数与代数整理与复习

数与代数整理与复习

整理教师：刘新民

一、基础知识回顾

（一）因数与倍数

1. 因数和倍数。

（1）因数和倍数的意义：如果a÷b=c（a、b、c是不为0的自然数），那么b、c是a的因数，a是b、c的倍数。因数和倍数是相互依存的，二者不能单独存在。

（2）找一个数的因数的方法：①列乘法算式来找；②列除法算式来找（3）找一个数的倍数的方法：①列乘法算式来找；②列除法算式来找2. 2，5，3的倍数的特征。

（1）2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，的数都是2的倍数，（2）奇数、偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。

（3）5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

（4）3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

3. 质数和合数。

（1）质数和合数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。

（2）分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。

（二）分数的意义和性质

1. 分数的意义。

（1）单位“1”的含义：一个物体、一个计量单位或一些物体等都可以看作一个整体，可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1” 。（2）分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

（3）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。

被除数

（4）分数与除法的关系：被除数÷除数= （除数≠0），字母关系式为÷=（≠0）

除数

2.真分数和假分数。

（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

（2）假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。

（3）带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数。（4）假分数化成带分数或整数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。

3. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。

4. 约分。

（1）公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

（2）互质数的意义：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

（3）求两个数的最大公因数的方法：①列举法 ②筛选法 ③分解质因数法 ④短除法。

（4）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（5）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

（6）约分的方法：①逐步约分法 ②一次约分法

5. 通分。

（1）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个人数的公倍

数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

（2）求两个数的最小公倍数的方法：①列举法 ②筛选法 ③分解质因数法 ④短除法。

（3）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

6.分数和小数的互化。

（1）小数化成分数的方法：有限小数可以直接写成分母是

10,100.1000，…的分数。原来有几位小数，就在1的后面写几个0作分母，把原来的小数点去掉作分子，能约分的一般要约成最简分数。（2）分数化成小数的方法：

①分母是10,100，1000，…的分数化成小数，可以直接去掉分母，看1后面有几个0，就在分子中从最后一位向左数出几位，点上小数点。

②分母不是10,100，1000，…的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，按要求用“四舍五入”法保留近似数。

（三）分数的加法和减法

1.同分母分数加、减法。

（1）分数加、减法的意义：分数加、减法的意义与整数加、减法的意义相同。

（2）同分母分数加、减法的计算法则：分母不变，分子相加、减。（3）同分母分数连加、连减的计算方法：同分母分数连加，可以按照从左到右的顺序依次计算，也可以直接把每个加数的分子连加起来作分子，分母不变；同分母分数连减，可以按照从左到右的顺序依次计算，也可以直接用被减数的分子连续减去减数的分子作分子，分母不变。2. 异分母加、减法的计算方法：先通分，化成同分母分数，然后按照同分母分数加、减法的计算方法计算。

3. 分数加减混合运算。

（1）分数加减混合运算的运算顺序：与整数加减混合运算的运算顺序相同。没有括号的，只含同级运算的，按照从左到右的顺序计算，含有

两级运算的，先算乘、除法（第一级运算），再算加、减法（第二级运算）；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。

（2）分数加法的简算：整数加法的运算定律在分数加法中同样适用。加法结合律和交换律并不限制加数的个数，可以同时运用。

（四）数学广角－找次品。

找次品的最优方法：把待测物体分成3份，每份要分得尽量平均，不够平均分的，也应该使多的分数的数量与少的份数的数量只相差1。

二、考点整理

例1、判断：所有合数都是偶数，所有的质数都是奇数。

分析与解答：要判断这道题的正误，首先要弄清合数、偶数、质数、奇数四个概念，它们的区分的标准不同，质数和合数是根据因数个数个多少来区分的，因数只有1和它本身数就是质数，因数除1和它本身而外还有其他因数的就是合数，1既不是质数，也不是合数；奇数和偶数是根据它能否被2整除来区分的，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数就是奇数，如3的倍数都是合数（除3以外），而它们就不是偶数，2是唯一的偶质数，它不是奇数，故此题应判断错。

例2、选择：两个质数的积一定是（ ）

A. 偶数

B. 奇数

C. 质数

D. 合数

分析与解答：这道题可以用列举法进行验证，任取两个质数，如

2×3=6，6是合数，又是偶数；3×7=21,21是奇数，又是合数，所以两个质数的积有可能是奇数，也有可能是偶数，又由于两个质数的积至少有3个或4个因数，因此不可能是质数，那么一定是合数。这道题也可以从分解质因数的概念出发，即把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，所以两个质数的积一定是合数，故正确答案是D。

例3、8 3 既有因数2，又有因数3，还是5的倍数，这个数可能是多少？

分析与解答：这个数既有因数2，又有因数3，还是5的倍数，说明这个数既能被2整除，又能被3整除，还能被5整除，故这个数的末尾是0，且