数字高程模型内插方法共33页
合集下载
《数字高程模型》实验讲义[1]
![《数字高程模型》实验讲义[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/ab6eb71c4431b90d6c85c784.png)
数字高程模型 实验讲义南阳师范学院环旅学院 地理信息系统教研室编2011年2月前 言Miller于1958年提出首次提出了数字高程模型（Digital Elevation Model，DEM）的概念。
经过40多年的发展，DEM的诸多基础理论问题都得到了深入的研究，基于DEM的数字地形分析理论与方法体系正在形成，DEM在许多领域的工作中得到了成功应用。
DEM已成为各类GIS数据库的核心数据之一。
国家测绘部门将DEM作为国家空间数据基础设施（National Spatial data Infrastructure，NSDI）的重要建设项目之一。
在理论研究方面，DEM的不确定性、DEM的尺度效应、DEM的地学分析、基于DEM的数据挖掘都取得了很大的突破。
在应用方面，也从一般的地形因子提取、支持三维漫游等简单应用向更多样的形式、更广泛的领域发展。
可以说，DEM所代表的已经不仅仅是一种记录海拔的空间数据，更代表着一种地学处理的方法。
适应于学科发展和实践需要，各高等院校的有关专业，特别是地理信息系统、空间信息与数字工程、测绘工程等专业都纷纷将数字高程模型作为本科和研究生课程。
我学院办有地理信息系统和测绘工程等专业，数字高程模型一直是此二专业的重要课程。
在多年教学经验的基础上，我们编写了本实验讲义，供地理信息系统专业、测绘工程专业的本科教学使用。
本实验讲义中，以验证、探索理论知识和传授技能作为基础目标，另外还注重意识和能力的培养。
当代教育理论认为，如果说知识和技能是人才素质的基础，意识则决定了运用知识和技能的动机，能力则是运用知识和技能的方法。
当代地学人才不仅需要具有充足的专业知识和技能，而且应该具备一系列意识和能力。
虽然，高校通常设置培养意识和能力的公共课程；但是，专业课教学也应该将其作为教学目标之一。
这样以来，可以根据专业课程的特点有目的地培养特定的意识和能力。
本课程所涉及的意识和能力主要包括科学精神、团队意识、创新能力和统合能力等。
数字高程模型的内插方法 共34页
X2Y2 Y22
XnYn Yn2
X1 Y1 1
X2 Y2 1
Xn
Yn
11
（4）计算每一数据点的权
pi
1 d i2
pi
(Rdi di
)2
p e
d2i k2
i
（5）法化求解 X(MTPM )1MTPZ
系数F是待定点内插高程值ZP
移动曲面拟合法注意事项
•对点的选择除满足n＞6外，应保证各个 象限都有数据点， •当地形起伏较大时，半径R不能取得很大。 •当数据点较稀或分布不均匀时，利用二 次曲面移动拟合可能产生很大的误差
利
人
所
有 用一个整体函数 拟合整个区域
逐点内插法
逐点内插方法
以每一待定点为中心，定义一 个局部函数去拟合周围的数据 点。逐点内插法十分灵活，精 度较高，计算方法简单又不需 很大的计算机内存，但计算速 度可能比其它方法慢
移动曲面拟合法
（l）建立局部坐标
对DEM每一个格网点，将坐标原点 移至该DEM格网点P（Xp，Yp）
v A ( 1 X )1 ( Y ) Z i,j X ( 1 Y ) Z i 1 ,j
(1 X ) Yi,j 1 Z X Yi 1 ,Z j 1 Z A
虚拟观测值误差方程式
X (XA Xi )/ d Y (YA Yi )/ d d Xi1 Xi Yi1 Yi
Xi Xi X p Yi Yi Y p
（2）选取邻近数据点
y
di Xi2 Yi2 R
（3）列出误差方程式
di P
x
Z A 2 x B x C 2 y y D E x F y
第五章 数字高程模型内插
大范围地形比较复杂，因此一般不采样整体内插法。 分块内插能够较好的保留地物细节，并通过块间重叠保持了内插面的连续性， 是应用中较常选用的策略。其中双线性内插常用于实际工程。 实际应用中人们常通过建立剖分三角网直接进行内插。 逐点内插应用简便，但计算量大。Voronoi图的点内插方法是目前较好的逐点 内插方法。
5.3.5 多面叠加内插法（多面函数法）
基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面（或称 单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在 Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格的 通过各个数据点。
