固体物理学晶体衍射

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固体物理第六章晶体X射线衍射

倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• Vectors in the direct lattice have the dimensions of [length]; vectors in the reciprocal lattice have the dimensions of [1/length]. • The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal.
n=3, =67.52o no reflection for n4

Combining Bragg and d-spacing equation
X-rays with wavelength 1.54 Å are “reflected” from the (1 1 0) planes of a cubic crystal with unit cell a = 6 Å. Calculate the Bragg angle, , for all orders of reflection, n.
• a1,a2,a3又称为正点阵
a3 b3
a2 b2 a1
b1
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 此时， b1,b2,b3为不共面的基矢，称为倒易点阵（reciprocal lattice） • If a1,a2,a3 are primitive vectors of the crystal lattice, then b1,b2,b3 are primitive vectors of the reciprocal lattice.
2d sin = n

1.6晶体衍射-山东大学固体物理

a1 = ai a2 = b j 0 a 3 = ck
0
i , j, k
表示沿三个坐标轴方向的单位矢量。表示沿三个坐标轴方向的单位矢量。
简单正交格子正格基矢：简单正交格子正格基矢：
其倒格基矢：其倒格基矢：
2π b1 = i a 2π j b2 = b 0 b 3 = 2π k c
λ=
h 2meU
h ≈ 6.62 × 10 34 J s
1.5 λ≈ U (nm)
e ≈ 1.6 × 10 19 C
U = 150
m ≈ 9.1×1031kg
V ,λ ~ 0.1 nm
电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子散射
衍射主要用来观察薄膜。
2π
k
2π λmin
λ min
< R <
2π
λ max
。
k0
2π λmax O
在红色区域的倒格点和各球心的连线都表示晶体可以产生反射的方向(衍射极大方向) 反射的方向(衍射极大方向)。
衍射斑点与倒格点相对应。衍射斑点与倒格点相对应。衍射斑点分布倒格点的分布倒格点对称性晶格的对称性
由上式可以看出：由上式可以看出：
λ≤
2d n
， λ ≤ 2d
不能用可见光进行晶体衍射。
2.劳厄衍射方程设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶体线度大得多。体线度大得多。 (1)入射线和衍射线为平行光线； (1)入射线和衍射线为平行光线；入射线和衍射线为平行光线 (2)略去康普顿效应； (2)略去康普顿效应；略去康普顿效应分别为入射和衍射线方向的单位矢量； (3) S 0和 S 分别为入射和衍射线方向的单位矢量； (4)只讨论布拉维晶格。只讨论布拉维晶格 (4)只讨论布拉维晶格。

晶体产生衍射的充要条件

晶体产生衍射的充要条件晶体是由原子或分子有序排列而形成的固体物质。

当入射的电子、中子或X射线等波长较小的粒子照射到晶体上时，晶体会发生衍射现象。

晶体产生衍射的充要条件如下：1. 晶体的结构具有周期性：晶体的原子或分子排列呈现出周期性的结构，即具有重复的空间排列方式。

这种周期性结构使得晶体能够形成衍射图样。

2. 入射波长小于晶格常数：入射粒子的波长需要小于晶体的晶格常数，才能够与晶格相互作用并发生衍射。

衍射是一种波动现象，只有波长与晶格常数相当或更小的入射波才能够与晶格相互作用。

3. 入射波与晶体的结构有相互作用：入射波与晶体的结构发生相互作用，入射波的波动性使得它们在晶体中散射，并与晶体中的原子或分子相互干涉。

这种干涉会导致入射波的衍射。

4. 入射波与晶体的方向关系：入射波的方向与晶体的晶轴方向、晶面方向之间存在特定的关系。

只有满足特定的方向关系，入射波才能够在晶体中衍射出清晰的衍射图样。

5. 衍射图样的观察：衍射图样需要通过适当的探测器进行观察和记录。

常用的探测器包括底片、荧光屏、探测器阵列等。

通过观察衍射图样，可以了解晶体的结构信息。

晶体的衍射现象是研究晶体结构和物性的重要手段之一。

通过晶体衍射实验，可以确定晶胞参数、晶格类型、晶面指数等晶体结构信息，进而了解晶体中原子或分子的排列方式和相互作用。

衍射图样的特征和衍射角度的测量结果可以通过数学方法进行分析和计算，得到晶体的结构模型。

晶体衍射的充要条件是晶体具有周期性的结构，并且入射波的波长小于晶格常数。

入射波与晶体的结构相互作用并满足特定的方向关系后，会在晶体中发生衍射现象。

通过观察和分析衍射图样，可以得到晶体的结构信息。

晶体衍射的研究对于理解晶体的性质和应用具有重要意义，广泛应用于材料科学、固体物理、化学等领域。

固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律

固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律晶体衍射是固体物理学中的重要概念，它通过分析光线或粒子在晶体结构上的散射和干涉现象，揭示了晶体的微观结构信息。

