教学目标1、掌握定积分概念及基本性质;2、理解可积的充要条件.
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教案标题：定积分概念的引入和初步认识一、教学目标1.了解定积分概念的引入背景和发展历程；2.掌握定积分的基本定义；3.能够应用定积分求解简单的几何和物理问题。
二、教学重点1.定积分引入背景和基本概念；2.定积分的基本定义和求解方法。
三、教学难点2.定积分的应用举例。
四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、粉笔、教材参考书。
2.学生准备：课前预习教材相关内容，笔记本、笔等。
五、教学过程第一步：导入（10分钟）1.引入背景：告诉学生数学是一门从古至今都有许多人致力于研究的学科，其中有很多重要的概念和定理。
本节课我们将要学习的是定积分概念，它是微积分学中的基本概念之一第二步：展示（15分钟）1.介绍定积分的提出背景和发展历程，如牛顿、莱布尼兹等人对定积分的贡献；2.引入定积分的基本概念：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，用Δx表示。
在每个小区间内任取一点ξi（ξi属于[i-1,i]）并计算f(ξi)Δx，然后将这n 个小区间上的和表示为Σf(ξi)Δx；3. 引入定积分的基本定义：当n趋向于无穷大，并且Δx趋向于0时，如果极限lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，且对任意x ∈ [a, b]，极限lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx；4.解释定积分的几何意义：定积分表示曲线与x轴所围成的面积。
通过几何图形进行解释和演示。
第三步：练习（25分钟）1.基本练习：通过一些基本的题目来巩固定积分的基本定义和概念的理解；2.综合练习：通过一些实际问题来应用定积分，如求一段弓形所围成的面积、求物体在一定时间内的位移等。
第四步：讲解与总结（15分钟）1.请学生上台分别讲解几个基本练习题的解题思路和方法；2.强调定积分与不定积分的区别：不定积分结果是一个函数表达式，而定积分结果是一个数值；3.总结定积分的基本概念和定义，强调定积分解决实际问题的重要性。
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
定积分概念的课程设计
定积分概念的课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握定积分的概念及其应用。
具体来说，知识目标包括：了解定积分的定义、性质和计算方法；理解定积分在实际问题中的应用。
技能目标则要求学生能够运用定积分解决简单的问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲物体的质心等。
情感态度价值观目标则是培养学生的数学思维能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括定积分的定义、性质和计算方法。
首先，引导学生回顾不定积分的基本概念，为学生引入定积分做铺垫。
然后，详细讲解定积分的定义，通过实例让学生理解定积分的概念。
接着，介绍定积分的性质，如线性性质、保号性等，并通过例题让学生掌握这些性质的应用。
最后，讲解定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等，并通过练习让学生熟练运用这些方法。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
首先，运用讲授法，清晰、系统地讲解定积分的概念、性质和计算方法。
其次，采用讨论法，引导学生分组讨论定积分在实际问题中的应用，激发学生的思考。
此外，还将运用案例分析法，通过分析具体案例，让学生更好地理解定积分的应用。
最后，适时进行实验法，让学生在实验中感受定积分的作用，提高他们的实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：教材、参考书、多媒体资料、实验设备。
教材和参考书将作为主要教学资源，为学生提供系统的理论知识。
多媒体资料则用于辅助教学，以图片、动画等形式展示定积分的概念和应用，增强学生的学习兴趣。
实验设备则用于进行实验教学，让学生在实践中掌握定积分的方法。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。
平时表现主要考察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，以鼓励学生积极思考和提问。
作业则包括定积分的计算练习和应用问题，以此检验学生对知识的掌握程度。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
第五章 定积分---教参
第五章 定积分一、本章的教学目的1．了解定积分的定义，函数()f x 在[,]a b 上可积的充分条件。
2．掌握定积分的性质，理解定积分中值定理。
3．掌握积分上限函数的求导方法及其应用。
4．熟练掌握微积分公式、定积分的换元积分法及分部积分法。
5．掌握用定积分计算平面图形的面积和求旋转体体积的计算公式。
