岩土参数统计方法及简化计算式的探讨和应用
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计方法对总体均值和标准差进行点估计， 有如下点估 计量：
ˆx 1 n xi n i 1
n
由此可以得出均值 的单侧置信界限为：
t (n 1) n 由式 (3)和式 (4)式可以得出：
x
(4)
t (n 1) x (5) n 式 (5) 即为岩土参数标准值的修正计算公式，与
Discussion and application of the statistical method of geotechnical parameters and its simplified calculation formula
YANG Yong1, 2, JIANG Guichun1, WEN Jun1, LONG Li3
x 1
新规范中结合随机场理论简化后的计算表达式一致。 式中的 γ 即为修正系数， t (n 1) 为学生氏分布上侧 分位数。
(1)
2
修正系数 γ 的简化公式的讨论
由式 (5)可见：
t (n 1)
式中
1 (2) ( xi x )2 n 1 i 1 δ=σ/ x (3) x 为样本均值， xi 为样本值，n 为样本量。这 ˆ S
2
x S n
(n 1)
由学生氏分布的定义有：
T
~ t (n 1)
对于给定的置信水平 1-α，有：
x P T t1 (n 1) t (n 1) 1 S n S 即： P x t (n 1) 1 n
。但是不管模糊理论还
收稿日期 : 2012-04-11 作者简介 : 杨 勇 (1984—)，男，重庆人，土家族，硕士，工程师，从事岩土工程与工程地质勘察设计工作 .
第2期
杨
勇等 : 岩土参数统计方法及简化计算式的探讨和应用
· 61 ·
性，同时提出了新的更为合理的拟合公式。
2 (n 1) S 2 2 ~ 2 (n 1)
第 41 卷 第 2 期 2013 年 4 月
煤田地质与勘探
COAL GEOLOGY & EXPLORATION
Vol. 41 No.2 Apr. 2013
文章编号 : 1001-1986(2013)02-0060-04
岩土参数统计方法及简化计算式的探讨和应用
杨 勇 1, 2，姜桂春 1，文 君 1，龙 立3
的基本原理有：
U x
1
n
4.678 n2
(7)
即对 式 (6) 中涉及 学生氏分布 的部分 t0.05 (n 1)
n 进行了如下拟合： t0.05 (n 1) n 1.704 n 4.678 n2
(8)
高大钊 [13] 研究表明，式 (8) 右边简化公式与左边 理论公式相比，其相对误差小于 3%，用于实际工程 具有足够的精度。下面对式 (8)进行分析。
[3-4] [2] [1]
是随机场理论，都尚未完全实用化。尽管随机场理论 写入了新规范， 但由于其涉及到土的相关性距离的合 理取值问题，故而未能广泛应用 [5]。新规范中最终将 空间标准值拆减系数的计算公式简易化， 从而使其计 算方法与原规范一致。 因此， 理解统计学的区间估计方法在岩土参数统 计中的应用，对于理解和掌握新规范具有重要意义。 本文从经典的随机变量理论出发， 采用统计学中的区 间估计理论， 详细说明了岩土参数标准值的计算修正 公式，并讨论了修正系数的拟合简化计算式的合理
(1. 西北综合勘察设计研究院，陕西 西安 710003； 2. 长安大学地质工程与测绘学院，陕西 西安 710054； 3. 西安建筑科技大学信息与控制工程学院，陕西 西安 710055)
摘要 : 关于岩土参数的统计计算方法， GB50021—2001《岩土工程勘察规范》引入了随机场理论， 得到母体空间均值在置信水平 1-α 下的单侧置信界限，并采用标准值表述之。但是由于随机场理 论方法尚未完全实用化，故而采用了近似简化公式，最终使得标准值的计算公式与原规范一致。 同时为了方便使用，避免误用学生氏分布表，规范对修正系数计算式进行了拟合简化。本文从经 典的随机变量理论出发，采用统计学中的参数估计理论，阐述了岩土参数标准值计算公式的来源， 并讨论了修正系数的拟合简化计算式的合理性，同时提出了新的更为合理的拟合公式。 关 键 词 ： 参数估计；随机场理论；标准值；修正系数；学生氏分布 文献标识码 ： A DOI: 10.3969/j.issn.1001-1986.2013.02.014 中图分类号 ： P642; T4
式中
N (0,1) 表示标准正态分布， 2 (n 1) 表示卡方
1
参数估计