Q为简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数，其值与分块 扩充范围内参考点的个数相等；Ki为待定参数，代表了第i个核函数对多层叠加面 的贡献。
5.3.7 有限元法（了解）
以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体 分割为有限个单元（如三角形、正方形等）的集合。
5.4 逐点内插法
逐点内插法是以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的变化而移动，又称移动曲面法。 5.4.1 移动拟合法
首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定个平面，继而求出内插点的 高程值的方法。
根据已知三个参考点A,B,C双线性内插p点高程值：
（2）Matlab算法实现
最邻近插值
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 ) x
y
( x1 , y1 ) ( x2 , y 1 )
O
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求． 注意：最邻近插值一般不连续．具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值．
5.3.5 多面叠加内插法（多面函数法）
基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面（或称 单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在 Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格的 通过各个数据点。
Q为简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数，其值与分块 扩充范围内参考点的个数相等；Ki为待定参数，代表了第i个核函数对多层叠加面 的贡献。
5.3.7 有限元法（了解）
以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体 分割为有限个单元（如三角形、正方形等）的集合。
5.4 逐点内插法
逐点内插法是以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的变化而移动，又称移动曲面法。 5.4.1 移动拟合法
首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定个平面，继而求出内插点的 高程值的方法。
根据已知三个参考点A,B,C双线性内插p点高程值：
（2）Matlab算法实现
最邻近插值
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 ) x
y
( x1 , y1 ) ( x2 , y 1 )
O
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求． 注意：最邻近插值一般不连续．具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值．
太原理工大学数字高程模型第六章-数字高程模型内插.
12
3)多层曲面叠加内插
多层曲面叠加法是美国Hardy教授在1977年提出的，他认为任何一个 规则或不规则的连续曲面都可看成由若干个简单的曲面来叠加逼近。 具体实现是在每个数据点上建立一个曲面，然后在垂直方向上将各个 曲面按一定比例进行叠加，形成一张整体连续的曲面，曲面严格通过 每一个数据点。 多层曲面叠加法的核心是简单曲面的设计，也称为核函数。自该方法 提出以来，已经发展了许多种核函数的设计方法，如锥面、双曲面、 三次曲面、高斯曲面(以高斯曲线为母线的旋转曲面)、Authur法、吕 言法、Wild法等。
19
逐点内插方法
是以内插点为中心，确定一个邻域范围，用落在邻域范围内
的采样点计算内插点的高程值。逐点内插本质上是局部内插， 但与局部分块内插有所不同，局部内插中的分块范围一经确 定，在整个内插过程中其大小、形状和位置是不变的，凡是 落在该块中的内插点，都用该块的内插函数进行计算，而逐
点内插法的邻域范围大小、形状、位置乃至采样点个数随内
9
线性内插函数中有三个未知数，需要三个采样点才能唯一
