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概率论课件之随机事件PPT课件
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生；
A( B∪C)）
(2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生；
ABC ABC ABC ABC
(4) A , B, C 中至少有两个发生；
AB BC AC
(5) A , B, C 中至多有两个发生；
ABCA不BC发生；
(6) A , B, C 中不多于一个发生.
AB BC AC
或ABC ABC ABC ABC
３. 小结
(1) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
(4) 事件 A 与 B 积事件（交） 事件 A B { x x A 且 x B}称为事件
A 与事件 B 的积事件. A和B同时发生 A B发生 积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ，Ａ ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
AA B
B
Ω
B A
B
A AB Ω
(7) 事件 A 的对立事件
设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作
A.
实例 “骰子出现1点”
“骰对子立不出现1点”
图示 A 与 B 的对立.
A
若 A 与 B对立,则有
A B 且 AB .
B A Ω
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥(互不相容) A、B 对立（互逆）
(5) 事件 A 与 B 互不相容 (互斥)
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生；
A( B∪C)）
(2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生；
ABC ABC ABC ABC
(4) A , B, C 中至少有两个发生；
AB BC AC
(5) A , B, C 中至多有两个发生；
ABCA不BC发生；
(6) A , B, C 中不多于一个发生.
AB BC AC
或ABC ABC ABC ABC
３. 小结
(1) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
(4) 事件 A 与 B 积事件（交） 事件 A B { x x A 且 x B}称为事件
A 与事件 B 的积事件. A和B同时发生 A B发生 积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ，Ａ ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
AA B
B
Ω
B A
B
A AB Ω
(7) 事件 A 的对立事件
设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作
A.
实例 “骰子出现1点”
“骰对子立不出现1点”
图示 A 与 B 的对立.
A
若 A 与 B对立,则有
A B 且 AB .
B A Ω
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥(互不相容) A、B 对立（互逆）
(5) 事件 A 与 B 互不相容 (互斥)
概率论绪论PPT课件
也可以按某种标准把支出分为高、 中、低三档. 这时，样本点有（高,高）, （高,中），…，(低,低）等9种，样本空 间就由这9个样本点构成 .
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 .
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. —— 其起源与博弈问题 有关.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
A1, A2,..., An 构成一个完备事件组.
举例
例1：掷一颗骰子的试验，观察其出现的点 数：事件A表示{出现奇数点}；事件B表示 {出现点数小于5}；事件C表示{出现小于5 的偶数点}。用列举法表_示_ 事件：
Ω ,A+B,A-B,B-A,AB,AC, A B
例2：设A、B、C为三个随机事件，表示下列 事件：
序论
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：《概率论》是数理统计学的基础，数理统
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 .
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. —— 其起源与博弈问题 有关.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
A1, A2,..., An 构成一个完备事件组.
举例
例1：掷一颗骰子的试验，观察其出现的点 数：事件A表示{出现奇数点}；事件B表示 {出现点数小于5}；事件C表示{出现小于5 的偶数点}。用列举法表_示_ 事件：
Ω ,A+B,A-B,B-A,AB,AC, A B
例2：设A、B、C为三个随机事件，表示下列 事件：
序论
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：《概率论》是数理统计学的基础，数理统
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
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(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
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例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
(2)A B
A B
(3)A B
S 高校教育精品PPT
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4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)A B
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5.事件的互不相容(互斥): 若A B ,则称A与B是互不相容的,或互斥的,即
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应用场景
强大数定律在统计学中用于 估计极端事件发生的概率和 风险，在决策理论中用于评 估最优策略和期望收益，在 可靠性工程中用于分析系统 的可靠性和寿命。
注意事项
强大数定律的应用有一定的 限制条件，例如随机序列必 须是独立同分布的。此外， 强大数定律并不能保证每个 随机事件的绝对正确性，而 只是给出了最大值分布的稳 定性。
连续随机过程
如布朗运动，每一步都是连续 的，每一步的状态都是连续的
。
随机游走与布朗运动
随机游走
一个随机过程，其中每一步都是随机的，通 常用来描述粒子的无规则运动。
布朗运动
一种连续随机过程，由大量微小粒子在流体 中无规则运动产生，通常用来描述微观粒子 的运动。
