x >， 即1114x x ++-+>，即113x x ++->． 当1x ≥时，化为113x x ++->，解得32x >； 当11x -<<时，化为()113x x +-->，此时无解； 当1x ≤-时，化为()()113x x -+-->，解得32x <-． 综上可得，不等式()4f x >的解集为：33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由绝对值三角不等式得()()()3f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=． 由基本不等式得22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥，三式相加得222222b c a a b c a b c a b c+++++≥++，整理即得2223b c a a b c a b c++≥++=，当且仅当1a b c ===时，等号成立．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．【2020·银川高级中学高三月考】已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M .（1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+. 【答案】（1）(2,2)M =-；（2）证明见解析.【解析】（1）21()1121121xx f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩， 所以()4f x <等价于124x x <-⎧⎨-<⎩或1124x -≤≤⎧⎨<⎩或124x x >⎧⎨<⎩， 21x -<<-或11x -≤≤或12x <<，22,(2,2)x M ∴-<<=-；（2）当,a b M ∈时，即22,22a b -<<-<<，2222224()(4)4416a b ab a b a b +-+=+-- 22(4)(4)0a b =--<，224()(4),2|||4|a b ab a b ab ∴+<+∴+<+.【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法证明不等式，属于中档题.11．【2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他】已知函数()=-++f x x a x b ，()0,0a b >>.（1）当1a =，3b =时，求不等式()6f x <的解集； （2）若()f x 的最小值为2，求证：11111a b +≥++. 【答案】（1）()4,2-；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意136x x -++<，当1x ≥时，136x x -++<，解得2x <，即12x ≤<，当31x -≤<时，136x x -++<，解得46<成立，即31x -≤<， 当3x <-时，136x x ---<，解得4x >-，即43x -<<-， 综上所述，不等式的解集为()4,2-.（2）()()()f x x a x b x a x b a b a b =-++≥--+=--=+， 所以2a b +=()11111111112111411411b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭. 当且仅当1a b ==时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.12．【2020·重庆高三月考】已知函数()13222f x x a x =++-. （1）当1a =-时，解不等式()3f x x ≤；（2）当2a =时，若关于x 的不等式()421f x b <-的解集为空集，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1{|}2x x ≥-；（2）[6,8]-.【解析】（1）当1a =-时，不等式可化为()3f x x ≤1413(2)()322x x x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-++-≤⎪⎩或3213(2)()322x x x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪+--≤⎪⎩ 或134213(2)()322x x x x⎧-≤<⎪⎪⎨⎪++-≤⎪⎩ 1124x ∴-≤<-或32x ≥ 或1342x -≤<故不等式()3f x x ≤的解集为1{|}2x x ≥-（2）当2a =时，117()|2||23|(2)(23)|222f x x x x x =++-≥+--=（ 当且仅当1342x -≤≤时取等号），则不等式min 7[4()]4142f x =⨯=因此4()2|1|f x b <-的解集为空集等价于2|1|14b -≤， 解得68b -≤≤ 故实数b 的取值范围是 [6,8]-【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、绝对值三角不等式应用，考查基本分析求解能力，属中档题.13．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】已知a ，b ，c 均为正实数，求证：（1）()2()4a b ab cabc ++≥；（2）若3a b c ++=≤【答案】证明过程详见解析 【解析】(1)要证()()24a b ab cabc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220a c ac a c b bc +-++-≥，即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab cabc ++≥成立．(2)因为,,a b c 均为正实数，12322a a +++≤=，当且仅当12a +=时，取等号， 12322b b +++≤=当且仅当12b +=时 ，取等号，12322c c +++≤=当且仅当12c +=时，取等号，62a b c d+++≤=≤1a b c ===时，取等号．【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果． 14．【2020·河南省高三三模】关于x 的不等式|x ﹣2|＜m （m ∈N*）的解集为A ，且32∈A ，12∉A ．（1）求m 的值；（2）设a ，b ，c 为正实数，且a +b +c ＝3m 【答案】（1）m ＝1；（2）最大值为3．【解析】（1）∵32∈A ，12∉A ，∴|32-2|＜m ，|12-2|≥m ， ∴12＜m 32≤， ∵m ∈N *，∴m ＝1；（2）a ，b ，c 为正实数，且a +b +c ＝3，=()311133322222a b c a b c +++++++≤++===． 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号．3．【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础题.15．【2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他】已知()|1|1f x x =-+，()(),3123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩.（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1[,)3-+∞；（2）(1,3).【解析】（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+. 当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-， 此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为()1123x x --+≤+，解得13x ≥-， 此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. （2）()1131233x x F x x x ，，，⎧-+≤=⎨->⎩即()21131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是()13，. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13．（2020•福州一模）已知 a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ，且 a + b + c = 2 ． （1）求 a2 + b + c 的取值范围； （2）求证： 1 + 4 + 9 … 18 ．
