多项式的综合除法
多项式的除法原理(综合除法)
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則(1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋。
多项式的综合除法
a4 +)
b3
a3 k × b3 b2
a2 k × b2 b1
a1 k × b1 b0
a0 k × b0 r
附注
当除式为(ax − b) 时，综合除法仍可使用。
1. 先以x − b 为除数，原被除数P (x)，得商Q(x) 和余数r； a
2.
是以P (x) = (x −
b ) × Q(x) + r
a
3. 故P (x) = (ax − b) ×
1 Q(x)
+ r；
a
4. 故当P (x) (x)
、余数仍是r。
a
2
综合除法的另一应用
若给定一元多项式P (x)，综合除法亦可用来计算P (a) 的值。 先进行综合除法，计算P (x) 被x − a 除，得商式Q(x) 及余数R，P (a) = R。
13 51 156 52 159
3
1
解
1. 现仅以一个4 次的一元多项式P (x) 作例； 2. 设P (x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0； 3. 若P (x) 被(x − k) 除，命商式为Q(x)、余式为R(x)； 4. 因(x − k) 为1 次，商式的次数比被除式的次数小1，故为3 次； 5. 而余式的次数必须比除式小，余式的次数只能是0，故余式是一个常数r； 6. 命Q(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0； 7. 由除法，P (x) = (x − k) × Q(x) + r； 8. a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (x − k) × (b3x3 + b2x2 + b1x + b0) + r
综合除法的推导过程
综合除法的推导过程综合除法是一个数学概念，用于求解两个多项式的商和余数。
这个数学工具在高中数学中经常被用到。
它可以帮助我们更快捷地进行多项式的解题和运算，因此掌握综合除法是非常必要的。
首先，我们需要定义一下综合除法：综合除法是指，当被除数和除数都是多项式时，以除数的最高次方系数为首项系数，将被除数和除数按相同次数的项对齐，进行逐项相除，得到商和余数的过程。
例如，若已知 $f(x)=3x^3+5x^2+7x+1$ 除以 $g(x)=x+2$ ，则可以得到商式$q(x)=3x^2-x+4$ 和余式 $r(x)= -7 $。
那么接下来就是推导综合除法的步骤了。
推导过程：假设 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的倍数，即 $f(x)=g(x)h(x)$，则左右两边的次数分别为$m$ 和 $n$，其中 $m \geq n$。
我们再将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的表示式展开，得到如下式子：$f(x)=a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + …. + a_1 x + a_0$我们将左边的多项式看做一个一般的多项式，它可以被表示为如下形式：其中，$q_n, q_{n-1}$ 等都是待求系数。
$a_m = b_n c_{m-n}$$a_{m-1}=b_nc_{m-n-1}+b_{n-1}c_{m-n}$……根据多项式除法的定义，$a_n$ 就是上面我们提到的余数，而 $q_n$ 就是商式。
综上所述，对于任意两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$，都可以通过上述步骤来求出它们的商式和余项。
综合除法的应用是非常广泛的，可以用于解决各种数学题目。
掌握了综合除法的要点和推导过程，我们就能更加轻松地应付这类问题。
综合除法的原理
综合除法的原理综合除法是数学中的一个重要概念，它是解决多项式除法问题的一种方法。
在学习综合除法的原理之前，我们先来了解一下多项式的基本概念。
多项式是由常数与变量的乘积相加而得的代数式，其中每一项的指数必须是非负整数。
例如，2x^2 + 3x + 5就是一个多项式。
在进行多项式的除法运算时，我们需要使用综合除法来简化计算过程，下面我们就来详细了解综合除法的原理。
首先，我们来看一个简单的例子：将x^2 + 3x + 5 除以 x + 2。
我们可以使用长除法的方法来进行计算，但综合除法可以让我们更快速地完成计算。
综合除法的步骤如下：1. 将被除式和除式按照幂次从高到低排列，确保每一项的指数都对齐。
2. 将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商，并将商乘以除式，然后将结果减去被除式，得到余数。