而布拉格定律则是晶体衍射的基础，它描述了入射光线或粒子在晶体上的散射条件。

本文将从晶体衍射的原理和特点出发，详细介绍晶体衍射与布拉格定律的相关内容。

一、晶体衍射的原理和特点晶体衍射是由于晶体的周期性结构导致的光线或粒子的散射和干涉现象。

当入射光线或粒子遇到晶体的原子或离子时，会受到晶体中的电场或电荷分布的相互作用，并发生散射。

与非晶体相比，晶体具有明显的周期结构，晶格中的原子或离子排列有序，因此晶体衍射呈现出一系列特点。

首先，晶体衍射具有干涉性质。

当入射光线或粒子的波长与晶体的晶格常数相当时，晶体中的每个原子或离子都可以看作是一种点源，它们发出的散射光线或粒子会相互干涉，形成一系列明暗相间的衍射斑图。

其次，晶体衍射具有角度选择性。

根据晶体的布拉格定律，只有满足一定散射角度的入射光线或粒子才能在晶体中发生衍射。

这意味着不同入射角度和不同衍射角度对应着不同的衍射条件，从而使得衍射斑图的位置和形状随着入射角度的变化而改变。

最后，晶体衍射具有信息衍射的特点。

根据衍射斑图的位置、形状和强度分布，可以反推出晶体的结构信息。

通过分析衍射斑图的间距和角度，可以确定晶体的晶格常数和晶体面的取向。

这为研究晶体结构和材料性质提供了重要的手段和依据。

二、布拉格定律的推导和应用布拉格定律是描述晶体衍射的基本规律，它通过分析散射光线或粒子在晶体中的干涉现象，给出了入射角度和衍射角度之间的定量关系。

布拉格定律的推导基于几何光学和干涉光学的原理，下面将对其进行简要介绍。

设晶体中的两个晶面之间的距离为d，入射光线或粒子与晶面的夹角为θ，入射光线或粒子在晶体上发生衍射后的干涉光线或粒子与晶面的夹角为φ。

根据布拉格干涉的条件，晶面散射的光线或粒子应满足相位差为整数倍的关系。

根据光的传播定律和几何关系，可以得到入射光线或粒子与晶面的夹角θ与衍射角度φ之间的关系：2dsinθ = nλ其中，d为晶面间的距离，θ为入射角度，φ为衍射角度，n为整数，λ为入射光线或粒子的波长。

复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论

http://10.107.0.68/~jgche/
晶体结构衍射理论
2
第12讲、晶体结构衍射理论
1. Bragg定律 2. von Laue方程 3. 散射强度和结构因子 4. 例子
http://10.107.0.68/~jgche/
晶体结构衍射理论
3
1、Bragg定律
• 光的反射定律
* 入射角等于反射角
K h R l 2 n
R l l1a1 l2a 2 l3a 3
K h h1b1 h2b 2 h3b 3
k K h k ' (k K h ) 2 k '2
弹性散射|k|=|k’| 讨论布里渊区时写成
k 'k K h
von Laue 条件：波矢改变等于倒格矢时，满足衍射加强的条件

d
• Bragg假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大
* 只有入射的10-3~10-5部分被每个面反射
• 两个面间光程差？ • 光程差：2d sinθ • 加强条件：层与层之间的光程差为波长的n倍时，衍射极大Bragg定律（ Bragg 反射公式）
晶体结构衍射理论
23
例：蜂窝结构的结构因子
• 确定基元内原子位置矢量 • 用基矢表达
τ 0 0a1 0a 2
2 2 τ 1 a1 a 2 3 3
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以归结为以这个原子为中心的散射

2020全国高中物理竞赛辅导课件-固体物理学-第二章晶体中的衍射(共71张PPT)

• 几何结构因子：一个晶胞内所有原子对入射 X光的散射振幅的几何和与一个电子对X光
散射的振幅之比。
F f e f e iK hk
l rj
i
(
ha*
kb*
lc*
)(u
j
a
v
jb
wc)
hkl
j
j
j
j
f ei2n(hu j kvj lw j ) j j
• 几何结构因子是晶胞内所有原子对入射X光的相对散射振幅，因此衍射光强度正比于几何结构因子的平方。
2. 几何结构因子
• 劳厄方程和布拉格公式都是只考虑了简单晶格（格点仅分布在平行六面体的角顶上）衍射极大条件。
• 有心化格子可以视为几套简单格子（子晶格）相互平移套构而成。晶格的这种平移使得各子晶格的衍射线之间可以产生相干迭加，从而原先满足衍射极大的方向可以因为子晶格衍射线的干涉相消而不出现。这种现象称为结构消光。
C
• 散射波振幅应为A、B两原子散射波振幅的相
干迭加：
A(k) A Bei(k k0 )Rl
• 若晶体中有N个原子，则k方向衍射波的振幅：
N
A(k)
ei(k k0 )R j j
j 1
• k方向衍射波的强度：
2
I (k) A(k)
N
ei(k k0 )( R j R j ' ) j j'
e / i
(
k
k0
)rj
j
ei
(
k
k0
)rj
j
若原子中电荷呈连续分布，则：
f
ei
(
k k0
)r
(r)d
BA rj OC

