3-1泊松过程的定义和例子

因此
P0(t + h ) - P0(t ) = - l P (t ) + o(h ) .
h
0
h
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泊松过程的两种定义的等价性
令h0取极限得，
P '(t ) = - l P (t ) 或
0
0
P
' 0
(t
)
=- l
，
P (t )
0
积分得
一阶常系数微分方程
ln P (t ) = - l t + C 或 P (t ) = k e - l t .
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泊松过程的例
例3.1 考虑进入某服务系统的顾客数。 令X t 表示在时间段( 0, t ]内进入某服务系统 的顾客数，则 {X t , t ³ 0} 满足定义3.3的条件， 故{X , t ³ 0} 是泊松过程。
t
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泊松过程的例
例3.2 考虑某电话交换台在某段时间收到的 呼叫。令X t 表示电话交换台在时间段( 0, t ] 内接到的呼叫次数，则 {X t , t ³ 0} 满足定义 3.3的条件，故 {X t , t ³ 0} 是泊松过程。
泊松过程的两种定义的等价性
❖定理 3.1 定义3.2与定义3.3是等价的。
证： 首先证明定义3.2蕴含定义3.3。 由于定义3.2的条件(3)中蕴含 {X (t ), t Î T } 为平稳增量过程，故只需证明条件(3)的等 价性。由(3.1)式，对充分小的h，有
P {X (t + h) - X (t ) = 1}
j=2
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泊松过程的两种定义的等价性
由定义3.3的(2)和(3)得
Pn (t + h ) = Pn (t )P0(h ) + Pn- 1(t )P1(h ) + o(h )
= (1 - l h )P (t ) + l hP (t ) + o(h ),
n
n- 1
化简得
Pn (t + h ) - Pn (t ) = - l P (t ) + l P (t ) + o(h ) .
❖3.相关函数
R (t X
+
t ,t) =
E
轾 犏 臌X (t
+
t
)X (t )
=
l
2t 2 +
l
tຫໍສະໝຸດ Baidu
+
l
2t t
证明：
R X (t + t , t ) = E 轾 犏 臌X (t + t )X (t )
= E 轾 犏 臌(X (t + t ) - X (t ) + X (t ))X (t )
= E[(X (t + t ) - X (t ))X (t )]+ E[X 2(t )]
P {X (t + h) - X (t ) ? 2} P {X (h) ? 2} o(h). (3.2)
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泊松过程的等价定义
❖注：定义中的条件(3)说明，在充分小的时 间间隔内，最多有一个事件发生，而不能 有两个或两个以上事件同时发生。这种假 设对于许多物理现象较容易得到满足。
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x £ 0, x > 0.
E(X ) = 1 , l 1
D (X ) = l2
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3.1 泊松过程的定义和例子
❖定义 3.1 称随机过程{N(t), t≥0}为计数过程， 若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A ” 的总数，且N(t)满足下列条件：
(1) N(t) ≥ 0 ;
(2) N(t) 取整数值； (3) 若s < t，则N(s) ≤N(t) ； (4) 当s < t 时， N(t) －N(s) 等于区间(s , t ]中 发生的“事件A”的次数
X (0) = 0
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P{X (t s) X (s) n}
et (t)n ???
n!
独立增量性
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泊松过程的等价定义
❖高阶无穷小量的定义： 设f (x)是任意一个实函数，若 f (h ) lim = 0, h® 0 h 则称 f (h) 是 h的高阶无穷小量，记为o(h).
1.均值函数
m (t ) = X
E
轾 犏 臌X (t )
=
l
t,
= E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平 均个数，故称为此过程的速率或强度。
2. 方差函数
s
2 (t )
X
=
D
轾 犏 臌X (t )
= D 轾 犏 臌X (t ) -
X (0)
= l t,
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泊松过程的数字特征
dt
1
0
因此
P (t ) = (l t + c )e - l t . 1
P1(t ) = l t e - l t .
初始条件P1(0)=0
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泊松过程的两种定义的等价性
由归纳法可证明下式成立。
P (t ) = e - l t (l t )n .
n
n!
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泊松过程的数字特征
类似例：
网络中会话、分组、数据包的到达过程 用户请求到达某个服务器的过程 金融市场中交易指令流到达市场的过程
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泊松过程的两种定义的等价性
(1)X(0) = 0 ;
定义3.2
(2)X(t) 是独立增量过程 (3)P {X (t + s ) - X (s ) = n } = e - l t (l t )n , n = 0, 1, L ,
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泊松过程的等价定义
❖定义3.3 称计数过程 {X (t ), t Î T } 为具有参数 l > 0 的泊松过程, 若它满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t) 是独立增量和平稳增量过程； (3) X(t) 满足下列两式：
P {X (t + h) - X (t ) = 1} = P {X (h) = 1} = l h + o(h),
n! (3.1)
(1) X(0) = 0;
定义3.3
(2) X(t) 是独立增量和平稳增量过程；
(3) P {X (t + h) - X (t ) = 1} = P {X (h) = 1} = l h + o(h),
P {X (t + h) - X (t ) ? 2} P {X (h) ? 2} o(h). (3.2)
第三章 泊松过程
第三章 泊松过程
1 泊松过程的定义和例子 2 泊松过程的基本性质 3 非齐次泊松过程 4 复合泊松过程
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第三章 泊松过程
1 泊松过程的定义和例子 2 泊松过程的基本性质 3 非齐次泊松过程 4 复合泊松过程
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4
知识回顾 —— 泊松分布
❖称随机变量X 服从参数为 的泊松分布，
2
1
n
n- 1
相互独立；
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泊松过程的定义
(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次
数服从参数为 t 的泊松分布，即对任意的
s, t 0 , 均成立
P {X (s + t ) - X (s ) = n } = e - l t (l t )n , n = 0, 1, L , n! (3.1)
= P {X (h ) - X (0) = 1} = l he - l h,
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泊松过程的两种定义的等价性
❖故 lim
1
P
{X
(t
+
h)-
X (t ) = 1} = l ,
h® 0 h
从而有
P {X (t + h) - X (t ) = 1} = l h + o(h) .