在岩土工程勘察设计中， 需要对岩土体参数赋予
分布。则可以构造如下枢轴量：
T x n (n 1) S 2
或从试验数据中统计选取一个代表值作为对岩土体 的评判依据。这个代表值应当具有一定的保证概率， 它就是标准值。它是参数平均值经统计修正后的数 值。 在给定保证概率 1-α 的前提下， 要求总体平均值 大于（或小于）它的概率不小于 1-α。 研究表明：用随机变量模拟岩土参数时，中心极 限分布系列（正态，对数正态分布）具有较好的一致 性 [6-11] 。本文在假定岩土参数服从正态分布的前提 下，对其进行参数估计。
公式 (8) 计算值 拟合 残差 相对 误差
新的拟合简化式 对于岩土参数，为保证样本数量符合统计要求， 基于 新规范要求每层地基土的试验指标不少于 6 组。 对学生氏分布表在分位数为 0.05 时的上侧分位数与 样本数 n 的关系认识，对样本数量 n≥ 6 时二者的关 提 系采用饱和生长速率曲线模型进行回归分析(图 3)， 出类似式 (9)的拟合公式： 1.645n t0.05 (n 1) (10) n 1 即： 2.3
《岩土工程勘察规范》 关于参数 就是 GB50021—2001 均值、标准差和变异系数的计算公式。
(6) n 对百度文库工程而言，一般取保证概率 1α=95%。由
于学生氏分布表不宜在新规范中直接列出， 同时为了 避免误用统计学上的过小样本容量查学生氏分布表， 新规范中给出了 α=0.05 时修正系数 γ 的近似公式： 1.704
n
~ N (0,1)
2.1
收敛边界分析
对式 (8)做恒等变形如下：
· 62 ·
3 2
煤田地质与勘探
第 41 卷
t0.05 (n 1) 1.704 4.678n
n
(9)
则 lim t0.05 (n 1) 1.704 ， 而实际上当 n 趋近于无 由此可见当 n>>1 时， 式 (9) 穷大时 t0.05 (n 1) 1.645 。 两边分别收敛于 1.645 和 1.704。即式 (9)左右两边的 收敛边界不一致。
1
区间估计 在工程勘察设计中， 需要对岩土参数作出区间概 率估计， 在给定的保证概率 1-α 条件下， 要求估计的 参数置信区间以不小于 1-α 的保证率包含待估参数， 这实际上就是参数的双侧置信估计。在实际应用中， 只需要控制区间最危险的单侧界限即可， 保证估计参 数以 1-α 的概率大于或小于这一界限值。 对于岩土参 数总体均值置信区间的单侧置信界限作出估计， 这个 界限就是标准值。 假设岩土参数总体 X 服从正态分布，即 X~N(μ, σ²)，试验样本 Xi(i=1,…,n)来自总体 X。则由数理统计 1.2
1.1
点估计 所谓的点估计就是利用样本的某一合理函数， 对 总体的未知参数进行定值估计， 主要有矩估计和极大 [12] 似然估计两种方法 。对于服从正态分布的总体， 两种估计方法均可得到： 岩土参数的样本均值和样本 方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计， 也是一 致估计。 假定岩土参数总体 X 服从正态分布，即： X~N (μ,σ²)，试验样本 Xi(i=1,…,n)来自总体 X。采用矩估
(1. Northwest Research Institution of Engineering and Design, Xi′an 710003, China; 2. College of Geology Engineering and Geomatics, Chang ′an University, Xi′an 710054, China; 3. College of the Information and Control Engineering, Xi′an University of Architecture and Technology, Xi′an 710055, China) Abstract: On the statistical calculation method of the geotechnical parameters in Norm for Investigation of Geotechnical Engineering (GB50021-2001), the paper introduced random field theory, got the average confidence limits under the confidence level of 1-α and used the