固体物理第5讲晶体衍射

第五讲：晶体衍射X 射线晶体衍射散射波振幅衍射条件布喇格对衍射条件的推导简洁而清楚地表述被格点处点电荷所散射的波相干涉条件。

考虑每个原胞中电子密度空间分布所给出的散射强度。

因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性，因此可以将电子密度函数作傅里叶展开：()()∑⋅⋅=321 h h h i hhe n n rKKr (5.1)由相距为r 的体积元散射的射线束之间的位相差因子是()r k' k •−i e ，入射束和出射束的波矢分别是k 和k’。

从一个体积元散射的波的振幅正比于该处的电子密度。

在k’方向上散射波的总振幅F 为：()()()()()()∑∫∑∫∫⋅∆−⋅+−⋅−−===321321 h h h i hh h h i hi h edVn e dVn e dVn F rk K rk' k Kr k' k KKr h(5.2)式中k' k k −=∆ 为散射矢量。

当散射矢量等于一个倒格矢K h 时，指数的幅角为零，F = Vn (K h )。

可以证明当散射矢量同任一倒格矢相差足够大时，F 小到可以忽略。

在不改变入射波粒子能量的弹性散射中，入射束和出射束的频率和波矢的数值不变。

22'k k =。

因此衍射条件为：022=+•hh K K k (5.3) 这个条件实际上布喇格定律在倒格子空间的表述形式。

稍加变换可得：()321/2sin /22h h h d πθλπ= (5.4) 定义K h 的诸整数可能含有一个公因子n ，然而在晶面密勒指数中的公因子n 已被消去。

这样就得布喇格的结果：λθn d =sin 2 (5.5) 单胞的结构因子在实验上，对于衍射强度问题的研究必须考虑晶体的特殊对称性，因此在讨论衍射问题时，常常采用结晶学中的原胞即单胞。

当衍射条件h K k =∆ 被满足时，对于一个由含有N 个单胞的晶体，散射振幅为：()s i s Nf e dVn N F h ==∫•−r K r (5.6)f s 称为单胞的结构因子，有时也称为几何结构因子。

