对数正态分布(log-normal distribution)

对数正态分布

对数正态分布

机率密度函数

μ=0

累积分布函数

μ=0

参数

值域

概率密度函数

累积分布函数

期望值

中位数eμ

众数

方差

偏态

峰态

熵值

动差生成函数(参见原始动差文本)

特征函数is

asymptotically divergent but sufficient

for numerical purposes

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X 是正态分布的随机变量，则exp(X) 为对数分布；同样，如果Y是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于x > 0，对数正态分布的概率分布函数为

其中μ与σ分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是

方差为

给定期望值与标准差，也可以用这个关系求μ与σ

目录

[隐藏]

∙ 1 与几何平均值和几何标准差的关系

∙ 2 矩

∙ 3 局部期望

∙ 4 参数的最大似然估计

∙ 5 相关分布

∙ 6 进一步的阅读资料

∙7 参考文献

∙8 参见

[编辑]与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于exp(μ)，几何平均差等于 exp(σ)。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

其中几何平均数μgeo = exp(μ)，几何标准差σgeo = exp(σ)

[编辑]矩

原始矩为：

或者更为一般的矩

[编辑]局部期望

随机变量X在阈值k上的局部期望定义为

其中f(x) 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

其中Φ是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。

[编辑]参数的最大似然估计

为了确定对数正态分布参数μ与σ的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

其中用表示对数正态分布的概率密度函数，用—表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

由于第一项相对于μ与σ来说是常数，两个对数最大似然函数与在同样的μ与σ

处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

[编辑]相关分布

∙如果Y = ln(X) 与，则Y∼N(μ,σ2) 是正态分布。

∙如果是有同样μ参数、而σ可能不同的统

计独立对数正态分布变量，并且，则Y也是对数正态分布变量：

。

[编辑]进一步的阅读资料

∙Robert Brooks, Jon Corson 以及J. Donal Wales的"The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion", in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

[编辑]参考文献