standard value to express it. But because the random field theory has not yet been completely practical, a simplified formula for calculating the standard value was used, making the calculation formula consistent with the original norm. At the same time, in order to facilitate the use and avoid the misuse of student's distribution table, the norm carried out fitting and simplification of the calculation formula of the modified parameters. The paper, from the classical random variables theory, using statistical parameters in the estimation theory, discribed the standard value of the modified calculation formula, discussed the correctness of the simplified calculation formula, and puts forward the new and more reasonable fitting formula. Key words: parameter estimation; random field theory; standard value; correction coefficient; student's distribution
误差分析 对于式 (8) ，采用不同的样本容量进行拟合残差 和相对误差计算，计算结果列于表 1 及图 1、图 2。 2.2
表1
Table 1
样本 n 自由度 n-1
简化公式 (8)的误差计算表
t0.05 (n 1) n 0.822 6 0.734 5 0.669 8 0.619 8 0.579 7 0.386 6 0.310 2 0.266 4 0.150 7
由于岩土体本身的复杂性、多样性、岩土取样及 试验方法的差异性， 导致岩土参数本身具有较大的变 异性、随机性和模糊性。经典的统计学方法忽略了岩 土体的相关性和空间差异性， 将试验参数看作是独立 的随机变量 ，故采用参数统计方法求得的参数估计 量仅反映岩土体的“点特性” ，而非空间特性。故而 GB50021—2001《岩土工程勘察规范》 (以下简称新 规范 )中引入了随机场理论，试图解决这一矛盾。同 时，前人也作了大量的研究工作，试图将模糊理论引 入岩土参数的统计计算中
ˆx 1 n xi n i 1
n
由此可以得出均值 的单侧置信界限为：
t (n 1) n 由式 (3)和式 (4)式可以得出：
x
(4)
t (n 1) x (5) n 式 (5) 即为岩土参数标准值的修正计算公式，与
Discussion and application of the statistical method of geotechnical parameters and its simplified calculation formula
YANG Yong1, 2, JIANG Guichun1, WEN Jun1, LONG Li3
x 1
新规范中结合随机场理论简化后的计算表达式一致。 式中的 γ 即为修正系数， t (n 1) 为学生氏分布上侧 分位数。
(1)
2
修正系数 γ 的简化公式的讨论
由式 (5)可见：
t (n 1)
式中
1 (2) ( xi x )2 n 1 i 1 δ=σ/ x (3) x 为样本均值， xi 为样本值，n 为样本量。这 ˆ S
2
x S n
(n 1)
由学生氏分布的定义有：
T
~ t (n 1)
对于给定的置信水平 1-α，有：
x P T t1 (n 1) t (n 1) 1 S n S 即： P x t (n 1) 1 n
。但是不管模糊理论还
收稿日期 : 2012-04-11 作者简介 : 杨 勇 (1984—)，男，重庆人，土家族，硕士，工程师，从事岩土工程与工程地质勘察设计工作 .