晶体结构与衍射的物理学解释

晶体结构与衍射的物理学解释晶体结构与衍射是固体物理学中一门重要的研究领域。

晶体是由原子、离子或者分子有序排列形成的，具有高度规则的周期性结构。

通过衍射现象，我们可以了解晶体的内部结构和原子排列方式。

在本文中，我们将探讨晶体结构与衍射的物理学解释。

首先，让我们了解晶体的结构。

晶体的结构通常可以分为离子晶体和共价晶体两类。

离子晶体是由正负离子通过电磁相互作用力排列而成的。

常见的例子包括盐和氯化钠。

共价晶体则由共享电子成键的原子构成，如钻石和石英。

每种晶体都有其特定的晶格结构，这是因为原子、离子或者分子通过化学键的相互作用力形成了稳定的排列模式。

晶体结构的理论基础可以追溯到布拉维格点理论。

该理论认为晶体的结构由离散的点组成，这些点按照一定的规则排列。

晶格的形状可以是立方体、四方体、六方体等。

晶格决定了晶体的物理和化学性质。

而衍射现象则是通过射线经过晶体后发生偏折，形成干涉影像。

这一现象由尤凡·拉斯·冯·朗缪爵士在19世纪初首次发现并解释。

当入射光波的波长与晶体晶格的间距相当时，光波会与晶格相互作用，形成衍射图样。

衍射图样是由晶体上的原子、离子或者分子之间的构造激发出的相干光所产生的干涉效应。

这种干涉效应使得衍射光波向特定的方向发散或聚焦。

通过衍射图样，研究者可以确定晶体的晶格常数、晶胞的尺寸和原子排列方式。

要理解衍射现象，我们需要借助于波动光学的理论。

根据惠更斯原理，光波会在到达障碍物后扩展成球面波。

当光波遇到晶体的晶格时，球面波被透过晶格间隙的射线所限制，其中一些射线将受到相干干涉的影响。

干涉效应使得某些方向上的光波受到增强，而其他方向上的光波受到相消干涉的影响。

在X射线衍射实验中，入射的X射线通过晶体，与晶体中的原子相互作用后发生衍射。

根据衍射图样的形状和条纹的位置，可以确定晶体的晶格常数和晶胞的几何形状。

这对于进一步研究材料的物理化学性质和结构特征非常重要。

值得注意的是，晶体结构与衍射的研究领域一直在不断发展和改进。

固体物理学-晶体X射线衍射的实验方法

b、c，现在沿该晶体的［100］方向入射X射线。确定在哪些方向上出
现衍射极大？并指出在什么样的波长下，能观察到这些衍射极大。
解：
简单正交格子正格基矢：
՜ ՜ ՜
, ,
表示沿三个坐标轴方向的单
位矢量。
Solid State Physics
简单正交格子正格基矢：
其倒格基矢：
倒格矢：
据题意，入射的X射线的波矢
实的抽象，有严格的物理意义。
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没有特
定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。
(3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。但由
于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了X
射线在晶体中的衍射，故成为有力手段。
(4) 如需具体数学计算，仍要使用布拉格方程。
❖该球称为反射球
（Ewald 球）
Solid State Physics
➢ 入射、衍射波矢的起点
永远处于C点，末端永
远在球面上
S/
➢ 随2的变化，衍射波矢
C
可扫过全部球面。nKh

的起点永远是原点，终
nKh
点永远在球面上
2

nKh
2

2

0
nKh
O
Solid State Physics
4. 反射球球心C与倒易点的连线
即为衍射方向。
hklLeabharlann 2sC
0
O
Solid State Physics
如果没有倒易点落在球面上，则无衍射发生。
为使衍射发生，可采用两种方法。
hkl

2

物理学中的晶体衍射现象

物理学中的晶体衍射现象
晶体是由大量的原子、离子或分子在空间中按一定的周期性排列形成的固态物质。

而晶体的衍射现象则是一种特殊的现象，它在物理学中具有重要的意义。

晶体的衍射现象起源于物质的粒子性本质。

作为微观粒子，原子、离子和分子具有电磁波的波粒二象性。

当它们被某种能流所照射时，会受到散射或衍射，从而产生具有特定规律的暗纹或亮斑。

在晶体中，原子的排列呈现出高度的规则性。

当电磁波（通常为X射线或中子）照射到晶体上时，它们会被晶体中的原子所散射，形成一个特定的衍射图案。

这个衍射图案通常由许多亮斑和暗纹组成，每个亮斑对应着晶体中某个方向的原子平面，相邻的亮斑之间的距离则反映了晶体的晶格常数。

因此，通过衍射图案的分析，我们可以了解晶体内部的结构信息。

晶体的衍射现象不仅在理论研究中具有重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。

例如，在现代材料科学中，晶体的衍射图案可以帮助研究人员确定材料的结构、制备过程中的晶体缺陷以及材料的性质等问题。

此外，在生命科学中，X射线衍射也被广泛应用于蛋白质晶体学研究。

通过分析蛋白质晶体的衍射图案，科学家们可以了解蛋白质分子的三维结构信息，从而为开发新药物和治疗疾病提供重要的基础研究。

总的来说，物理学中的晶体衍射现象具有丰富的内涵和重要的应用价值。

它不仅是物质的微观本质的体现，也是解决科技问题和推动社会进步的重要工具之一。

固体物理 2.1 晶体衍射

这次，伦琴将自己的手伸在屏幕上，果然显出五根指骨的影子。然后他又取出一个装有照相底板的暗盒，让贝尔格将一只手平放在上面，再用放电管对准，这样照射了15分钟。底片在显影液里捞出来后手部的骨骼清晰可见。伦琴高兴极了，他终于发现了X射线，这个发现成为19世纪90年代物理学上的三大发现之一，为此，伦琴于1901年荣获全世界首次颁发的诺贝尔物理学奖。
德国物理学家伦琴1895年11月发现
12月22日伦琴为夫人的手拍下了第一张 X 光照片
1901年伦琴获第一个诺贝尔物理学奖
2
2.1 晶体衍射
第 2 章晶体衍射和倒格子
• X射线的发现伦琴是德国维尔茨堡大学的教授。1895年11月8 日，伦琴像平时一样把一只放电管用黑纸严严实
实地裹起来，把房间弄黑，接通感应圈，使高压放电通过放电管，黑纸没有漏光，一切正常后他截断电流，准备做每天做的实验——放电实验。突然，眼前似乎闪过一丝微绿色荧光。刚才放电管是用黑纸包着的，荧光屏也没有竖起，怎么会有荧光呢？
伦琴以为是自己的错觉，于是又重新做放电实验，但荧光又出现了。伦琴大为震惊，他一把抓过桌上的火柴，嚓的一声划亮。原来离工作台 1米远处立着一个亚铂氰化钡小屏，荧光是从那里发出的。但是由放电管阴极发出的射线——阴极射线是不能通过数厘米厚的空气的，怎么能使 1米远处的荧光屏闪光呢？莫非是一种未发现的新射线？
有多个（存在多个晶面）.【此时勿需知道晶面的具体方向，只需知
道d的可能取值即可】
15
2.1 晶体衍射
第 2 章晶体衍射和倒格子
布拉格方程的优缺点：
优点：布拉格方程将晶体的原子排列(对应的点阵) 等
效于一系列平行平面，从而从反射的角度，通过简单的推导，直观地给出了晶体衍射可能出现的各个方向。

