第5章：中等职业教育数学教材上册参考答案.docx

中等职业教育数学教材参考答案（上册）
第 5 章 数列
5.1 数列
5.1.1 数列概述
知识应用实操
跟踪练习 1 （方法同教材第 107 页例题 1）
（ 1） 1, 0,
3,
8 ；（ 2） 1 , 1 , 1 , 1 ．
3 5 7 9 跟踪练习 2 （方法同教材第 107 页例题 2）
1, 1, 3,
7 ．
3
跟踪练习 3 （方法同教材第
107 页例题 3）
第 6 项．
跟踪练习 4
（方法同教材第
107 页例题 4）
1
, n N * ；（ 3） a n
1
n
（ 1） a n 2n
3, n N * ；（ 2） a n
n 1
, n N *
． 1
n 2
3n
2n
* 跟踪练习 5
（方法同教材第 108 页例题 5）
（ 1） a n 2n 3, n N * ；（ 2） a 5 7 ．
知识强化练习
N * ；（ 2） 1
1
， a n
1
n
1．解：（ 1） 7 ， 22， a n
5n 8, n
， , n N *
；（ 3） 2 ，
3n
6 15
16 ， a n 2n , n N * ．
2．解：（ 1） a 8
2 1
1 ；
8 8 36
（ 2）由题意得
1
2
，整理得： n 2 n 20
0 ，解得 n 1
5(舍去 ) , n 2 4 ．
10
n n
1
所以 1
是数列中的第 4 项．
10
3．解：（ 1）数列的前 4 项 4, 8, 12, 16 可化为 1 4, 2 4, 3 4,
4 4 ，都是序号的
4 倍
数，所以它的一个通项公式是
a n4n,n N*；
（ 2）数列的前 4 项9, 99, 999,9999 可化为1011, 102 1, 1031, 104 1 ，都是10的序号次指数幂减1，所以它的一个通项公式是
a n10n1, n N *；
（ 3）数列的前4 项7
，7 ， 7，
7 可化为7
，
7
，
7
，
1
2
11
2
1
2 510172612131
7
2，数列各项的分子都是7，分母都是序号加
1 的平方与 1之和，且奇数项为
正，
411
偶数项为负，所以它的一个通项公式是
a n n 17 21n 1
7, n N*．
1
1n 2
2
n 12n
4．解：（ 1）a11
， a26a
161 2 ， a36a26212 ， a46a3 6 1272．33
（ 2） a1 2 ，a2a112 1 3 ，
a1 2 2
a3a21 3 2 5 ，a4a3
15611
．a36530
a2236
5．解：当n1时， a1S112211；
当 n 2 n N 时，a n S n S n 1n22n
2
2 n 12n
3 ．n 1
因为 n1时，2n 3 2 1 3 1 a1，
所以 a n2n3, n N*．
a
11211319．
5.1.2习题
1．解： a1
2
3 ，a22
2
5 3 ，2 1 52
a3 2 32 5 13 ，a4242527 ．
234 2．解：（ 1）数列的前4
项1,0, 1, 0 可化为1 1 ，1 1 ，1 1 ，1 1 ，
2222
它们的分母都是2，分母都是的序号次方再减1，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的
一个通项公式是
n
a n
1
1 n
*
2
, N ．
（ 2）数列的前 4 项 1 ， 2 ， 3
8 ， 4 可化为 2 1 1 1 ， 2 2 2
2 ，
2 4 4 6 6 8 10 2 2 2 2
3 ，
4
，它们的分子都是序号，分母都是序号的
2 倍与序号
2 3 2 3 4
2 4
2
2
2
的 2 倍加 2 的乘积，所以它的一个通项公式是
a n
2n
n 2 1 4 , n N *
．
2n 4n
（ 3）数列的前 4 项 1,
1， 1 ，
1 可化为 3 1
， 3 1
， 1 ， 3 1 ，
4
7
10 1 2 2 2 3 3 2 4 2
它们的分子都是 1，分母都是序号的 3倍再减 2 ，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一