3. 将余数的第一项除以除式的第一项，再次得到商，并重复上述步骤，直到余数的次数小于除式的次数。
通过这样的步骤，我们可以得到最终的商和余数，从而完成多项式的除法运算。
综合除法的原理就是通过逐步减少被除式的次数，最终得到商和余数的过程。
这个过程并不复杂，但需要我们对多项式的基本概念有一定的了解，并且需要一定的计算能力来完成计算。
在实际应用中，综合除法可以帮助我们简化多项式的计算过程，特别是在求解多项式的根、因式分解等问题时，综合除法都有着重要的作用。
总的来说，综合除法是解决多项式除法问题的一种简便方法，通过逐步减少被除式的次数，最终得到商和余数。
掌握了综合除法的原理和方法，可以帮助我们更快速地完成多项式的除法运算，对于进一步学习和应用多项式的相关知识也有着重要的意义。
希望通过本文的介绍，你对综合除法有了更深入的了解，同时也能够在学习和应用中更加灵活地运用综合除法的原理和方法。
多多练习，相信你一定能够熟练掌握综合除法，为今后的学习打下坚实的基础。
综合除法分解因式过程
综合除法分解因式过程综合除法分解因式是一种将多项式进行因式分解的方法。
在这种方法中，我们通过综合运用多种数学概念和技巧，将多项式拆解成更简单的因式乘积形式。
以下是综合除法分解因式的步骤和相关参考内容。
步骤一：检查多项式是否有最大公因式（最大公约数），并因式分解出来。
最大公因式是多项式中所有项的公共因子，可以通过求每项系数的最大公约数来找到。
例如，对于多项式6x^3 + 9x^2，最大公因式是3x^2。
步骤二：使用综合除法将最大公因式除掉。
综合除法是一种将多项式进行因式分解的技术，它类似于常用的长除法。
综合除法将多项式表示为其因子和余数的形式，使得多项式可以写成两个或更多部分的乘积形式。
例如，对于多项式6x^3 + 9x^2，我们可以使用综合除法将其分解为3x^2(2x + 3)。
步骤三：重复步骤一和步骤二，直到多项式无法再进行因式分解为止。
在每次进行因式分解时，我们要注意检查多项式的每一项是否可以再次因式分解。
这通常需要借助一些数学技巧和概念，如特殊因式公式、公式化简等。
例如，对于多项式3x^2(2x + 3)，我们可以继续因式分解2x + 3为(2x + 1)(x + 3)，得到最终的因式分解形式为3x^2(2x + 1)(x + 3)。
在进行综合除法分解因式时，我们可以参考相关的数学教材、学术论文和教学视频等学习材料。
以下是一些常用的参考内容：1. 高中数学教材：一般的高中数学教材都包含有关多项式因式分解的讲解和例题。
可以查看教材中的对应章节，了解综合除法分解因式的基本理论和方法。
2. 多项式因式分解教学视频：在线教育平台和视频分享网站上有许多针对多项式因式分解的教学视频，如YouTube、B站等。
这些视频通常会通过示例演示和详细解说，帮助学生理解和掌握综合除法分解因式的步骤和技巧。
3. 数学学术论文：有关综合除法分解因式的学术论文可以提供更深入的理论和方法探讨。
在学术搜索引擎上（如Google学术搜索、百度学术等）可以查找相关的数学学术论文，了解综合除法分解因式的更高级技巧和应用。
高等代数综合除法具体步骤讲解 -回复
高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数中的综合除法是一种用于计算多项式之间的除法的方法。
它是一种重要的代数技术，可以应用于求解多项式的根和因式分解等问题。
在本文中，我将详细介绍综合除法的具体步骤，并通过几个例子来说明。
综合除法的目标是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个商式和余式。
首先，我们需要明确两个多项式的次数和系数的表示方法。
假设被除式是f(x)，除式是g(x)，那么它们的次数分别为n和m。
我们可以将它们表示为：f(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀g(x) = bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹+ ... + b₁x + b₀其中aₙ、aₙ₋₁、...、a₀和bₙ、bₙ₋₁、...、b₀分别是各项的系数。
综合除法的具体步骤如下：步骤1：将f(x)和g(x)的系数按照次数从高到低排列，并确保两个多项式的次数对齐。
如果f(x)的次数小于g(x)的次数，可以在f(x)前面添加一个零系数的项，使它们的次数对齐。
步骤2：取f(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个商式的首项。
将这个商式的首项与g(x)的每一项相乘，得到一个新的多项式，记为q(x)，并将它从f(x)中减去。
这样就得到了一个新的多项式，记为r(x)，它的次数小于等于f(x)的次数。
步骤3：如果r(x)的次数小于g(x)的次数，那么继续前面的步骤，取r(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个新的商式的首项，并重复上述步骤，直到r(x)的次数大于等于g(x)的次数。