主要内容1．定积分的概念与性质曲边梯形，曲边三角形；分割，黎曼和，黎曼和的极限；()f x 在[,]a b 上可积，()f x 在[,]a b ]上的定积分；定积分的几何意义；定积分的基本性质.关于函数可积性的几个重要结论： （1）可积函数必有界；（2）有限区间[,]a b 上的连续函数可积；（3）在有限区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数可积. 2．微积分基本定理变上限积分，变限积分的求导公式：()()()xaf t dt f x '=⎰微积分基本公式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰，其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数. 3．定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法；对称区间[,]a a -(0)a >上奇偶函数定积分的性质：（()f x 是奇函数）；()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰ （()f x 是偶函数）； 周期函数定积分的性质：()()a T Taf x dx f x dx +=⎰⎰ （T 为()f x 的周期）； 定积分的分部积分公式：()()()()()()bbbaaau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰.4．定积分的应用由x a =，x b =，()y f x =，()y g x =所围成的平面图形的面积()()baS f x g x dx =-⎰；微元法；由x a =，x b =，x 轴及()y f x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]bx aV f x dx π=⎰；由y c =，(0)y d d c =>≥，y 轴及()x y ϕ=所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]dy cV y dy πϕ=⎰二、本章教学的重点和难点1．教学重点：定积分的性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法定积分的应用。
高等数学(上册)教案22-定积分的概念与性质
第5章 定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2. 理解定积分的概念及其性质；3. 掌握定积分的几何意义 ；【教学重点】：1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】：1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时 【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析 由于“矩形面积=底⨯高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算.另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A .图5-1 图5-2（1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点，01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -∆=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ∆近似代替相应的小曲边梯形的面积A ∆，即()(1,2,...,)i i A f x i n ξ∆=∆=，（3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即11()nni i i i i A A f x ξ===∆≈∆∑∑；（4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=∆）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 01lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑.5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作和∑=∆ni i i x f 1)(ξ，记}max {i x ∆=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(.即 ∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ，其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号⎰ba dx x f )(读作函数()f x 从a 到b 的定积分.按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为：⎰=b adx x f A )(，⎰=badt t P Q )(，关于定积分的定义作以下几点说明：（1）和式的极限∑=→∆1)(lim i i i x f ξλ存在（即函数()f x 在[,]a b 上可积）是指不论对区间[,]a b 怎样分法，也不论对点1()i i i i x x ξξ-≤≤怎样取法，极限都存在. （2）和式的极限仅与被积函数()f x 的表达式及积分区间[,]a b 有关，与积分变量使用什么字母无关，即⎰⎰⎰==bababadu u f dt t f dx x f )()()(.（3）定义中要求积分限a b <，我们补充如下规定： 当a b =时，()0ba f x dx =⎰当a b >时，()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰（4）函数可积的两个充分条件：若],[)(b a x f 在上连续，则],[)(b a x f 在上可积。
高中数学教学定积分教案
高中数学教学定积分教案1. 理解定积分的概念；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念；2. 定积分的计算方法。
教学难点：1. 定积分计算中的技巧问题；2. 定积分的应用问题。
教学内容：一、定积分的概念1. 定积分的定义；2. 定积分的性质。
二、定积分的计算方法1. 定积分的基本性质；2. 定积分的计算公式；3. 定积分的计算方法。
三、定积分的应用1. 定积分的几何意义；2. 定积分的物理意义；3. 定积分的应用举例。
