解三角形在实际生活中的应用

解三角形在实际生活中的应用

高一数学教研组冯一波

一、背景说明：

在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想。不禁会问，遥不可及的月球离地球到底有多远？1671年，两个法国天文学家测出大约距离为385400千米。他们是怎样测出的呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动。解三角形的理论不断发展，并被用于解决许多测量问题方面。

二、课题目的和意义：

三角形是基本的几何图形，三角形中的数量关系是基本的数量关系，有着极其广泛的应用。我们将在以前学习的有关三角形、三角函数和解直角三角形的知识基础上，通过对于任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系，并解决一些实际问题。学而不思则罔，只有通过自己的独立思考才能真正学会数学，同时应当掌握科学的思维方法，特别是学习类比、推广等数学思考方法，提高我们的数学思维能力。三、设计思想

本节重点利用解斜三角形解决相关实际问题．解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建模的思想．这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．强化上述思维过程，既是本节的重点，

又是本节难点．

解三角形应用题的另一个难点是运算问题，由于将正弦定理、余弦定理看成几个“方程“，那么解三角形的应用题实质上就是把已知信息按方程的思想进行处理，解题时应根据已知和未知合理选择一个“容易解”的方程，从而是解题过程简洁．同时，由于具体问题中给出的数据通常是近似值，故运算过程一般较为复杂，必须借助于计算器计算，因此要加强训练，达到“算法简炼，算式工整，计算准确”的要求．

知识结构：

四、实际应用

1.测量中正、余弦定理的应用

例1 某观测站C 在目标A 南偏西25︒方向，从A 出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？

分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ∆，求角B .再解ABC ∆，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）.

解：由图知，60CAD ∠=︒. 22222231202123cos 22312031

BD BC CD B BC BD +-+-===⋅⨯⨯， 123sin 31B =. 在ABC ∆中，sin 24sin BC B AC A

⋅==. 由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅.

即2223124224cos60AB AB =+-⋅⋅⋅︒. 整理，得2

243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）.

A C

D 31 21

20 35︒ 25︒ 东 北

故15AD AB BD =-=（千米）.

答：此人所在D 处距A 还有15千米.

评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.

2.航海中正、余弦定理的应用

例2 在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距A

1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距A 为2海里的C

处的缉私船奉命以/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？

分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD 的方位角及由C 到D

所需的航行时间.

解：设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，

则有

CD =，10BD t =.

在ABC △中，

∵1AB =，2AC =，

4575120BAC ∠=︒+︒=︒， 根据余弦定

理可

得BC ==

根据正弦定理可得2sin120sin 2AC ABC BC

︒∠===. ∴45ABC ∠=︒，易知CB 方向与正北方向垂直，从而9030120CBD ∠=︒+︒=︒. 在BCD △

中，根据正弦定理可得：sin 1sin 2BD CBD BCD CD ∠∠===， ∴30BCD =︒△，30BDC ∠=︒

，∴BD BC ==

则有10t =

0.245t ==小时14.7=分钟. 所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船.

评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.

3.航测中正、余弦定理的应用

例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度45︒ 75︒ 30︒ A C D B

为180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'

1830︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.

分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM ∆和Rt BMD ∆中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.

解：设飞行员的两次观测点依次为A 和B ，山顶为M ，山顶到直线的距离为MD .

如图，在ABM △中，由已知，得 1830'A ∠=︒，99ABM ∠=︒，6230'AMB ∠=︒. 又12018066060

AB =⨯

=⨯（km ）, 根据正弦定理，可得6sin1830'sin 6230'

BM ︒=︒， 进而求得6sin1830'sin81sin 6230'

MD ︒︒=︒，∴2120MD ≈（m ）, 可得山顶的海拔高度为20250212018130-=（m ）. 评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.

4.炮兵观测中正、余弦定理的应用

例4 我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知6000CD =米，45ACD ∠=︒，75ADC ∠=︒，目标出现于地面点B 处时，测得30BCD ∠=︒，

15BDC ∠=︒（如图）

，求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点A 、B 、C 、D 可构成四个三角形.要求AB 的长，由于751590ADB ∠=︒+︒=︒，只需知道AD 和BD 的长，这样可选择在ACD ∆和BCD ∆中应用定理求解.

解：在ACD △中，18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒，

6000CD =，45ACD ∠=︒，

根据正弦定理有sin 45sin 60CD AD ︒=

=︒， 同理，在BCD

△中，180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒，

6000CD =，30BCD ∠=︒，

根据正弦定理有sin 30sin1352CD BD ︒=

=︒. 又在ABD ∆中，90ADB ADC BDC ∠=∠+∠=︒，

根据勾股定理有：6

AB ====.

所以炮兵阵地到目标的距离为米.

A B D M 30︒ 45︒ 75︒ A C D 15︒