步骤4：当r(x)的次数大于等于g(x)的次数时，说明除法已经完成。
此时，r(x)即为余式，q(x)为商式。
下面通过几个具体的例子来说明综合除法的步骤。
例子1：计算多项式f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6 除以g(x) = x ²+ 3x - 2。
首先，按照步骤1，将两个多项式的系数按照次数从高到低排列，并确保它们的次数对齐：f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6g(x) = x²+ 3x - 2然后，按照步骤2，取f(x)的首项系数2与g(x)的首项系数1相除，得到一个商式的首项2。
高次多项式因式分解的几种方法
高次多项式因式分解的几种方法一、综合除法法综合除法法是一种最基本也是最常用的高次多项式因式分解方法，适用于一些比较简单且能够直接分解的多项式。
具体步骤如下：1.将多项式按降幂排列。
2.利用综合除法依次除以可能的因式，直到无法再继续除尽为止。
3.将每次的商和余数写下来，并利用余数进行验证。
例如，对于多项式$f(x)=3x^3-17x^2+21x-9$，我们可以利用综合除法法进行因式分解：1.$3x^3-17x^2+21x-9$除以$x-1$，可以得到商$3x^2-14x+7$和余数$-2$。
2.$3x^2-14x+7$无法再继续除尽，所以我们得到$f(x)=(x-1)(3x^2-14x+7)-2$。
二、分组法分组法是一种常用于四次及以上的多项式的因式分解方法，通过将多项式按组分解的方式来简化计算。
具体步骤如下：1.将多项式按降幂排列。
2.找出多项式中可以分组的部分，使得每组的项数相同，并且每组内的所有项具有公因式。
3.对每组内的项提取公因式，并进行合并。
4.进行分组后的多项式因式分解。
例如，对于多项式$f(x)=4x^3+12x^2+11x+3$，我们可以利用分组法进行因式分解：1.$4x^3+12x^2+11x+3$可以分为两组，第一组为$4x^3+12x^2$，第二组为$11x+3$。
2.对第一组提取公因式$4x^2$，得到$4x^2(x+3)$；对第二组提取公因式$11$得到$11(x+3)$。
3.合并两组得到$f(x)=(x+3)(4x^2+11)$。
三、二次幂配方法二次幂配方法是一种适用于二次多项式的因式分解方法，通过将二次项进行配方来进行因式分解。
具体步骤如下：1.将多项式按降幂排列。
2.对二次项进行配方，得到完全平方。
3.利用完全平方和差的公式，将多项式进行分解。
例如，对于多项式$f(x)=x^2-4x+4$，我们可以利用二次幂配方法进行因式分解：1.$x^2-4x+4$可以写成$(x-2)^2$。
多项式的综合除法
4.多项式的综合除法多项式的除法定理：设)(),(x g x f 是两个多项式，且0)(≠x g ，则恰有两个多项式)(),(x r x q 使得)()()()(x r x q x g x f +=成立，其中0)(=x r 或者deg )(x r deg )(x g 。
（1），称为余式。
称为商式，称为除式，称为被除式，)()()()(x r x q x g x f(2),被除式=除式×商式+余式。
（3），简式：A=BQ+R综合除法中定义)()(a x x g -为一次多项式，a 为为任意数。
一、用综合除法写出)(x f 按降幂排列的系数，设01111)(c x c x c x c x f n n n n =+++=-- 则有：))))))((((((()))))(((((());))((((()()(143211432143012121101221n n n n n n n n n n n n n n nn n n ac c a a c a c a c a c a e ac c a a c a c a c a d ac c a a c a c a b ec d c b c ac c a c ac c c e d b ac c a ac c c c c c c a ++++=++++=+++=+++++++-+-------- 则e c x r x d c x b c x ac c a c x ac c x q n n n n n n n +=++++++++=-----012221211)(,)()())(()()( 注意：缺项的系数为0。
例题：（1）3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解：327-10939-136-2327-11739-186-08-05-023所以327)(,109191362)(234-=+-+-=x r x x x x x q （2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--= 解：i i i i i i 8925218924210111i2-1+----+------所以i x r i ix x x q 89)(,252)(2+-=---=当除式为一次式时，用综合除法比余除法来得方便，特别是有些问题需要多次以一次多项式作为除式的运算，综合除法更显示出它的作用，用综合除法进行运算时，被除式中所缺的项必须补上零，否则计算就错了。