固体物理第三章晶体衍射

Chapter 3晶体衍射§3.1 倒格子 Reciprocal lattice倒格子的概念及其应用在固体物理学中是十分重要的。

在前面，我们在坐标空间里讨论晶体结构的周期性，由此引入了坐标空间的布拉菲格子概念。

实际上，晶体结构的周期性，也可以在波矢空间里进行描述。

如果前者称为正格子，后者就称为这个正格子的倒格子。

这样以来，描述一种晶体结构的周期性可以利用两种类型的格子：一种是正格子，它是晶体结构在坐标空间的数学表现形式；一种是倒格子，它是晶体结构在波矢空间的数学表现形式。

由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结构中的波动过程、X 射线衍射等问题是非常方便的。

3.1.1波矢空间前面我们研究晶体结构的周期性，无论是采用直角坐标系还是晶胞坐标系，都是在坐标空间里进行的。

格点的位置或某点的位置都是用位矢→l R 或→r 来表示，其量值单位是“米”。

晶体结构的周期性在坐标空间里的数学形式用布拉菲格子来表示，如果把坐标空间称为“实空间”或“正空间”，那么坐标空间里的布拉菲格子就可以称为正格子。

在固体物理学的研究中，还需要另外一种空间形式。

例如，在晶体的X 射线衍射过程中，晶体作为衍射光栅，X 射线通过晶体在照相底片形成一些斑点。

这些斑点和晶体中的晶面族有着一一对应的关系。

对这些斑点的分布情况进行分析，就可以了解作为衍射光栅的那个晶体的结构情况。

从衍射斑点并不能直接看出晶体的结构，需要进行傅里叶变换，这里就需要引入波矢空间的概念。

另外，计算固体的能带结构和电子状态也要用到波矢空间。

（李商隐：庄生晓梦迷蝴蝶。

《庄子·齐物论》说，庄子曾梦化为蝴蝶，醒后弄不清楚是自己变成蝴蝶了，还是蝴蝶变成庄周了。

庄周先生在两个空间－－真实空间和梦幻空间－－里转化。

蝴蝶成为庄周先生在梦幻空间里的化身。

）波矢空间又称状态空间，在波矢空间中同样可以建立直角坐标系，三个方向的单位矢量分别记为→x k 、→y k 、→z k 。

复旦固体物理讲义-13晶体结构衍射实验

上讲回顾•晶体结构衍射理论*Bragg定律*von Laue方程*结构因子（消光条件）注意区分是晶面指数还是密勒指数http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法1本讲内容•晶体结构实验方法，晶体结构实验方法原理及其适用范围*倒易空间*实空间•准晶*不满足平移对称，比如具有五度转动对称*但可以看作是高维格子在低维的投影即，虽然不满足平移周期性，但也有一定的规律http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法2第13讲、晶体结构实验方法1.晶体结构衍射实验*原理：Ewald球*方法：von Laue方法、转动晶体法2.晶体结构其他实验方法*倒空间：电子衍射，中子衍射*实空间：FIM，STM*计算机（模拟）实验3.准晶——另类有序4.第二章小结5.例题http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法31、晶体衍射实验方法•原理*Ewald球构造法•实验*von Laue方法*转动单晶法http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法4Ewald construction 反射球•衍射斑点与衍射条件*可根据观察到的斑点与推断晶体结构的特征*理解衍射方法原理•CO= 2π/λ，入射方向，在C以CO为半径作圆，球面上的倒格点P满足衍射条件，将产生衍射，在PC方向可得衍射极大*K的两端都是倒格点ocphttp://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法52、其他晶体结构实验方法•倒空间→电子、中子衍射•实空间观察原子的位置*显微镜？*晶格典型间隔→10-10米*FIM（场离子显微镜）*STM（扫描隧道显微镜）http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法8http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法12bcc 结构W 针尖•结构可由球壳模型模拟，与图象对照•不同材料同样晶体结构的图象是不是相同？•亮度装饰线不同，反映不同材料的不同面的功函数不相同扫描隧道显微镜，STM•1982年，发明了扫描隧道显微镜(STM) *G. Binnig与H. Rohrer*人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质表面的排列情况. 这是电子显微技术的一个重要里程碑*1986获诺贝尔物理奖•STM利用量子力学的隧道效应*将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极，当针尖与样品距离非常接近时, 在外加电场作用下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极*STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度扫描模式http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法13Ni(110)http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法15http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法16Si(111) 7x7原子力显微镜，AFM •STM的局限*STM只能用于导电材料，绝缘体也须在样品表面镀上导电层*测量的是电子云分布•AFM (atomic force microscopy) *结构原理同STM，也可用于绝缘体*通过测量探针与样品之间的原子力来探测表面构型，通常保持原子力为一常数，记录探针位置•AFM操纵使铁原子在Cu(111)面上排列成“原子”字样！