教学过程：一、导入教师引入积分的概念，介绍定积分的定义及意义，激发学生对定积分的兴趣。
二、讲解1. 讲解定积分的性质和基本概念；2. 分步讲解定积分的计算方法，包括不定积分的转换和定积分的计算公式。
三、示范教师展示一些定积分的计算例题，让学生跟随计算步骤进行练习。
四、练习学生进行练习，巩固定积分的计算方法，提高解题能力。
五、应用教师介绍定积分在几何和物理问题中的应用，引导学生进行实际问题的解决。
六、总结对本节课的内容进行总结，强调定积分的重要性和应用价值。
七、作业布置相关的定积分作业，检验学生对定积分的掌握程度。
教学反思：本节课针对高中学生的实际情况，通过梳理定积分的基本概念、计算方法和应用，帮助学生理解和掌握定积分的内容，提高解题能力和问题应用能力。
应灵活运用多种教学方法，引导学生参与课堂互动，激发学生的学习兴趣，达到教学目标。
定积分的概念 说课稿 教案 教学设计
积为 5 。
2
2
即： (x 1)dx
5
1
2
2
思考：若改为计算定积分 (x 1)dx 2
呢？
改变了积分上、下限，被积函数在[ 2,2]
上出现了负值如何解决呢？（后面解决的 问题）
5
五、小结 1． 定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义．
6
定积分。记为： S
b
f (x )dx ，
a
其中 积分号， b －积分上限， a －积
分下限，f (x) －被积函数，x －积分变量，
[a, b] －积分区间， f (x )dx －被积式。
b
说明：（1）定积分 f (x )dx 是一个常数， a
即 Sn 无限趋近的常数 S （ n
时）记
为
b a
f
(x
加强对定 积分的运 算性质的 理解。
性质 2
b
kf (x )dx
b
k f (x )dx (k为常数)
a
a
y
（定积分的线性性质）；
性质
3
b
a [f1(x )
f2 (x )]dx
b
a f1(x )dx
b
a f2 (x )dx
（定积分的线性性质）；
质4
b
f (x )dx
c
f (x )dx
b
f (x )dx (其中a c b )
值。分析：令 f (x ) x 3 ；
（１）分割
y
独立思考 和数学表 达能力.
把区间 0,1 n 等分，则第 i 个区间为：
i 1,i (i 1,2, ,n)，每个小区间长 nn
定积分的概念的教学设计
定积分的概念的教学设计一、教学目标：1.了解定积分的概念和基本性质。
2.能够理解和应用定积分的定义和计算方法。
3.能够运用定积分解决实际问题。
二、教学重点：1.定积分的概念和性质。
2.定积分的计算方法。
三、教学难点：1.对定积分概念的理解和应用。
2.定积分计算方法的运用。
四、教学准备：1.教师准备教学课件、板书。
2.学生准备课本、笔记等。
五、教学过程：Step 1：导入（10分钟）1.教师简要介绍导数的概念，回顾导数的计算方法和求导法则。
2.引导学生思考：如果“导数”是描述一个函数变化率的概念，那么有没有与之相对应的概念来描述一个函数的累计效应呢？Step 2：引入定积分概念（15分钟）1.通过图例引导学生思考在一个区间上函数图像之下的面积，让学生发现概念。
2.引导学生思考以下问题：-如何精确地描述该面积？-如何计算这个面积？3.教师出示定积分的定义并解释：$\int_a^b f(x)dx = {\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x}$其中，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，$f(x_i)$是在每个子区间上任意选择的一点。
4.教师解释定积分的符号含义，并进行例题辅助讲解：$\int_a^b f(x)dx$可以理解为从$a$到$b$的函数$f(x)$在$x$轴上方的面积。
Step 3：定积分的性质（15分钟）1.教师介绍定积分的基本性质：- 定积分与区间选择无关，即$\int_a^b f(x)dx = \int_c^b f(x)dx + \int_a^c f(x)dx$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且存在一些点$c \in [a,b]$，使得$f(c) \geq f(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_a^b f(x)dx \geq 0$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续且非负，则$\int_a^b f(x)dx = 0$的充要条件是$f(x) \equiv 0$2.教师通过例题进行讲解和巩固。
定积分教案
定积分概念与性质一、教学目标分析1.理解定积分的概念。
2.掌握定积分的性质及定积分中值定理。
3.理解变上限定积分定义的函数。
二、学情/学习者特征分析本节主要给学生介绍有关定积分的概念与性质，因为之前学生对定积分有一定的涉及，故积极调动学生的探索与思维能力，使其充分掌握定积分的概念与性质，做到在以后的应运中轻松自如。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。
2.本节主要内容1.定积分的概念。
2.定积分的性质及定积分中值定理。
3.重点难点分析教学重点：定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的有关知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解定积分的概念与性质。
五、教学策略在课堂中尽量避免死板的教学方法，使课堂气氛活跃化，通过实际问题的引人让学生了解定积分的概念，并通过举例讲解使其性质浮现再加以引导理解。