综合除法的形式
综合除法的形式综合除法是数学中常用的一种除法形式，具体来说，它是一种将多项式除以另一个多项式的运算方法。
在这篇文档中，我们将探讨综合除法的概念、步骤以及其在代数中的应用。
综合除法是一种用来简化多项式除法的方法，可以帮助我们求得两多项式的商和余项。
在开始学习综合除法之前，我们首先需要掌握多项式的基本概念。
多项式是由若干项组成的代数式，每一项包括一系列数字和字母的乘积，并可以通过加减运算进行组合。
综合除法的一般形式可以表示为：(a^n + a^(n-1) + ... + a^2 + a + 1) ÷ (a - b)其中，a和b是多项式中的常数项。
综合除法的目的是将这个复杂的除法式子化简为更简单的形式。
下面我们将介绍综合除法的步骤和具体操作过程。
步骤一：首先将除式(a - b)进行反转，得到(b - a)。
步骤二：将多项式的每一项从高次到低次的顺序进行排列。
例如，一个多项式P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4应该按照3x^3、-2x^2、5x、-4的顺序排列。
步骤三：将多项式的第一项除以除式的首项，并将结果写在一个新的行上。
步骤四：用除数乘以刚刚得到的结果，并将结果写在下方。
步骤五：将上述两个行进行相减，得到新的多项式。
步骤六：重复步骤三到步骤五，直到剩余项不能再进行相减为止。
步骤七：最后的剩余项即为除法的余数。
通过以上的步骤，我们可以求得给定多项式除以除式的商和余项。
综合除法在代数中有着广泛的应用。
例如，我们可以用综合除法来寻找多项式的因式，从而简化问题的解决过程。
另外，综合除法也可以用来验证给定的多项式是否能够整除另一个多项式。
这是因为如果两个多项式之间存在整除关系，那么用综合除法计算得到的余数应该为零。
除此之外，综合除法还可以应用于计算圆周率的近似值。
例如，我们可以使用数列来表示圆周率的无限小数部分，然后将该数列转化为多项式的形式。
接下来，我们可以使用综合除法来比较两个多项式之间的关系，从而逼近出圆周率的值。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
多项式的综合除法
多项式的综合除法多项式的综合除法是一种用于求解多项式除法的方法。
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
常用的多项式除法有长除法、综合除法和因式分解法。
综合除法在多项式的除法中是一种比较简便的方法，因为它直接使用多项式的系数进行计算，而不需要花费额外的时间去计算每一次的乘法。
使用综合除法时，我们需要先将两个多项式按照降幂排列，再将除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，并将其作为商的第一个系数。
然后将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式。
重复这个过程直到除式的次数比余数的次数低为止。
下面我们以一个例子来说明综合除法的具体步骤：例题：求解 f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 被 g(x) = x - 2 整除的商和余数。
步骤一：将两个多项式按照降幂排列，得到：f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5g(x) = x - 2步骤二：计算除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，得到：1/1 × x = x将其作为商的第一个系数，得到：q(x) = x步骤三：将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式，得到：x(x-2) = x^2 - 2xf(x) - x(x-2) = (x^3 - 3x^2 + x + 5) - (x^2 - 2x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5步骤四：重复步骤二和步骤三，得到：1/1 × (x^2 - 2x) = x - 2q(x) = x + 1(x^3 - 4x^2 + 3x + 5) - (x^2 - 2x)(x + 1) = -x - 5步骤五：最后余数为 -x - 5 。
因此， f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中商为 q(x) = x + 1，余数为 r(x) = -x - 5。
综合除法的优点在于它简便易行，只需要按照一定的步骤计算即可得到答案。
