时域有限差分方法-林志立概述.
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Beihang University
计算电磁学中的
时域有限差分方法
The Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetics
林志立
zllin2008@gmail.com 北航仪器光电学院光电工程系
Beihang University
电磁学中几种重要的数值计算方法
Hz为Ex和Ey所环绕。
各电磁场分量在元胞中的位置
K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307.
Beihang University
FDTD空间域的离散化
(1)空间域的分割离散化
节点
Yee元胞（Δx, Δy, Δz)
Ex分量的空间离散分布图
Hx分量的空间离散分布图
Beihang University
FDTD空间域的离散化
YEE 元胞
例如：
பைடு நூலகம்
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
类似地，可实现各电磁场分量的 空间偏微分计算。
Beihang University
FDTD时间偏微分的近似
以Hz为例：
t=(n+1/2)Δt
H z 1 E E ( x y) t z y x
t=nΔt t=(n-1/2)Δt
n n E y H zn1/ 2 H zn1/ 2 1 E x ( ) t z y x 2( ) 2
例如，取 xmax , ymax and zmax
1 min 10
t
2
0
Beihang University
FDTD空间偏微分的近似
以Hz为例：
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
E x E x ( i, j 1) E x ( i, j ) y y 2( ) 2 E y E y ( i 1, j ) E y (i, j ) x x 2( ) 2
2
以减小数值色散。
k sin ( ) c2 sin ( ) 2 0 2 数值色散方程： t 2 2 x, y,z ( ) ( ) 2 2
t
2
理想色散方程：
2
要求： k 0 2
2 c0
2 2 (k x ky k z2 )
上式即为Hz的更新方程，由前一时刻的磁场和前半时刻 的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场。
Beihang University
麦克斯韦方程的离散化近似
采取类似的步骤，可以推导出其它场量的更新表达式：
例如，对于Ez：
Ez 1 H y H x ( ) t z x y
Ezn1 ( i, j ) Ezn ( i, j )
Beihang University
电磁学基本方程
麦克斯韦方程组( Maxwell Equations)
(安培环路定律) (高斯定律－电场)
(法拉第感应定律) (高斯定律－磁场) James Clerk Maxwell (1831–1879)
物质本构关系 (Constitutive Relations)
n n n n 1 Ex ( i, j 1) E x ( i, j ) E y ( i 1, j ) E y ( i, j ) ( ) z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j )
n n n n t E x ( i, j 1) E x ( i, j ) E y ( i 1, j ) E y ( i, j ) ( ) z y x
设有一连续函数 f ( x ) , 现欲求 f '( x) 。
二阶中心差分近似表达式：
f '( x ) f ( x x ) f ( x x ) 2 x
当 x越小时，上式的近似程度 越高。
f ( x)
实际上：
f ( x x ) f ( x x ) x 2 f '( x ) f '''( x ) ... 2x 6
J E
（电极化） （磁化） （欧姆定律）
一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程，以及各类 具体的边界条件所决定！
Beihang University
麦克斯韦方程组中的运算符
散度（Divergence) 连续函数的偏微分运算
旋度（Curl)
Beihang University
FDTD的基本思想
－时域和空间域的离散化 －连续偏微分的有限阶近似
有限差分法 Finite Difference Method
– 静电场、静磁场的有限差分法；
– 时域行波的电磁场的时域有限差分法；
有限元法 (Finite Element Method)
– 数值求解各类独立的偏微分方程；（电磁学、材料力
学、工程热力学、声学等等）
矩量法 (Method of Moments) 适合于细线、平面形状结构的电磁场问题
(1)电场在时间上取整数倍的 Δt; t=n *Δt;
(2)磁场在时间上取(整数＋ 1/2)倍的Δt; t=(n +1/2)*Δt;
Beihang University
麦克斯韦方程的离散化近似
以Hz为例：
H z 1 E E ( x y) t z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j ) t
n1/ 2 n1/ 2 n1/ 2 n1/ 2 t H y ( i, j ) H y ( i 1, j ) H x ( i, j ) H x ( i, j 1) ( ) z x y
Beihang University
FDTD的离散参数的选择
★元胞尺寸：边长小于最短波长的1/10,
计算电磁学中的
时域有限差分方法
The Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetics
林志立
zllin2008@gmail.com 北航仪器光电学院光电工程系
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电磁学中几种重要的数值计算方法
Hz为Ex和Ey所环绕。
各电磁场分量在元胞中的位置
K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307.