马尔科夫链与马尔科夫过程
马尔科夫链
一个随机过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去状态 无关。
注意事项
大数定律的前提是试验次数必须足够多，并且随 机事件之间必须是独立的。此外，大数定律并不 能保证每个随机事件的绝对正确性，而只是给出 了频率趋于概率的稳定性。
强大数定律
总结词
强大数定律是概率论中的重 要定理之一，它描述了随机 序列中最大值的分布性质。
详细描述
强大数定律指出，对于任意 给定的正整数序列$a_n$和 $b_n$，有$lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n} = 1$的概率 为1。这个定理说明了随机 序列中最大值的分布具有很 强的稳定性。
随机变量的性质
随机变量具有可测性、可加性和有限 可加性。
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在样本空间中取有 限个或可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
《概率论讲义》课件
线性回归
介绍线性回归模型的基本原理和应用案例。
多元非线性回归
探讨多元非线性回归分析的方法和实际应用。
蒙特卡罗方法
1
简介和基本概念
介绍蒙特卡罗方法的基本思想和使用领域。
2
模拟方法
说明蒙特卡罗方法的模拟过程和实际应用。
3
抽样方法
讨论蒙特卡罗方法中的抽样技术和抽样步骤。
应用案例
金融风险管理
探讨概率论在金融风险管理中的应用和重要性。
2
弱大数定律
探讨具体的弱大数定律和其适用性。
3
中心极限定理
详细解释中心极限定理及其在概率论中的重要性。
统计推断
1 点估计
介绍点估计的概念和方法，以及其在概率论中的应用。
2 区间估计
说明区间估计的原理和步骤，并讨论其实际应用。
3 假设检验
讲解假设检验的基本思想和步骤，以及其在统计学中的作用。
回归分析
《概率论讲义》PPT课件
概率论讲义PPT课件大纲
简介
介绍概率论的基本概念和应 用领域，初步了解概率论的 历史和发展。
随机变量
定义随机变量，离散型和连 续型随机变量及其概率分布。
概率分布
二项分布，泊松分布和正态 分布。
大数定律与中心极限定理
1
定义大数定律和中心极限定理
深入了解大数定律和中心极限定理的概念和应用。
人口统计学
展示概率论如何应用于人口统计学数据的分析和预测。
物理学和天文学
介绍概率论在物理学和天文学研究中的关键作用。
结论
总结所学内容，展望概率论的未来发展和应用前景。
参考文献
推荐阅读经典著作和相关文献
提供经典著作和相关文献，供学习和研究参考。
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
概率论第一章ppt课件
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
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小结
i1
i1
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3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
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4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
概率论ppt课件
先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
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(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）
1 A B ： 事 件 A 发 生 一 定 导 致 B 发 生
AB 2A ＝ B BA
B A
S
例： BA 记A={明天天晴}，B={明天无雨}
BA 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
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§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 1 n；
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 AB
A与B的积事件，记为 A B ,A B ,A B
A B A B { x | x A 且 x B } ： A 与 B 同 时 发 生 。
n i 1 n i 1
S A B
A B { x | x A 或 x B } ： A 与 B 至 少 有 一 发 生 。
(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）
1 A B ： 事 件 A 发 生 一 定 导 致 B 发 生
AB 2A ＝ B BA
B A
S
例： BA 记A={明天天晴}，B={明天无雨}
BA 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
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§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 1 n；
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
BA
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事件的运算
A与B的和事件，记为 AB
A与B的积事件，记为 A B ,A B ,A B
A B A B { x | x A 且 x B } ： A 与 B 同 时 发 生 。
n i 1 n i 1
S A B
A B { x | x A 或 x B } ： A 与 B 至 少 有 一 发 生 。
高等数学概率论与数理统计课件PPT大全
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
概率论与数理统计教程ppt课件
1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
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第一章 随机事件与概率
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
16 March 2020
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
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第一章 随机事件与概率
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概率的有限可加性
证明 令 A A , n 1 n 2
A A , i j ,i , j 1 , 2 , . i j
由概率的可列可加性得
k1
P ( A A A ) P(A P( A 1 2 n k ) 0 k ) k ) P( A
A AB B
( 5 )(加法公式 )对于任意两事件 A ,B 有 P (A B ) P (A ) P ( B ) P (AB ).