多项式的综合除法与因式分解
多项式的综合除法与因式分解二、整系数多项式的因式分解整系数多项式因式分解的原理是，先试出有理根 r ，多项式对线性因子 x-r 做多项式除法，逐步降低次数。
1. 试有理根试根定理：设 f(x) 为 n 次整系数多项式（ n \geq 1 ），其形式为：f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0 ， a_0 \neq 0若 x = \frac{p}{q} 为 f 的有理根（ p,q 互质，公约数只有 \pm 1 ），则 p 必为常数项 a_0 的整数因子， q 必为首项 a_n 的整数因子。
根据多项式除法原则，有f(x)=(x-k)d(x)+r，故余数可表示为 r=f(k) ，从而，若 k 是 f(x) 的根，则 f(k)=0 .基于以上事实，对于一个整系数多项式，就可以先找出其有理根候选 k_i ，再验证是否满足 f(k_i)=0 ，就可以确定 k_i 是否为根。
例. 多项式 2x^3-3x^2-5x-12 ，其可能的有理根为：分子： 12 的整数因子， 1,2,3,4,6,12分母： 2 的整数因子， 1,2故可能的有理根为： \Big\{ \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{1}, \, \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{2} \Big\} =\Big\{ \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \Big\}2. 综合除法若 k_i 是 f(x) 的根，则 f(x)=(x-k_i)g(x) , 其中， g(x) 为 n-1 次多项式。
为了得到 g(x) ，就需要用 f(x) 除以 (x - k_i) .与整数做除法类似，举例来看，多项式的普通除法：优化上述算法：（1）变量 x 的幂次依次降幂排列，只要对应好位置，完全可以省略之，即（2）观察同一列的 -5, -12 只是每次重复地落下来，把有用的数压缩上去，避免这种重复落下，得到（3）继续优化，因子 x-3 对应的根是 3 ，把（2）中的 -3 换成 3 ，把原来的竖直方向“做差”换成“做和”，也相当于乘以个 -1 变号，得到结果是，下面的 2,3,4 结合对应的 x 幂次，得到商 2x^2 + 3x +4 ，余数是 0 .这就是“综合除法”。
高等代数综合除法例题
高等代数综合除法例题
高等代数中的综合除法是一种运用多项式除法的技巧，用于将一个多项式除以另一个多项式。
下面我会举一个例题来说明综合除法的步骤和方法。
假设我们要进行综合除法，将多项式f(x) = 2x^3 + 3x^2 5x + 1 除以g(x) = x 2。
首先，我们按照多项式除法的一般步骤进行操作。
我们将g(x) = x 2作为除数，f(x) = 2x^3 + 3x^2 5x + 1作为被除数。
然后，我们按照以下步骤进行综合除法：
1. 将x 2除以2x^3的最高次项2x^3，得到2x^2。
然后将
2x^2乘以x 2，得到2x^3 4x^2。
2. 将3x^2减去-4x^2，得到7x^2。
3. 将x 2除以7x^2，得到7x。
然后将7x乘以x 2，得到7x^2 14x。
4. 将-5x减去-14x，得到9x。
5. 将x 2除以9x，得到9。
然后将9乘以x 2，得到9x 18。
6. 将1减去-18，得到19。
因此，我们得到商为2x^2 + 7x + 9，余数为19。
综合除法的步骤需要按照多项式除法的规则进行计算，确保每一步都正确进行多项式的相减和相乘。
这样可以得到正确的商和余数，帮助我们理解多项式的因式分解和多项式方程的求解。
综合除法在高等代数中有着重要的应用，可以帮助我们简化复杂的多项式运算，解决实际问题中的代数方程，并且为多项式的因式分解提供了重要的思想基础。
希望这个例题能够帮助你更好地理解高等代数中的综合除法。
综合除法
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ， 又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （ ）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。
综合除法的推导过程
综合除法的推导过程综合除法是一种求解多项式之间商和余数的方法，它可以帮助我们更快速、准确地计算多项式的值和系数。
下面是综合除法的推导过程：对于两个多项式f(x)和g(x)，我们要求得它们的商q(x)和余数r(x)，即f(x)除以g(x)的结果为：f(x) = q(x) * g(x) + r(x)其中，r(x)的次数比g(x)低，即r(x) < g(x)。
假设g(x)的次数为n，那么我们可以将f(x)和g(x)表示为：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^ng(x) = b0 + b1 * x + b2 * x^2 + ... + bn * x^n 其中，a0~an和b0~bn为系数。
我们可以将f(x)和g(x)表示为矩阵的形式：| a0 | | b0 b1 b2 ... bn | | q0 | | r0 || a1 | | 0 b0 b1 ... bn-1 | | q1 | | r1 || a2 | | 0 0 b0 ... bn-2 | * | q2 | = | r2 || ...| * | ... | | ...| | ...|| an | | 0 0 0 ... b0 | | qn | | rn | 其中，q0~qn为商的系数，r0~rn为余数的系数。
我们需要找到q0~qn和r0~rn，使得上述的等式成立。
我们可以通过逐步消元的方式，求得q0~qn和r0~rn的值。
具体来说，我们可以将矩阵变换为上三角矩阵，然后再通过回带法求得q0~qn和r0~rn。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以b0，然后减去第二行的b1倍，得到新的第二行。
即：| a0 | | b0 b1 b2 ... bn | | q0 | | r0 || a1 | | 0 b0 b1 ... bn-1 | | q1 | | r1 || a2 | | 0 0 b0 ... bn-2 | | q2 | | r2 || ...|-> | ... | | ...|-> | ...|| an | | 0 0 0 ... b0 | | qn | | rn |2. 将第二行乘以b0，然后减去第三行的b1倍，得到新的第三行。
综合除法在多项式理论中的应用
诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日综合除法在多项式理论中的应用[摘要]在多项式理论中，经常要用到多项式的恒等变换，从这些变换得到想要的结果，证明一些经典的结论，或者应用到数值求解，或者应用到多项式的分解。
多项式除法是一种经典的多项式恒等变换，而综合除法则是多项式除法的简化模型。
通过多项式除法可以建立被除式、除式、商式与余式之间的关系式，解决多项式求值、多项式的方幂展开、多项式的洛朗展开、辗转相除法、多项式的因式分解、多项式函数的最简分式这一系列的问题。
对综合除法可以进行多方面的研究，是多项式除法的深化。
可以做到从已知被除式与除式的情况下得到商式和余式，把得到的商式当成被除式再求另外一组商式和余式，从已知被除式与余式为零倒推出除式和商式，还有在待定系数的情况下进行多项式除法。
可能以后还有更好的综合除法推广，还有更好的多项式除法，还有更好的多项式理论。
[关键词]综合除法；多项式理论；因式分解；最简分式The application of Synthetic division in Polynomial theoryAbstract：In Polynomial theory, we usually apply polynomial transformation to get what we want. Proving classical theorem, finding the required value or decomposing polynomial. Polynomial division is one kind of traditional polynomial identical transformation. Synthetic division is the simplified model of polynomial division. With polynomial division, we can set up the relationship between dividend, divisor, quotient and remainder. Solving the value of a polynomial, the sum of power expansion of a polynomial, the Laurent expansion of a polynomial, Euclidean algorithm, polynomial factorization and polynomial fraction in lowest terms. Researching Synthetic division in many ways can deepen polynomial division. We can get the quotient and remainder by the given dividend and divisor. We can let the quotient be the new dividend and find one more pair of quotient and remainder. We can obtain the divisor backwards