Beihang University
FDTD空间域的离散化
(1)空间域的分割离散化
节点
Yee元胞（Δx, Δy, Δz)
Ex分量的空间离散分布图
Hx分量的空间离散分布图
Beihang University
FDTD空间域的离散化
YEE 元胞
例如：
பைடு நூலகம்
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
类似地，可实现各电磁场分量的 空间偏微分计算。
Beihang University
FDTD时间偏微分的近似
以Hz为例：
t=(n+1/2)Δt
H z 1 E E ( x y) t z y x
t=nΔt t=(n-1/2)Δt
n n E y H zn1/ 2 H zn1/ 2 1 E x ( ) t z y x 2( ) 2
例如，取 xmax , ymax and zmax
1 min 10
t
2
0
Beihang University
FDTD空间偏微分的近似
以Hz为例：
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
E x E x ( i, j 1) E x ( i, j ) y y 2( ) 2 E y E y ( i 1, j ) E y (i, j ) x x 2( ) 2
2
以减小数值色散。
k sin ( ) c2 sin ( ) 2 0 2 数值色散方程： t 2 2 x, y,z ( ) ( ) 2 2
t
2
理想色散方程：
2
要求： k 0 2
2 c0
2 2 (k x ky k z2 )
上式即为Hz的更新方程，由前一时刻的磁场和前半时刻 的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场。
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麦克斯韦方程的离散化近似
采取类似的步骤，可以推导出其它场量的更新表达式：
例如，对于Ez：
Ez 1 H y H x ( ) t z x y
Ezn1 ( i, j ) Ezn ( i, j )
Beihang University
电磁学基本方程
麦克斯韦方程组( Maxwell Equations)
(安培环路定律) (高斯定律－电场)
(法拉第感应定律) (高斯定律－磁场) James Clerk Maxwell (1831–1879)
物质本构关系 (Constitutive Relations)
n n n n 1 Ex ( i, j 1) E x ( i, j ) E y ( i 1, j ) E y ( i, j ) ( ) z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j )
n n n n t E x ( i, j 1) E x ( i, j ) E y ( i 1, j ) E y ( i, j ) ( ) z y x
设有一连续函数 f ( x ) , 现欲求 f '( x) 。
二阶中心差分近似表达式：
f '( x ) f ( x x ) f ( x x ) 2 x
当 x越小时，上式的近似程度 越高。
f ( x)
实际上：
f ( x x ) f ( x x ) x 2 f '( x ) f '''( x ) ... 2x 6
J E
（电极化） （磁化） （欧姆定律）
一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程，以及各类 具体的边界条件所决定！
Beihang University
麦克斯韦方程组中的运算符
散度（Divergence) 连续函数的偏微分运算
旋度（Curl)
Beihang University
FDTD的基本思想
－时域和空间域的离散化 －连续偏微分的有限阶近似
有限差分法 Finite Difference Method
– 静电场、静磁场的有限差分法；
– 时域行波的电磁场的时域有限差分法；
有限元法 (Finite Element Method)
– 数值求解各类独立的偏微分方程；（电磁学、材料力
学、工程热力学、声学等等）
矩量法 (Method of Moments) 适合于细线、平面形状结构的电磁场问题
(1)电场在时间上取整数倍的 Δt; t=n *Δt;
(2)磁场在时间上取(整数＋ 1/2)倍的Δt; t=(n +1/2)*Δt;
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麦克斯韦方程的离散化近似
以Hz为例：
H z 1 E E ( x y) t z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j ) t
n1/ 2 n1/ 2 n1/ 2 n1/ 2 t H y ( i, j ) H y ( i 1, j ) H x ( i, j ) H x ( i, j 1) ( ) z x y
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FDTD的离散参数的选择
★元胞尺寸：边长小于最短波长的1/10,