个通项公式是
n
1
a n
1 , n N * ．
3n
2
（ 4）数列的前 4 项 1， 3, 5,
7 可化为 2 1 1 ， 2 2 1 ， 2 3 1 ，
2 4 1 ，都是 2 次根式，被开方数都是序号的
2 倍再减 1，且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式是
a n
n
2n 1, n
N * ．
1
3．解：（ 1） a 25 25 25 1
650 ；
（ 2）由题意得： n(n 1)
2 n 132 0 ，解得 n 1
12(舍去 ), n 2 11 ．
132 ，整理得 n
即
132是这个数列的第
项．
11
4．解： a 1
8 ， a 2 5 ， a 3 a 2 a 1
5 8
3 ， a 4
a 3 a 2
3 5
8 ．
* 5．解：（ 1）当 n 1 时， a 1 S 1 2
2
5 1 3 ； 1
当 n 2 n
N 时， a S S
2n
2
5n
2
5 n 1
4n 7 ．
2 n 1
n
n
n 1
因为 n 1时， 4n 7 4 1 7 3 a 1 ，
所以 a n
4 n 7, n N * ．
（ 2） a 4 a 5 a 6 S 6 S 3
2 62
5 6
2 32
5 3 39 ．
5.2等差数列
5.2.1等差数列的概念及通项公式
知识应用实操
跟踪练习1（方法同教材第111 页例题 1）
a n6n10,n N*； a15 80 ．
跟踪练习2（方法同教材第111 页例题 2）
第76项．
跟踪练习3（方法同教材第111 页例题 3）
a103．
跟踪练习4（方法同教材第111 页例题 4）
a1a98 ．
知识强化练习
1．解：（ 1）因为 a15, d35 2 ，所以这个等差数列的通项公式是
a n 5 2 n 1 2n7 ， n N*
即 a n 2n 7 ， n N*．
所以 a20220733．
（ 2）因为 a12,d523,a n176 ，
所以 1762n1 3 ．
解得 n59 ．
2．解：（ 1）由题设条件及等差数列的通项公式，得a81
8
3
11；2
1
2
（ 2）由题设条件及等差数列的通项公式，得17a1513，解得 a1 5 ；（ 3）由题设条件及等差数列的通项公式，得16491 d ，解得 d 5 ；
2（ 4）由题设条件及等差数列的通项公式，得
a1(41)d12,
a1(71)d 6.
整理，得
a 1 3d 12,
a 1 6d
6.
解此方程组，得
a 1 18, d
2 ．
所以 a 5 a 1 4d 18
4
2 10 ．
3．解：因为 a 2 、 a 10 是方程 x 2
0 ，
7x 1
所以 a 2 a 10 7 ．
即 a 5 a 7 a 2 a 10 7 ．
* 4．解：根据题意，从地面的气温到 11 km 高空的气温构成了一个等差数列
a n ，
n1, 2, 3,
, 11 ，其中 a 1
15, a 3 3 ．
等差数列的通项公式，得，
3 15 3 1 d ，
解得 d 6 ，
则 a 7 a 1 6d 15 6 6 21 ．
答： 6 km 高度的气温是
21 C ．
5.2.2 等差中项
知识应用实操
跟踪练习 5
（方法同教材第
112 页例题 5）
（ 1） 16；（ 2） 9 ．
跟踪练习 6
（方法同教材第
113 页例题 6）
6 ．
* 跟踪练习 7
（方法同教材第 113 页例题 7）
这三个数分别是 2, 3, 8 或 8, 3, 2 ．
知识强化练习
1．解：（ 1） 7 2 与 7 2 的等差中项为
7
2
7 2
7 ；
2
（ 2） 12 与 3
的等差中项为
5 10
2 3
1
10
17
5
．
2
20
2．解：因为 a 7 是 a 5 、 a 9 的等差中项，也是 a 1 、 a 13 的等差中项， 所以 a 1 a 7
a 13
3a 7 3 a 5
a 9
10 15 ．
2
3
2
* 3．解：设这三个数为 a d , a, a d ，由题意可得
a d a a d 18,
a d
a
a d
120.