http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法17计算机模拟•结构的实验观测*周期性结构——倒空间*周期或非周期性结构——实空间（表面）•材料性质不但与元素成分有关、还与结构有关•计算机模拟的必要性*细节难以确定*条件非常苛刻*代价十分昂贵*条约规定限制*…http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法18计算机模拟（实验）的主要任务•解释、了解、预言、…建立结构与性质之间关系的桥梁•http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法19http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法20计算机模拟例子：结构相变•Si 和Ge 最稳定的结构是金刚石结构，次稳定结构是六角金刚石结构：PRB26, 5668 (1982)*压力导致相变：金刚石 beta 锡，而不是六角金刚石http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法21计算机模拟例子：C 3N 4晶体•理论预言硬度超过金刚石（B=440GPa ）* 六角，B=427GPa ：Sience 245, 841 (1989)* 立方，B=496GPa ：Sience 271, 53 (1996)* 小晶粒已经实现，是目前世上最硬的材料http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法22计算例子：CrO 2(001)表面•计算:铁磁性半金属*但1987年实验发现是绝缘体！？•体CrO 2中Cr 是O 的八面体配位，在(001)，弛豫后Cr 成O 的四面体配位*Cr 4+离子的5度简并的d 轨道的分裂，在八面体和四面体晶体场中是不同的*八面体，2度>3度简并；四面体，3度>2度简并；中间无允许电子能级*体Cr 4+，2个电子填3度简并能级→金属*表面Cr 4+，2个电子填2度简并能级→绝缘(topological insulator)→解释了实验http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法23http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法243、准晶——另类有序•晶体，具有周期性，衍射的图样是明锐的斑点•非晶，无周期性，衍射图样弥散的环，而不是斑点•晶体中转动对称轴只可能是1、2、3、4、6度转动轴•Shechtman，PRL53, 2477 (1984)*发现Al-Mn合金具有五重对称的衍射斑点，其明锐程度不亚于晶体！？*有结构介于晶态和非晶态之间？*不能用基元填满整个空间http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法25http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法27•正六边形可排满整个空间，但正五边形却不行•将它们换成原子，那么原子按六重对称排列可密排成二维晶体，而五重对称性却不行•但是，有没有别的办法可以铺砌成具有五重对称性的无空隙地面呢？•早在1974年，牛津大学的R. Penrose(数学物理学家)找到一种办法，用两种形状的砖，可以无空隙地铺满整个空间，但铺砌不能只沿两个独立方向重复，即铺砌图案是非周期性的•这两种砖分别称为“瘦菱形”和“胖菱形”，二者边长相等但夹角不等http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法28•“瘦菱形”和“胖菱形”虽不是正五边形, 却可以从正五边形引伸出来. 这由右图和下图看得很清楚•由“瘦菱形”和“胖菱形”铺砌成的无空隙地面具有五重对称性(五重对称轴从下图五角星位置穿过并垂直于地面)•这是有一定位置序的准晶计算机模拟的衍射图样•既然没有平移周期性这样的准晶体为什么会有衍射图样？*倒格矢？*衍射极大？•实际可看作高维周期结构在低维空间的投影*无平移周期的周期性http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法29晶体结构实验方法30二维晶格的一维限制投影一维准晶•一维准晶：基矢分别为a 和b 的2D 格子，作平行斜线(斜率是无理数)，其间的格点在实线上的投影就是一种一维准晶•即一维准晶可以看作是二维晶格以某种方式在一维空间的投影*而投影得到的点构成有序排列，但无平移周期性4、第二章小结正（坐标）空间•晶格（格子、点阵）*格点→基元代表点•原胞*最小基本结构单元→确定原胞的原则*→原胞基矢、格矢，原胞内原子位矢•晶胞*→保持晶体宏观对称性的基本结构单元*→含一个或以上Bravias格子的格点*→晶胞基矢，晶胞位矢，晶胞内原子位矢•晶面、晶列*→注意，都是相对于格点而言http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法33倒（动量）空间•倒格子*倒格子基矢、倒格矢、布里渊区•晶体结构衍射理论*von Laue方程*Bragg定律•倒格矢与晶面关系•结构因子*消光条件总是相对于某晶面方向而言#注意区分方向晶面指数还是密勒指数#如不特别指明时，都是用密勒指数表示方向http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法34晶体结构认识•简立方•面心立方•体心立方•简单六角•六角密堆积•二维蜂窝结构http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法355、例题http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法37例题•A 原子构成体心立方结构，立方体边长为a ；在A 原子构成的体心立方结构的面心上再加上B 原子，如图。

