(五四制) 鲁教版数学 8年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_40

例 2 如图 9-37，将△ABC 沿 BC 方向平移得到
AD
△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分（图中阴影部分）
G
的ห้องสมุดไป่ตู้积是△A B C 的面积的一半. 已知 B C = 2，求
△ABC 平移的距离. 解：根据题意，可知 EG∥AB，
BE
CF
图 9-37
∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A.
∴△GEC ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
问题解决
2. 如图，小明自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 15 cm. 他准备了一支
长为 20 cm 的蜡烛，想要得到高度为 5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的
地方？
A B
C O
C A
M
（第 2 题）
BH
D
（第 3 题）
3. 如图，AB 和 CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和 BC 表示起固定作用的两根
钢筋，AD 与 BC 的交点为 M. 已知 AB = 10 m，CD = 15 m，求点 M 离地面的
高度 MH.
4. 如图，有一块三角形余料 ABC，它的边 BC =
A
80 cm，高 AD = 60 cm. 现在要把它加工成长与 宽的比为 2∶1 的矩形零件 PQMN，要求一条长
N
EM
边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上.
求矩形的长和宽.
B
P
DQ
C
（第 4 题）
如果△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为 2，那么△ABC 与△A′B′C′的周长之 比是多少？面积之比呢？
如果△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为 k，那么你能求出△ABC 与△A′B′C′ 的周长之比和面积之比吗？
119
第九章 图形的相似
如图
9-36，由已知，得
A
（2）求正方形 PQRS 的边长. 解：（1）△ASR ∽ △ABC. 理由如下：
S
ER
∵ 四边形 PQRS 是正方形，
∴ SR∥BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
B
P
DQ
C
图 9-35
∴△ASR ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
（2）由（1）可知△ASR ∽ △ABC，
第九章 图形的相似
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
A
B
DE
C
C'
图 9-34
A' E'D' B'
例 1 如图 9-35，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边
上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
120
∴
AE AD
= BSRC
（相似三角形对应高的比等于相似比）.
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，则 AE =（40 - x）cm .
∴
40 - x 40
= 6x0
.
解得 x = 24.
∴ 正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
随堂练习
1. △ABC ∽ △A'B'C'，BD 和 B'D' 是它们的对应中线.
已知
AC A'C'
= 3 2
，B
'D' = 4
cm，
求 BD 的长.
2. 两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5 cm，求这两个三角形的相
似比. 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是 3 cm，那么较长的中
线有多长？
118
8
相似三角形的性质
习题 9.11
知识技能
1. △ABC ∽ △A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应角平分线. 已知 AD = 8 cm， A′D′= 3 cm，求△ABC 与△A′B′C′对应高的比.
1
∴
S△ABC S△A'B'C'
2 AB·CD
=
1 2
A'B'·C'D'
= AB A'B'
·CC'DD' = k2.
C C'
A
D
B A' D'
B'
图 9-36
定理 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
议一议
两个相似四边形的周长的比等于相似比吗？面积的比等于相似比的平方 吗？两个相似五边形的周长的比以及面积的比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？
AB A'B'
= BB'CC' = AA'CC' = k，
∴
AB + BC + AC A'B' + B'C' + A'C'
= AB A'B'
= k.
分别作△ABC 和△A′B′C′的高 CD，C′D′.
∵ △ABC ∽ △A'B'C′，
∴
CD = AB C'D' A'B'
= k（相似三角形对应高的比等于相似比）.