解得
a 6, 舍去 a 6, ．
d 4 d 4.
所以等差数列的通项公式为
a n 2 4 n 1
4n 2 ， n N * ．
5.2.3 等差数列的前 n 项和
知识应用实操
跟踪练习 8 （方法同教材第 114 页例题 8）
（ 1） S n
221 ；（ 2） S n 130 ．
跟踪练习 9 （方法同教材第
114 页例题 9）
（ 1） n 11， S n 11 ；（ ） a 1 3 ，
a n
2 1
3 *
；（ ）
d
3 ， a 1 1
4 ．
2
5
n, n
N
3
5
跟踪练习 10 （方法同教材第 115 页例题 10）
S 15
135 ．
跟踪练习 11 （方法同教材第 115 页例题 11）
（ 1） a n
4n 6, n N * ；（ 2） d 4 ．
* 跟踪练习 12 （方法同教材第 116 页例题 12）这个小剧场共有 450 个座位．
知识强化练习
1．解：（ 1）由等差数列的前n 项和公式 S n n a1a n，得
2
S1313658
338 ．2
（ 2）由等差数列的通项公式，得
7a1514．解得a123 ．
由等差数列的前n 项和公式 S n na1n(n1)
，得2
d
S n23n n( n1)42n225n ， n N*．
2
（ 3）由等差数列的前n 项和公式 S n n a1a n，得
2
54n 819．
2
解得n 4 ．
再由等差数列的通项公式，得
1984 1 d ．
解得 d11 ．
3
（ 4）由等差数列的前n 项和公式 S n na1n(n1)
2
d ，得
3a13 2 d3,
2
6a6 5 d12.
12
a1d1,
整理，得
a15
2. d
2
解得a13, d 2 ．
2．解：由等差数列的前n 项和公式 S n n( a1a n ) ，得
2
S1515a1a15
75，2
整理，得a1a15 10 ，
所以
11
a a a10 5．
2
2
* 3．解：（ 1）当 n 1 时， a 1 S 1 3 12 3 ；
当 n 2 n N 时， a n S n
S
n 1
3n 2 3 n 1
2
6 n 3 ．
因为 n 1时， 6n 3 6 1
3 3 a 1 ，
所以 a n
6n 3, n
N * ．
（ 2）因为 a n
1
a
n
6 n 1 3 6n 3 6 ， n
N * ，
所以数列 a n 是以 6 为公差的等差数列．
* 4．解：由题意可知，这个多边形的各边的长从小到大成等差数列，记为 a n ，其中
a n 39, d
3, S n 138 ．
根据等差数列的通项公式和前
n 项和公式，得
a 1 n 1 3 39,
na 1n n 1
3 138.
2
a 1 3n 42,
整理，得
na 1 n n 1
138.
2 3
消元，化简为 n 2 27n 92
0 ， 解得
a 1 27, a 1 30,
n
（舍去）
n
4.
23;
答：多边形的边数是
4 ．
5.2.4 习题
1．解：（ 1）由等差数列的通项公式，得
4
a 1
9 1 3 ，
4 解得 a 1 2 ．
再由等差数列的前 n 项和公式，得
9 a 1 a 99 2 4
S 9
9 ．
2
2
（ 2）由等差数列的通项公式，得
13 7
6 1 d ，
解得 d 4 ．
所以数列的通项公式是 a n a 1
n 1 d
7
4
n 1
4n 11 ， n N * ．
再由等差数列的前
n 项和公式，得
n
1
n n 1
7n n n
1
2
9n ．
S
na
2
d
2
4
2n
（ 3）由等差数列的通项公式和前
n 项和公式，得
a 1 4d 1,
7 a 1 7 6 d
21.
2
整理，得
a 1 4 d 1,
a 1 3d
3.