abc
14．（2020•新建区校级模拟）（1）已知 a
，b
，c
都是正实数，证明：
b a
+
b
a +
uuur
, 0),C(1, m) ， AC = (1 −
2
uuur , m), BC = (1 −
2
,m) ，
m+2
2−m
m+2
2−m
uuur uuur
依题意， AC BC = (1 −
2
)(1 −
2
) + m2 = 0 ，解得 m = ± 3 ．
m+2 2−m
当 m = 3 时，点 C 在 x 轴上方，不合题意，当 m = − 3 时，满足题意．
16．（2020•开封一模）已知 a ， b ， c 为一个三角形的三边长．证明：
（1） b + c + a … 3 ；
abc
（2） ( a + b + c)2 > 2 ．
a+b+c
5 / 16
参考答案
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) = 2 | x −1| +mx ， m ∈ R ．
（1）当 m = −3 时，求不等式 f (x) + 4 < 0 的解集；
（2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
解：（1）当
m
=
−3
时，
f
(x)
=
2|
x
−1|
−3x
=
−x
−
2, x…
1
，
2 − 5x, x < 1
当 x… 1 时， f (x) + 4 < 0 即 −x − 2 + 4 < 0 ，解得 x > 2 ； 当 x < 1 时， f (x) + 4 < 0 即 2 − 5x + 4 < 0 ，解得 x > 6 ，此时无解．
1 / 16
4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | ． （1）当 a = 2 时，解不等式 f (x) < 2 ； （2）求 f (x) 的最大值．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) =| x +1| + | x − 2a | ． （1）若 a = 1，解不等式 f (x) < 4 ； （2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 − 2m + 4 = f (x) ，求实数 a 的取值范围．
3a
8 / 16
−12, x > 2
剟 解：（1）当
a
=
2
时，
f
(x)
=|
2x
−
4
|
−
|
2x
+
8
|=
−4x
−
4, −4
x
2．
12, x < −4
−4x − 4 < 2
剟 Q f (x) < 2 ，∴ x > 2 或
，
−4 x 2
∴x > 2或−3
2
< x„
2 ，∴
x>−3，
2
∴不等式的解集为{x | x > − 3} ．
6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) =| x + a −1| + | x − 2a | ． （1）若 f （1） < 2 ，求实数 a 的取值范围； （2）若 a„ −1， x ∈ R ，求证： f (x)… 4 ．
7．（2020•临汾模拟）设函数 f (x) =| 2x + a | （其中 a < 0) ． （1）解不等式： f (x)… 3 ； （2）若 a = −1，解不等式 f (x)+ | x − 1 |< 2 ．
（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 − 2m + 4 = f (x) ，求实数 a 的取值范围．
2x −1, x > 2
剟 解：（1）当
a
= 1时，
f
(x)
=|
x
+1|
+
|
x
−
2 |=
3, −1
x
2
．
−2x + 1, x < −1
x > 2
剟 −1 x 2 x < −1
Байду номын сангаас
Q f (x) < 4 ，∴
5
综上，不等式的解集为 (2, +∞) ；
（2） f (x) = (m + 2)x − 2, x… 1 ，
(m − 2)x + 2, x < 1
令
f
(x)
=
0
，则
x
=
2 m+
2 (x…
1)
或
x
=
2
2 (x −m
< 1)
，显然需要 m
−2
<
0
<
m
+
2
，即 −2
<
m
<
2
，
如图，
则 A(
2
,0), B(
2
f (x1) = g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
解：（1）当 x„
−1时，不等式 f (x)„
4 可化为： −3x„
x + 2 ，解得： x…
− 1 （舍去）；
2
当 −1 < x <
1 2
时，不等式
f (x)„
4 可化为 −x + 2„
x + 2 ，解得： x…
0 ，即 0„
x<
1 2
；
剟 当 x…
1
时，不等式
2
f (x)„
4 可化为 3x„
x + 2 ，解得： x„
1 ，即 1
2
x 1．
综上可得：不等式 f (x)„ x + 2 的解集为[0 ，1] ；
（2） g(x) =| x + 2019 | + | x + 2021 − a | ，
则 g(x) =| −x − 2019 | + | x + 2021 − a | … | −x − 2019 + x + 2021 − a |=| a − 2 | ，
，
∴1 < x < 3 或 −1 < x„ 1，∴ −1 < x < 3 ，
∴不等式的解集为{x | −1 < x < 3} ．
（2）由（1）知， g(x)min = 3 ． Q不等式 f (x) > g(x) 解集中包含 (−2,1) ，
∴ g(x)min = 3 < ax + 4 对任意的 x ∈ (−2,1) 恒成立，
剟 即 ax > 1 对任意的 x ∈ (−2,1) 恒成立，∴ −1 a
1
，
2
∴a 的取值范围为[−1, 1] ．
2
4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | ．
（1）当 a = 2 时，解不等式 f (x) < 2 ；
（2）求 f (x) 的最大值．
c
+
c
…
b
2
；
4 / 16
a2 + b2 + c2 = 4
（2）已知
a
，b
，c
，x
，y
，z
都是正实数，且满足不等式组：
x2
+
y2
+
z2
=
9
，求
a
+
b
+
c
ax + by + cz = 6
x+ y+z
的值．
15．（2020•九江一模）已知函数 f (x) = x2 − x +1 ，且 m ， n ∈ R ． （Ⅰ）若 m + 2n = 2 ，求 f (m) + 2 f (n) 的最小值，并求此时 m ， n 的值； （Ⅱ）若 | m − n |< 1，求证： | f (m) − f (n) |< 2(| m | +1) ．
2
（2）Q f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | „ | (ax − 4) − (ax + 8) |= 12 ，
∴ f (x) 的最大值为 12．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) =| x +1| + | x − 2a | ．
（1）若 a = 1，解不等式 f (x) < 4 ；
∴m2 − 2m + 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集．
Q f (x) =| x + 1| + | x − 2a | … | 2a + 1| ，∴ f (x) 的值域为 [| 2a + 1| ， +∞) ，