空间直线及其方程课件
合集下载
高等数学空间直线及其方程ppt
空间直线的一般方程
z
1 2
o
L
y
x
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量就 称为这条直线的方向向量． 设直线L过点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 其方向向量s (m, n, p)
z
s
M0
L
M
y
o
x M ( x, y, z ) L M0 M // s M0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) x x 0 y y0 z z 0 直线的对称式方程 m n p
代入平面的方程 2 x y z 6 0 得：
即交点:
2(2 t ) (3 t ) (4 2t ) 6 0 x 1 t 1 5 t 5 0 y 2 即 z 2 (1,2,2)
三、两直线的夹角
定义 即：两直线的方向向量的夹角（锐角）
L1
M (2,1,3)
L 过点 M 及直线L1 的平面的方程为 :
6( x 2) 12( y 1) 6( z 3) 0 x 2y z 3 0 即 所求直线L的方程为 : 3x 2 y z 5 0 x 2y z 3 0
s2
L2
cos
^ | cos ( s1 , s2 )|
m1m 2 n1n2 p1 p2 m1 n1 p1 m 2 n2 p2
2 2 2 2 2 2
|
即
|
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m2 2 n2 2 p2 2
z
1 2
o
L
y
x
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量就 称为这条直线的方向向量． 设直线L过点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 其方向向量s (m, n, p)
z
s
M0
L
M
y
o
x M ( x, y, z ) L M0 M // s M0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) x x 0 y y0 z z 0 直线的对称式方程 m n p
代入平面的方程 2 x y z 6 0 得：
即交点:
2(2 t ) (3 t ) (4 2t ) 6 0 x 1 t 1 5 t 5 0 y 2 即 z 2 (1,2,2)
三、两直线的夹角
定义 即：两直线的方向向量的夹角（锐角）
L1
M (2,1,3)
L 过点 M 及直线L1 的平面的方程为 :
6( x 2) 12( y 1) 6( z 3) 0 x 2y z 3 0 即 所求直线L的方程为 : 3x 2 y z 5 0 x 2y z 3 0
s2
L2
cos
^ | cos ( s1 , s2 )|
m1m 2 n1n2 p1 p2 m1 n1 p1 m 2 n2 p2
2 2 2 2 2 2
|
即
|
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m2 2 n2 2 p2 2
高等数学PPT课件：空间直线及其方程
交成一条直线L
A1 x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
作 A1x B1 y C1z D1
( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 (3)
(3)表示过直线L的平面 (除2 )
过直线L的所求全体平面
平面束
23
空间直线及其方程
例
求过直线
x
x
y
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角.
36
22
空间直线及其方程
平面束的方程
设有两块不平行的平面
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 (1) 其中系数不互相 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 (2) 成比例
则由对称式求出所给直线.
27
空间直线及其方程
五、小结
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程 (关键确定直线的方向向量)
各类直线方程的 作用及它们之间 的互换
空间直线的参数方程
两直线的夹角 (两直线垂直、平行的充要条件)
直线与平面的夹角 (直线与平面垂直、平行的充要条件)
28
空间直线及其方程
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C ),
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
20
空间直线及其方程
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
高等数学课件D76空间直线
mn p
得参数式方程 :
xx0mt yy0nt zz0pt
2019/9/16
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用对称式及参数式表示直线
2xxyy3zz 1400
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 ,得 y 3z 6
平面 的法向量为 n(A,B,C)
则直线与平面夹角 满足
s in co s︿,s n )(
ns L
sn sn
2019/9/16
AmBnCp
m 2n2p2 A2B2C2
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别有: (1)L
(2)L//
s//n sn
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 空间直线方程
一般式 A A 21xx B B2 1y y C C1 2zz D D 1200
对称式 xx0yy0zz0 mn p
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 pt
2019/9/16
作业 P335 3，4，5，7，9
2019/9/16
高等数学
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
一直线过点 A(1,2,1)且垂直于直线 L1:x3 12 yz1 1,
又和直线
L2
:
xy z 相交,求此直线方程 2 1
.
解： 方法1 利用叉积.
设直线Li的方向向量为 si(i1,2),过 A 点及 L2的平
y07 8,x017,6z07 8
AB (9,6,1)53(3,2,5)
得参数式方程 :
xx0mt yy0nt zz0pt
2019/9/16
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用对称式及参数式表示直线
2xxyy3zz 1400
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 ,得 y 3z 6
平面 的法向量为 n(A,B,C)
则直线与平面夹角 满足
s in co s︿,s n )(
ns L
sn sn
2019/9/16
AmBnCp
m 2n2p2 A2B2C2
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别有: (1)L
(2)L//
s//n sn
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 空间直线方程
一般式 A A 21xx B B2 1y y C C1 2zz D D 1200
对称式 xx0yy0zz0 mn p
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 pt
2019/9/16
作业 P335 3，4，5，7，9
2019/9/16
高等数学
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
一直线过点 A(1,2,1)且垂直于直线 L1:x3 12 yz1 1,
又和直线
L2
:
xy z 相交,求此直线方程 2 1
.
解： 方法1 利用叉积.
设直线Li的方向向量为 si(i1,2),过 A 点及 L2的平
y07 8,x017,6z07 8
AB (9,6,1)53(3,2,5)
空间直线及其方程PPT课件
解：设所求直线的方向向量为 s
因为所求直线与两平面的交线平行，所以 s 垂直于两平 面的法向量。
ijk
sn1n21 0 4 4i3jk
2 1 5
所 求直线为：
x43 y32z15
即
x 43 y32z15
例2、求通过点M（1.2.-2）且通过直线 L： x 32y1z 12 的平面方程。
解： 由直线 L 的方程可知：
当两条直线 L1 、L2相交时，设两条直线的夹角为 ，而方向
向量s 1 、s 2 的夹角为 ，则 或
2、直线与平面的位置关系
设直线L的方程为：
xx0 m
yy0 n
zpz0
平面 的方程为：A x B y C z D 0
则有：L / / s n m A n B p C 0
L
s//n m A B n C p
例 求直线L ：x 12y13z 24与平面 ： 2 x y z 6 0 的夹角
解： 设直线L 与平面 的夹角 为，则：
sinco（ ss、 n） 26 12 61 2
6
三、利用直线与平面其间的关系，求解综合题
例1、求过点（-3.2.5）且与两平面 x 4 y 3 和 2 x y 5 z 1 的交线平行的直线方程。
向量不唯一。
已知直线L上一点 M（ 0 x0， y0.z0） 和直线L的方向向
量 s m.n.p，建立该直线L的方程.
在直线L上任取一点M（x.y.z）
M 0 M x x 0 ， y y 0 ， z - z 0
因为s // L ，所以s//M0M
x m x0
yy0 n
z pz0
(1)
第六节 空间直线及其方程
空间直线及其方程ppt
x − y + z =1 在方程组 中, 令y=0 得, 2x + y + z = 4
x + z =1 2x + z = 4
.
解得x=3, z=−2. 于是点(3, 0, −2)为所求直线上的点
x −3 = y = z + 2 所求直线的对称式方程为 −2 1 3
Jlin Institute of Chemical Technology
x − y + z =1 在方程组 中, 令y=0 得, 2x + y + z = 4
x + z =1 2x + z = 4
.
解得x=3, z=−2. 于是点(3, 0, −2)为所求直线上的点 所求直线的参数方程为 x=3−2t, y=t, z=−2+3t .
Jlin Institute of Chemical Technology
i j k s1 = 5 − 3 3 = 3i + 4 j − k 3 −2 1
i j k s2 = 2 2 −1 =10i − 5 j +10k 3 8 1
两直线之间的夹角的余弦为
s1 × s2 3×10 + 4× (−5) + (−1)×10 = =0 | s1 |⋅| s2 | 32 + 42 + (−1)2 102 + (−5)2 +102 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 cos(s1, s2 ) =
上页 下页 返回 退出
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫 做这条直线的方向向量. 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 确定直线的条件 当直线L上一点M0(x0, y0, x0)和它的 一方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
8-7空间直线及其方程-PPT精品文档
4. 空间直线的两点式方程
设直线 L 过点 M ( x , y , z ) 与 M ( x , y , z ) ， 1 1 1 1 2 2 2 2 x x y y z z 1 1 1 则其方程为 x x y z 2 1 y 2 1 z 2 1
直线的两点式方程
例1 用对称式方程及参数方程表示直线 xyz 1 0 . 2 xy 3 z 4 0 x ,y ,z ) ， 解 在直线上任取一点 ( 5 0 0 0 x x y 1 0 3 令 z 0 ， ， 解得 , 2x y40 y2 52 3 故直线过点 ( , ,0 ) ， 33 因所求直线与两平面的法向量都垂直， i j k 取 s n n { 4 , 1 , 3 } ， 1 1 1 1 2
x 2 y 3 z 4 由两点式方程，所求直线方程为 . 2 0 4 2 x z 0 或 . y 3
二、两直线的夹角
定义 两直线方向向量间的夹角，称为两直线的夹角．
(一般取锐角) x x y z 1 y 1 z 1 直线 L ： ， s m , n , p ， 1 1 1 1 1 m n p 1 1 1
m n p 1 1 1 s s . L L ( 2 ) 1 // 2 // 2 1 m n p 2 2 2 例如， 直线 L1 : s { 1 , 4 , 0 } ， 1 直线 L2 : s { 0 , 0 , 1 } ， 2 s s ， s s 0 ， 即 L L . 1 2 1 2 1 2
x 1 y 5 z 8 例4 设有直线 L ： 及 1 1 2 1 x y 6 ， 直线 L ： 则 L 与 L 的夹角 [ ． ( 19 ) C] 2 1 2 2 y z 3 ，
空间直线方程 ppt课件
y0
2 1.5
交线在xoz坐标面的投影
1 0.5
-02
消去参数y,
z
2
a2
ax
y 0 PPT课件
-1 0 1
2
30
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
L : x x0 y y0 z z0 , sr (m, n, p),
:
m
n
p
s1 s2
cos(L1, L2 ) ur ur
s s 1PPT课件2
20
281
2
cos(L1 , L2 )
. 1 16 1 4 4 1 2
所以两直线的夹角为 . 4
PPT课件
21
练习
求直线
5x 3y 3z 9 0
3x
2y
z
1
0
与
直线
2x
3
x
2 8 uur
y y
z z
PPT课件
9
从空间直线的一般方程到对称式方程
L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p
PPT课件
7
下面得出直线的参数方程
空间直线及其方程【高等数学PPT课件】
第六节 空间直线及其方程
一、直线方程
1
1. 一般式方程
A1 x
B1
y
C1z
D1
0,
2
其中
A2 n1
x B2 y C2z ( A1, B1,C1 )与
D 2 n2
0, ( A2
,
L
B2 ,C2 )
不平行.
2. 对称式、参数式方程
平行于直线l的非零向量 称为直线的方向向量,
x y
x0 y0
0 0
s 的方向余弦称为直线 l 的方向余弦.
若令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
则
x y
x0 mt y0 nt
——直线的参数式方程
z z0 pt
t 为参数
例1 求过点 M0(2,6,3) 且平行于 (2,1,3)
过直线 l 的平面有无穷多个，称为过l 的平面束,
其方程为:
A1 x B1 y C1z D1 m( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
其中m为待定参数.
例3
求直线l:
x y z 1 0 在平面 x yz10
x y z 0 上的投影直线方程.
n ( A, B,C )
若直线与平面斜交, 则该直线与它在平面上的
投影的夹角 (0 f π ) 称为
直线与平面的夹角. 2
设 n与 s的夹角为 , 则 或
2
n
2
l
2
2
一、直线方程
1
1. 一般式方程
A1 x
B1
y
C1z
D1
0,
2
其中
A2 n1
x B2 y C2z ( A1, B1,C1 )与
D 2 n2
0, ( A2
,
L
B2 ,C2 )
不平行.
2. 对称式、参数式方程
平行于直线l的非零向量 称为直线的方向向量,
x y
x0 y0
0 0
s 的方向余弦称为直线 l 的方向余弦.
若令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
则
x y
x0 mt y0 nt
——直线的参数式方程
z z0 pt
t 为参数
例1 求过点 M0(2,6,3) 且平行于 (2,1,3)
过直线 l 的平面有无穷多个，称为过l 的平面束,
其方程为:
A1 x B1 y C1z D1 m( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
其中m为待定参数.
例3
求直线l:
x y z 1 0 在平面 x yz10
x y z 0 上的投影直线方程.
n ( A, B,C )
若直线与平面斜交, 则该直线与它在平面上的
投影的夹角 (0 f π ) 称为
直线与平面的夹角. 2
设 n与 s的夹角为 , 则 或
2
n
2
l
2
2
空间的直线方程PPT课件
ijk 2 3 1 (1, 5, 13).
3 2 1
第8页/共44页
现求一定点. 将联立方程组 2x 3y z 7
3x 2y z 1
令x = 1得 y= 1, z =2, 得一定点(1, －1, 2). 故得对称式
x 1 y 1 z 2 1 5 13
第9页/共44页
二 两直线的位置关系
（A）平行平面π
（C）在平面π上
（B）垂直平面π
（D）与平面π斜交
解： 直线l的方向向量 s为：
ij k
s 1 3 2 28i 14 j 7k {28,14, 7}
2 1 10
s {4,- 2,1}
又因为平面的法向量为{4,- 2,1}
所以直线l与平面垂直，故选择（B） 第20页/共44页
2 abc
b2c2 a2c2 a2b2
第30页/共44页
本节综合习题
【1】求过点M0(3, 3, 0)且与直线 l1:
x 1
y 1
z 2
垂直相交的直线 l 的方程.
解：
设所求直线 l 与 l2 与交点
M0•
l1 为M1(x1, y1, z1).
则
M1
M0M1 s1 = (1, 1, 2).
2 1 3
(4, 1, 3).
第5页/共44页
现求一定点. 将联立方程组 x y z 1 0,
2x y 3z 4 0
相加:
3x 4z 5 0.
令z = 1得 x = 3, y=1,
得一定点(3, 1, 1). 故得对称式
x 3 y 1 z 1. 4 1 3
第6页/共44页
有： sin
| Am Bn Cp |
3 2 1
第8页/共44页
现求一定点. 将联立方程组 2x 3y z 7
3x 2y z 1
令x = 1得 y= 1, z =2, 得一定点(1, －1, 2). 故得对称式
x 1 y 1 z 2 1 5 13
第9页/共44页
二 两直线的位置关系
（A）平行平面π
（C）在平面π上
（B）垂直平面π
（D）与平面π斜交
解： 直线l的方向向量 s为：
ij k
s 1 3 2 28i 14 j 7k {28,14, 7}
2 1 10
s {4,- 2,1}
又因为平面的法向量为{4,- 2,1}
所以直线l与平面垂直，故选择（B） 第20页/共44页
2 abc
b2c2 a2c2 a2b2
第30页/共44页
本节综合习题
【1】求过点M0(3, 3, 0)且与直线 l1:
x 1
y 1
z 2
垂直相交的直线 l 的方程.
解：
设所求直线 l 与 l2 与交点
M0•
l1 为M1(x1, y1, z1).
则
M1
M0M1 s1 = (1, 1, 2).
2 1 3
(4, 1, 3).
第5页/共44页
现求一定点. 将联立方程组 x y z 1 0,
2x y 3z 4 0
相加:
3x 4z 5 0.
令z = 1得 x = 3, y=1,
得一定点(3, 1, 1). 故得对称式
x 3 y 1 z 1. 4 1 3
第6页/共44页
有： sin
| Am Bn Cp |
空间直线及其方程 PPT
大家好
8
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
xx2yy2zz2,
m2
n2
p2
^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2
6 9
36
arcsi7n 为所求夹角．
36
大家好
15
例6 求 过 点 (3,2,5)且 与 两 平 面 x4z3和 2xy5z1的 交 线 平 行 的 直 线 方 程 .
解 设所求直线的方向向量为 sr(m ,n,p),
根据题意知 sn1, sn2, 取 s n 1n 2(4,3,1),
所求直线的方程 x3y2z5. 4 31
大家好
10
例3. 求以下两直线的夹角
L1:
x1yz3 1 4 1
L2:2 xy22z1
解:直线 L 1的方向向量为 s1(1,4,1)
直线
L 2 的方向向量为
r s2(2,2,1)
二直线夹角 的余弦为
cos 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2
12(4)212 22(2)2(1)2 2
(2) L// A B m C n 0 .p
大家好
14
例5设 直 线 L:x1yz1， 平 面 2 1 2
:xy2z3， 求 直 线 与 平 面 的 夹 角 . 解 n r(1,1,2), sr(2,1,2),
sin |A m B C n|p
A 2B 2 C 2 m 2 n 2p 2
空间直线与其方程教学讲义
解得 m 3 p，n 3 p 4
所求直线方程：x 1 3p
y2 3p
z4 p
4
即
x
3
1
y2 3
z4 1
4
注：所求直线的方向向量也可由S
n1
n2得到.
五、点到直线的距离
设直线L过点M0, 方向向量为s, 则点M到直线L
M
距离d是以M0 M 与 s 为邻边的
M 0 s
L
平行四边形底边s 上的高.
因此有
d
|
M0M
s
|
|s|
例5 求点 M(1,0,1）到直线 x y 1 z 1的距离. 1 1 2
解 直线过点M0 (0,1,1)，s (1,1,2）
M0 M (1,1,0), M0 M s (2,2,0)
{2 7
2, 13 7
1,
3 7
3}
{ 12 , 6 , 77
24}, 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
例 8 求通过直线 x 1 y 1 z 2且与平面 232
3x 2 y z 5 0相垂直的平面.
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M L, M( x, y, z),
x
M0M// s
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
注意： 1.两个等号连等表示直线，一个等号表示平面
2.若
m
0,直线的方程为
y
x n
y0
x0
0 z z0
p
3.若m n 0, p 0,直线的方程为
x y
x0 y0
0 0
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
解 设所求直线的方向向量为 s (m, n, p),
根据题意知
s
n1
,
s
n2
,
取 s n1 n2 (4, 3, 1),
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
例7. 求直线
与平面
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
代入平面方程得 t 1
第六节
第八章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 A2
x x
B1 B2
从而确定交点为（1，2，2）.
例 8 求过点M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1
(1,4,
0),
s2
(0,0,1),
s1
s2
0,
s1
s2
,
即 L1L2 .
例3. 求以下两直线的夹角
L2
:
x 2
y2 2
z 1
解:直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 s2 (2, 2, 1)
点坐标 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s
n1
n2
(4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA (2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
二直线夹角 的余弦为 1 2 (4) (2) 1 (1)
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
4
例 4 求直线53xx32yy3zz1900与直线
2x
3
x
2 8
y y
z z
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． M0( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p),
z s
L
M
M0
o
y
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)Leabharlann L A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 5 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解 n (1, 1, 2), s (2, 1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直
线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
例 6 求过点(3, 2,5)且与两平面x 4z 3 和 2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
23 18
0的夹角余弦. 0
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
当直线与平面垂直时,规定其夹角
L : x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n (A, B,C),