解得
a 1
9, d
2 ．
所以 a 10 9
10 1 2 9 ．
（ 4）由等差数列的前 n 项和公式，得
3a 1
3 2 d 3,
2
9a 1
9 8 d 45.
2
整理，得
a 1 d 1,
a 1 4d 5.
解得 a 1 3, d 2 ．
所以
S 6
6
3
6 5 2 12 ．
2
2．解：由题意得，
a 1
1, d 1
1
1
2
．
2
再根据等差数列的通项公式，得
a n
1 n 1
1 1 n 3
， n N * ．
2 2
2
所以
a n 1 1 n 1
3 1
n 1 ， n N * ．
2
2 2 3．解：由等差数列的的前
n 项和公式，得
S 19
19
a 1 a 19 380 ，
2
所以 1
19 380
2
40 ，
a
a
19
即 a101a1 a19140 20 ．
22
4．解：由等差数列的前n 项和公式，得
S33a1a3
6，
2
所以 a1a3 4 ，
即 2a2a1a34，所以 a22，
又因为 a2 a424，所以 a412 ，
再由等差数列的通项公式，得
a1d2,
a13d12.
解得 a13,d 5 ．
5．解：设插入的 4 个数为a2, a3, a4,a5，由题意可知，a17,a6 33 ．
由等差数列的通项公式，得
3376 1 d ，
解得 d8 ．
所以 a27 8 1 ， a37 2 8 9 ， a47 3 8 17 ， a57 4 8 25．即插入的 4 个数是1, 9, 17, 25．
* 6．解：（ 1）当 n 1 时， a1S12121 1 ；
当 n 2 n N 时，a n S n
22
n 14n 3 ．S n 1 2n n 2 n 1
因为 n1时， 4n 3 4 1 3 1 a1，
所以数列a n的通项公式为a n4n3, n N*．
（ 2）因为 a n1a n 4 n134n34， n N*，所以数列a n是以 4 为公差的等差数列．
（ 3）记 b n a2n，因为 b n b
n 1
a
2n
a
2 n 1 4 2n
3
4 2 n1 3 8，n N*，
所以数列b n是以 8 为公差的等差数列，b1a2 5 ．
记数列b n的前 n 项和为 T n，求 a2a4a100即为求数列b n的前 50 项和，即
T50
5049
8505
5049
10050 ．50b18
22
* 7．证明：设直角三角形的三边从小到大依次为a d , a,a d d0 ，由勾股定理得
a d 2
a d
2
a2，
解得 a 4d ，
所以直角三角形的三边分别是3d , 4d, 5d ，它们的比是3: 4:5 ．
5.3 等比数列
5.3.1 等比数列的概念及通项公式
知识应用实操
跟踪练习 1 （方法同教材第
119 页例题 1）
a n
1
n 1
1 ．
1
, n N ； a
n
2
32
跟踪练习 2 （方法同教材第
119 页例题 2）
第 8 项．
跟踪练习 3 （方法同教材第
119 页例题 3）
a 5
20 ．
跟踪练习 4 （方法同教材第
119 页例题 4）
a 2 a 5 2 ．
跟踪练习 5
（方法同教材第 120 页例题 5）
a n 是公比为 1
的等比数列．
9
跟踪练习 6
（方法同教材第
120 页例题 6）
这三个数分别是
14, 28,
56 或 14, 28, 56 ．
知识强化练习
1．解：（1）由题意得， a 1
1, q
2 2 ，则等比数列的通项公式是
1
n 1
a n
1
2
， n N * ，
n
1
a n
1
n 1
2
， n N *
整理，得
2 ．
7 1
a 7 1 6
23
8
所以
2
2
．
（ 2）由题意得， a 1
1, q
6 6 ，则等比数列的通项公式是
1
n 1
N * ，
a n 1
6
， n
n 1
N * ．
整理，得
a n 6 2 ， n
n 1
n 1
22
所以 216 是等比数列 1, 6,6, 6 6,的第 7项．2．解：（ 1）由等比数列通项公式，得
a6a1 q5153327 ．
3
9
（ 2）由等比数列通项公式，得
13
6a1，
2
解得 a1 48 ．
（ 3）由等比数列通项公式，得
9612q3，
解得 q 2 ．
（ 4）由等比数列通项公式，得
7a1q 2 ,
4
63 a1 q .
a17
,或 a1
7
,
解得99
q 3.q 3.
