投影面的平行平面
2-2 点、线、面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。
如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。
图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。
分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。
图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。
分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。
2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。
两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。
X坐标确定两点的左右位置关系。
X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。
Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。
Z坐标值大的点在上。
图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。
3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。
此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。
2-3-2 各种位置平面的投影特性
e h
e
f
h f
f
X
g O f
QHe(f) (g)h
e(f)
g
QH
h(g)
efgh--直线; g YW 反映、角
的真实角度;
efgh和efgh --类似形。
YH
i
l
i
i
j i
(l)
RW
j
(k) j
X i
l Zi(l)
RW
（3）侧垂面
ijkl --直线;
K
j (k) 反映、角
O
YW 的真实角度;
l
ijkl和ijkl
jk
j
k
--类似形。
YH
投影面垂直面的投影特 性
a(b)
d (c)
b
c cb d
a
d
§2－3 平面的投影
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为直线，其与相邻投 影 轴的夹角反映平面对另两 投影 面的真实倾角；
2)另两投影为面积缩小的类似 形。
§2－3 平面的投影
2. 投影面平行面
ijkl --实形; k YW ijkl和ijkl
--直线，分别平 行于OZ、OY轴
投影面平行面的投影特 性
a
d
a(d)
b
b (c) a(b) d(c)
1)在与其平行的投影面上的投 影反映平面的实形；
2)另两个投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。
§2－3 平面的投影
3. 投影面倾斜面
a a
一般位置平 面
§2－3 平面的投影
1. 投影面垂直面 （1）正垂面
Z
d(c) c
d
d(c)
6-平面的投影
则CD与平面P平行。
例6-4 已知直线DE∥△ABC，试完成直线DE的水平投影。
解：因为直线DE∥△ABC，所以在△ABC中必可找到 一条直线与DE平行。该直线的投影也必然与DE的同 面投影平行。
例6-5 试判别直线DE是否平行于△ABC。
解：如果在△ABC所确定的平面内能找到平行于直线DE的 直线，则直线DE∥△ABC，否则直线DE与△ABC不平行。
例6-2 已知ΔABC内一点K的水平投影k，求其正面投影k’。
解法2：运用点在平面上的条件求k’。
(1) 在平面的水平投影△ abc上，连ak与bc相交于点3； (2) 由点3作垂线与b’c’相交于点3’； (3) 连a’3’与过k所作的垂线交于k’。
直线在平面上的条件是：
若一直线通过平面上任意两 已知点，则直线在该平面上。
线AC、AD、AE等，这些直
线对投影面H的倾角各不相
同，但其中必有一条直线
AD对投影面的倾角是最大
的，该直线垂直于直线CE，
即垂直于平面P关于投影面
H的平行线，此直线称为平 面P对投影面H的最大斜度 在三投影面体系中对H、V、W面分别
线。
有三组不同的最大斜度线。最大斜度
线对投影面的倾角反映平面对该投影
n
f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例6-14 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN
是否垂直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
《机械制图》第二章(3) 平面的投影
c
c 任意平面图形
用迹线表示平面 平面与投影面的交线称为平面的迹线
PV
P
PV
PH QV
Q QH
PH QV
QH
二、各种位置平面的投影特性
平行 实形性
垂直 积聚性
倾斜 类似性
投 影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。