固体物理(2011) - 第1章晶体结构 5 晶体X射线衍射

固体物理
第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章
So lid S ta te Phy si cs
晶体结构晶体的结合晶格动力学能带论金属电子论半导体电子论固体磁性固体超导
1 晶格的描述 2 倒格子 3 晶体的宏观对称性、群定义 4 点群、空间群与晶格分类 5 晶体X射线衍射 6 准晶
X 射线
记录干板
衍射斑纹（劳厄斑）
衍射图样举例
NaCl 单晶的 X 射线衍射斑点
石英 (SiO2) 的 X 射线衍射斑点
DNA的衍射图
DNA的X射线衍射图 DNA结构图
其他晶格结构实验方法
电子衍射中子衍射场离子显微镜，FIM 扫描隧道显微镜，STM 原子力显微镜，AFM
问题思考
简单方法有时候是非常对的！更量子力学一点的推演有没有？ ( r R l ) ( r ) ( r ) von Laue的初衷并非晶体结构衍射， 1914年得到了诺贝尔物理学奖
2
原子散射因子和几何结构因子
来自于对散射强度分布问题的微观量子力学理解
晶胞内多个原子（请考虑复式晶格）具体位置决定了散射的位相 ——几何结构因子(geometrical structure factor)，热振动对此有影响
X射线
5 晶体X射线衍射
Bragg定律 von Laue方程
原子散射因子、几何结构因子、消光条件
X射线晶体学实验方法晶体结构其他实验测量方法介绍

倒空间：电子衍射，中子衍射实空间：FIM(场离子显微镜)，STM(扫描隧道显微镜)
X射线
Bragg定律
Bragg假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大

固体物理第二章

由于k0=2π/ λ, (2)式:
R ∙(k0 - k)=2 πn
由平移矢量R和倒格式G的关系: R ∙G=2 πm (3) 比较(2)和(3): k0 – k=G (4)
(4)被称为劳厄方程
4.衍射极大条件劳厄方程（Laue Equation） a. 坐标空间中的劳厄方程
晶格中任一格点为O，格点A的位矢 Rl=l1a1+l2a2+l3a3, S0和S为单位矢量。光程差衍射加强的条件 A
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b
立方晶系的简约区
正格子格常数倒格子格常数简约区
sc
a
sc
2 a
由6个{100}*面围成的立方体
由12个{110}*面围成的菱形12面体由8个{111}*面和6个{100}*面围成的14面体
bcc
S=2f 当v1 ＋v2 ＋v3＝偶数
7. 晶体衍射
当辐射的波长与晶格中原子间距可以比较或更小时，可发生显著的衍射现象。（1）x射线一种电磁波，由被高电压加速了的电子撞击靶极物质产生。X射线的光子能量为：
SG=celldV j nj(r-rj) exp(-iG•r)
= j exp(-iG•rj) dV nj() exp(-iG• ),
= r-rj . 原子形状因子 (atomic form factor) : fj= dV nj() exp(-iG• ), SG= j fj exp(-iG•rj) rj =xja1+ yja2+ zja3 , G= v1b1+ v2b2+ v3b3 SG(v1 v2 v3) = j fj exp[-2 i (v1xj + v2yj +v3zj )] 例如：体心立方 S=0 当v1 ＋v2 ＋v3＝奇数

固体物理学中的电子结构

固体物理学中的电子结构固体物理学是物理学的一个重要分支，它主要研究固体的性质、结构和行为以及它们之间的相互作用。

其中，电子结构是固体物理学研究的一个重要方面。

电子是构成物质的最基本粒子之一，电子结构对于理解物质的基本性质，如导电性、磁性等具有重要意义。

本文将从电子结构的基本概念、方法、实验以及应用等方面进行探讨。

一、基本概念电子结构是指描述电子在原子、分子和晶格中分布和运动的情况。

在固体物理学中，电子结构主要是指晶体的电子结构。

晶体是由大量的原子经过有序排列而组成的固体，其电子结构是由原子的电子结构经过相互作用、相互影响而形成的。

晶体的电子结构对于材料的物理性质、化学性质以及应用性质具有非常重要的影响。

在固体物理学中，电子结构与固体的导电性、热导性、光学性质、磁性等有着密切的关系。

例如，导电性是晶体中电流传输的能力，其性质取决于电子的信息传递和能带结构。

光学性质中的吸收光谱、反射光谱等也都与电子结构密切相关。

因此，对于固体物理学的研究，深入理解电子结构的特征和规律具有非常重要的意义。

二、基本方法研究电子结构的方法是多种多样的，以下是其中几种常用方法：1、晶体衍射晶体衍射是一种研究晶体结构的方法，通过衍射图案可以确定晶体的晶格结构。

衍射图案是由晶格中的电子经过散射、干涉和衍射等过程而形成的。

晶体衍射的方法包括X射线衍射、中子衍射、电子衍射等。

2、能带结构计算能带结构是研究电子在固体中的能量分布，能够描述电子在给定晶体结构下的运动状态。

计算能带结构是研究电子结构的重要方法之一。

目前常用的能带结构计算方法有密度泛函理论（DFT）、紧束缚模型（TBM）、扰动理论等。

其中，DFT由于其准确性和普适性，被广泛应用于计算电子结构。

3、谱学方法谱学方法是直接针对电子结构，通过光学谱学或者物理学的某些特性来研究固体电子结构的一种方法。

谱学方法包括紫外可见吸收光谱、拉曼光谱、X射线光电子能谱（XPS）等。

三、实验研究电子结构的实验研究是通过实验手段对固体电子结构的分布和运动状态进行研究。

固体物理讲义第二章

第二章晶体中的衍射主要内容：● 晶体的倒格子和布里渊区 ● 晶体衍射的条件✓ 劳厄方程、布拉格反射● 原子散射因子和几何结构因子 2.1 晶体结构的实验确定方法：利用入射的射线束受晶体内部原子的相干散射－衍射。