by the given dividend and zero remainder. We can carry on polynomial division with unknowns. Maybe we have a better usage with Synthetic division, a better polynomial division model, a better Polynomial theory in the future.Keywords：Synthetic division；Polynomial theory；Factorization；fraction in lowest terms目录1绪论 (5)1.1文献综述 (5)1.1.1 一般的综合除法 (5)1.1.2 用在矩阵多项式的综合除法 (5)1.1.3 多项式的方幂展开 (6)1.1.4 高次除式的综合除法 (6)1.1.5多项式根的k 次方之和 (7)1.2研究框架 (8)1.3术语说明 (8)2 活用多项式除法 (9)2.1多项式的展开 (9)2.1.1 展开原理 (9)2.1.2 自然数方幂和 (9)2.2辗转相除法 (10)3 在多项式分解上的应用 (11)3.1因式分解 (11)3.1.1 四次多项式 (11)3.1.2 五次多项式 (13)3.2最简分式 (14)3.2.1 多项式展开法 (14)3.2.2 多项式同余法 (15)3.2.3 构造多项式除法 (16)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)附录 (21)1绪论1.1 文献综述1.1.1 一般的综合除法综合除法是为了简化多项式的带余除法而设的，可以用来求一个多项式 除以一次多项式的商式和余式，也可以用在多项式求值，又可以测试某 个数是不是一个高次方程的根。
多项式综合除法具体步骤讲解
多项式综合除法具体步骤讲解好嘞，今天咱们聊聊多项式综合除法，这个名字听着有点高大上，其实操作起来并不复杂，咱们就像在做一道简单的菜，慢慢来，没事儿的。
多项式就像一堆混合的水果，有的甜，有的酸，有的还带点苦味，真是五味俱全。
综合除法呢，就像是把这些水果放进搅拌机里，搅拌得当，最后能喝上一杯美味的果汁。
哎，别看我开玩笑，这其中的奥妙可真不少呢！好，咱们开始吧。
想象一下，你手里有个多项式，比如说 (2x^3 + 3x^2 x + 5)，然后你还有一个除数，比如 (x 2)。
你就像在准备做饭，得先把材料准备好。
先写下被除式，下面留个空位，接着把除式放到旁边，这样做很方便，心里也有个谱。
然后，想象一下这个被除式就像是一条长长的街道，街道上车水马龙，而除式就像是开着小车的司机，准备上路了。
咱们要把最高次项的系数拿出来，咱们看看，最高次项是 (2x^3)，除以 (x)，哦，那就是 (2x^2)。
这时候你心里得想，司机已经开上路了，真是个老司机。
把 (2x^2) 乘以 (x 2)，咱们来点小计算，得到 (2x^3 4x^2)。
这时候，把它从被除式里减去，就好比在街道上把小车的行李卸下来，瞬间整洁多了。
减完之后，咱们看到，剩下的是(3x^2 + 4x + 5)，就像街道上又多了一些小商铺，热闹非凡。
这时候，你要重复这个过程，继续往下走。
拿着 (3x^2)，除以 (x)，得出 (3x)。
把它乘回去，得到 (3x^2 6x)，接着再减去，这就好比小商铺又关掉了一家，剩下的是(10x + 5)，简直就像有家新开张的小店，越开越热闹。
继续这一路走下去，咱们再来一次，10x 除以 x 得 10，乘上去是 (10x 20)，再减去，剩下的就是 (25)。
嘿，咱们终于来到了终点，街道的尽头有一座小房子，住着常数25。
咱们得出结论，原来的多项式 (2x^3 + 3x^2 x + 5) 除以 (x 2) 的结果就是 (2x^2 + 3x + 10)，余数是25。
综合除法的原理
综合除法的原理综合除法是一种用于求解多项式除法的方法，它可以帮助我们简化复杂的多项式运算，提高计算的效率。
在学习综合除法之前，我们首先需要了解多项式的基本概念和符号表示。
多项式是由若干个单项式相加或相减而成的代数式，其中每个单项式的指数都是非负整数。
多项式通常用字母表示变量，例如，f(x) = 3x^3 2x^2 + 5x 7。
在这个多项式中，3x^3、-2x^2、5x和-7分别是该多项式的各个单项式，而3、-2、5和-7则是它们的系数。
综合除法的原理在于，我们可以利用多项式的系数来进行除法运算，而不需要展开多项式进行繁琐的计算。
通过综合除法，我们可以快速地求得两个多项式的商和余数，从而简化多项式的运算过程。
综合除法的具体步骤如下：1. 将被除式和除式按照降幂排列，确保每一项的指数都是按照从高到低的顺序排列。
2. 确定除式的首项，即除式中指数最高的项，记为d(x)。
3. 确定被除式的首项，即被除式中指数最高的项，记为f(x)。
4. 计算商的首项，即将f(x)的首项与d(x)的首项相除得到的结果，记为q(x)的首项。