所以 a4a1q37321 或 a4a1q373321 ．
3
99
3．解：因为 a2、 a10是方程 x27 x40 的两个根，所以
a2a104，
又因为 a2a10a6a6 4 ，
所以 a6 2 或 a6 2 ．
4．解：设插入三个数为a2， a3， a4，由题意得， a1 6 ， a5150 ．再由等比数列的通项公式，得
1506q 4，
解得 q 5 或 q 5 ．
所以当 q 5 时， a2
23 65 6 5，a36530 ，a465
30 5 ．
当 q 5 时，23
656 5 a6530 a6530 5
2
；，3，4
5.3.2等比中项
知识应用实操
跟踪练习7（方法同教材第121 页例题 7）
（ 1）30 或 30；（2）2 2 或 2 2 ．
跟踪练习8 （方法同教材第121 页例题 8）
a1227 或 a12 2 7 ．
* 跟踪练习9（方法同教材第121 页例题 9）
q 3 ．
知识强化练习
1．解：（ 1） 3, 12 的等比中项为
3 12 6 ．
（ 2）133, 13 3 的等比中项为
13313310 ．2．解：由题意可知，a315 ， a425 ．
因为 a3是 a2和 a4的等比中项，所以
2
a3a2 a4，
15225a2，
解得 a29 ．
又因为 a4是 a3和 a5的等比中项，所以
a42a3 a5，
2
25 15a5，
125
解得 a5．
*3．解：设三数为a
, a, aq，由题意可得 q
a
a aq27,
q
a
aq8.
q
a3,a3,
解得1
q3;q.
3
* 4．解：设三数为 a d , a,a d ，由题意可得
a d a a d12,
a d4a d
2 13a 6 .
a4,a4,
解得
12;d 3.
d
当 d12 时，这三个数为16, 4,8 ；当d3时，这三个数为1, 4,7 ．5.3.3等比数列的前n项和
知识应用实操
跟踪练习10（方法同教材第123 页例题 10）
（ 1） S n 122
；（ 2） S663 ．34
跟踪练习11（方法同教材第123 页例题 11）
a11a1 9（ 1）n 6 ，q 2 ． (2) 1 ．
q
, 或
3q
3
*跟踪练习12（方法同教材第124 页例题 12）
该种产品每次提价的百分率约是14.5%．
*跟踪练习13（方法同教材第125 页例题 13）
2n 1*
n
a n 9N ．
3
知识强化练习
a1 1q n 1．解：（ 1）由等比数列的前n 项和公式S n，得
1q
5
411
231
．
S n
1
14
2
（ 2）由等比数列的前n 项和公式 S n a1a n q ，得
1q
212
S n3934．
29
1
3
（ 3）由等比数列的前n 项和公式 S n a1a n q ，得
1q
204a1256 4 ，
14
解得a1 4 ．
由等比数列的通项公式，得
2564 4 n 1，
解得n 4 ．
（ 4）由 S3a19 得， a2a39 ．再由 a412 可以建立以下方程组
a2a39,
a412.
2
a1q a1 q9,
即
a1q312.
