卷积和和卷积积分.ppt

若： 0
0 t1
tn t
n1
x(t) (t t1) (t t2 ) (t tn1) (t ti ) i 1
n1
y(t) h(t t1) h(t t2 ) h(t tn1) h(t ti ) i 1
设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的
y(t) yx (t) y f (t)
➢零输入响应 ➢零状态响应
yx (t) T[(y(t0)，{0}]
y f (t) T0，x(t)
n
而： yx (t)
c e it xi
i0
n
y f (t)
c eit fi
y p (t)
i0
例：已知一系统的微分方程为：
y'(t) 2 y(t) x(t)，且y(0 ) 2
t
1
（3）
h(t ) x( )
1
-2+t
1 2
0 1 t
t 1 时，y(t) 0 2
1 t 1时， 2
y(t)
t
1 2
1 2
(t
)d
t2 t 1 4 4 16
1t 3时 2
y(t)
1 1
2
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
（4）
h(t ) x( )
1
1 2
-2+t 0
一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。
矩形信号：
x(t) u(t t1) u(t tn )
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t) 1
0 t1
x(t) 1
tn t
x(t) u(t t1) u(t t2) u(t tn1) u(t tn )
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient)
重点： ❖理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； ❖掌握LTI系统的性质； 难点： ❖深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
2.1 线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。
❖微分方程的经典解。
1
窄脉冲之和。
x(t)
x(k )
0
k
t
当 0 则： x(t) x(k ).. (t k ) k
设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于t k 的
冲激响应为
x(k )..h(t k )
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：
yf (t) x(k )..h(t k ) k
求分别输入x1(t) et和x2 (t) 5et
时的输出y(t)。
解： y1(t) (e2t et )u(t)
y2 (t) (3e2t 5et )u(t)
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信
号 (t)的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。
即：
h(t) T[{0}, (t)]
当： d,k 求和符号改为积分符号
x(t) x( ) (t )d
y f (t)
x( )h(t )d
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t) x(t)*h(t) x( )h(t )d
❖卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求
1<t<2
2<t<3
3<t<4
4<t<5
例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
x(t)
h(t)
1
1
1 2
反折：
01t
h( )
1
-2
0
0
时移
2t
h(t )
1
-2+t
t 0
（1）
h(t )
x( )
1
（2）
-2+t
1
t2
0
1
h(t )
1
x( )
-2+t
1 2
0
特解yp(t) 常数A
eat a i
eat
a i
i为
重根
i
L
Ckt k
k 0
Aeat
i
Ajt jeat
j0 L
Ajt j
j0
t tp
cos(t )
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
B1 cos(t ) B2 sin(t )
❖系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
解步骤，以x(t)*h(t)为例：
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
h(t)
1 1
x(t) t
2 1
2 4t
h(t-)
t=0
x()
t-1 t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t<1
微分方程
n
m
ai y(i) (t) bj x( j) (t)
i0
j0
其有无数个解；若已知初始条件：
y(0 ), y (1) (0 ), y (2) (0 ) y (n1) (0 )
其解唯一。
y(t) yh (t)＋ yp (t)
齐次解
特解
➢齐次解
n
齐次解是满足
ai y (i) (t) 0 的解
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
1.5δ(t)
2Ω
＋ 0.25F
－
＋
uc(t)
－
解：建立系统的微分方程：
RC duc dt
uc
1.5 (t)
即：duc dt
2uc
3 (t)
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在t>0 时，系统的激励为0。相当于在0－到0＋时刻，使系统具有了一 定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具 有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：
h(t) L[{0}, (t)] cetu(t)的形式。 这里，＝－2。即h(t) ce－2tu(t)代入方程中： －2ce－2tu(t)＋c (t) 2ce－2tu(t) 3 (t)
c3 h(t) 3e－2tu(t)
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。
i0
n
若n个特征值各不相同： yh (t) cieit
i0
若特征值中有λ1是r重根，而其余的根都为单数，则
r
n
yh (t) cit rie1t c je jt
i0
j r 1
ci、cj的值由初始条件确定。 ➢特解
特解的函数形式与激励函数形式有关。
微分方程的特解形式：
输入信号x(t) 常数C