证明 由图可得
A B A ( B AB ), A AB
且 A ( B AB ) ,
故 P ( A B ) P ( A ) P ( B AB ).
(1) 非负 : 对于每一个事件 性 A ,有 P ( A ) 0 ;
(2) 规范性:
P( )=1;
(3) 可列可加性 :设 A ,A , 是两两互不相 1 2 事件 ,即对于 i j, A , i, j 1 ,2 , ,则有 iA j
P ( A A ) P ( A ) P ( A ) 1 2 1 2
n 个事件和的情况
P ( A A A ) P ( A P ( A 1 2 n i) iA j)
i 1 1 i j n
n
P ( A A A ) ( 1 ) P ( A A A ). i j k 1 2 n
n 1 1 i j k n
２. 事件的概率（概率的公理化定义） 设 E 是 随 机 试 验 , 是 它 的 样 本 空 间 . 对 于 E
的 每 一 事 件 A 赋 予 一 个 实 数 , 记 为 P ( A ) , 称 为 事 件 A 的 概 率 , 如 果 集 合 函 数 P ( ) 满 足 下 列 条 件 :
B
又由性质4 得 P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ), 因此得
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A A A ) 1 2 3
P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A A ) P ( A A ) 1 2 3 1 2 2 3 P ( A A ) P ( A A A ). 1 3 1 2 3
例1
设 A B , A C , P ( A ) 0 . 8 , P ( B C ) 0 . 6 ,,乙,丙三种报纸,订购丙报的占30%, 同时定甲,乙两种报纸有 10%. 同时订甲丙或乙丙两种 报纸的各占 8% ， 5%. 三报都订的 3% 求从该市任选一 人, (1)他只订甲乙两报(2)只订丙报的概率各为多少. 解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
k1
k1
n
P ( A ) P ( A ) P ( A ). 1 2 n
( 3 ) 设 A 是 A 的对 , 则 立 P ( A 事 ) 1 件 P ( A ).
证明 因 为 A A , A A , P ( ) 1 ,
所 以 1( P ) P ( A A )
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出
了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格
定义 ，使概率论有了迅速的发展.
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia
得 P ( B ) P ( A ) P ( B A ) .
于是 P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
又因 P ( B A ) 0 ,故 P ( A ) P ( B ).
有用结论：
( 1 ) P ( AB ) P ( A ) P ( A B ) ; ( 2 ) P ( AB ) P ( A B ) P ( B )
P ( A ) P ( A ) .
P ( A ) 1 P ( A ).
( 4 ) 设 A , B 为两 , 且 个 A B 事 , 则 件 P ( A ) P ( B ),P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
证明
因为 A B ,
B
A 又 ( B A ) A , 所以 B A ( B A ).
实验者 德 摩根
n
nH
1061 2048 6019 12012
fn ( H )
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
1 lim fn H n 2
在概率论的发展初的时候，有人对概率用这种 频率的极限来加以定义，这个定义方法，我们在概 率论里把它叫做概率的统计定义。这个统计定义在 理论上有他的意义，它反映了频率的稳定性 用频率的极限作为概率的定义它在实际上的 价值并不大，同时，由于理论研究的需要，受频 率的极限的启发，于是．．．．．．
大学概率论课 件
1. 事件的频率
在 相 同 的 条 件 下进 , 行 了次 n 试 验在 , 这 n 次 试 验 中 ,事 件 A 发 生 的 次 数 n 为 事 件 A 发 A称 n 生 的 频 数 . 比 值A称 为 事 件 A 发 生 的 频 率 ,并 记 n 成 fn(A ) .
2048 4040 蒲丰 K皮尔逊 12000 K皮尔逊 24000
概率的可列可加性
概率的性质
( 1 )P 0
证明
P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) .