第2期
杨
勇等 : 岩土参数统计方法及简化计算式的探讨和应用
· 61 ·
性，同时提出了新的更为合理的拟合公式。
2 (n 1) S 2 2 ~ 2 (n 1)
第 41 卷 第 2 期 2013 年 4 月
煤田地质与勘探
COAL GEOLOGY & EXPLORATION
Vol. 41 No.2 Apr. 2013
文章编号 : 1001-1986(2013)02-0060-04
岩土参数统计方法及简化计算式的探讨和应用
杨 勇 1, 2，姜桂春 1，文 君 1，龙 立3
的基本原理有：
U x
1
n
4.678 n2
(7)
即对 式 (6) 中涉及 学生氏分布 的部分 t0.05 (n 1)
n 进行了如下拟合： t0.05 (n 1) n 1.704 n 4.678 n2
(8)
高大钊 [13] 研究表明，式 (8) 右边简化公式与左边 理论公式相比，其相对误差小于 3%，用于实际工程 具有足够的精度。下面对式 (8)进行分析。
[3-4] [2] [1]
是随机场理论，都尚未完全实用化。尽管随机场理论 写入了新规范， 但由于其涉及到土的相关性距离的合 理取值问题，故而未能广泛应用 [5]。新规范中最终将 空间标准值拆减系数的计算公式简易化， 从而使其计 算方法与原规范一致。 因此， 理解统计学的区间估计方法在岩土参数统 计中的应用，对于理解和掌握新规范具有重要意义。 本文从经典的随机变量理论出发， 采用统计学中的区 间估计理论， 详细说明了岩土参数标准值的计算修正 公式，并讨论了修正系数的拟合简化计算式的合理
(1. 西北综合勘察设计研究院，陕西 西安 710003； 2. 长安大学地质工程与测绘学院，陕西 西安 710054； 3. 西安建筑科技大学信息与控制工程学院，陕西 西安 710055)
摘要 : 关于岩土参数的统计计算方法， GB50021—2001《岩土工程勘察规范》引入了随机场理论， 得到母体空间均值在置信水平 1-α 下的单侧置信界限，并采用标准值表述之。但是由于随机场理 论方法尚未完全实用化，故而采用了近似简化公式，最终使得标准值的计算公式与原规范一致。 同时为了方便使用，避免误用学生氏分布表，规范对修正系数计算式进行了拟合简化。本文从经 典的随机变量理论出发，采用统计学中的参数估计理论，阐述了岩土参数标准值计算公式的来源， 并讨论了修正系数的拟合简化计算式的合理性，同时提出了新的更为合理的拟合公式。 关 键 词 ： 参数估计；随机场理论；标准值；修正系数；学生氏分布 文献标识码 ： A DOI: 10.3969/j.issn.1001-1986.2013.02.014 中图分类号 ： P642; T4
式中
N (0,1) 表示标准正态分布， 2 (n 1) 表示卡方
1
参数估计
在岩土工程勘察设计中， 需要对岩土体参数赋予
分布。则可以构造如下枢轴量：
T x n (n 1) S 2
或从试验数据中统计选取一个代表值作为对岩土体 的评判依据。这个代表值应当具有一定的保证概率， 它就是标准值。它是参数平均值经统计修正后的数 值。 在给定保证概率 1-α 的前提下， 要求总体平均值 大于（或小于）它的概率不小于 1-α。 研究表明：用随机变量模拟岩土参数时，中心极 限分布系列（正态，对数正态分布）具有较好的一致 性 [6-11] 。本文在假定岩土参数服从正态分布的前提 下，对其进行参数估计。
公式 (8) 计算值 拟合 残差 相对 误差
新的拟合简化式 对于岩土参数，为保证样本数量符合统计要求， 基于 新规范要求每层地基土的试验指标不少于 6 组。 对学生氏分布表在分位数为 0.05 时的上侧分位数与 样本数 n 的关系认识，对样本数量 n≥ 6 时二者的关 提 系采用饱和生长速率曲线模型进行回归分析(图 3)， 出类似式 (9)的拟合公式： 1.645n t0.05 (n 1) (10) n 1 即： 2.3
《岩土工程勘察规范》 关于参数 就是 GB50021—2001 均值、标准差和变异系数的计算公式。
(6) n 对百度文库工程而言，一般取保证概率 1α=95%。由
于学生氏分布表不宜在新规范中直接列出， 同时为了 避免误用统计学上的过小样本容量查学生氏分布表， 新规范中给出了 α=0.05 时修正系数 γ 的近似公式： 1.704
n
~ N (0,1)
2.1
收敛边界分析
对式 (8)做恒等变形如下：
· 62 ·
3 2
煤田地质与勘探
第 41 卷
t0.05 (n 1) 1.704 4.678n
n
(9)
则 lim t0.05 (n 1) 1.704 ， 而实际上当 n 趋近于无 由此可见当 n>>1 时， 式 (9) 穷大时 t0.05 (n 1) 1.645 。 两边分别收敛于 1.645 和 1.704。即式 (9)左右两边的 收敛边界不一致。
1
区间估计 在工程勘察设计中， 需要对岩土参数作出区间概 率估计， 在给定的保证概率 1-α 条件下， 要求估计的 参数置信区间以不小于 1-α 的保证率包含待估参数， 这实际上就是参数的双侧置信估计。在实际应用中， 只需要控制区间最危险的单侧界限即可， 保证估计参 数以 1-α 的概率大于或小于这一界限值。 对于岩土参 数总体均值置信区间的单侧置信界限作出估计， 这个 界限就是标准值。 假设岩土参数总体 X 服从正态分布，即 X~N(μ, σ²)，试验样本 Xi(i=1,…,n)来自总体 X。则由数理统计 1.2