● X 射线衍射光子与电子作用，晶体内部结构测量● 电子衍射电子与电子作用，表面结构测量● 中子衍射中子与原子核作用，磁性物质结构测量● 一般性地讨论波动在晶体中的衍射衍射的条件：波长与晶格常数同数量级现在，我们可以利用高分辨电子显微镜、场粒子显微镜和扫描遂穿显微镜直接观察原子排列和晶格结构，虽然往往只能看到表面和局部的原子排列，但无论如何这是一种直接的观察，一种对原子规则结构的周期排列的直接验证。

X 射线衍射：有关晶体在0.1纳米尺度结构的主要知识主要来源于此。

本课程的核心－周期结构中传播的波。

2.2 晶体的倒格子和布里渊区倒格子的定义根据布拉菲格子的基矢量定义三个新的基矢量，它们之间的关系为：以为基矢构成的格子称为正格子以为基矢构成的格子称为倒格子正格子中每个格点的位置为：倒格子中每个格点的位置为：K h 称为倒格矢量，简称倒格矢倒格子空间也叫倒易点阵，每一个布拉菲正格子都有与之对应的倒格子。

[]321a a a ⨯=Ω∙321a a a 、、321b b b 、、()()⎩⎨⎧≠==⋅j i i=j j i j i 0 22 ππδb a[][][]Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=213132321222a a b a a b a a b πππ倒格子的性质1 正格子中的一族晶面(h 1h 2h 3)和倒格矢332211b b b Kh h h h ++= 正交2 倒格矢332211b b b K h h h h ++= 的长度正比于晶面族(h 1h 2h 3)面间距321h h h d 的倒数：34 倒格点与正格子中的一晶面相对应周期性物理量的傅里叶变换晶体中任一处r 的物理量具有晶格周期性:将其展开为傅里叶级数：比较以上两式，可得R,r+R 对于晶格平移保持不变的任何函数，都可以展成傅立叶级数倒格子和正格子互相是对应的傅立叶空间。

聊城大学《固体物理》第一章第七节晶体衍射

原子网的衍射图
三、三维衍射对于三维空间格子，可以看作由一系列平行的原子网所组成。当X射线照射到理想晶体时，各层原子网的衍射线，必然有一部份由于相互干涉而被抵消，所能保留下来的那部分衍射线，必然满足第三个方向的衍射条件：
' 0.0024 (1 cos 2 )
(b) X射线的吸收定义：当X射线穿过物质时，因受到散射、光电效应等的影响，强度减弱的现象。
强度衰减规律：
I I0e1x
I0 ：原始强度；线吸收系数1 ：单位厚度物质对X射线的吸收能力；x: X射线穿过物质的距离
对于一定的物质1是常数。实验证明1与物质的密度成正比即： 1 = m m ：质量系数系数（只与吸收体的原子序数Z和X射线的波长有
老Bragg发现了X射线的特征谱，莫塞莱(Moseley）对其进行了研究，并推导出了Kα射线的波长λ Kα的计算公式为：
λKα= 4/[3R(Z – σ)2] 式中： Z:阳极靶的原子序数; R:常数;σ:屏蔽系数。
该式就是著名的莫塞莱定律，表示K系特征X射线的波长与阳极靶的原子序数的平方近似成反比关系。
透射电子衍射：研究厚度小于 0.2微米的薄膜结构反射电子衍射：研究大块试样的表面结构会聚束电子衍射：入射电子束聚焦在试样上选区电子衍射：利用试样后面的透镜，选择小至1微米的区域
进行衍射观察
缺点：电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子衍射主要用来观察薄膜。
例、典型的电子衍射
三、中子衍射热中子流被固体、液体或气体中的原子散射引起的衍射现象，称为中子衍射。主要用于研究物质（金属）的微观结构。 1932年，发现中子，但是由于当时中子源太弱，得到的中子束能量不均匀，难以找到具体应用， 40年代，当核反应堆建立以后，才有可能利用中子衍射效应探索物质内部的结构。从核反应堆发出的中子经过减速（慢化）以后，其能量与热平衡的分子原子及晶格相当，所以这种慢中子又称为热中子。热中子的德布罗意波长约为0.1nm，和X射线的波长一样，正好与晶格间距同数量级，因此如果将这样的中子束打到物质靶上，一定会像X射线那样发生衍射现象。