解得 q 2
（舍去）， q 2 ．3
所以a n3
q38．a n
* 2．解：当 n 1 时， a1S1
1
14；5
当 n 2 n N
时， a n S n
S
n 15n 1 5n 1 1 5n5n 1．
因为 n1时， 5n5n 151504a1，
所以数列a n的通项公式为 a n5n5n 1 4 5n1 , n N*．
a 4 5n 1 1
因为n 1
4 5n 15
，所以数列a n是公比为 5 的等比数列．
a n
* 3．解：由题意可知，从今年起，林场每年造林数成等比数列，公比为q 1 10% 1.1 ，首项 a1 5 ．
a1q n
由等比数列的前 n 项和公式S n，得
1 q
S6
a1 1q 6 5 1 1.16
1q138.6 ．
1.1
答：五年后林场共造林38.6 公顷．
5.3.4习题
1．解：（ 1）由等比数列的通项公式，得
14
3 ．
a5 6
28
（ 2）由等比数列的通项公式，得
18973n 1
，
解得 n 4 ．
再由等比数列的前n 项和公式 S n a1a n q ，得
1q
71893
S n13140 ．
（ 3）由等比数列的通项公式，得
a q 25,
1
a1 q55.
27
a145,
解得
1 .
q
3
n 1n 3
所以通项公式 a n a1 q n 145151， n N*．
33
（ 4）由等比数列的通项公式和前n 项和公式，得
a1q6,
a1 1q3
9.
1 q
a13,a112,
1
解得
q2; q.
2
2．解：设插入四个数为a2， a3， a4， a5，则 a17 ， a6 224 ．由等比数列的通项公式，得
2247q 5，
解得 q 2 ．
所以 a27 2 14 ， a37
2
28 ， a4
3 27256 ，
a57
4
112 ．
2
3．解：由题意可知， a3 7 ， a928，且 a6是 a3 , a9的等比中项，则
a6a3a972814，
因为 a9是 a6 , a12的等比中项，所以
a92a6a12，
所以 a12
a92282
56或
a
12
a92282
56 ，即 a1256 或a1256 ．
a614a614
4．解：设三数为 b ,b,bq ，由题意可得
q
b b bq27,
q
b
bq10.
q
解得
b3,b3,
q
1
q 3.
;
3
当 q1时，这三个数为9,3, 1 ；当 q 3 时，这三个数为 1,3, 9 ．3
2 n 13
5．证明：因为
52
25, n*，所以数列2n3是等比数列．
2 n35N5
5
* 6．解：由题意可知，b5a,c25a,d125a ，则
3a b3a5a2a 1 ．
325a125a
3c d50a25
* 7．解：由题意可知，每次活塞运动后，容器里空气的压强成等比数列，首项 a 1 760 ，
公比为 q 5 ．
6 由等比数列的通项公式，得
4
a 5
5
366.5 ．
760
6
答：活塞 4 次运动后，容器里空气的压强是
366.5 Pa ．
5.4复习参考题
5.4.1选择题
（1）A；（2）A；（ 3）B；（ 4）A；（ 5）D；
（6）A；（7） C ；（ 8） C ；（ 9） C ；（ 10）B．
5.4.2填空题
11．11； 12．12； 13．27； 14．n 1 1 ； 15．9 ．
5.4.3解答题
16．解：因为方程x2 3 x 10 0 的根是 x15, x2 2 ，所以项值为正的等比数列{ a n }的公比为 q 2 ．
由题设条件与等比数列的前n 项和公式，得
a1 1
3
2
28 ．
12
解得 a1 4 ．
所以等比数列 { a n } 的通项公式与前n 项和公式分别为
a n a1 q n 1 4 2 n 1 2 n 1， n N*
a1 1q n412n
4 2n 1 ， n N*．
S n
q12
1
17．解：依题意可设三角形的三个内角从小到大依次是35 , 35 d, 35 2d ，则
3535d352d 180 ，
解得 d25 ．
所以该三角形的其它两个角分别是60 和 85 ．
18．解：（ 1）当 n 1 时， a1S112 1 0；
当 n 2 n N时， a n S n S n 1n 2n
2
n 12n 2 ．n 1
因为 n1时， 2n 2 2 1 2 0a1，
所以 a n2n2, n N*．
b n 12 n12
（ 2）因为
2
4 ，
b n22 n2
所以数列b n是公比为 4等比数列．
84。