1.1
点估计 所谓的点估计就是利用样本的某一合理函数， 对 总体的未知参数进行定值估计， 主要有矩估计和极大 [12] 似然估计两种方法 。对于服从正态分布的总体， 两种估计方法均可得到： 岩土参数的样本均值和样本 方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计， 也是一 致估计。 假定岩土参数总体 X 服从正态分布，即： X~N (μ,σ²)，试验样本 Xi(i=1,…,n)来自总体 X。采用矩估
(1. Northwest Research Institution of Engineering and Design, Xi′an 710003, China; 2. College of Geology Engineering and Geomatics, Chang ′an University, Xi′an 710054, China; 3. College of the Information and Control Engineering, Xi′an University of Architecture and Technology, Xi′an 710055, China) Abstract: On the statistical calculation method of the geotechnical parameters in Norm for Investigation of Geotechnical Engineering (GB50021-2001), the paper introduced random field theory, got the average confidence limits under the confidence level of 1-α and used the standard value to express it. But because the random field theory has not yet been completely practical, a simplified formula for calculating the standard value was used, making the calculation formula consistent with the original norm. At the same time, in order to facilitate the use and avoid the misuse of student's distribution table, the norm carried out fitting and simplification of the calculation formula of the modified parameters. The paper, from the classical random variables theory, using statistical parameters in the estimation theory, discribed the standard value of the modified calculation formula, discussed the correctness of the simplified calculation formula, and puts forward the new and more reasonable fitting formula. Key words: parameter estimation; random field theory; standard value; correction coefficient; student's distribution
误差分析 对于式 (8) ，采用不同的样本容量进行拟合残差 和相对误差计算，计算结果列于表 1 及图 1、图 2。 2.2
表1
Table 1
样本 n 自由度 n-1
简化公式 (8)的误差计算表
t0.05 (n 1) n 0.822 6 0.734 5 0.669 8 0.619 8 0.579 7 0.386 6 0.310 2 0.266 4 0.150 7
由于岩土体本身的复杂性、多样性、岩土取样及 试验方法的差异性， 导致岩土参数本身具有较大的变 异性、随机性和模糊性。经典的统计学方法忽略了岩 土体的相关性和空间差异性， 将试验参数看作是独立 的随机变量 ，故采用参数统计方法求得的参数估计 量仅反映岩土体的“点特性” ，而非空间特性。故而 GB50021—2001《岩土工程勘察规范》 (以下简称新 规范 )中引入了随机场理论，试图解决这一矛盾。同 时，前人也作了大量的研究工作，试图将模糊理论引 入岩土参数的统计计算中