确定，而双线性内插函数中有四个未知数，需要四个采样
点。线性内插和双线性内插函数由于物理意义明确，计算 简单，是基于TIN和基于正方形格网分布采样数据的DEM 内插和分析应用的最常用的方法。
10
2)二元样条函数内插
所谓样条曲面，就是将一张具有弹性的薄板压定在各个采样点上，而其 他的地方自由弯曲。从数学上讲，就是一个分段的低次多项式，多项式 的次数一般不超过三阶。通过样条函数，可以获取在各个采样点上具有 最小曲率的拟合曲面。 二元样条函数首先对采样区域进行分块，对每一块用一个多项式进行拟 合，为保证各个分块之间的平滑过渡，按照弹性力学条件设立分块之问 的连续性条件，即公共边界上的导数连续。虽然样条函数适合于任意形 状的分块单元，但一般还是将其应用在规则格网分布的采样数据中。
第8_3章 数字高程模型建立
院
17
Hardy多面函数法
其函数表达式为：
为了简单起见,核函数一般选用形式简单的对称函 数，通常有如下几种形式:
城环学院
18
Hardy多面函数法
关于此方法的几点讨论：
如果希望对地形增加各种约束和限制，可以设计某一函 数将其增加到多面叠加的函数体内，如希望在内插中考 虑地面坡度信息，则可以设计具有坡度特性的函数 在DEM中，如果数据点密度较小且数据点精度很高的 情况下，可采用多面函数法，但在地表特征复杂的情况 下，难以确定某一特定函数严格表示地形变化，故不易 采用 由于该方法在大范围计算量大，选择函数困难，故应用 较少 但也有人认为： Hardy多面函数法的计算简单、快捷 ，但是它要求参考点是地形表面的地形特征点,否则将 导致计算失败
城环学院
19
样条函数内插法
该方法是将某一欲插值的区域分成若干块，对每 一分块定义出一个不同的多项式曲面 为了保证各分块曲面之间的光滑性，必须保证所 确定的ｎ次多项式曲面与相邻分块的边界上所有 (n-1)次的导数都连续。这时的ｎ次多项式就称为 样条函数 这种方法属于曲面拟合范畴，对于规则网格数据 ，由该法可对每个点的高程重新插值
城环学院
26
移动曲面拟合法
对每个待插点，选其邻近的n个数据点拟合一个多 项式曲面，如
关键
（1）确定待插点邻近点 （2）参考点的权重
z ( x, y ) a0 a1 x a2 y a3 xy a4 x a5 y
2
城环学院
27
2
移动曲面拟合法
（1）确定待插点邻近点 1)范围，即采用多大面积范 围内的参考点来计算被插点的数 值； 2)点数，即选择多少参考点 参加计算。 基于点的数量的选择 基于点的范围的选择
17
Hardy多面函数法
其函数表达式为：
为了简单起见,核函数一般选用形式简单的对称函 数，通常有如下几种形式:
城环学院
18
Hardy多面函数法
关于此方法的几点讨论：
如果希望对地形增加各种约束和限制，可以设计某一函 数将其增加到多面叠加的函数体内，如希望在内插中考 虑地面坡度信息，则可以设计具有坡度特性的函数 在DEM中，如果数据点密度较小且数据点精度很高的 情况下，可采用多面函数法，但在地表特征复杂的情况 下，难以确定某一特定函数严格表示地形变化，故不易 采用 由于该方法在大范围计算量大，选择函数困难，故应用 较少 但也有人认为： Hardy多面函数法的计算简单、快捷 ，但是它要求参考点是地形表面的地形特征点,否则将 导致计算失败
城环学院
19
样条函数内插法
该方法是将某一欲插值的区域分成若干块，对每 一分块定义出一个不同的多项式曲面 为了保证各分块曲面之间的光滑性，必须保证所 确定的ｎ次多项式曲面与相邻分块的边界上所有 (n-1)次的导数都连续。这时的ｎ次多项式就称为 样条函数 这种方法属于曲面拟合范畴，对于规则网格数据 ，由该法可对每个点的高程重新插值
城环学院
26
移动曲面拟合法
对每个待插点，选其邻近的n个数据点拟合一个多 项式曲面，如
关键
（1）确定待插点邻近点 （2）参考点的权重
z ( x, y ) a0 a1 x a2 y a3 xy a4 x a5 y
2
城环学院
27
2
移动曲面拟合法
（1）确定待插点邻近点 1)范围，即采用多大面积范 围内的参考点来计算被插点的数 值； 2)点数，即选择多少参考点 参加计算。 基于点的数量的选择 基于点的范围的选择
数字高程模型的内插方法
数字高程模型的内插方 法与数据管理
主要内容
移动曲面内插方法 多面函数内插方法 有限元内插方法 数字高程模型的精度及存储管理
/ “
数字高程模型的内插方法
DEM内插就是根据参考点上的高程
测 求出其它待定点上的高程，
绘
信
息
网
”
网
友 搜 集
整体函数内插
局部函数内插
采用了多个邻近点之加权平均水平面 移动拟合法内插：
n
piZ i
Zp