a
b ● 50°
X
a
Z
c a
O
c
b
YW
c b
YH
3.4.3 平面内的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线
利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题： ●判别已知点、线是否属于已知平面； ●完成已知平面上的点和直线的投影； ●完成多边形的投影。
（二）过一般位置直线总可作投影面的垂直面
b
b
a
A
BP
a
SV
A
B S
a b PH
a
b
过一般位置直线AB 作铅垂面PH
过一般位置直线AB作 正垂面SV
2.过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法)
(n')
m'
n
(m) 铅垂面
正垂面
（二）过特殊位置直线作平面 1.过正垂线作平面 (迹线表示法)
(2) 侧面投影反映 ABC实形。
投影面平行面的投影特性
两线一形，反映实形，线平行于轴。
在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
各种位置平面的投影特性-教 学设计
记笔记
拓展练 习题集P3第3题 习
巩固点 的投影 规律
强化方 法的练 习
布置作 1、习题集P3第5、6题（点的投影练习）
业
2、思考：点的投影怎么运用于直线的投影
及面的投影呢？
检测效 果
五、参考资料及学生阅读资料
（1）钱可强.机械制图（第二版）.北京：高等教育出版社，2007 （2）熊洁羽.化工制图（第二版）.北京：化学工业出版社，2008
课题3：各种位置平面的投影特性 教学设计方案
一、教学思想
根据目前教育“以就业为指导、以能力为本位、以技能为核心”的教 学原则，将培养学生关键能力（即自我或个人能力、社会能力、方法能 力以及专业能力）作为重点的指导思想，结合学生认知事物的规律，将 教学目标确定如下：
二、教学目标与要求
1、知识与能力
知识目标：掌握各种位置平面在三投影体系中的投影及其投影特 性。
高课堂效率。
四、教学策略、教学方法与手段
平面投影的实质，就是平面形各顶点的同面投影依次连线。各种位 置平面的投影，讲解重点放在投影特性和有无实行的判断上；对每一种 位置平面形的投影，重点讲解其中一种类型，其他类型可由学生自己分 析解决。
五、教学过程（含提问、讨论、布置与检查学习 任务等）
阶段任务
教师活动
问题、
Hale Waihona Puke 大类：一般位置平面、投影面平行面、投
解决问
影面垂直面。现在我们就来一起探讨下这 思考回 题的能
三种平面的投影特性。
答：
力，引
特殊位置平面（平行和垂直）
水平面 出本节
1、投影面平行面：平行于一个投影面，与
教学重
另外两个投影面垂直的平面，统称为投影 水平投影 点。
平面的投影
平面的投影由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。
但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。
从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。
平面的表示方法1．不在一条直线上的三点；2．一条直线和线外一点；3．两平行直线；4．两相交直线；5．任意一平面图形。
图2—21几何元素表示平面平面形在三面投影体系中的特性平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。
平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。
三角形是最简单的平面形，如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。
其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。
其它多边形的作法与此类似。
又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。
图2—22一般位置平面的投影图2—23投影面平行面的投影特性平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图2—22所示。
一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。
由此得到一般位置平面的投影特性：（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。
2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。
如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。
三种投影面平行面的投影特征：（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；（3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。
各种位置直线的投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。
初中数学 平面图形的投影有哪些种类
初中数学平面图形的投影有哪些种类平面图形的投影有多种类型，包括水平投影、垂直投影、斜投影、正投影、侧视图和俯视图等。
下面将详细介绍每种投影的特点和应用。
1. 水平投影：水平投影是将平面图形在水平投影平面上的投影表示。
在水平投影中，投影平面与地面平行。
它可以清晰地显示出平面图形在水平方向上的尺寸和形状，适用于建筑设计、地图制作等领域。
2. 垂直投影：垂直投影是将平面图形在垂直投影平面上的投影表示。
在垂直投影中，投影平面与地面垂直。
它可以清晰地显示出平面图形在垂直方向上的尺寸和形状，适用于机械制图、建筑设计等领域。
3. 斜投影：斜投影是将平面图形在斜投影平面上的投影表示。
在斜投影中，投影平面与地面倾斜。
它可以显示出平面图形在倾斜方向上的尺寸和形状，适用于工程制图、建筑设计等领域。
4. 正投影：正投影是将平面图形在正投影平面上的投影表示。
在正投影中，投影线垂直于投影平面。
它可以清晰地显示出平面图形在投影平面上的真实形状和尺寸，适用于机械制图、建筑设计等领域。
5. 侧视图：侧视图是平面图形在侧视投影平面上的投影表示。
在侧视图中，投影平面与平面图形的一侧平行。
它可以清晰地显示出平面图形在侧面上的形状和尺寸，适用于建筑设计、机械制图等领域。
6. 俯视图：俯视图是平面图形在俯视投影平面上的投影表示。
在俯视图中，投影平面与平面图形的上方平行。
它可以清晰地显示出平面图形在上方视角上的形状和尺寸，适用于地图制作、建筑设计等领域。
在实际应用中，根据需要选择合适的投影类型和投影方法，以准确地表示平面图形的形状和尺寸。
在绘制投影时，可以使用直尺、量角器和绘图工具等辅助工具，以确保投影的准确性和可读性。
总结起来，平面图形的投影有多种类型，包括水平投影、垂直投影、斜投影、正投影、侧视图和俯视图等。
每种投影都有其特点和应用领域，可以根据需要选择适合的投影类型和方法来表示平面图形的形状和尺寸。
第五节 平面的投影
1.正平面：平行于V面的平面。 2.水平面：平行于H面的平面。 3.侧平面：平行于W面的平面。
（1）正平面的投影
V面的投影反映实形 H面的投影积聚成一条直线且平行于X轴 W面的投影积聚成一条直线且平行于Z轴
B A
D
C
正平面的投影
B A
D
C
正平面的投影
B A
D C
正平面的投影
B
A D
C
铅垂面的投影
B
A D
C
铅垂面的投影
B A
D C
铅垂面的投影
z
a’
b’
a ’’ b ’’
B
A D
C
c’ x
a（c）
d’
d ’’ c ’’
o
yw
b（d）
yh
实体中的铅垂面
（3）侧垂面的投影
W面积聚为一条斜线 V面的投影为缩小的类似形 H面的投影为缩小的类似形
B
A
D
b C
d a
c
侧垂面的投影
及三面投影中有无实型。
Z
a’
b’ X
a
d’ a’’(d’’)
b’’(c’’)
c’
O
Yw d
A面与V面 倾斜 ； A面与H面 倾斜 ； A面与W面 垂直 ； A面是 侧垂 面； A面的三面投影中
无 实型。
b
c
YH
YH
练习 已知平面的两面投影，求平面的第三面投影，判断其空间位置
及三面投影中有无实型。
Z
B
D A
C
b d
a c
水平面的投影
z
B
D A
画法几何制图—平面的投影及相对位置
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
机械工程图学-投影理论的基础知识(平面的投影)
Wang chenggang
2-4/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
Wang chenggang
2-5/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
2-19/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
垂直于水平面的平面称为铅垂面。
Y
a’ b’ a” b”
d’
c’ d” c”
X
O
YW
a(d) c(b)
YH
Wang chenggang
a’
b’
d’
c’
A
D
a(d)
a”
B d” b”
C
c”
b(c)
铅垂面
2-20/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于H 面的称为水平面，其投影特性为： ①水平投影反映平面的实形。 ②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
水平面的投影特性
Wang chenggang
2-26/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于V面的称为正平面，其投影特性为： ①正面投影反映平面的实形。 ②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
Wang chenggang
2-24/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
（2）投影面平行面
平行于一个 投影面的平面。
必然同时垂 直于另外两个投 影面！
图2-26 投影面平行面的立体图
2.6 平面的正投影规律.
线框，都比实形小，是类似形。
湖南工程职业技术学院
【例1-2-9】如图1-2-39所示，从房屋 的投影图中，找出投影面垂直面来，将 其填到表中和立体图上。
投影图
立体图
看A面的V投影a′是积聚为一条倾斜线，与之对应的H投影a和W投影 a〞是两个三角形线框，可见这是一个正垂面，它的H、W面投影， 是不反映实形的类似形。又如，看H投影b线框，与之对应的W投影 为一条积聚的倾斜线，可见这是一个侧垂面，它的H、V投影是两个 三角形缺口的梯形线框，均是不反映实形的类似形。
如图1-2-40所示，图中平面B的H投影b是一条积聚直
线并且平行OX轴，说明该平面上各点到V面距离相等
（即V面平行面），所以V投影b′反映实形。
湖南工程职业技术学院
形体上的铅垂面与一般面
2．6．3 投影面垂直面
1．空间位置 垂直于一个投影面，倾斜另两个投影面的 平面，称为投影面垂直面，简称垂直面。
264形体的表面分析举例空间位置平面h投影v投影w投影正平面积聚水平面积聚积聚侧平面积聚积聚积聚类似形类似形类似形积聚类似形类似形类似形积聚一般面类似形类似形类似形湖南工程职业技术学院文学课件行业文档敬请阅读15按平面与投影面的相对位置不同平面分为哪几种
2．6 平面的正投影规律
平面是直线沿某一方向运动的轨迹。 平面可以用平面图形来表示，如三角形、梯形、圆 形等。 要作出平面的投影，只要做出构成平面形轮廓的若 干点与线的投影，然后联成平面图形即得。在投影 中，平面与投影面之间按相对位置的不同，可分为 三种， 即：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。
湖南工程职业技术学院
表1-2-4 投影面垂直面
各位置直线和平面投影特性总结
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
2.6 平面的正投影规律.
水平面——平行于H面，垂直于V、W面的平 面。又称H面平行面。
正平面——平行于V面，垂直于H、W面的平 面。又称V面平行面。
侧平面——平行于W面，垂直于H、V面的平 面。又称W面平行面。
湖3南工．程职投业技影术学院及其规律 投影面平行面的投影图
3．读图 一个平面的三面投影如果都 是平面图形，它必然是个一般位置平面，
如附图1-2-38c、d所示。
（c） 在形体投影图中的位置
（d） 在形体立体图中的位置
湖南工程职业技术学院
2．6．2 投影面平行面
1．空间位置 平行于一个投影面，垂直于另 两个投影面的平面，称为投影面平行面，简 称平行面。
湖南工程职业技术学院
表1-2-4 投影面垂直面
湖南工程职业技术学院
湖南工程职业技术学院
投影面上的投影，积聚成一条 倾斜投影轴的直线，其余两投 影均为小于原平面实形的类似 形。
4．读图 平面的一个投影积聚为与投影轴 倾斜的直线时，该平面垂直于积聚投影所 在的投影面。如表1-2-4中的铅垂面A，
平面 A B C D E F G
湖南工程职业技术学院
H投影 积聚 实形 积聚 积聚 类似形 类似形 类似形
V投影 实形 积聚 积聚 类似形 积聚 类似形 类似形
W投影 积聚 积聚 实形
类似形 类似形
积聚 类似形
作业： 1. P 思考题6． 按平面与投影面的相对位置不同，平面分为哪几种？
它们各自的投影规律是什么？ 2 .P 习题3 根据投影图中（见图1-2-44）所标注的平面，读出它
2．6 平面的正投影规律
平面是直线沿某一方向运动的轨迹。 平面可以用平面图形来表示，如三角形、梯形、圆 形等。 要作出平面的投影，只要做出构成平面形轮廓的若 干点与线的投影，然后联成平面图形即得。在投影 中，平面与投影面之间按相对位置的不同，可分为 三种， 即：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。
平面的投影
水平线 正平线
第五章 直线与平面 平面与平面的相对位置
§5-1 平行问题
§5-2 相交问题 §5-3 垂直问题 §5-4 综合问题解题示例
§5-1 平行问题
一、直线和平面平行
二、平面与平面平行
一、直线和平面平行
几何条件
如果平面P 外的一条直线AB 与平面内的一条直线 平行,那么这条直线AB 和这个平面P 平行。 ∵ L∈P ；
1’ a' 3’ b' X a O c 4
2’
c’
4’
否
3
1
2
b
三、平面内的点
点在平面上的几何条件： 点在平面内的一条直线上。
在平面内定点时，一般要通过包含点在平面 内取辅助线求解。
三、平面内的点
例1 已知点K 在平面ABCD 内，据k 求k’。
d‘
k’ a‘ c‘ 1’
作图分析： 在平面内取一条过K 点 的直线，如AI 。使k’ 在 a’ 1’上，则K 在平面内。 作图：
b'
1’
2’ 2
a' a b
1.作1' 3' ∥a'b' ； 13 ∥ab ；
X
1 3
O
2.任作12 ，1’2’ 。
则平面ⅠⅡⅢ平行 于直线AB 。
一、直线和平面平行
例2 判断直线AB 与平面△ⅠⅡⅢ是否平行。
分析： 只要判断能否在平面内找到一条与AB 直线平行的 直线即可，有则平行，否则不平行。 作图： 2' 1.在平面内取直线ⅠD ， d' 使1’d' ∥a'b' ； 3' b' 2.连接1d ； 1’ a' O ∵1d 与ab 不平行， X 2 ∴平面ⅠⅡⅢ 与直线 a b d AB 不平行。 3 1
第3次课平面的投影及线面相对位置(平行问题)
YH
1.侧 面 投 影 积 聚 成 一 线 ； 且 反 映 平 面 的 倾 角 、 2.正 面 投 影 、 水 平 投 影 为类似形。
2、投影面的平行面： 以水平面为例
a' A b' c' B a b" b' c b"
a"
c"
a"
C c" b a c
b a
实 形
c
投影特性： 1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 2) 水平投影 abc反映 ABC实形
2. 线段的投影加深成粗实线；
s n r
m
n m
s
r
结论：两平面平行
例题4
已知定平面由平行两直线AB和CD给定。 试过点K作一平面平行于已知平面 。
s f k
m
n
r r n
e
e k f s
m
作 业：P14：
2-26；2-27（2、3）；
2-28、2-29、2-30；
P15（全部）。 要求：1. 作图线为细实线,保留并擦去 多余的作图线;
3、属于平面的投影面平行线
平面上投影面的平行线 — 是既在平面上又//于投影面 的直线。因此，它既具有投影面平行线的投影特性，又与 所属平面保持从属关系。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面 平行线。
属于平面的水平线和正平线 参看：例题7 例题8
属于平面的水平线和正平线
PV
P
PH
[例题7]已知ABC 给定一平面，试过点C 作属于该平 面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
投影面平行面的概念
投影面平行面是几何学中的一个重要概念，它涉及到两个平面之间的关系。
在三维空间中，如果一个平面与另一个平面平行，那么它们之间的夹角为0度或180度。
这种关系可以通过投影来观察和分析。
投影面是指将三维物体投影到二维平面上的参考面。
在投影过程中，物体上的各个点都会根据其在三维空间中的位置和方向投射到投影面上。
通过这种方式，我们可以观察到物体的形状、大小和位置等信息。
平行面是指两个平面之间没有交点，且它们之间的距离始终保持恒定。
这意味着，无论我们从哪个角度观察这两个平面，它们之间的夹角都是相同的。
在实际应用中，平行面的概念被广泛应用于建筑设计、机械制造等领域。
投影面平行面的概念可以帮助我们更好地理解三维空间中的图形和结构。
例如，在建筑设计中，建筑师需要确保建筑物的各个部分都处于正确的位置和方向。
通过使用投影面平行面的方法，他们可以更准确地测量和绘制建筑物的尺寸和形状。
此外，投影面平行面的概念还可以应用于机械制造领域。
例如，在制造飞机零件时，工程师需要确保零件的各个部分都处于正确的位置和方向。
通过使用投影面平行面的方法，他们可以更容易地检查零件的尺寸和形状是否符合要求。
简述投影面平行线的分类
简述投影面平行线的分类
投影面平行线是几何图形论中常用的概念，它是一种特殊类型的直线，可以将投影面上的点和物体投影到另一个投影面中。
投影面平行线的分类有：①法向平行线，它是在给定的投影面上存在的、与投影向量法线平行的一类直线；②平行平行线是平行平行于平面上的有限数量的投影并有一定的方向的一类直线；③橫向平行线，它是一种垂直于投影平面的，以投影向量来定义的一类直线；④邊向平行线是在投影面上存在而且与它所属物体邊向量平行的一类直线。
事实上，投影面平行线有着重要的工程实践价值，可以用来解释物体的位置和情况，有助于人们更好地管理工程项目。
比如，在桥梁、钢结构和混凝土水平构造工程中，人们可以利用平行线在水平面上建立准确的直角坐标系，清晰地界定空间结构的边界和几何结构的范围和形状。
此外，在船体和舰船设计、及矿山、水库建设等相关设计中也可以用投影面平行线实现准确的标绘，从而满足项目建设过程中的要求，取得预期的成果。
投影面平行线的广泛应用说明其机理的重要性，即投影面的形状可以根据投影面平行线的断面及距离来推断。
若将投影面平行线叠合之后，可以容易地看出投影物体或结构的几何形状，同时可以根据投影面平行线的曲率及断面变化判断物体要达到预期的支撑结构的计算参数——这就是投影面平行线的重要性所在。
总之，投影面平行线是几何图形论中常用的基本概念，及其在工程实践中的重要价值，可以为人们设计准确的物体结构提供依据。
值得提醒的是，在应用投影面平行线进行设计时，应该加强对断面及曲率变化的理解，从而更好地满足工程实践中的要求。
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b
a
a
b
W
a
c
c
A
a
a
a
bC
c
b
Hc
投影特性：
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
投影面的平行平面
侧平面
积聚性
4 投影面平行平面的投影特性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c b
水平面
投 影特性
★在它所平行的投影面上的投影反映实形-----“一形” ★另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的
侧平面
2
平行于正立投 影面的平面， 同时垂直于另 两个投影面。
正平面
投影面的 平行平面
水平面
1
平行于水平投 影面的平面, 同时垂直于另 两个投影面。
投影面的平行平面
4 投影面平行平面的投影特性
V
a b c b a c
a
b c b
AB
a W
c
C
b
b a
a
c
H 投影特性：
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
课后 练习
习题册P26 1、根据已知条件分别作出各平面的投影。 2、包含直线CD作平行于H面的等边三角形 ADC的三面投影。
投影面的平行平面
投影面的平行平面
7 课堂小结
主要教学内容
1
投影面平行 平面的位置 特性
2
投影面平行 平面的投影 特性
3
投影面平行 平面的辨认 方法
投影面的平行平面
8 课后思考
图中灰色的两个平面与投影面的位置 关系如何？这样的平面具有什么样的 投影特性？如何在几何体中准确辨认 并绘制？
投影面的平行平面
谢谢您的指导！
桐乡市技工学校校级公开课
投影面的平行平面
桐乡市技工学校车加工教学部 王飞鹏
主要授课内容
平
投
投
投
面
影
影
影
对
面
面
面
一
平
平
平
个
行
行
行
投
平
平
平
影
面
面
面
面
的
的
的
的
位
认
性
特
特
方
性
性
法
投影面的平行平面
1 新课引入
基本几何体是由点、线、面组成， 在绘制该基本几何体的三面投影 时，如何表达途中所标记的平面 呢？这些平面又具备什么样的特 性呢？
直线。 -----“二线”
投影面的平行平面
5 投影面平行平面的辨认方法
若平面的三面投影为“一形二线”， 则该平面为投影面的平行平面， 且平行于“形”所在的投影面。
投影面的平行平面
5 投影面平行平面的辨认方法——练习
水平面
正平面
侧平面
投影面的平行平面
水平面
6 作业布置
课堂 练习
习题册P24 1、根据平面图形的两面投影，求作第三面 投影，并判断与投影面的相对位置。
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
水平面
投影面的平行平面
4 投影面平行平面的投影特性
V
b
a
b
b
B
b
c
W
A a
c
C
c
a
a
c
c H
b
a
c
ba
投影特性：
1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、正平面投影abc反映 ABC实形
投影面的平行平面
正平面
4 投影面平行平面的投影特性
V
c
b
b
B
投影面的平行平面
2 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
实形性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
积聚性
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 ★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
类似性
投影面的平行平面
3
3 投影面平行平面的位置特性
平行于侧立投 影面的平面， 同时垂直于另 两个投影面。