P {X (t + h) - X (t ) ? 2} = P {X (h) - X (0) ? 2}
h
n
n- 1
h
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泊松过程的两种定义的等价性
令h0 得
P ' (t ) = - l P (t ) + l P (t ),
n
n
n- 1
移项后得
因此
P ' (t ) + l P (t ) = l P (t ),
n
n
n- 1
e l t [P ' (t ) + l P (t )] = l e l tP (t ),
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泊松过程的定义
注:
1.从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程,结合
（1）知，对任意 t 0,有
P {X (t ) = n } = e - l t (l t )n , n = 0, 1, 鬃? n!
2. 由E[X(t)] = t 知 = E[X(t)]/t表示单位时间 内事件A发生的平均个数，故称为此过程
X : P (l ), 若X的概率分布为
l ke - l
P {X = k} =
, k = 0, 1, L .
k!
P (5)
E(X ) = l
D (X ) = l
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知识回顾 —— 指数分布
❖称随机变量X服从参数为 的（负）指数分
布，若其密度函数为
f (x ) =
ìïïíïïî l
0, e- l x,
故
l= 0
P (t + h) = P {X (t + h) = n } n = P {X (t ) - X (0) = n, X (t + h ) - X (t ) = 0}
+ P {X (t ) - X (0) = n - 1, X (t + h ) - X (t ) = 1}
n
+ å P {X (t + h ) = n - j , X (t + h ) - X (t )= j }
n! (3.1)
(1) X(0) = 0;
定义3.3
(2) X(t) 是独立增量和平稳增量过程；
(3) P {X (t + h) - X (t ) = 1} = P {X (h) = 1} = l h + o(h),
P {X (t + h) - X (t ) ? 2} P {X (h) ? 2} o(h). (3.2)
0
N (t )
t
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泊松过程的定义
定义3.2 称计数过程{X(t), t≥0}为具有参数 (
> 0) 的泊松过程, 若它满足下列条件：
(1) X(0) = 0 ; (2) X(t) 是独立增量过程，即对任意n个参数
增量
0? t t < L < t < t ,
1
2
n- 1
n
X (t ) - X (t ), L , X (t ) - X (t )
= l 2t t + l 2t 2 + l t
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泊松过程的数字特征
4.协方差函数
B (t + t , t ) = R (t + t , t ) - m (t + t )m (t )
0
0
由于P0(0) = P{X(0) = 0} = 1,代入上式得
P (t ) = e - l t . 0
初始条件
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泊松过程的两种定义的等价性
❖考察n ≥ 1的情况：因为
n
{X (t + h) = n } = U{X (t ) = n - l, X (t + h ) - X (t ) = l}
= P {X(t) – X(0) = 0}P{X(t+h) – X(t) =0}
= P {X(t) – X(0) = 0}P{X(h) =0}
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泊松过程的两种定义的等价性
= P (X(t) – X(0) = 0)[1– P (X(h) =1) – P (X(h) 2)]
= P0(t)[1 –h+o(h)],
n
n
n- 1
d [e l t P (t )] = l e l t P (t ).
dt
n
n- 1
(3.3)
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泊松过程的两种定义的等价性
d [e l t P (t )] = l e l t P (t ).
dt
n
n- 1
(3.3)
当n = 1时，得
迭代求解微分方程
d [e l t P (t )] = l e l t P (t ) = l e l te - l t = l
的速率或强度。
0
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N (t )
t
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泊松过程的定义
3. X(0) = 0 说明事件A的计数是从 t = 0时开始 的。 4. 一般 X(t)表示在时间间隔[0, t]中到达某 服务系统的顾客数。
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泊松过程的定义
如何判断一个随机过程 是否满足泊松过程的定义？
该随机过程 是否为计数过程？
å = ¥ e - l h (l h )n = o(h ).
n=2
n!
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泊松过程的两种定义的等价性
(1)X(0) = 0 ;
定义3.2
(2)X(t) 是独立增量过程 (3)P {X (t + s ) - X (s ) = n } = e - l t (l t )n , n = 0, 1, L ,
泊松过程的两种定义的等价性
下面再证定义3.3蕴含定义3.2。令
Pn (t) = P {X(t) = n} = P{X(t) –X(0) = n}. 根据定义3.3之(2)和 (3)，有
P0(t+h) = P {X(t+h) = 0} = P{X(t+h) – X(0) = 0}
= P {X(t) – X(0) = 0 , X(t+h) – X(t) = 0}