5. 将q(x)的首项乘以除式d(x)，得到一个新的多项式g(x)。
6. 将g(x)与f(x)相减，得到一个新的多项式h(x)。
7. 重复以上步骤，直到h(x)的次数小于d(x)的次数为止，此时h(x)即为所求的余式。
通过以上步骤，我们可以得到多项式除法的商和余数，从而简化多项式的运算过程。
综合除法不仅可以用于求解多项式的除法运算，还可以帮助我们理解多项式的因式分解和根的求解等问题。
综合除法的原理虽然看起来比较复杂，但只要掌握了其中的步骤和技巧，就能够轻松地应用于实际的计算中。
在学习和使用综合除法的过程中，我们还可以通过大量的练习来加深对其原理和方法的理解，从而提高我们的计算能力和解决问题的能力。
总之，综合除法是一种非常重要的多项式运算方法，它不仅可以简化多项式的计算过程，还可以帮助我们更好地理解和应用多项式的相关知识。
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4.多项式的综合除法
多项式的除法定理： 设)(),(x g x f 是两个多项式，且0)(≠x g ，则恰有两个多项式)(),(x r x q 使得
)()()()(x r x q x g x f +=成立，其中0)(=x r 或者deg )(x r deg )(x g 。
（1），称为余式。
称为商式，称为除式，称为被除式，)()()()(x r x q x g x f
(2),被除式=除式×商式+余式。
（3），简式：A=BQ+R
综合除法中定义)()(a x x g -为一次多项式，a 为为任意数。
一、用综合除法写出)(x f 按降幂排列的系数，设
01111)(c x c x c x c x f n n n n =+++=-- 则有：))))
))((((((()))
))(((((());
))((((()()(143211432143012121101221
n n n n n n n n n n n n n n n
n n n ac c a a c a c a c a c a e ac c a a c a c a c a d ac c a a c a c a b e
c d c b c ac c a c ac c c e d b ac c a ac c c c c c c a ++++=++++=+++=+++++++-+-------- 则
e c x r x d c x b c x ac c a c x ac c x q n n n n n n n +=++++++++=-----012221211)(,)()())(()()( 注意：缺项的系数为0。
例题：（1）3)(,852)(3
5+=--=x x g x x x x f |
解：327-10939-136-2327
-11739-186-08-05-023
所以327)(,109191362)(2
34-=+-+-=x r x x x x x q （2）i x x g x x x x f 21)(,)(2
3+-=--= 解：i i i i i i 8925218924210111i
2-1+----+------
所以i x r i ix x x q 89)(,252)(2+-=---=
当除式为一次式时，用综合除法比余除法来得方便，特别是有些问题需要多次以一次多项式作为除式的运算，综合除法更显示出它的作用，用综合除法进行运算时，被除式中所缺的项必须补上零，否则计算就错了。
二：
的形式的方幂和，即表示成
表示成把
+-+-+-2020100)()()(x x c x x c c x x x f
当1
00210
00000010)()()()(,,
)()()()(--++-+=----++-+=n n n n x x c x x c c x x x f x f x x c x f x x c x x c c x f 就得到以然后等式的两边同时除移到等式左边将的时候，
例题：（1）;1,)(05==x x x f
解：
—
)
5()1(11
)10(4111
6
31)
5(432114321)1(111111
111110000011
所以1)1(5)1(10)1(10)1(5)1()(2
345+-+-+-+-+-=x x x x x x f （2）;2,32)(024=+-=x x x x f
解：
)
8()1(22)
22(612122)24(10412
2082)11(42212
8442302012
------------------
所以11)2(24)2(22)2(8)2()(2
34++-+++-++=x x x x x f （3）i x i x x i ix x x f -=++-+-+=0234,73)1(2)(
解：同理i i x i x i i x i i x x f 57)(5))(1()(2)()(2
34+++-++-+-+= 注：综合除法是一种除多项式的快速方法，其中需要除以多项式的系数。
除去其中的变量和指数。
这种方法和普通的长除法方式不同，是将除得的数加起来，而不是减掉。
学号:388 姓名:吴梦妮。