i1 n
pi
i1
多面函数法DEM内插
“任何一个圆滑的数学表面总是可以用一 系列有规则的数学表面的总和，以任意的 精度进行逼近。”也就是一个数学表面上 某点（X，Y）处高程Z的表达式为:
n
Zf(X,Y) ajq(X,Y,Xj,Yj) j1
)2
p e
d2i k2
i
（5）法化求解 X(MTPM )1MTPZ
系数F是待定点内插高程值ZP
移动曲面拟合法注意事项
•对点的选择除满足n＞6外，应保证各个 象限都有数据点， •当地形起伏较大时，半径R不能取得很大。 •当数据点较稀或分布不均匀时，利用二 次曲面移动拟合可能产生很大的误差
加权平均水平面移动拟合法
a1q(X,Y,X 1,Y 1)a2q(X,Y,X2,Y 2) anq(X,Y,Xn,Y n)
核函数
1
q(X,Y,Xj,Yj)[X (Xj)2(YYj)2]2
1
q (X ,Y ,X j,Y j) [X ( X j)2 (Y Y j)2]2
mn 可任选其中n个为核函数的
中心点Pj(Xj,Yj)
各数据点应满足
y
A
x
误差方程式 若 A点是已知高程点，作为观测值， 以格网高程Zi,j…作为待定的未知数
主要内容
移动曲面内插方法 多面函数内插方法 有限元内插方法 数字高程模型的精度及存储管理
/ “
数字高程模型的内插方法
DEM内插就是根据参考点上的高程
测 求出其它待定点上的高程，
绘
信
息
网
”
网
友 搜 集
整体函数内插
局部函数内插
采用了多个邻近点之加权平均水平面 移动拟合法内插：
n
piZ i
Zp
i1 n
pi
i1
多面函数法DEM内插
“任何一个圆滑的数学表面总是可以用一 系列有规则的数学表面的总和，以任意的 精度进行逼近。”也就是一个数学表面上 某点（X，Y）处高程Z的表达式为:
n
Zf(X,Y) ajq(X,Y,Xj,Yj) j1
)2
p e
d2i k2
i
（5）法化求解 X(MTPM )1MTPZ
系数F是待定点内插高程值ZP
移动曲面拟合法注意事项
•对点的选择除满足n＞6外，应保证各个 象限都有数据点， •当地形起伏较大时，半径R不能取得很大。 •当数据点较稀或分布不均匀时，利用二 次曲面移动拟合可能产生很大的误差
加权平均水平面移动拟合法
a1q(X,Y,X 1,Y 1)a2q(X,Y,X2,Y 2) anq(X,Y,Xn,Y n)
核函数
1
q(X,Y,Xj,Yj)[X (Xj)2(YYj)2]2
1
q (X ,Y ,X j,Y j) [X ( X j)2 (Y Y j)2]2
mn 可任选其中n个为核函数的
中心点Pj(Xj,Yj)
各数据点应满足
y
A
x
误差方程式 若 A点是已知高程点，作为观测值， 以格网高程Zi,j…作为待定的未知数
数字高程模型内插
5、最小二乘配置法
最小二乘配置的前提，是处理对象属于平稳随机过程， 但地表起伏复杂，各种地貌形态未必都符合平稳随机 过程的统计规律，趋势面起算高程未必仅和距离有关， 所以前提条件不符合，难以保证内插质量；
趋势面和协方差函数的参数确定，需要较长的迭代过 程，当收敛速度较慢时，计算量较大。
四、逐点内插法
5、最小二乘配置法
最小二乘配置法广泛用于测量学科。 在测量中，测量值包含三部分：
与某些参数有关的值，即趋势面； 趋势面不能表达的值，即系统的信号部分； 观测值的偶然误差，即随机噪声。
最小二乘配置法
E(信号)+E(随机噪声)=0，且COV(信号，随机噪声)=0 使用最小二乘法求解趋势面参数。
4、样条函数内插法
该方法是将某一欲插值的区域分成若干块，对每一分 块定义出一个不同的多项式曲面； 为了保证各分块曲面之间的光滑性，必须保证所确定 的ｎ次多项式曲面与相邻分块的边界上所有(n-1)次的 导数都连续；这时的ｎ次多项式就称为样条函数； 这种方法属于曲面拟合范畴，对于规则网格数据，由 该法可对每个点的高程重新插值；
因此，可以利用权来反映这种影响性质，权函数常使用距 离来度量：
2、加权平均法
在移动拟合法中，往往要计算复杂的误差方程组，故 在实际应用中经常使用经过简化的加权平均法。 在解算待定点p的高程时，使用加权平均值代替误差方 程：
2、加权平均法
移动拟合法选点的一个缺陷：以距离为基础进行选点和定 义权重，难以很好地描述空间相邻性；
分块内插的分块范围一经确定，其形状大小和位置都保持 不变，凡落在分块上的待插点都用该分块上的唯一数学模 型面进行内插； 而逐点内插是以待插点为中心，定义一个局部函数来拟合 周围的数据点，其范围随待插点位置变化而变化，故又称 为移动曲面法。
数字高程模型的内插方法与数据
移动平均内插法
总结词