( 2 )若 A ,A , ,A 是两两互不相容的事 ,则有 1 2 n
P ( A A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ). 1 2 n 1 2 n
证明 令 A A , n 1 n 2
A A , i j ,i , j 1 , 2 , . i j
由概率的可列可加性得
k1
P ( A A A ) P(A P( A 1 2 n k ) 0 k ) k ) P( A
A AB B
( 5 )(加法公式 )对于任意两事件 A ,B 有 P (A B ) P (A ) P ( B ) P (AB ).
证明 由图可得
A B A ( B AB ), A AB
且 A ( B AB ) ,
故 P ( A B ) P ( A ) P ( B AB ).
(1) 非负 : 对于每一个事件 性 A ,有 P ( A ) 0 ;
(2) 规范性:
P( )=1;
(3) 可列可加性 :设 A ,A , 是两两互不相 1 2 事件 ,即对于 i j, A , i, j 1 ,2 , ,则有 iA j
P ( A A ) P ( A ) P ( A ) 1 2 1 2
n 个事件和的情况
P ( A A A ) P ( A P ( A 1 2 n i) iA j)
i 1 1 i j n
n
P ( A A A ) ( 1 ) P ( A A A ). i j k 1 2 n
n 1 1 i j k n
２. 事件的概率（概率的公理化定义） 设 E 是 随 机 试 验 , 是 它 的 样 本 空 间 . 对 于 E
的 每 一 事 件 A 赋 予 一 个 实 数 , 记 为 P ( A ) , 称 为 事 件 A 的 概 率 , 如 果 集 合 函 数 P ( ) 满 足 下 列 条 件 :
B
又由性质4 得 P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ), 因此得
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A A A ) 1 2 3
P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A A ) P ( A A ) 1 2 3 1 2 2 3 P ( A A ) P ( A A A ). 1 3 1 2 3
例1
设 A B , A C , P ( A ) 0 . 8 , P ( B C ) 0 . 6 ,,乙,丙三种报纸,订购丙报的占30%, 同时定甲,乙两种报纸有 10%. 同时订甲丙或乙丙两种 报纸的各占 8% ， 5%. 三报都订的 3% 求从该市任选一 人, (1)他只订甲乙两报(2)只订丙报的概率各为多少. 解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
k1
k1
n
P ( A ) P ( A ) P ( A ). 1 2 n
( 3 ) 设 A 是 A 的对 , 则 立 P ( A 事 ) 1 件 P ( A ).
证明 因 为 A A , A A , P ( ) 1 ,
所 以 1( P ) P ( A A )
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出
了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格
定义 ，使概率论有了迅速的发展.
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia
得 P ( B ) P ( A ) P ( B A ) .
于是 P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
又因 P ( B A ) 0 ,故 P ( A ) P ( B ).
有用结论：
( 1 ) P ( AB ) P ( A ) P ( A B ) ; ( 2 ) P ( AB ) P ( A B ) P ( B )
P ( A ) P ( A ) .
P ( A ) 1 P ( A ).
( 4 ) 设 A , B 为两 , 且 个 A B 事 , 则 件 P ( A ) P ( B ),P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
证明
因为 A B ,
B
A 又 ( B A ) A , 所以 B A ( B A ).
实验者 德 摩根
n
nH
1061 2048 6019 12012
fn ( H )
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
1 lim fn H n 2
在概率论的发展初的时候，有人对概率用这种 频率的极限来加以定义，这个定义方法，我们在概 率论里把它叫做概率的统计定义。这个统计定义在 理论上有他的意义，它反映了频率的稳定性 用频率的极限作为概率的定义它在实际上的 价值并不大，同时，由于理论研究的需要，受频 率的极限的启发，于是．．．．．．
大学概率论课 件
1. 事件的频率
在 相 同 的 条 件 下进 , 行 了次 n 试 验在 , 这 n 次 试 验 中 ,事 件 A 发 生 的 次 数 n 为 事 件 A 发 A称 n 生 的 频 数 . 比 值A称 为 事 件 A 发 生 的 频 率 ,并 记 n 成 fn(A ) .
2048 4040 蒲丰 K皮尔逊 12000 K皮尔逊 24000
概率的可列可加性
概率的性质
( 1 )P 0
证明
P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) .
( 2 )若 A ,A , ,A 是两两互不相容的事 ,则有 1 2 n
P ( A A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ). 1 2 n 1 2 n