六、教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间:[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ. (3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=n i ii x f A 10)(lim ξλ. 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈n i ii t v S 1)(τ. (3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=n i ii t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ).任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ. 当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), nx i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取ni i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆n i i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x . 三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时,0)(=⎰b a dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=n i i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有 ⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b c c a dx x f dx x f )()(.性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==⎰⎰1.性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥b a dx x f 0)((a <b ).推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(, 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a <b ).证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(,从而 ⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。
定积分教案高中数学
定积分教案高中数学教学目标：1. 了解定积分的概念和性质；2. 熟练掌握定积分的计算方法；3. 应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 理解定积分的定义和性质；2. 掌握不定积分与定积分的关系；3. 熟练运用定积分计算函数的面积。
教学难点：1. 熟练灵活运用定积分的计算方法；2. 解决实际问题时灵活运用定积分。
教学准备：1. 教师备课教案；2. 教学教材；3. 教学投影仪。
教学过程：一、导入教师通过举例引入定积分的概念，让学生了解在数轴上通过函数曲线与坐标轴围成的区域与曲线下的面积之间的关系。
二、讲解1. 定积分的定义与性质：引入定积分的概念，解释定积分的定义及其性质，包括面积有界、积分上限和下限、积分线性性质等。
2. 定积分的计算方法：介绍定积分的计算方法，包括分部积分法、换元法、分式分解法等。
3. 定积分与不定积分的关系：讲解定积分与不定积分的关系，引导学生从不定积分角度理解定积分。
4. 定积分的实际应用：通过实例讲解定积分在求曲线下的面积、求旋转体体积等实际问题中的应用。
三、练习教师布置练习题，让学生巩固定积分的计算方法，并引导学生探究解决实际问题时如何运用定积分。
四、总结教师总结本节课所学内容，强调定积分的重要性和应用价值，激发学生对数学的兴趣和求知欲。
五、作业布置相关作业，让学生巩固定积分的基本概念和计算方法，提高解决实际问题的能力。
六、拓展引导学生查阅相关资料，了解定积分在物理、经济学等领域的应用，拓展对定积分的认识和理解。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握定积分的基本概念和计算方法，能够灵活运用定积分解决实际问题。
在教学过程中，教师应注重培养学生的思维能力和实际应用能力，引导学生主动探究定积分的意义和应用，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
高中数学定积分内容教案
高中数学定积分内容教案一、教学内容分析：定积分是微积分中的一个重要概念，通过定积分的学习，可以帮助学生深入理解积分的概念和原理，掌握定积分的计算方法，以及应用定积分解决实际问题的能力。
在高中数学中，定积分主要包括定积分的定义、定积分的计算方法、定积分的性质和定积分的应用等内容。
二、教学目标设定：1. 理解定积分的定义和意义；2. 掌握定积分的计算方法，包括不定积分、定积分的性质和定积分的应用；3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学建模能力。
三、教学步骤安排：第一步：定积分的定义和意义1. 定积分的概念和意义；2. 定积分的定义及其几何意义；3. 定积分的性质和计算方法。
第二步：定积分的计算方法1. 不定积分与定积分的关系；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的性质和公式。
第三步：定积分的性质和应用1. 定积分的性质及其应用；2. 定积分在实际问题中的应用；3. 综合练习和解题训练。
四、教学方法和手段：1. 讲解教学法：通过教师讲解、示范和分析，引导学生理解和掌握定积分的概念和计算方法；2. 互动探究法：通过问题探讨、讨论和实例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；3. 实践演练法：通过课堂练习、作业布置和实际问题解答，提高学生的运用能力和实际应用能力。
五、评估方法：1. 定期考试和小测验；2. 作业评订和讲评；3. 课堂互动和问题解答。
六、教学资源准备：1. 教材和教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 实例和练习题。
七、教学反馈和改进：1. 定期组织教学反馈和讨论；2. 定期总结和评估学生学习情况；3. 结合学生实际情况，适时调整和改进教学方法和手段。
《定积分的概念》教学教案
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
定积分教学设计
定积分教学设计定积分的概念这节课是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了不定积分的基础上，借助于极限的思想，对函数*质的进一步研究。
以下是小编精心准备的定积分教学设计，大家可以参考以下内容哦！一、教学目的（一）教学目标1、认知上：通过本节课的学习，使学员了解定积分的概念以及利用定义求函数定积分的方法。
2、能力上：通过学习，培养学员分析归纳、抽象概括以及联系与转化的思维能力，具体体会从具体到抽象的思维方法。
3、思想目标：在教学过程中，使学员理解定积分定义中体现的辩*思想，并将其利用到实际生活中去解决实际问题。
通过学习，激发学员学习数学的兴趣，养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点了解定积分的概念，会利用定义求函数定积分的方法。
本节课的难点的理解定积分的思想。
（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从实际生活中的“*国土面积”的求法过程中，体会发现定积分的概念。
根据定积分理论的特殊重要*（突破了初等数学与高等数学的又一界限；实现“曲”与“直”的转变；提出了求解一类实际问题的一种重要的方法与思想：分割??代替??求和??取极限），充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极*，加强启发*原则及理论联系实际原则的贯彻。
二、教学创新（一）深入挖掘，整合教材通过深入挖掘教材，我对本节课内容进行了重新设计，突破了传统的教学模式。
本节课并不是直接求曲边梯形的面积，进而给出定积分的定义。
而是通过对现实生活中*国土面积的实际求法的探究，引出如何来求不规则图形的面积，进而激发学生的学习热情的兴趣。
进而提出求解不规则图形的面积可以通过求解曲边梯形面积的方法来求，依此引出本节课的引例。
而对于曲边梯形的面积，在计算过程中，贯穿了以不变代变、化整为零、化零为整等哲学思想，通过“分割??代替??求和??取极限”四个步骤求出了曲边梯形的面积，即固定格式和的极限，进而给出了定积分的定义。
并且对于定义，分别从结构、记号、实质、存在*和几何意义等方面对定义进行了分析，从而加深了学生对定积分概念的理解。
定积分教案
定积分教案教案：定积分一、教学目标：1.了解定积分的概念、性质和计算方法。
2.理解定积分在几何和物理问题中的应用。
二、教学重点：1.定积分的定义和求解方法。
2.定积分在几何和物理问题中的应用。
三、教学难点：1.定积分的性质和计算方法。
2.定积分在几何和物理问题中的应用。
四、教学步骤：1.引入定积分的概念和应用。
-定积分是微积分中的重要概念，是求函数在一定区间上的面积的方法。
-引导学生思考定积分的背后含义，如何用无穷小的微元来表示面积。
-介绍定积分在几何和物理问题中的应用，如计算曲线下的面积、求物体质量和质心等。
2.讲解定积分的定义和性质。
- 定积分的定义：设函数f(x)在[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为∆x，选择每个小区间上的一个点ξi，构成Riemann和。
-定积分的性质：可加性、保号性、估值性、区间可加性等。
3.讲解定积分的计算方法。
-计算定积分的方法主要有几何法、代数法和数学归纳法。
-通过例题演示几何法和代数法的具体步骤和计算过程。
4.讲解定积分的物理应用。
-定积分在物理问题中的应用：计算物体质量、质心和转动惯量等。
-通过实例演示定积分在物理问题中的具体应用和计算方法。
五、教学效果评估：1.设计一定积分计算题目，包括几何和物理问题的应用。
2.要求学生独立完成题目，并在课堂上进行讲解。
3.评估学生的答题情况和理解程度。
六、板书设计：定积分的定义与性质计算定积分的方法定积分的物理应用七、教学反思：通过本堂课的教学，学生对定积分的概念、性质和计算方法有了初步的了解。
同时，通过实例演示定积分在几何和物理问题中的应用，使学生对定积分的实际意义有了更深入的理解。
在教学过程中，要注意引导学生思考和探索，培养学生的自主学习能力和解决问题的能力。
同时，通过评估学生的学习效果，及时发现问题并进行针对性辅导。
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当每个小区间的长度都很小时，小区间 [ xi 1 , xi ] 上的力 F F ( i ) , i [ xi 1 , xi ] 在 [ xi 1 , xi ] 上，力 F 作的功 Wi F ( i )x i 2）求 和 力F在 [ a , b] 上作的功 W Wi F ( i ) xi
n
i 1
f ( i ) x i
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为 一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积 分下一个定义
定义
设
f ( x ) 是定义在区间 [ a , b] 上的一个函数，在闭区间
[ a, b] 上任取 n-1 个分 a x1 x i 1 x i x n b 把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一 个分割，用 T 表示, 分割的细度用 || T || max{ xi } 表示，在分割 T 所属的各个小区间内各取一点 i [ xi 1 , xi ] 称为介点] i1 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以[ x , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为 i1
Ai f( ξ i ) Δx i
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细 , 即小区间的最大长度
第九章
定积分
教学目标
1、掌握定积分概念及基本性质； 2、理解可积的充要条件、充分条件、必要条件； 3、掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱布 尼兹公式；
4、掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法
等）。
§1 定积分的概念
定积分概念的引入 一． 背景： 1. 3. 曲边梯形的面积: 函数的平均值: 2. 4. 变力所作的功: 原函数的构造型定义:
图1 长江三峡溢流坝断面
C D
A
B
，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在 我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 假设抛物线方程为 y 1 x2 , x [0 , 1] , 将 [ 0, 1] 等分成 n
等份，抛物线下面部分分割成 n 个小曲边梯形第 i 个小曲边梯形用 1 i 宽为 ，高为 1 n n
i 1
n
f ( i )x i
以后简记为
f
(T )
此和式称为 f ( x ) 在 [ a, b] 上属于分割 T 的积分和 （或黎曼和， 设J是 一个确定的数，若对任意 0 总存在某个 0 ，使得 [ a , b] 上的
上的任何分割 T， 只要它的细度 || T || ， 属于分割 T 的所有积分和
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线， 下面部分是圆弧。建造这样的大坝自 然要根据它的体积备料，计算它的体积就 需要尽可能准确的计算出它的断面面积。 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该 怎样计算呢？在介绍微分定义 时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾 ，但它们可以相互转化，早在三国时代， 我国古代代数学家刘徽就提出了“割圆术”
1
曲边梯形的面积
中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算， 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工 程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我 们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
y
y
o
a
b
x
o
a
b
x
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况 精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲 边图形的准确面积呢？ 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直
max{ x1 , x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
A lim f ( i )xi
0 i 1
n
3） 取极限 对上面和式取极限， 极限值,就是力在 [ a , b] 上作的功。 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力 作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取 极限”，或者说都归结为形如
i 1 i 1 n n
分割越细，近似程度越高，分割无限细时，即分割细度 || T || max{ xi } 0 近似程度就无限高.
将这种方法用于一般的曲边梯形：
在区间[a,b]内插入若干个分点， a x x x x xn b, 0 1 2 n1
把区间 [a, b] 分成 n 个小区间 [ x , xi ]， i1 长度为 xi xi x ; i1
f
(T ) 都有
| f (T ) J | 则称 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积， 称 J 为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分 (或黎曼积分)，记作
2
的矩形代替，
i 1 n
1 n
2
它的面积 所求的总面积
i2 1 ΔS (1 ) i 2 n n n i2 1 1 n 2 Sn (1 ) 1 i 2 3 n i1 n n i 1 2n 2 3n 1 2 1 3 6n 2
我们分别取 n=10, 50, 100 用计算机把它的图象画出来，并计 算出面积的近似值： clf, n=10; y=1-x.^2; x=0:1/n:1; y1='1-x.^2';
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 F ( x) 的作用，沿直线由 A 点运动到 B 点，
求变力 F ( x) 作的功
F(x)
A
B
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 x ，F 的变化不大，可近似看 作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， 1） 对 [ a , b ] 作分割
a x1 xi 1 xi xn b