移动平均内插法是一种简单而常用的内插方法，通过在局部区域内计算平均值来估计未 知点高程。
详细描述
移动平均内插法首先在局部区域内选择若干个已知点，然后计算这些点的平均高程值， 最后将该平均值应用于估计局部区域内的未知点高程。该方法简单易行，但在地形变化
较大的区域可能会产生较大的误差。
04
数字高程模型的应用
地形分析
地形起伏分析
通过数字高程模型，可以获取地 形起伏的详细信息，包括山峰、 山谷、鞍部等地形特征。
坡度与坡向分析
利用数字高程模型，可以计Байду номын сангаас出 地面的坡度大小和坡向，用于评 估地形对水流、土壤侵蚀等方面 的影响。
水文分析
水流模拟
数字高程模型可以用于模拟地表水流 ，预测洪水淹没范围、泥石流等自然 灾害的影响区域。
03
数据处理与质量控制
数据预处理
数据清洗
去除异常值、缺失值和冗 余数据，确保数据准确性。
坐标转换
将数据从一种坐标系转换 到另一种坐标系，以便于 分析和建模。
数据分类与编码
将数据按照一定的规则进 行分类和编码，便于后续 处理和计算。
数据后处理
插值处理
对离散的数据点进行插值，生成连续的数字高程模型表面。
数字高程模型的内插方 法与数据
目录 CONTENT
• 数字高程模型简介 • 内插方法介绍 • 数据处理与质量控制 • 数字高程模型的应用 • 数字高程模型的发展趋势与展望
01
数字高程模型简介
数字高程模型的概念
数字高程模型（Digital Elevation Model，简称DEM）是一种 表示地球表面地形起伏的数字模型，通过离散的地形数据点对 连续的地形进行逼近。
数字高程模型及其应用
按方位取点法
第37页/共93页
通过以上过程，总结DEM内插的步骤： 1）选用合适的数学模型； 2）利用已知数据点求模型中的参数； 3）根据模型求待定点的高程。
第38页/共93页
2.线性内插
Z a0 a1X a2Y
Y
1P
2
3
X
Z 1
X
Y
a0 a1
a2
Z1 1 X1 Y1 a0 Z2 1 X 2 Y2 a1 Z3 1 X 3 Y3 a2
mm
Zx, y
Cij xi y j
i0 j0
第22页/共93页
分块内插
分块内插是把整个区域分成若干子块，对每一 子块使用一个函数拟合该区域内的地表面，利 用该块内的数据点求解待定参数。
分块
第23页/共93页
逐点内插法
以每一待定点为中心，定义一个局部函数 去拟合周围的数据点。逐点内插法十分灵 活，精度较高，计算方法简单又不需很大 的计算机内存，但计算速度可能比较慢
1. 由现有地形图上获取：通常采用扫描装置获取 手扶跟踪数字化仪 扫描数字化仪
2. 摄影测量方法获取 3. 野外实地测量 4. 遥感系统，如GPS、激光测高仪直接获取
第8页/共93页
六、数字地面模型的发展过程
50年代末概念形成 60-70年代对DTM的内插问题进行研究 70年代中、后期对采样方法进行研究 80年代以来，全方位对DTM进行研究，包括
1
X L
1
Y L
Z
A
1
Y L
X L
ZB
X L
Y L
ZC
1
X L
Y L
ZD
D
P Y AX
第6章2DEM内插方法与数据管理
逐点内插方法 以每一待定点为中心，定义一 个局部函数去拟合周围的数据 点。逐点内插法十分灵活，精 度较高，计算方法简单又不需 很大的计算机内存，但计算速 度可能比其它方法慢。
移动曲面拟合法
(l) 建立局部坐标
对DEM每一个格网点，将坐标原点 移至该DEM格网点P（Xp，Yp）
Xi Xi X Yi Yi Y p
整型量存贮
Zi INT (Zi Z0 ) 10 0.5
m
将高程数据减去一常数Z0
差分映射 相邻数据间的增量，数据范围较小， 可以利用一个字节存贮一个数据，使 数据压缩至原有存贮量的近四分之一
Z 0 Z 0
Z 0 Z1 Z 2 Z n 1 1 0 0
压缩编码
当根据各数出现的概率设计一定的编码， 用位数（bit）最短的码表示出现概率最 大的数，出现概率较小数用位数较长的 码表示，则每一数据所占的平均位数比 原来的固定位数（16或8）小 数据的平均最小 位数可用信息论 中熵的定义计算
H (d1d 2 d n ) pk log2 pk
A
误差方程式 若 A点是已知高程点，作为观测值， 以格网高程Zi,j…作为待定的未知数
vA (1 X )(1 Y )Zi, j X (1 Y )Zi 1, j
(1 X )YZi, j 1 XYZi 1, j 1 Z A
虚拟 1 n
pi Z i pi
i 1
多面函数法DEM内插
“任何一个圆滑的数学表面总是可以用一 系列有规则的数学表面的总和，以任意的 精度进行逼近。”也就是一个数学表面上 某点（X，Y）处高程Z的表达式为: