新人教版九年级数学上册《旋转》单元测试卷及答案
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试题(附答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、单选题1．如图，在ABC ∆中，90,4,3C AC BC ︒∠===,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转,使点C 落在线段AB 上的点E 处,点B 落在点D 处，则,B D 两点间的距离为( )A B ．C ．3 D 2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，线段BC 绕点B 逆时针旋转α°(0＜α＜180)得到线段BD ，过点A 作AE ⊥射线CD 于点E ，则∠CAE 的度数是( )A ．90﹣αB ．αC ．902α- D ．2α3．下列图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．直角坐标系中，点()2,3-与()2,3-关于( )A ．原点中心对称B ．Y 轴轴对称C ．X 轴轴对称D ．以上都不对5．如果点()A 3,a -是点()B 3,4-关于原点的对称点，则a 的值是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．无法确定6．平面直角坐标系中，线段OA 的两个端点的坐标分别为O (0，0)，A (－3，5)，将线段OA 绕点O 旋转180°到O 'A 的位置，则点'A 的坐标为( )A ．(3，－5)B ．(3，5)C ．(5，－3)D ．(－5，－3)7．如图，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B 刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA 等于( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°8．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于点O 成中心对称，则下列结论不成立的是( )A ．点A 与点A ′是对称点B ．BO ＝B ′OC ．AB ∥A ′B ′D ．∠ACB ＝∠C ′A ′B ′9．己知点(A ，将点A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为1A ，将点1A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为2A ，依此作法继续下去，则点2012A 的坐标是( )A ．(-B ．(1,C ．(1,--D ．()2,0-10．已知点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，那么a 的值的是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．不能确定11．下列图形中，旋转60后可以和原图形重合的是 ( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形12．如图，△ABC 中，∠A =90∘，∠C =30∘，BC =12cm ，把△ABC 绕着它的斜边中点P 逆时针旋转90∘至△DEF 的位置，DF 交BC 于点H ．△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为( )cm 2．A ．8B ．9C ．10D ．12二、填空题 13．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过12分钟旋转了________． 14．如图所示的四个两两相联的等圆，是我国“一汽”生产的大众汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看做是左边的圆环经过________ 得到的．15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合．已知8AB AC cm ==，将MED 绕点()A M 逆时针旋转60后(图2)，两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是________2cm (结果精确到0.1 1.73≈)．16．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是第1个图案经过平移而得，那么第2017个图案中有白色六边形地面砖________块．三、解答题17．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE于F，连接BD，若BC＝2EF，试证明△BED是等腰三角形．18．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说:花坛应该有圆有方;老李说:花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看(将你设计的方案画在下面的矩形方框中)．19．如图1所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图1一样的图案:(1)请你在图2中作出变换后的图案(最终图案用实线表示);(2)你所用的变换方法是________(在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述)．①将菱形B 向上平移;②将菱形B 绕点O 旋转120;③将菱形B 绕点O 旋转180．20．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，将ADC 绕点A 逆时针旋转90后得到''AD C ，若32ACB ∠=，2BC =，求'C AD ∠的度数及'AD 的长．21．()1如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC 向绕点C 逆时针旋转90，得到A B C '''，请你画出A B C '''(不要求写画法)．() 2如图2，已知点O 和ABC ，试画出与ABC 关于点O 成中心对称的图形．22．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．()1建立直角坐标系，使点B的坐标为()2,2-，则点A的坐标为________;-，点C的坐标为()5,2()2画出ABC绕点P顺时针旋转90后的111A的坐标为________．A B C并写出点123．如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证:△ABC 是等腰三角形.24．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，A1B 交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．(1)如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论;(2)如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．参考答案一、单选题1．如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为( )AB ．C ． D【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB ，再在Rt △BDE 中，求出BD 即可;【详解】解:∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，∴AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt △DBE 中，故选A.【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．ABC ∆90,4,3C AC BC ︒∠===ABC ∆A C AB E B D ,B D 3=2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，线段BC 绕点B 逆时针旋转α°(0＜α＜180)得到线段BD ，过点A 作AE ⊥射线CD 于点E ，则∠CAE 的度数是( )A ．90﹣αB ．αC ．D ． 【答案】C【解析】【分析】 先利用旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到然后利用互余表示出，从而利用互余可得到的度数. 【详解】线段绕点逆时针旋转()得到线段，，，，， ，， ，.故选:. 902α-2αCBD α∠=BC BD =1902BCD α∠=︒-ACE ∠CAE ∠BC B α︒0180α<<BD ∴CBD α∠=BC BD =∴BCD BDC ∠=∠∴()111809022BCD αα∠=︒-=︒-90ACB ∠=︒∴1190909022ACE BCD αα⎛⎫∠=︒-∠=︒-︒-=⎪⎝⎭AE CE ⊥∴190902CAE ACE α∠=︒-∠=︒-C【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等.3．下列图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】A ．是中心对称图形．故本选项正确;B ．不是中心对称图形．故本选项错误;C ．不是中心对称图形．故本选项错误;D ．不是中心对称图形．故本选项错误．故选A ．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．直角坐标系中，点与关于( )A ．原点中心对称B ．Y 轴轴对称C ．X 轴轴对称D ．以上都不对【答案】A【解析】【分析】观察点A 与点B 的坐标，依据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可得答案．【详解】 ()2,3-()2,3-根据题意，易得点(-2，3)与(2，-3)的纵横坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称．故选:A ．【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，注意掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数5．如果点是点关于原点的对称点，则的值是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．无法确定 【答案】B【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x ，y)关于原点O 的对称点是P′(-x ，-y)，求出即可．【详解】∵点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，∴a=4．故选:B ．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，熟练掌握相关性质是解题关键．6．平面直角坐标系中，线段OA 的两个端点的坐标分别为O (0，0)，A (－3，5)，将线段OA 绕点O 旋转180°到O 的位置，则点的坐标为( )A ．(3，－5)B ．(3，5)C ．(5，－3)D ．(－5，－3) 【答案】A【解析】试题分析:∵线段OA 绕原点O 顺时针旋转180°，得到OA ′，∴点A 与点A ′关于原点对称， ()A 3,a -()B 3,4-a 'A 'A而点A的坐标为(－3，5)，∴点A′的坐标为(3，－5)．故选A．7．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于()A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】C【解析】【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°.【详解】解:∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故选C．【点评】此题考查旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，解题关键根据已知得出∠ACA′=40°．8．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是()A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′【答案】D【解析】【分析】根据中心对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】观察图形可知，A、点A与点A′是对称点，故本选项正确;B、BO＝B′O，故本选项正确;C、AB∥A′B′，故本选项正确;D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了中心对称，熟悉中心对称的性质是解题的关键．9．己知点，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环,求出点的坐标与点坐标相同,进而可得出答案.【详解】解:将点A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为A ,将点A 绕原点O 顺时针旋转60后的对应点为A ,依此作法继续下去,得出每旋转=6次坐标一循环,得出20126=335余2,即点A 的坐标与点A 坐标相同,即可得出点A 与点A 关于x 轴对称,A 点坐标为所以B 选项是正确的.【点评】此题主要考查了坐标与图形的旋转与规律问题,解答此题的关键是明确图形旋转的变化规律每旋转6次坐标一循环.10．已知点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，那么a 的值的是( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】(A A O 601A 1A O 602A 2012A (-(1,(1,-()2,0-2012A 2A o 11o 2∴36060÷201222∴2平面直角坐标系中任意一点P(x ，y)，关于原点的对称点是(-x ，-y)，由此即可解答.【详解】∵点A(-3，a)是点B(3，-4)关于原点的对称点，∴a=4．故选B.【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，熟记平面直角坐标系中任意一点P(x ，y)，关于原点的对称点是(-x ，-y)是解题的关键．11．下列图形中，旋转后可以和原图形重合的是 ( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D【解析】【分析】根据旋转对称图形性质求出各图的中心角，度数若为60°，即为正确答案.【详解】 A:正三角形旋转的最小角为:，故选项错误; B:正方形旋转的最小角为:，故选项错误; C:正五边形旋转的最小角为:，故选项错误; D:正六边形旋转的最小角为:，故选项正确. 所以答案为D 选项.【点评】本题主要考查了旋转对称图形，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，△ABC 中，∠A =90∘，∠C =30∘，BC =12cm ，把△ABC 绕着它的斜边中点P 逆时针旋转90∘至△DEF 603601203︒=︒360904︒=︒360725︒=︒360606︒=︒的位置，DF交BC于点H．△ABC与△DEF重叠部分的面积为()cm2．A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】【分析】BC=6，再根据旋转的性质得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，如图，由点P为斜边BC的中点得到PC=12PF=2√3;在Rt△CPM中计算出根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△PFH中计算出PH=√33PC=2√3，且∠PMC=60°，则∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF-PM=6-2√3，则在PM=√33Rt△FMN中可计算出MN=1FM=3-√3，FN=√3MN=3√3-3，然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF2重叠部分的面积=S△FPH-S△FMN进行计算即可．【详解】解:如图，∵点P为斜边BC的中点，BC=6，∴PB=PC=12∵△ABC 绕着它的斜边中点P 逆时针旋转90°至△DEF 的位置，∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，在Rt △PFH 中，∵∠F=30°，∴PH=√33PF=√33×6=2√3， 在Rt △CPM 中，∵∠C=30°，∴PM=√33PC=√33×6=2√3，∠PMC=60°， ∴∠FMN=∠PMC=60°，∴∠FNM=90°，而FM=PF-PM=6-2√3，在Rt △FMN 中，∵∠F=30°，∴MN=12FM=3-√3， ∴FN=√3MN=3√3-3，∴△ABC 与△DEF 重叠部分的面积=S △FPH -S △FMN=12×6×2√3-12(3-√3)(3√3-3)=9(cm 2)．故选B ．【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．二、填空题13．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过分钟旋转了________． 12【答案】【解析】【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求20分钟分针旋转的度数．【详解】∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为:360÷60=6°，那么20分钟，分针旋转了12×6°=72°．故答案为:72°．【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系:分针每转动1°时针转动()°;两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．14．如图所示的四个两两相联的等圆，是我国“一汽”生产的大众汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看做是左边的圆环经过________ 得到的．【答案】平移【解析】【分析】观察本题中图案的特点,根据平移的定义作答.【详解】解:观察“一汽”生产的大众汽车的车牌标志,可知右边的三个圆环可以看做是左边的圆环经过平移得到的.【点评】考查图形的四种变换方式:对称、平移、旋转、位似.对称有轴对称和中心对称,轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折,直线两旁的图形能够完全重合;中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180后与另一个图形完全重合,它是旋转变换的一种特殊情况;平移是将一个图形沿某一直线方向移动,得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同;旋转是指将一个图形绕72112着一点转动一个角度的变换;位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点.观察时要紧扣图形变换特点,认真判断.15．将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后(图)，两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是________(结果精确到)．【答案】【解析】【分析】设BC,AD 交于点G,过交点G 作GFLAC 与AC 交于点F,根据AC=8,就可求出GF 的长,从而求解.【详解】解:如图设BC 、AD 交于点G,过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F,设FC=x,则GF=FC=x,旋转角为60,即可得∠FAG=60，AF=GFcot ∠FAG=x. 所以则x=1AC MD 8AB AC cm ==MED ()A M 6022cm 0.1 1.73≈20.3o o ∴3所以=8(.故答案为:20.3.【点评】本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:1定点-旋转中心;2旋转方向;3旋转角度.16．如图所示，第个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第个，第个图案可以看成是第个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖________块．【答案】8070【解析】【分析】根据图形规律可得第n个图形的白色六边形地砖的数量为2+4n，然后将2017代入求解即可.【详解】解:第1个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4=6块;第2个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4×2=10块;第3个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4×3=14块;······第n个图形的白色六边形地砖的数量为:2+4n块;则第个图案中有白色六边形地面砖为2+4×2017=8070块.故答案为:8070.【点评】本题【点评】图形规律题.SAGC12⨯⨯2123120172017三、解答题17．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，连接BD ，若BC ＝2EF ，试证明△BED 是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，即可证得是的垂直平分线，据此即可证得.【详解】证明:∵将Rt △ABC 绕直角顶点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，∴DE ＝BC ，∠ADF ＝∠ABC ，∵BC ＝2EF ，∴DF ＝EF ，∴DE ＝2EF ，∵在直角△ABC 中，∠ABC+∠ACB ＝90°，又∵∠ABC ＝∠ADE ，∴∠ACB+∠ADE ＝90°．∵∠FCD ＝∠ACB ，∴∠FCD+∠ADE ＝90°，∴∠CFD ＝90°，BF DE∴BF⊥DE，∵EF＝FD，∴BF垂直平分DE，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.18．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说:花坛应该有圆有方;老李说:花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看(将你设计的方案画在下面的矩形方框中)．【答案】见解析【解析】【分析】根据题目要求画出图形, 注意花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案.【详解】如图所示:【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称图形定义, 利用中心对称图形的性质设计是解题关键.19．如图所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图中，把，，三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图一样的图案:(1)请你在图中作出变换后的图案(最终图案用实线表示);(2)你所用的变换方法是________(在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述)．①将菱形向上平移;②将菱形绕点旋转;③将菱形绕点旋转．【答案】(1)详见解析;(2)③．【解析】【分析】首先分析①②的不同,变化前后,A 、C 的位置不变,只有B 的位置由O 的下方变为0的上方,据此即可作出判断.【详解】解:(1)观察分析②的不同,变化前后,A 、C 的位置不变,而B 的位置由由O 的下方变为O 的上方,进而可得两者对应点的连线交于点O,即进行了中心对称变化,变换方法是将菱形B 绕点O 旋转180,可作图得:(2)变换方法是将菱形B 绕点O 旋转180°,即③.故答案为:③.【点评】本题考查几何变化的运用与作图，注意观察时要紧扣图形变换特点，认真判断其几何变化类型.12A B C 12B B O 120B O 18020．如图，四边形是平行四边形，是对角线，将绕点逆时针旋转后得到，若，，求的度数及的长．【答案】，.【解析】【分析】先由平行四边形的性质求出∠DAC ，再由旋转的性质求出结论．【详解】在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠DAC =∠ACB =32°，由旋转的性质得∠C 'AD =90°﹣∠DAC =58°，∴AD '=AD =BC =2．【点评】本题是旋转的性质，主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，解答本题的关键是用旋转的性质得到对应边相等，对应角线段．21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位．将向绕点逆时针旋转，得到，请你画出(不要求写画法)．如图，已知点和，试画出与关于点成中心对称的图形．【答案】详见解析.【解析】【分析】(1)根据旋转的性质得出旋转后A ，B 两点对应坐标，即可得出答案;ABCD AC ADC A 90''AD C 32ACB ∠=2BC ='C AD ∠'AD 58C AD ∠='2AD '=()111ABC C 90A B C '''A B C '''() 22O ABC ABCO(2)根据中心对称图形的性质，连接AO ，BO ，CO ，并延长，使OA ″=OA ，C ″O =CO ，B ″O =BO ，再连接A ″B ″，B ″C ″，A ″C ″即可．【详解】(1)(2)如图所示:【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质以及中心对称图形的性质，根据已知得出对应点的位置是解题的关键．22．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．建立直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________; 画出绕点顺时针旋转后的并写出点的坐标为________．【答案】 ．【解析】【分析】1ABC ()1B ()5,2-C ()2,2-A ()2ABC P 90111A B C 1A ()4,4-()1,5(1)根据点B、C的坐标作出直角坐标系，然后写出点A的坐标;(2)分别作出点A、B、C绕点P顺时针旋转90°后的点，然后顺次连接，写出点A1的坐标．【详解】(1)坐标系如图所示:点A坐标为(-4，4);(2)所作图形如图所示:点A1的坐标为(1，5)．故答案为(-4，4);(1，5)．【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据坐标系的性质作出直角坐标系，根据网格结构作出对应点的坐标．23．如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证:△ABC 是等腰三角形.【答案】见解析【解析】【分析】由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形．【详解】证明:由旋转知∠D=∠B，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠D，AC∥DE，∴∠ACB=∠E，又∵∠A=∠E，∴∠ACB=∠A，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，对于旋转的性质用到最多的是:旋转前、后的图形全等．24．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，A1B 交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．(1)如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论;(2)如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．【答案】(1)BE=DF;(2)四边形BC1DA是菱形．【解析】【分析】(1)由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF(2)根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．【详解】(1)解:BE=DF．理由如下:∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，在△ABE和△C1BF中，∴△ABE≌△C1BF，∴BE=BF(2)解:四边形BC1DA是菱形．理由如下:∵AB=BC=2，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠A1=∠C1=30°，∵∠ABA1=∠CBC1=30°，∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB=BC1，∴四边形BC1DA是菱形【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．。
人教版九年级上学期数学《旋转》单元测试卷含答案
多边形 的面积是________．
三、解答题
21.下图是一个风车图案的一部分，风车图案是一个关于点 的中心对称图形，请你把它补全．
22.如图，在 中， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转后得到 ，此时点 在 边上，求旋转角的大小．
[详解]解：如图，
∵点P为斜边B C的中点，
∴PB=PC= B C=6，
∵△A B C绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，
∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，
在Rt△PFH中，∵∠F=30°，
∴PH= PF= ×6=2 ，
在Rt△CPM中，∵∠C=30°，
∴PM= PC= ×6=2 ，∠PMC=60°，
纵坐标为为2× = ，
∴点C′的坐标为（ ， ）．
故选A．
[点睛]本题考查了坐标与图形变化-旋转，正方形的性质，熟记性质并判断出点C′的位置是解题的关键．
7.如图， 是一张矩形纸片，点 为矩形对角线的交点，直线 经过点 交 于 ，交 于 ．
操作：先沿直线 剪开，并将直角梯形 绕 点旋转 后，恰好与直角梯形 完全重合，再将重合后的直角梯形 以直线 为轴翻转 后所得的图形可能是（ ）
25.如图，已知点A，B的坐标分别为（4，0），（3，2）．
（1）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF；
（3）点D的坐标是，点F的坐标是，此图中线段BF和DF的关系是．
26.我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转 后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 ．
人教版九年级数学上册《旋转》单元测试含答案
人教版九年级数学上册《旋转》单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（）。
A、30°B、60°C、90°D、150°2、平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（）A、（3，4）B、（-3，-4 ）C、（3，-4）D、（4，-3)3、如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（）A、顺时针旋转90°B、逆时针旋转90°C、顺时针旋转45°D、逆时针旋转45°4、如下图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C ，连结AC并延长到D ，使CD＝CA ，连结BC并延长到E ，使CE＝CB ，连结DE ， A、B的距离为（）A、线段AC的长度B、线段BC的长度C、线段DE长度D、无法判断5、如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（）A、3B、1.5C、D、6、已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限7、（2016春•无锡校级月考）已知点A（1，x）和点B（y，2）关于原点对称，则一定有（）A、x=﹣2，y=﹣1B、x=2，y=﹣1C、x=﹣2，y=1D、x=2，y=18、有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A、图①B、图②C、图③D、图④9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A、70°B、80°C、60°D、50°10、如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）A、（2，1）B、（﹣2，1）C、（﹣2，﹣1）D、（2，﹣l）二、填空题（共8题；共25分）11、已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a=________ ，b=________ ．12、如图，在直角坐标系中，点Ａ在y轴上，△OAB是等腰直角三角形，斜边OA=2，将△OAB 绕点O逆时针旋转90°得△，则点的坐标为________13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=________ ．14、如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是________．15、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是________．16、如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．17、如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为________．18、有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为________．三、解答题（共5题；共35分）19、如下图所示，利用关于原点对称的点的坐标特征，作出与线段AB关于原点对称的图形．20、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．⑴画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1；⑵如果建立平面直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），求点A1的坐标；⑶将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并求线段BC扫过的面积.21、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C （1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．22、如图，将其补全，使其成为中心对称图形．23、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90゜，得到△A′B′C′，画图，并写出点A的对应点A′的坐标及B点的对应点B′的坐标．四、综合题（共1题；共10分）24、（2012•贺州）如图，△ABC的三个顶点都在格点上，每个小方格边长均为1个单位长度，建立如图坐标系．(1)请你作出△ABC关于点A成中心对称的△AB1C1（其中B的对称点是B1， C的对称点是C1），并写出点B1、C1的坐标．(2)依次连接BC1、C1B1、B1C．猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形？并说明理由．参考答案一、单选题1、【答案】 B【考点】利用旋转设计图案【解析】【解答】设每次旋转角度x°，则6x=360，解得x=60，∴每次旋转角度是60°，故选B.【分析】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，即可得到结果．2、【答案】 C【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答，故平面直角坐标系内一点P（-3，4)关于原点对称点的坐标（3，-4).【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键。
人教版九年级上册数学《旋转》单元检测含答案
C. D.
4.如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是( )
A.S△ABC＝S△A′B′C′B.AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′
C.AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′D.S△ACO＝S△A′B′O
5.如图，Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有( )
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0≤α≤180)，使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少？点C的坐标又是什么？
24.感知：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)．连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F，可知△ADF≌△EDB，则∠ABE的大小为________．
正确的有三种，
故选C.
点睛：在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）
A.（0，0）B.（1，0）C.（1，﹣1）D.（2.5，0.5）
21.如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD.
(1)求证：OC＝AD；
(2)求OC的长．
22.如图，在网格中有一个四边形图案．
（1）请你分别画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形，关于点O对称的图形以及逆时针旋转90°的图形，并将它们涂黑；
8.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，CE＝DF，AE，BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③△ABF与△DAE成中心对称．其中，正确的结论有( )
(人教版)九年级上册数学《旋转》单元测试题(含答案)
一．选择1. （ 20XX?广东）在以下交通标记中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（））度，才能与自己重合．2. 一个等边三角形绕其旋转中心起码旋转（A． 30°B ． 60°C ． 120XXD ． 180°【评论】本题考察旋转对称图形的观点：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这类图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．在平面直角坐标系中，点(3 ，－ 2) 对于原点对称点的坐标是()A．(3,2)B．(－3，－2)C．(－3,2)D．(－3，－2)4.如图，正方形ABCD经过旋转获得正方形AB′C′D′，则旋转的角度为（）A． 30 ° B.45 °C． 60°D． 90°5.在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）Ａ．1个Ｂ．2 个Ｃ．3 个Ｄ．4 个【答案】B6. （ 20XX?苏州）如图，△AOB为等腰三角形，极点 A 的坐标（ 2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转必定角度后得△A′ O′ B′，点A 的对应点A′在x 轴上，则点 O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）∴O′D=4×=，7. （ 20XX·浙江金华）如图，将Rt △ ABC绕直角极点顺时针旋90°，获得△ A′B′C，连转结 AA′，若∠1=20XX则∠ B 的度数是【】A．70°B．65°C．60°D．55°在 Rt △ ABC中，∠ B=90° - ∠BAC=90°-25 ° =65°【评论】本题考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，娴熟掌握旋转的性质是重点8.（ 20XX?天津）如图，在△ ABC 中， AC=BC，点 D、 E 分别是边 AB、AC的中点，将△ ADE 绕点 E 旋转 180°得△ CFE，则四边形ADCF必定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形9.（南通中考）如 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且 AC在直 l 上，将△ ABC点 A 旋到①，可获得点P1，此 AP1=2；将地点①的三角形点P1旋到地点②，可获得点P2，此 AP2=2+ 3 ；将地点②的三角形点P2旋到地点③，可获得点P3，此 AP3=3+ 3 ；⋯按此律旋，直到点P20XX止，AP20XX等于（）A． 20XX+6713B． 20XX+6713C． 20XX+6713D． 20XX+671310.（ 20XX?孝感）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（ 5， 3）在边 AB上，以 C为中心，把△ CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 D′的坐标是（）A．（ 2， 10） B ．（﹣ 2， 0） C ．（ 2，10）或（﹣ 2， 0） D ．（ 10， 2）或（﹣ 2， 0）二．填空题11.（20XX?益阳）如图，将等边△绕极点A 顺时针方向旋转， 使边 AB 与 重合得△ ，ABCACACD的中点E 的对应点为，则∠的度数是．BC F EAF【答案】 60°【考点】旋转的性质【分析】由旋转的性质找到旋转角即可．12（. 20XX 年广东汕尾）如图，把△ ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，获得△ A ′ B ′ C ，A ′ B ′交 AC 于点D ．若∠ A ′ DC =90°，则∠A =．13. （ 20XX?铁岭）如图，在△ ABC 中， AB=2， BC=3.6，∠ B=60°，将△ ABC 绕点 A 按顺时针旋转必定角度获得△ ADE，当点 B 的对应点 D 恰巧落在BC边上时，则CD的长为．【答案】 1.614.（ 20XX?邵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（3，4），将 OA绕坐标原点 O 逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．15.（ 20XX?广东）如图，△ABC绕点A顺时针旋转 45°获得△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中暗影部分的面积等于．∵A B=AC三．解答题16. （ 20XX?毕节）在以下网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．在Rt △ ABC中，∠C=90°， AC=3， BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点 B 的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、 C两点的坐标；（3）依据（ 2）的坐标系作出与△ABC对于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．17.（ 20XX?扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△ DBE后，再把△ ABC沿射线平移至△ FEG， DF、 FG订交于点 H．（1）判断线段DE、FG的地点关系，并说明原因；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．（2）依据旋转和平移的性质可得找出对应线段和角，而后再证明是矩形，后依据邻边相等可得四边形 CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥E D原因：【评论】本题主要考察了图形的旋转和平移，娴熟掌握旋转和平移的性质是解决本题的重点。
九年级上册数学《旋转》单元测试(附答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )A. B. C. D.2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案,你认为符合条件的是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D4.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中,OC在x轴上,OA在y轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,则B′的坐标为( )A. (2,4)B. (-2,4)C. (4,2)D. (2,-4)5.将点P(-2,3)向右平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是( )A. (-5,-3)B. (1,-3)C. (-1,-3)D. (5,-3)6.在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB 上,则旋转角度为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°8.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF(A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF的长为( )A. B. 5 C. 7 D.9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )A. (-a,-b)B. (-a,-b-1)C. (-a,-b+1)D. (-a,-b-2)10.如图,在△ABC中,∠CAB=70°．在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,那么∠BAB′的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°二、填空题11.如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____次旋转而得到的,每一次旋转____度．12.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若是由绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为__．13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为_____．14.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,若∠A=110°,∠D=40°,则∠的度数是_______15.已知点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,则=_____．16.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．17.如图,在等边△ABC中,D是AC边上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△AED的周长是______．18.如图所示,两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG,O是正方形ABCD的对称中心,则图中阴影部分的面积为_______cm2．三、解答题19. 如图所示,正方形ABCD中,E是CD上一点,F在CB的延长线上,且DE=BF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合,旋转中心是什么？20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由．(4)若AB=5,AC=3,求线段AD的长度范围．21.如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕点P顺时针旋转60°后,恰好点D与点A重合,得到△PEA,连接EB,问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．22.如图,把一副三角板如图①放置,其中,∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)．(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长．23.在△AOB中,C,D分别是OA、OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．24.平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时(如图①),易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,请直接写出你的猜想,不需证明．参考答案一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据旋转的意义,找出图中眼,眉毛,嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．【详解】根据旋转的意义,图片按顺时针方向旋转90度,即正立状态转为顺时针的横向状态,从而可确定为A 图．故选A．【点睛】本题考查了图形的旋转变化,学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转,旋转多少度,难度不大,但易错．2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案,你认为符合条件的是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形【答案】D【解析】等腰三角形是轴对称图形,正三角形是轴对称图形,等腰梯形是轴对称图形,菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,故选D.3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】B【解析】试题分析:旋转对称图形是指：把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后,与初始的图形重合,这种图形就叫旋转对称图形,这个定点就叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.按照定义的要求旋转角度=360°/n.A选项中旋转的角度是0°,不成立；B项旋转角度是90°,则n=4,所以符合题目,故选B；C选项中,旋转不成立；D项旋转角度得出n不为整数,所以也不成立.考点：本题考查旋转对称图形,要掌握图形变换的知识.点评：本题难度较大,主要是空间立体要求严格.4.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中,OC在x轴上,OA在y轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,则B′的坐标为( )A. (2,4)B. (-2,4)C. (4,2)D. (2,-4)【答案】C【解析】【分析】根据矩形的特点和旋转的性质来解决．【详解】如图,矩形的对边相等,B′C′=OA=4,A′B′=OC=2,∴点B′的坐标为(4,2)故选C．【点睛】需注意旋转前后线段的长度不变,第一象限内点的符号为(+,+)．5.将点P(-2,3)向右平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是( )A. (-5,-3)B. (1,-3)C. (-1,-3)D. (5,-3)【答案】C【解析】分析：点P(－2,3)向右平移3个单位得到点P1,则,点与点关于原点对称,则故选C．考点：1、关于原点对称的点的坐标；2、坐标与图形变化——平移．【此处有视频,请去附件查看】6. 在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念,中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此,通过观察发现,当涂黑②时,所形成的图形关于点A中心对称.故选B.7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB 上,则旋转角度为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°,根据旋转的性质可得AC=A′C,然后判断出△A′AC是等边三角形,根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°,然后根据旋转角的定义即可得旋转角为60°．故选B．考点：旋转的性质．【此处有视频,请去附件查看】8.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF(A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF的长为( )A. B. 5 C. 7 D.【答案】A【解析】【分析】由于△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF,显然△ADC≌△AEF,则有∠EAF=∠DAC,AF=AC,那么∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠FAC=∠BAD=90°．在Rt△ACD中,利用勾股定理可求AC,同理在Rt△FAC中,利用勾股定理可求CF．【详解】∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF,∴△ADC≌△AEF,∴∠EAF=∠DAC,AF=AC,∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC,∴∠FAC=∠BAD,又∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADC=90°,∴∠FAC=90°,又∵在Rt△ADC中,AC=,∴在Rt△FAC中,CF=．故选A.【点睛】本题利用了勾股定理、全等三角形的性质等知识．9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )A. (-a,-b)B. (-a,-b-1)C. (-a,-b+1)D. (-a,-b-2)【答案】D【解析】【分析】设点A的坐标是(x,y),根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称,再根据中点公式列式求解即可．【详解】根据题意,点A、A′关于点C对称,设点A的坐标是(x,y),则=0, =-1,解得x=-a,y=-b-2,∴点A的坐标是(-a,-b-2)．故选D．【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化,根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键10.如图,在△ABC中,∠CAB=70°．在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,那么∠BAB′的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】解：∵CC′∥AB,∠CAB=70°,∴∠C′CA=∠CAB=70°,又∵C、C′为对应点,点A为旋转中心,∴AC=AC′,即△ACC′为等腰三角形,∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=40°．故选C．二、填空题11.如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____次旋转而得到的,每一次旋转____度．【答案】四；72【解析】解：根据题意,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点,这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过四次旋转而得到,每次旋转的度数为360°除以5,为72度．12.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若是由绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为__．【答案】90°【解析】如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,∴OB=OD,∴旋转的角度是∠BOD的大小,∵∠BOD=90°,∴旋转的角度为90°13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为_____．【答案】.【解析】【分析】由题意可得△AA'C是等边三角形,可得旋转角为60°,可得△BCB'是等边三角形,可得∠A'BB'=90°,根据勾股定理可得BB'的长．【详解】∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm∴∠A=60°,AB=4,∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′∴A'C=60°,A'B'=4,BC=B'C,∠ACA'=∠BCB'∵AC=A'C,∠A=60°∴△ACA'是等边三角形,∴∠ACA'=60°,AA'=2∴A'B=2,∠BCB'=60°,且BC=CB'∴△BCB'是等边三角形∴∠CBB'=60°∴∠A'BB'=90°∴BB'=2【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理,关键是证△A'B'B是直角三角形．14.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,若∠A=110°,∠D=40°,则∠的度数是_______【答案】50°【解析】试题分析：由旋转的性质知：∠B＝∠D＝40°,根据三角形内角和定理知：∠AOB＝180°－110°－40°＝30°,已知旋转角∠DOB＝80°,则∠α＝∠DOB－∠AOB＝50°．故答案为：50°．点睛：此题主要考查的是旋转的性质,同时还涉及到三角形内角和定理的运用,根据旋转的性质得出∠DOB 和∠AOB的度数是解题的关键．15.已知点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,则=_____．【答案】1【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】∵点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,∴a=-4,b=3,∴(a+b)2010=(-1)2010=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点,比较简单．16.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．【答案】(7,3)【解析】令x=0得y=2,则OB=2,令y=0得,x=1,则OA=1,由旋转的性质可知：O′A=1,O′B′=2．则点B′(3,1)．故答案为：(3,1)．点睛：本题考查坐标与图形变化-旋转、30度的直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊到一般探究规律,发现规律,利用规律解决问题.图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.17.如图,在等边△ABC中,D是AC边上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△AED的周长是______．【答案】19．【解析】试题分析：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE∴△BDC≌△BAE∴BE=BD,∠DBE=60°,AE=CD∴△DBE是等边三角形∴DE=BD=9∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19考点：1、旋转的性质；2、等边三角形的性质18.如图所示,两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG,O是正方形ABCD的对称中心,则图中阴影部分的面积为_______cm2．【答案】4．【解析】【分析】图中阴影部分的面积不在任意的三角形中,所以需构造三角形,设BC与OE相交于M,CD与OG相交于N,连接OC、OB,则易证△OCN≌△OBM,则阴影部分的面积为△OBC的面积．【详解】设BC与OE相交于M,CD与OG相交于N,连接OC、OB,∵正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4cm∴OB=OC=2cm在△OCN和△OBM中,OB=OC,∠OCN=∠OBM=45°,∠CON=∠BOM∴△OCN≌△OBM,∵O是正方形ABCD的对称中心,△OCB的高等于正方形边长的一半,∴S阴影=S△OBC=S正方形=4cm2．故答案为4．【点睛】把阴影部分的面积转化成三角形的面积是解题的关键．三、解答题19. 如图所示,正方形ABCD中,E是CD上一点,F在CB的延长线上,且DE=BF．(1)求证：△ADE≌△AB F；(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合,旋转中心是什么？【答案】解：(1)证明：在正方形ABCD中,∠D=∠ABC=90°,∴∠ABF=90°.∴∠D=∠ABF=90°.又∵DE=BF,AD=AB,∴△ADE≌△ABF(SAS).(2)将△ADE顺时针旋转90后与△ABF重合,旋转中心是点A.【解析】试题分析：(1)根据SAS定理,即可证明两三角形全等.(2)将△ADE顺时针旋转后与△ABF重合,A不变,因而旋转中心是A,∠DAB是旋转角,是90度.20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由．(4)若AB=5,AC=3,求线段AD的长度范围．【答案】(1)△A′BD即为所求(2)A′B=AC(3)AB+AC＞2AD(4)1＜AD＜4.【解析】【试题分析】(1)根据成中心对称的定义,延长AD到A’,使A’D=AD,点C与点B关于点D对称,连接A’B即可,△A′BD即为所求；(2)根据成中心对称的两个图形对应边相等,得A′B=AC；(3)由(2)得：AB+AC=AB+A′B,根据三角形两边之和大于第三边,得AB+A′B >AA’=2AD,即AB+AC＞2AD；(4)由(3)得,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得5-3<AA’=2AD<5+3,即2＜2AD＜8,所以1＜AD＜4.【试题解析】(1)如图所示,△A′BD即为所求；(2)A′B=AC；(3)AB+AC＞2AD,理由：由于△A′BD与△ACD关于点D成中心对称,所以AD=A′D,AC=A′B,在△ABA′中,有AB+A′B＞AA′,即AB+AC＞AD+A′D,因此AB+AC＞2AD；(4)由(3)可得,在△ABA′中,有AB-A′B＜AA′＜AB+A′B,即AB-AC＜2AD＜AB+AC,因此有2＜2AD＜8,所以1＜AD＜4.【方法点睛】本题目是一道以成中心对称的两个图形为背景,展开研究,涉及到怎样作一个图形关于某个点的中心对称图形,成中心对称图形的性质,三角形的三边关系,涉及的知识面广,知识点多,难度较大.21.如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕点P顺时针旋转60°后,恰好点D与点A重合,得到△PEA,连接EB,问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．【答案】解：△ABE是等边三角形.理由如下：……………………………………… 1分由旋转得△PAE≌△PDC∴CD=AE,PD=PA,∠1=∠2……………………3分∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形…………4分∴∠3＝∠PAD＝60°.由矩形ABCD知,CD＝AB,∠CDA＝∠DAB＝90°.∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分∴AE＝CD＝AB,∠EAB＝∠2+∠4＝60°,∴△ABE为等边三角形…………………………7分【解析】特殊三角形有等腰三角形、等边三角形、直角三角形(等腰直角三角形),此题根据旋转的性质和矩形的性质可知是等边三角形.22.如图,把一副三角板如图①放置,其中,∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)．(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长．【答案】(1)120°；(2)5.【解析】【分析】(1)利用已知得出∠BCO=45°,进而根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数；(2)根据OFE1=∠B+∠1,易得∠OFE1的度数,进而得出∠4=90°,在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长．【详解】(1)如图乙所示,∠BCO=60°-15°=45°,∠BOC=180°-45°-45°=90°；(2)如图乙所示,∵∠3=15°,∠E1=90°,∴∠1=∠2=75°,又∵∠B=45°,∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；∴∠D1FO=60°,∵∠CD1E1=30°,∴∠4=90°,又∵AC=BC,∠A=45°即△ABC是等腰直角三角形．∴OA=OB=AB=3cm,∵∠ACB=90°,∴CO=AB=×6=3(cm),又∵CD1=7(cm),∴OD1=CD1-OC=7-3=4(cm),在Rt△AD1O中,AD1=(cm)【点睛】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质,能熟练应用勾股定理,并且掌握旋转前后的两个图形完全相等．23.在△AOB中,C,D分别是OA、OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,证出OC′=OD′,由SAS证明△AOC′≌△BOD′,得出对应边相等即可；(2)由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°,即可得出结论【详解】(1)∵将△OCD绕点O顺时针旋转到△,∴OC=,OD=,∠=∠．∵OA=OB,C、D为OA,OB的中点,∴OC=OD,∴．在△和△中,,∴△≌△,∴=．(2)延长交于E,交BO于F．∵△≌△,∴∠．又∠AFO=∠BFE,∠,∴∠．∴∠BEA=,∴⊥．【点睛】题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键．24.平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时(如图①),易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,请直接写出你的猜想,不需证明．【答案】图2成立过点C作CD⊥BF,交FB的延长线于点D证出△AEC≌△BDC,∴CE＝CD,AE＝BD证出四边形CEFD是正方形,∴CE＝EF＝DF∴AF＋BF＝AE＋EF＋DF－BD,AF＋BF＝2CE图3不成立应为AF－BF＝2CE【解析】【分析】过B作BH⊥CE与点H,易证△ACE≌△CBH,根据全等三角形的对应边相等,即可证得AF+BF=2CE．【详解】图2,AF+BF=2CE仍成立,证明：过B作BH⊥CE于点H,∵∠BCH+∠ACE=90°,又∵在直角△ACE中,∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCH,又∵AC=BC,∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE,BF=HE,CE=BH,∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．图3中,过点C作CG⊥BF,交BF延长线于点G,∵AC=BC,可得∠AEC=∠CGB,∠ACE=∠BCG,∴△CBG≌△CAE,∴AE=BG,∵AF=AE+EF,∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF,∴AF-BF=2CE．【点睛】正确作出垂线,构造全等三角形是解决本题的关键．。
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试(含答案)
(1)根据图形直接写出点C的坐标；
(2)已知直线m经过点P(0，6)且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式.
22.△ABC中，∠A=36°，将△ABC绕平面中的某一点D按顺时针方向旋转一定角度得到△ ．
A.点PB.点QC.点RD.点S
【答案】A
【解析】
【分析】
根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作BB′、CC′的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】如图，BB′、CC′的垂直平分线相交于点P，
所以旋转中心一定是P点．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17.如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形.
18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，求∠B的度数.
19.如图2，在正方形ABCD中，AB=4，点O在AB上，且OB=1，点P是BC上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OQ.要使点Q恰好落在AD上，则BP的长是( )
【分析】
把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP′，然后求出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出P′A，从而得解．
【详解】如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′（点C的对应点C′与点A重合），
人教版九年级上学期数学《旋转》单元测试题附答案
九年级上册数学《旋转》单元测试卷(满分120分，考试用时120分钟)一、单选题1．如图，将△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转100°，得到△A B 1C 1，若点B 1在线段B C 的延长线上，则∠B B 1C 1的大小为( )A ．70°B ．80°C ．84°D ．86°2．点P(3，5)关于原点对称的点的坐标是()A ．(﹣3，5)B ．(3，﹣5)C ．(5，3)D ．(﹣3，﹣5)3．观察下列四个图形．其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是( )A ．B ．C ．D ．4．正方形ABCD中的顶点A在平面坐标系中的坐标为()1,1，若将正方形ABCD绕着原点O按逆时针旋转135．则旋转后的点A坐标为( )A ．(-1, 1)B ．(1, -1)C ．(0, -D ．(-5．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-7．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是( )A ．对应线段与对应角不变B ．图形的大小不变C ．图形的形状不变D ．对应线段平行8．根据指令[],(0,0360)s A s A ≥≤<机器人在平面上能完成如下动作:先在原地顺时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点()3,0-，应下的指令是( ) A ． 3,90?⎡⎤⎣⎦ B ． 90,3⎡⎤⎣⎦ C ． 3,90⎡⎤-⎣⎦ D ． 3,270⎡⎤⎣⎦9．下列关于等腰三角形的叙述错误的是( )A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C ．等腰三角形的三边相等D ．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形10．如图，Rt △A B C 中，∠A C B =90°，A C =4，将斜边A B 绕点A 逆时针旋转90°至A B ′．连接B 'C ，则△A B 'C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．如图，点E 是正方形A B C D 的边D C 上一点，把△A D E 绕点A 顺时针旋转90°到△A B F 的位置，若四边形A EC F 的面积为25，D E=3，则A E 的长为( )A B ．5 C ．8 D ．412．如图，Rt ABC 中，C 90∠=，A 60∠=，AC 6=，以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90得到Rt A'B'C'，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )A ．6B ．9C ．D ．二、填空题 13．如图，把一个直角三角尺A C B 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与C B 的延长线上的点E重合连接C D ，则∠B D C 的度数为_____度．14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 的坐标为，1)，将OA 绕原点逆时针方向旋转90°得OB ，则点B 的坐标为_____．15．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A ，O，B 的位置如图所示，它们的坐标分别是(﹣1，1)，(0，0)和(1，0)，在其他点位置添加一颗棋子P，使A ，O，B ，P 四颗棋子成为一个中心对称图形，请写出棋子P 的位置坐标_____(写出1 个即可)．16．如图，在△B D E中，∠B D E=90°，，点D 的坐标是(5，0)，∠B D O=15°，将△B D E旋转到△A B C 的位置，点C 在B D 上，则旋转中心的坐标为_______ .三、解答题17．如图，P是正ABC内的一点，若将PAC绕点A逆时针旋转到P'AB，(1)求PAP'∠的度数．(2)若AP 3=，BP 4=，PC 5=，求PAB ∠的度数．18．如图，ABC 的顶点坐标分别为()A 2,2-，()B 4,4，()C 1,2．将ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90，得到A B C '''(A '、B '、C '分别为A 、B 、C 的对应点)，在坐标系中画出A B C '''，并写出A '、B '、C '三点的坐标．19．如图1，ABC 中，C 90∠=，BC 3=，AC 4=，AB 5=，将ABC 绕着点B 旋转一定的角度，得到DEB .(1)若点F 为AB 边上中点，连接EF ，则线段EF 的范围为________.(2)如图2，当DEB 直角顶点E 在AB 边上时，延长DE ，交AC 边于点G ，请问线段DE 、EG 、AG 具有怎样的数量关系，请写出探索过程．20．如图，四边形A B C D 是正方形，△A D F 绕着点A 顺时旋转90°得到△A B E ，若A F ＝4，A B ＝7．(1)求D E 的长度;(2)指出B E 与D F 的关系如何？并说明由．21．如图，已知点A ，B 的坐标分别为(4，0)，(3，2)．(1)画出△A OB 关于原点O对称的图形△C OD ;(2)将△A OB 绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF;(3)点D 的坐标是，点F的坐标是，此图中线段B F和D F的关系是．22．如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=．将ABC 绕点C 逆时针旋转得到''A B C ，旋转角为α，且0180α<<．在旋转过程中，点'B 可以恰好落在AB 的中点处，如图②．()1求A ∠的度数;()2当点C 到'AA 的距离等于AC 的一半时，求α的度数．23．在Rt △A B C 中，∠A C B =90°，，点D 是斜边A B 上一动点(点D 与点A 、B 不重合)，连接C D ，将C D 绕点C 顺时针旋转90°得到C E ，连接A E ，D E ．(1)求△A D E 的周长的最小值;(2)若C D =4，求A E 的长度．24．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)αα<<角度，如图2所示． ()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥;()2当BD 与CD 在同一直线上(如图3)时，求AC 的长和α的正弦值．参考答案一、单选题1．如图，将△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转100°，得到△A B 1C 1，若点B 1在线段B C 的延长线上，则∠B B 1C 1的大小为( )A ．70°B ．80°C ．84°D ．86°[答案]B[解析][分析]由旋转的性质可知∠B ＝∠A B 1C 1，A B ＝A B 1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B ＝∠B B 1A ＝∠A B 1C 1＝40°，从而可求得∠B B 1C 1＝80°.[详解]由旋转的性质可知:∠B ＝∠A B 1C 1，A B ＝A B 1，∠B A B 1＝100°.∵A B ＝A B 1，∠B A B 1＝100°，∴∠B ＝∠B B 1A ＝40°.∴∠A B 1C 1＝40°.∴∠B B 1C 1＝∠B B 1A +∠A B 1C 1＝40°+40°＝80°.故选:B .[点评]本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△A B B 1为等腰三角形是解题的关键.2．点P(3，5)关于原点对称的点的坐标是()A ．(﹣3，5)B ．(3，﹣5)C ．(5，3)D ．(﹣3，﹣5)[答案]D[解析][分析]根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时，横纵坐标的坐标符号均相反，根据这一特征求出对称点坐标．[详解]解:点P(3，5)关于原点对称的点的坐标是(-3，-5)，故选D ．[点评]本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．3．观察下列四个图形．其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是( )A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析][分析]根据两三角形的位置关系确定几何变换类型，继而得出答案．[详解]A 、图形通过旋转得到;B 、图形通过旋转得到;C 、图形通过平移得到;D 、图形通过旋转得到;故选:C ．[点评]本题考查了几何变换的类型，属于基础题，关键是掌握几种几何变换的特点．4．正方形中的顶点在平面坐标系中的坐标为，若将正方形绕着原点按逆时针旋转．则旋转后的点坐标为( )A ．(-1, 1)B ．(1, -1)C ．(0, -)D ．(-, 0)[答案]D[解析][分析]根据旋转中心为原点，旋转方向逆时针，旋转角度135°，作出点A 的对称图形A ′，求得OA 的长度，也就求得了OA ′的长度，可得所求点的坐标．[详解]如图:∵∴OA ′=O，∴A′0)．故选:D ．[点评]本题考查了由图形旋转得到相应坐标，根据旋转中心，旋转方向及角度得到相应图形是解决本题的关键．ABCD A ()1,1ABCD O 135A5．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案]B[解析][分析] 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解．[详解]解:第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形;第二、三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，第四个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形;故选:B ．[点评]此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于对概念的掌握6．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是( )A ．B ．C ．或D ．或OABC OA OC x y ()5,3D AB C CDB △90︒D 'D ()2,10()2,0-()2,10()2,0-()10, 2()2,0-[答案]C[解析][分析]先根据正方形的性质求出B D 、B C 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．[详解]四边形OA B C 是正方形，由题意，分以下两种情况:(1)如图，把逆时针旋转，此时旋转后点B 的对应点落在y 轴上，旋转后点D 的对应点落在第一象限由旋转的性质得:点的坐标为(2)如图，把顺时针旋转，此时旋转后点B 的对应点与原点O 重合，旋转后点D 的对应点落在x 轴负半轴上由旋转的性质得:点的坐标为综上，旋转后点D 的对应点的坐标为或故选:C ．(5,3)D 5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒CDB △90︒B 'D 2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴D (2,10)CDB △90︒B ''D ''2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴D ''(2,0)-D (2,10)(2,0)-[点评]本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 7．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是( )A ．对应线段与对应角不变B ．图形的大小不变C ．图形的形状不变D ．对应线段平行 [答案]D[解析][分析]根据三种变换得到的图形都与原图形全等，进行分析．[详解]解:根据平移、旋转和轴对称的基本性质，知A . B . C 都是正确的;D . 在旋转中，对应线段不一定平行，故错误.故选D .[点评]本题主要考查几何变换的类型，熟悉掌握是关键.8．根据指令机器人在平面上能完成如下动作:先在原地顺时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的负方向，为使其移动到点，应下的指令是( ) [],(0,0360)s A s A ≥≤<A s y ()3,0-A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析][分析] 若顺时针旋转90°，则机器人面对x 轴负方向，根据向x 轴负半轴走3个单位可得相应坐标．[详解]解:根据点(0,0)到点(−3,0),即可知机器人先顺时针转动，再向左平移3个单位，于是应下指令为[3,].故选A .[点评]本题主要考查坐标与图形变化-旋转，熟悉掌握是关键.9．下列关于等腰三角形的叙述错误的是( )A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C ．等腰三角形的三边相等D ．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形[答案]C[解析][分析]直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案．[详解]A 、等腰三角形两底角相等，正确，不合题意;B 、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，正确，不合题意;3,90?⎡⎤⎣⎦ 90,3⎡⎤⎣⎦ 3,90⎡⎤-⎣⎦ 3,270⎡⎤⎣⎦9090C 、等腰三角形的三边相等，错误，符合题意;D 、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，正确，不合题意;故选:C ．[点评]此题主要考查了等腰三角形的性质，正确掌握等腰三角形的性质是解题关键．10．如图，Rt△A B C 中，∠A C B =90°，A C =4，将斜边A B 绕点A 逆时针旋转90°至A B ′．连接B 'C ，则△A B 'C 的面积为()A ．4B ．6C ．8D ．10[答案]C[解析][分析]过点B '作B 'E⊥A C 于点E，由题意可证△A B C ≌△B 'A E，可得A C ＝B 'E＝4，即可求△A B 'C 的面积．[详解]如图:过点B '作B 'E⊥A C 于点E∵旋转∴A B ＝A B '，∠B A B '＝90°∴∠B A C +∠B 'A C ＝90°，且∠B 'A C +∠A B 'E ＝90°∴∠B A C ＝∠A B 'E ，且∠A EB '＝∠A C B ＝90°，A B ＝A B '∴△A B C ≌△B 'A E (A A S )∴A C ＝B 'E ＝4∴S △A B 'C ＝×A C ×B 'E ＝×4×4＝8 故选C ．[点评]本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是解决本题的关键． 11．如图，点E 是正方形A B C D 的边D C 上一点，把△A D E 绕点A 顺时针旋转90°到△A B F 的位置，若四边形A EC F 的面积为25，D E=3，则A E 的长为( )AB ．5C ．8D ．4[答案]A[解析][分析] 利用旋转的性质得出四边形A EC F 的面积等于正方形A B C D 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．[详解]把顺时针旋转的位置，1212ADE ABF四边形A EC F 的面积等于正方形A B C D 的面积等于25，，，中，故选A ．[点评]此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 12．如图，中，，，，以斜边的中点为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )A ．B ．C ．D ．[答案]B[解析][分析] 如图，先计算出A B =2A C =12，根据中点定义则可得B D =6，根据旋转的性质可得 D =B D =6，在Rt △BD M 中，可求得D M 、B M 的长，从而可求得B ′M 的长，然后在Rt △B ′MN 中求出MN 的长，继而求得B N 的长，在Rt △B NG 中求出B N 的长，然后利用S 阴影=S △B NG -S △B MD 进行计算即可得.[详解]如图，∵∠C =90°，∠A =60°，A C =6，∴A B =2A C =12，∠B =30°，∵点D 为A B 的中点，∴AD DC 5∴==DE 3=Rt ADE ∴AE ==Rt ABC C 90∠=A 60∠=AC 6=AB D 90Rt A'B'C'69B'∴B D =6，∵△A B C 绕点D 按逆时针方向旋转得到， ∴ D =B D =6，在Rt △B D M 中，∠B =30°，∠B D M=90°， ∴B M=2D M ，B D 2+D M 2=B M 2，∴D M=∴B ′M=B ′D -D M=6-在Rt △B ′MN中，∠B ′=30°，∴MN= B ′M=3∴，在Rt△B NG 中，B G=2NG ，B G2=NG 2+B N 2， ∴∴S 阴影=S △B NG -S △B MD ==9， 故选B .[点评]本题考查了旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等，熟练掌握旋90Rt A'B'C'B'12((1133622⨯+⨯+-⨯转的性质是解题的关键.二、填空题13．如图，把一个直角三角尺A C B 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与C B 的延长线上的点E 重合连接C D ，则∠B D C 的度数为_____度．[答案]15[解析][分析]根据△EB D 由△A B C 旋转而成，得到△A B C ≌△EB D ，则B C ＝B D ，∠EB D ＝∠A B C ＝30°，则有∠B D C ＝∠B C D ，∠D B C ＝180﹣30°＝150°，化简计算即可得出.[详解]解:∵△EB D 由△A B C 旋转而成，∴△A B C ≌△EB D ，∴B C ＝B D ，∠EB D ＝∠A B C ＝30°，∴∠B D C ＝∠B C D ，∠D B C ＝180﹣30°＝150°，∴; 故答案为:15．[点评]此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为1)，将OA 绕原点逆时针方向旋转90°得OB ，则点B 的坐标为_____． 15BDC ∠=︒()1180150152BDC BCD ∠=∠=︒-︒=︒[答案](﹣1[解析][分析]根据旋转的性质可知△OC A ≌△OD B ,进而得即可解题.[详解]解:如下图,由旋转的性质可知,△OC A ≌△OD B , ∵A 的坐标为1)，∴∴∴B 的坐标为(﹣1)[点评]本题考查了图形的旋转,属于简单题,熟悉概念是解题关键.15．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子 A ，O ，B 的位置如图所示，它们的坐标分别是(﹣1，1)，(0，0)和(1，0)，在其他点位置添加一颗棋子 P ，使 A ，O ，B ，P 四颗棋子成为一个中心对称图形，请写出棋子 P 的位置坐标_____(写出 1 个即可)．[答案](0，1)．[解析][分析]直接利用中心对称图形的性质得出答案．[详解]如图所示:点P(0，1)答案不唯一．故答案为:(0，1)．[点评]此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．16．如图，在△B D E 中，∠B D E=90°，，点D 的坐标是(5，0)，∠B D O=15°，将△B D E 旋转到△A B C 的位置，点C 在B D 上，则旋转中心的坐标为_______ .[答案](3，[解析][分析]根据旋转的性质，A B 与B D 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD，过P 作PF ⊥x轴于F ，再根据点C 在B D 上确定出∠PD B =45°并求出PD 的长，然后求出∠PD O=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠D PF=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得D F=PD ，利用勾股定理列式求出PF ，再求出OF ，即可得到点P ，即旋转中心的坐标．[详解]如图，A B 与B D 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF ⊥x 轴于F ，∵点C 在B D 上，∴点P 到A B 、B D 的距离相等，都是 B D ，即× ∴∠PD B =45°，121212=4，∵∠B D O=15°，∴∠PD O=45°+15°=60°，∴∠D PF=30°，∴D F=PD =×4=2， ∵点D 的坐标是(5，0)，∴OF=OD -D F=5-2=3，由勾股定理得，∴旋转中心的坐标为(3，． 故答案为:(3，．[点评]本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有30°角的直角三角形是解题的关键．三、解答题17．如图，是正内的一点，若将绕点逆时针旋转到，(1)求的度数．(2)若，，，求的度数．[答案](1);(2).1212P ABC PAC A P'AB PAP'∠AP 3=BP 4=PC 5=PAB ∠PAP'60∠=APB 150∠=[解析][分析](1)根据旋转的性质，找出∠PA P′=∠B A C ，根据等边三角形的性质，即可解答;(2)连接PP′，根据旋转的性质及已知可得到△A PP′是等边三角形，△B PP′是直角三角形，从而求得答案．[详解]如图，根据旋转的性质得，，∵是等边三角形，∴，∴;如图，连接，由旋转可知:，所以，，又∵，∴，()1PAP'BAC ∠∠=ABC BAC 60∠=PAP'60∠=()2PP 'P AB PAC ≅'CAP BAP ∠∠'=AP AP 3='=CP BP 5='=CAP PAB 60∠∠+=P AP BAP BAP 60∠∠∠=+=''∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴∴．[点评]本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素:①定点-旋转中心;②旋转方向;③旋转角度．18．如图，的顶点坐标分别为，，．将绕坐标原点逆时针旋转，得到(、、分别为、、的对应点)，在坐标系中画出，并写出、、三点的坐标．[答案]，，，画图见解析.[解析][分析]根据点的坐标的特点可知，点A 在第四象限的平分线上，所以绕点O 逆时针旋转90°在第一象限的平分线上，点B 在第一象限的平分线上，所以绕点O 逆时针旋转90°后在第二象限的平分线上，分别求出点A ′，B ′的坐标，然后再找出点C 旋转后的点C ′，顺次连接即可．P AP 'AP AP PP 3=='='APP 60∠'=222345+=222P P PB P B '='+P PB 'P PB 90∠'=APB P PB APP 150∠∠∠=+=''ABC ()A 2,2-()B 4,4()C 1,2ABC O 90A B C '''A 'B 'C 'A B C A B C '''A 'B 'C'()A 2,2'()B 4,4'-()C 2,1'-[详解]∵，，，∴，，．画图[点评]本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是按要求旋转后找对应点，然后顺次连接．19．如图，中，，，，，将绕着点旋转一定的角度，得到 .(1)若点为边上中点，连接，则线段的范围为________.(2)如图，当直角顶点在边上时，延长，交边于点，请问线段、、具有怎样的数量关系，请写出探索过程．[答案](1);(2)A G+EG=D E ，理由见解析.[解析][分析](1)图1中，利用旋转的性质得B E=B C =3，再根据三角形三边的关系得B E-B F≤EF≤B E+B F(当且仅当B 、()A 2,2-()B 4,4()C 1,2()A 2,2'()B 4,4'-()C 2,1'-1ABC C 90∠=BC 3=AC 4=AB 5=ABC B DEB F AB EF EF 2DEB E AB DE AC G DE EGAG 0.5EF 5.5≤≤E 、F 共线时取等号)，从而得到线段EF 的范围;(2)图2中，利用旋转的性质得B E=B C =3，B D =B A =5，D E=A C =4，∠A =∠D ，再判断△A GE ∽△D EB ，然后利用相似比计算出A G 、EG ，从而可得到线段D E 、EG 、A G 的数量关系．[详解](1)∵点F 为A B 边上中点，∴B F=2.5，∵△A B C 绕着点B 旋转一定的角度得到△D EB ，∴B E=B C =3，∵B E-B F≤EF≤B E+B F(当且仅当B 、E 、F 共线时取等号)，∴0.5≤EF≤5.5，故答案为0.5≤EF≤5.5;(2)．理由如下:∵绕着点旋转一定的角度得到，∴，，，，∴，∵，，∴，∴，即， ∴，，∴，AG EG DE +=ABC B DE BE BC 3==BD BA 5==DE AC 4==A D ∠∠=AE AB BE 2=-=A D ∠∠=AEG BED ∠∠=AGE DEB ∽AG EG AE BD BE DE ==AG EG 2534==AG 2.5=EG 1.5=AG EG 4+=∴．[点评]本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．20．如图，四边形A B C D 是正方形，△A D F 绕着点A 顺时旋转90°得到△A B E ，若A F ＝4，A B ＝7．(1)求D E 的长度;(2)指出B E 与D F 的关系如何？并说明由．[答案](1)3;(2)B E ＝D F ，B E ⊥D F ．[解析][分析](1)根据旋转的性质可得A E ＝A F ，A D ＝A B ，然后根据D E ＝A D ﹣A E 计算即可得解;(2)根据旋转可得△A B E 和△A D F 全等，根据全等三角形对应边相等可得B E ＝D F ，全等三角形对应角相等可得∠A B E ＝∠A D F ，然后求出∠A B E +∠F ＝90°，判断出B E ⊥D F ．[详解]解:(1)∵△A D F 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A B E ，∴A E ＝A F ＝4，A D ＝A B ＝7，∴D E ＝A D ﹣A E ＝7﹣4＝3;(2)B E 、D F 的关系为:B E ＝D F ，B E ⊥D F ．理由如下:∵△A D F 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A B E ，∴△A B E ≌△A D F ， AG EG DE +=∴B E＝D F，∠A B E＝∠A D F，∵∠A D F+∠F＝180°﹣90°＝90°，∴∠A B E+∠F＝90°，∴B E⊥D F，∴B E、D F的关系为:B E＝D F，B E⊥D F．[点评]考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21．如图，已知点A ，B 的坐标分别为(4，0)，(3，2)．(1)画出△A OB 关于原点O对称的图形△C OD ;(2)将△A OB 绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF;(3)点D 的坐标是，点F的坐标是，此图中线段B F和D F的关系是．[答案](1)见解析;(2)见解析;(3)D (﹣3，﹣2)，F(﹣2，3)，垂直且相等[解析][分析](1)分别延长B O，A O到占D ,C ，使D O=B O，C O=A O，再顺次连接成△C OD 即可;(2)将A ，B 绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，再顺次连接即可得出△EOF;(3)利用图象即可得出点的坐标，以及线段B F和D F的关系．[详解](1)如图所示:(2)如图所示:(3)结合图象即可得出:D (﹣3，﹣2)，F (﹣2，3)，线段B F 和D F 的关系是:垂直且相等．[点评]此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤． 22．如图①，在中，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且．在旋转过程中，点可以恰好落在的中点处，如图②．求的度数;当点到的距离等于的一半时，求的度数．[答案](1);(2)．[解析][分析]Rt ABC 90C ∠=ABC C ''A B C α0180α<<'BAB ()1A ∠()2C 'AA AC α 30A ∠= 120α=(1)利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△C B B ′是等边三角形，进而得出答案;(2)利用锐角三角函数关系得出sin ∠C A D =，即可得出∠C A D =30°，进而得出α的度数． [详解] 将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，∴∵点可以恰好落在的中点处，∴点是的中点．∵，∴， ∴，即是等边三角形．∴．∵，∴;如图，过点作于点，点到的距离等于的一半，即． 在中，，， ∴，∵，12CD AC =()1ABC C ''A B C α'CB CB ='B AB 'B AB 90ACB ∠=1''2CB AB BB ==''CB CB BB =='CBB 60B ∠=90ACB ∠=30A ∠=()2C 'CD AA ⊥D C 'AA AC 12CD AC =Rt ADC 90ADC ∠=1sin 2CD CAD AC ∠==30CAD ∠='CA CA =∴．∴，即．[点评]考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题关键是正确掌握直角三角形的性质． 23．在Rt △A B C 中，∠A C B =90°，，点D 是斜边A B 上一动点(点D 与点A 、B不重合)，连接C D ，将C D 绕点C 顺时针旋转90°得到C E ，连接A E ，DE ．(1)求△A D E 的周长的最小值;(2)若C D =4，求A E 的长度．[答案](1)6+或[解析][分析](1)根据勾股定理得到 A C =6，根据全等三角形的性质得到A E=B D ，当D E 最小时，△A D E 的周长最小，过点C 作C F ⊥A B 于点F ，于是得到结论;(2)当点D 在C F 的右侧，当点D 在C F 的左侧，根据勾股定理即可得到结论[详解]解:(1)∵在Rt △A B C 中，∠A C B =90°，'30A CAD ∠=∠='120ACA ∠=120α=∴A C =6，∵∠EC D =∠A C B =90°，∴∠A C E=∠B C D ，在△A C E 与△BC D中， ，∴△A C E ≌△B C D (SA S)，∴A E=B D ，∴△A D E 的周长=A E+A D +D E=AB +D E ，∴当D E 最小时，△A D E 的周长最小，过点C 作C F ⊥A B 于点F ，当C D ⊥A B 时，C D 最短，等于3，此时∴△A D E 的周长的最小值是;(2)当点D 在C F 的右侧，∵C F= A B =3，C D =4， ∴∴A E=B D =B F ﹣D F=3;当点D 在C F 的左侧，同理可得=AC BC ACE BCD CE CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩12综上所述:A E 的长度为3或．[点评]本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．24．两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示． 利用图证明且;当与在同一直线上(如图)时，求的长和的正弦值．[答案](1)详见解析;(2)7，． [解析][分析] (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明，得出A C =B D ，延长B D 交A C 于E ，证明∠A EB =90，从而得到.(2) 如图3中，设A C =x ，在Rt △A B C 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠A B C =即可解决问题[详解] 证明:如图中，延长交于，交于．AOB COD 1O 25AB =17CD =AOB COD O (090)αα<<2()12AC BD =AC BD ⊥()2BD CD 3AC α725AOC BOD ≅︒BD AC ⊥AC AB()12BD OA G AC E∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴．解:如图中，设，∵、在同一直线上，，∴是直角三角形，90AOB COD ∠=∠=AOC DOB ∠=∠AOC BOD OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOC BOD ≅AC BD =CAO DBO ∠=∠90DBO GOB ∠+∠=OGB AGE ∠=∠90CAO AGE ∠+∠=90AEG ∠=BD AC ⊥()23AC x=BD CD BD AC ⊥ABC∴，∴，解得，∵，，∴，∴． [点评]本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用(1)的结论解决问题，属于中考常考题型. 222AC BC AB +=222(17)25x x ++=7x =45ODC DBO α∠=∠+∠=45ABC DBO ∠+∠=ABC α∠=∠7sin sin 25AC ABC AB α=∠==。
人教版数学九年级上册《旋转》单元测试题(附答案)
16.如图,在△ABC中,∠CAB＝65°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠B′AB等于_____．
17.在平面直角坐标系中,点A坐标为（-2,4）,与原点的连线OA绕原点顺时针转90°,得到线段OB,连接线段AB,若直线y=kx-2与△OAB有交点,则k的取值范围是____.
三、解答题
19.不同的“基本图形”的旋转可能具有相同的旋转效果．如图,点O是六个正三角形的公共顶点,这个图案可以看作是哪个“基本图形”以点O为旋转中心经过怎样旋转组合得到的？
20.如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置,那么时针旋转出一个平角及一个周角,至少需要多长时间？
21.如图,△ABC绕点O旋转后,顶点A 对应点为A′,试确定旋转后的三角形．
( )
A.105°B.115°C.120°D.135°
【答案】C
【解析】
试题分析：∵DE=DF,∠EDF=30°,∴∠DEF= （180°﹣∠EDF）=75°,∴∠DEC=105°,∵∠C=45°,∴∠CDE=180°﹣45°﹣105°=30°,∴∠BDN=120°,故选C．
考点：旋转的性质．
10.如图,一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5）,记为C1,它与x轴交于点O,A1；将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3；…如此进行下去,得到一“波浪线”,若点P（2018,m）在此“波浪线”上,则m的值为（）
2.点A的坐标为（2,3）,则点A关于原点的对称点A′的坐标为（）
九年级上册数学《旋转》单元检测题(含答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题(共14 小题,每小题 3 分,共42 分)1.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是( )A...B...C...D.2.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A...B...C...D.3.已知平面直角坐标系中的三个点,,,将绕点按顺时针方向旋转度,则点的对应点的坐标为( )A...B...C...D.4.在平面直角坐标系中,点绕原点顺时针旋转后得到点( )A...B...C...D.5.如图,在中,,,,由绕点顺时针旋转得到,其中点与点、点与点是对应点,连接,且、、在同一条直线上,则的长为( )A...B...C...D.6.已知点是点关于原点的对称点,则的值为( )A...B.-..C...D.±67.如图,已知与关于点成中心对称图形,则下列判断不正确的是( )A.∠ABC=∠A'B'C..B.∠BOC=∠B'A'C.. C.AB=A'B..D.OA=OA'8.在如图的正方形网格上画有两条线段. 现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有( )A.2..B.3..C.4..D.5条9.观察下列四个图案,它们分别绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图形重合,其中旋转的角度最大的是( )A...B...C...D.10.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形). 若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A.2..B.3..C.4..D.5种11.下列所给的正方体的展开图中,是中心对称图形的是图( )A.①②..B.①②..C.②③..D.①②③④12.如图,矩形的边,分别在坐标轴上,且点的坐标为,将矩形沿轴正方向平移个单位,得到矩形,再以点为旋转中心,把矩形顺时针方向旋转,得到矩形″″″″″,″,″,″,则点所经过的路线为″的长为( )A.1..B.1..C.4+5..D.4+13.如图,三个顶点的坐标分别为,,,将绕点按顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为( )A.(1, 2..B.(2, 1..C.(1, 1..D.(2, 2)14.下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到( )A...B...C...D.二、填空题(共6 小题,每小题 3 分,共18 分)15.一个图形绕某一点旋转后与另一个图形重合,则这两个图形成________,这个点叫________.16.如图,在网格中有一个四边形和两个三角形.①请你画出这三个图形关于点成中心对称的图形；②将原图和画出后的图形看成一个整体图形,它有________条对称轴；它至少旋转________度后与自身重合.17.在平面直角坐标系中,若与点关于原点对称,则点在第________象限.18.对于平面图形上的任意两点, ,如果经过某种变换(如：平移、旋转、轴对称等)得到新图形上的对应点, ,保持,我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”. 对于三种变换：①平移、②旋转、③轴对称,其中一定是“同步变换”的有________(填序号).19.在图中,是由基本图案多边形旋转而成的,它的旋转角为________.20.如图,将绕点逆时针方向旋转,得到,看点的坐标为,则点坐标为________.三、解答题(共4 小题,每小题10 分,共40 分)21.如图所示,是一块边长为的正方形瓷砖,其中瓷砖的阴影部分是半径为的扇形. 请你用这种瓷砖拼出三种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,把它们分别画在下面边长为的正方形中(要求用圆规画图).22.如图所示,每个小正方形的边长为个单位长度,作出关于原点对称的并写出、、的坐标.23.如图,已知, 绕点逆时针旋转得到,恰好在上,连接.(1) 与有何关系？并说明理由；线段与在位置上有何关系？为什么？24.如图所示的网格中,每个小方格都是边长为的小正方形,,把绕点按顺时针旋转后得到,请画出这个三角形并写出点的坐标；以点为位似中心放大,得到,使放大前后的面积之比为,请在下面网格内出.参考答案一、选择题(共14 小题,每小题 3 分,共42 分)1.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是()A...B...C...D.【答案】D【解析】试题分析: 根据图形,由规律可循. 从左到右是顺时针方向可得到第四个图形是D.故选D．考点: 生活中的旋转现象.2.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A...B...C...D.【答案】B【解析】试题分析: 根据轴对称图形和中心对称图形的定义可得选项B正确.故选B.考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形.3.已知平面直角坐标系中的三个点,,,将绕点按顺时针方向旋转度,则点的对应点的坐标为()A...B...C...D.【答案】D【解析】【分析】把△ABO绕点O按顺时针方向旋转45°,就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转45度. 点A 在第二象限的角平分线上,且OA= ,正好旋转到y轴正半轴. 则A点的对应点A1的坐标是(0, ).【详解】∵A的坐标是(-1,1),∴OA= ,且A1在y轴正半轴上,∴A1点的坐标是(0, ).【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转,解答本题要能确定A的位置,只有这样才能确定点A的对应点A1的位置,求出坐标.4.在平面直角坐标系中,点绕原点顺时针旋转后得到点()A...B...C...D.【答案】A【解析】【分析】设A( ,1),过A作AB⊥x轴于B,于是得到AB=1,OB= ,根据边角关系得到∠AOB=30°,由于点( ,1)绕原点顺时针旋转60°,于是得到∠AOA′=60°,得到∠A′OB=30°,于是结论即可求出.【详解】设A( ,1),过A作AB⊥x轴于B,则AB=1,OB= ,∴tan∠AOB= ＝= ,∴∠AOB=30°,∵点( ,1)绕原点顺时针旋转60°,∴∠AOA′=60°,∴∠A′OB=30°,∴点( ,1)绕原点顺时针旋转60°后得到点是( ,-1),故选: A.【点睛】考查了坐标与图形的变换-旋转,特殊角的三角函数,正确的画出图形是解题的关键.5.如图,在中,,,,由绕点顺时针旋转得到,其中点与点、点与点是对应点,连接,且、、在同一条直线上,则的长为()A...B...C...D.【答案】A【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°,再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2,接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2,B′C=BC=1,A′C=AC,∠A′=∠BAC=30°,∠A′B′C=∠B=60°,于是可判断△CAA′为等腰三角形,所以∠CAA′=∠A′=30°,再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°,可得B′A=B′C=1,然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算.【详解】∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×1=2,∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′,∴A′B′=AB=2,B′C=BC=1,A′C=AC,∠A′=∠BAC=30°,∠A′B′C=∠B=60°,∴△CAA′为等腰三角形,∴∠CAA′=∠A′=30°,∵A.B′、A′在同一条直线上,∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA,∴∠B′CA=60°-30°=30°,∴B′A=B′C=1,∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3.故选: A.【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等. 也考查了含30度的直角三角形三边的关系.6.已知点是点关于原点的对称点,则的值为()A...B.-..C...D.±6【答案】C【解析】【分析】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,结合题意可得ab的值,代入a+b可得答案.【详解】根据题意,有点A(a,-3)是点B(-2,b)关于原点O的对称点,则a=-(-2)=2,b=-(-3)=3,则a+b=3+2=5.【点睛】考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系.7.如图,已知与关于点成中心对称图形,则下列判断不正确的是()A.∠ABC=∠A'B'C..B.∠BOC=∠B'A'C.. C.AB=A'B..D.OA=OA'【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的定义: 把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,来求解即可.【详解】因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形,所以可得∠ABC=∠A′B′C′,AB=A′B′,OA=OA',故选: B.【点睛】考查了中心对称的定义,解题的关键是熟记中心对称的定义. 也可用三角形全等来求解.8.在如图的正方形网格上画有两条线段. 现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有( )A.2..B.3..C.4..D.5条【答案】C【解析】试题分析: 直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.解: 如图所示: 能满足条件的线段有4条.故选：C.考点: 利用轴对称设计图案.9.观察下列四个图案,它们分别绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图形重合,其中旋转的角度最大的是()A...B...C...D.【答案】A【解析】【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度,再比较即可.【详解】A选项: 最小旋转角度= =120°；B.最小旋转角度= =90°；C.最小旋转角度= =72°；D.最小旋转角度= =60°；综上可得: 旋转的角度最大的是A.故选: A.【点睛】考查了旋转对称图形中旋转角度的确定,求各图形的最小旋转角度时,关键要看各图形可以被平分成几部分,被平分成n部分,旋转的最小角度就是.10.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形). 若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A.2..B.3..C.4..D.5种【答案】C【解析】试题分析: 利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可.解: 如图所示: 组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有4种.故选：C.点评: 此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案,正确把握相关定义是解题关键.【此处有视频,请去附件查看】11.下列所给的正方体的展开图中,是中心对称图形的是图()A.①②..B.①②..C.②③..D.①②③④【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念(在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点)求解.【详解】根据中心对称图形的概念可是: ①②④是中心对称图形；而③不是中心对称图形.故选: B.【点睛】考查了中心对称图形的概念. 在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点.12.如图,矩形的边,分别在坐标轴上,且点的坐标为,将矩形沿轴正方向平移个单位,得到矩形,再以点为旋转中心,把矩形顺时针方向旋转,得到矩形″″″″″,″,″,″,则点所经过的路线为″的长为()A.1..B.1..C.4+5..D.4+【答案】D【解析】【分析】利用平移变换和弧长公式计算.【详解】此题平移规律是(x+4,y),照此规律计算可知点B平移的距离是5个单位长度.把矩形O′A′B′C′顺时针方向旋转90°,点B′走过的路程是半径为5,圆心角是90度的弧长为,所以点B所经过的路线为B⇒B′⇒B″的长为4+.故选: D.【点睛】考查图形的平移变换和弧长公式的运用. 在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同. 平移中点的变化规律是：横坐标右移加,左移减；纵坐标上移加,下移减.13.如图,三个顶点的坐标分别为,,,将绕点按顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为()A.(1, 2..B.(2, 1..C.(1, 1..D.(2, 2)【答案】B【解析】【分析】直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；【详解】∵A(-2,5),B(-5,1),C(-2,1),∴AC=4,AC∥y轴,∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,得到△DEC,∴∠DCE=∠ACB=90°,CD=AC=4,∴B,C,D三点在一条直线上,∴D(2,1),故选: B.【点睛】考查了旋转变换以及扇形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.14.下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到()A...B...C...D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质旋转变化前后,图形的相对位置不变,注意时针与分针的位置关系,分析选项.【详解】根据旋转的性质(旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等)可得: 图案①顺时针旋转90°得到B.故选B．【点睛】考查旋转的性质:旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等. 要注意旋转的三要素: ①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.二、填空题(共6 小题,每小题 3 分,共18 分)15.一个图形绕某一点旋转后与另一个图形重合,则这两个图形成________,这个点叫________.【答案.. (1).中心对.. (2).对称中心【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解.【详解】一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合,则这两个图形成中心对称,这个点叫对称中心. 故答案是: 中心对称,对称中心.【点睛】考查了中心对称图形的概念: 把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.16.如图,在网格中有一个四边形和两个三角形.①请你画出这三个图形关于点成中心对称的图形；②将原图和画出后的图形看成一个整体图形,它有________条对称轴；它至少旋转________度后与自身重合.【答案】(1)详见解析,(2)4,90【解析】【分析】(1)将图形的各顶点与点O连线并延长相同长度找对应点,然后顺次连接得中心对称图形；(2)根据轴对称的性质,找对称轴,只要连接两组对应点,作出对应点所连线段的两条垂直平分线.【详解】(1)如图所示,共有4条对称轴;(2)4条对称轴,这个整体图形至少旋转90度.故答案为: 4,90.【点睛】考查了轴对称图形和旋转变换图形的方法,注意,做这类题时,掌握旋转与轴对称的性质是解决问题的关键.17.在平面直角坐标系中,若与点关于原点对称,则点在第________象限.【答案】四【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点P的坐标,再根据各象限内点的坐标特征解答.【详解】∵P(m,n)与点Q(-2,3)关于原点对称,∴m=2,n=-3,∴点P的坐标为(2,-3),∴点P在第四象限.故答案是: 四.【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标,两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数.18.对于平面图形上的任意两点, ,如果经过某种变换(如：平移、旋转、轴对称等)得到新图形上的对应点, ,保持,我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”. 对于三种变换：①平移、②旋转、③轴对称,其中一定是“同步变换”的有________(填序号).【答案】①【解析】【分析】根据平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质,依据“同步变换”的定义判断可得.【详解】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的所有点平移的方向和距离都相等,故平移变换一定是“同步变换”；若将线段PQ绕点P旋转,则PP′=0,而QQ′≠0,故旋转变换不一定是“同步变换”；将相对于直线倾斜的线段PQ经过该直线的轴对称变换,所得PP′≠QQ′,故轴对称变换不一定是“同步变换”,故答案是: ①.【点睛】考查几何变换的类型,熟练掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质是解题的关键.19.在图中,是由基本图案多边形旋转而成的,它的旋转角为________.【答案】【解析】【分析】由于图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的,根据图形可以得到旋转形成的图形是一个正六边形,由此即可确定旋转角的度数.【详解】∵图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的,而根据图形知道旋转形成的图形是一个正六边形,∴它的旋转角是: 60°.【点睛】考查了旋转的性质,主要利用了旋转角的定义和正六边形的性质解决问题.20.如图,将绕点逆时针方向旋转,得到,看点的坐标为,则点坐标为________.【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质得OB′=OB=2,A′B′=AB=1,∠BOB′=90°,∠OB′A′=∠OBA=90°,然后利用第二象限内点的坐标特征写出点A′坐标.【详解】∵A(2,1),∴AB=1,OB=2,∵△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△A′OB′,∴OB′=OB=2,A′B′=AB=1,∠BOB′=90°,∠OB′A′=∠OBA=90°,∴点A′坐标为(-1,2).故答案是: (-1,2).【点睛】考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标. 常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.三、解答题(共4 小题,每小题10 分,共40 分)21.如图所示,是一块边长为的正方形瓷砖,其中瓷砖的阴影部分是半径为的扇形. 请你用这种瓷砖拼出三种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,把它们分别画在下面边长为的正方形中(要求用圆规画图).【答案】见解析.【解析】图形(1)既轴对称(对称轴为正方形对角线所在的直线),又中心对称(对称中心为正方形的中心),根据小正方形的对称性,将小正方形换动不同方向,得出既轴对称图形又中心对称的图形.【详解】既轴对称图形又中心对称的图形如图所示. 答案不唯一.【点睛】考查了运用旋转,轴对称方法设计图案的问题. 关键是熟悉有关图形的对称性,利用中心对称性拼图.22.如图所示,每个小正方形的边长为个单位长度,作出关于原点对称的并写出、、的坐标.【答案】见解析.【解析】【分析】根据直角坐标系中,关于原点对称的两个点的坐标特点是: 横坐标,纵坐标都互为相反数,根据点的坐标就确定原图形的顶点的对应点,进而即可作出所求图形.【详解】解: 根据图形可知: , , ,各点关于原点对称的点的坐标分别是: , , ,然后连接点再依次连接可得所求图形.【点睛】考查了关于原点对称的知识,要求学生会画图,会表示点的坐标. 关键是掌握关于原点对称的两个点的坐标特点是: 横坐标,纵坐标都互为相反数,根据点的坐标就可以画出对称图形.23.如图,已知, 绕点逆时针旋转得到,恰好在上,连接.(1) 与有何关系？并说明理由；线段与在位置上有何关系？为什么？【答案】(1)互补；(2) .【解析】(1)根据旋转的性质可得∠BAC=∠DAE=90°,然后表示出∠CAE,再根据∠BAE=∠BAC+∠CAE列式整理即可得解；(2)根据旋转的性质可得∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE,再利用等腰三角形两底角相等表示出∠B.∠ACE,然后求出∠BCE=90°,根据垂直的定义即可得解.【详解】解：与互补. 理由如下：由旋转的性质知: ,∴,∵,∴,因此与互补；线段. 理由如下:由旋转知: , , ,∴,,∴,∵,∴,∴,∴．【点睛】考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,垂直的定义,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.24.如图所示的网格中,每个小方格都是边长为的小正方形,,把绕点按顺时针旋转后得到,请画出这个三角形并写出点的坐标；以点为位似中心放大,得到,使放大前后的面积之比为,请在下面网格内出.【答案】见解析.【分析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案.【详解】如图所示: ,即为所求,点的坐标为: ；如图所示：.【点睛】考查了位似变换和旋转变换,解题关键是正确得出对应点位置.。
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试卷(含答案)
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC=1cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将△ABC旋转180∘，点B落在点D处，连接BD，那么线段BD的长为___cm.
A.4B.5C.6D.8
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 ，BC 中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（ ）
A. 4 B. 6C. 2+2 D. 8
二、填空题
11.请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．
A 内部B. 外部C. 边上D. 以上都有可能
8.如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）
A.（a﹣2，b）B.（a+2，b）C.（﹣a﹣2，﹣b）D.（a+2，﹣b）
9.如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是()
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．j求证：△BPM@△CPE；k求证：PM = PN；
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN
9.如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是()
人教版数学九年级上学期《旋转》单元综合测试带答案
九年级上册数学《旋转》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ． 2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 A ．30° B ． 90° C ．120° D ．180°3.如图，直角三角板A B C 的斜边A B ＝12 C m ，∠A ＝30°，将三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿C B 方向向左平移，使点B ′落在原三角板A B C 的斜边A B 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为( )A . 6 C mB . 4C m C . (6－23)C mD . (43－6)C m4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A ．点M B ．格点N C ．格点P D ．格点Q5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OA B C 绕点O 顺时针旋转45 后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．22,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭D ．(0,1)-6．将一副三角板顶点重合，三角板A B C 绕点A 顺时针转动的过程中，∠EA B 度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边A B ＝A E）（）A ．∠EAB ＝30° B ．∠EA B ＝45°C ．∠EA B ＝60°D ．∠EA B ＝75°7．如图，边长相等的两个正方形A B C D 和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积( )A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大8．如图，在坐标系中放置一菱形OA B C ，已知∠A B C =60°，点B 在y轴上，OA =1，先将菱形OA B C 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 019的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，3．(1345，3) D ．(1346，0)9．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，则PAB △的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．310．如图，正方形A B C D 的边长为2，点E ，F 分别在边A D ，C D 上，若∠EB F ＝45°，则△ED F 的周长等于（ ）A ．22B ．3C ．4D ．4211．如图，将一个三角板ABC ∆，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ∆，连接BE ，且2AC BC ==，90ACB ∠=︒，则线段BE =（ ）A ．62-B ．6C ．2D ．112．如图，△A B C 中，∠A =30°，∠A C B =90°，B C =2，D 是A B 上的动点，将线段C D 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段C E ，连接B E ，则B E 的最小值是（ ）A ．3-1B ．32C ．3D ．2二、填空题（每小题3分，共18分）13．一副三角板如图放置，将三角板A D E绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板A D E 的一边所在的直线与B C 垂直，则α的度数为__________．14.将边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置（如图），使得点D 落在对角线C F上，EF与A D 相交于点H，则HD ＝．（结果保留根号）15.如图，将等边△A OB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 在第一象限，将等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是．16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，将直线A B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C ，则直线B C 的函数表达式是．17．已知两个完全相同的直角三角形纸片△A B C 、△D EF ，如图1放置，点B 、D 重合，点F 在B C 上，A B 与EF 交于点G ．∠C =∠EFB =90°，∠E=∠A B C =30°，现将图1中的△A B C 绕点F 按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△A B C 恰有一边与D E 平行的时间为__________s18.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，正方形EFGH 绕点E 旋转，直线FB 与直线CH 相交于点P ，若2,75AB DBP ︒=∠=，则2DP 的值是____．三、解答题（共46分）19．（6分）△A B C 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△A B C 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△A B C 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平面直角坐标系中直线A B 上的一个动点，点N 是x 轴上的一个动点，且以O 、A 2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．20．（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A ．矩形B ．正五边形C ．菱形D ．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A ．0B ．1C ．2D ．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．21、（8分）如图，点P是正方形A B C D 内的一点，连接C P，将线段C P绕点C 顺时针旋转90°，得到线段C Q，连接B P，D Q．（1）如图A ，求证：△B C P≌△D C Q；（2）如图，延长B P交直线D Q于点E．①如图B ，求证：B E⊥D Q；②如图C ，若△B C P为等边三角形，判断△D EP 的形状，并说明理由．22．（8分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．23.（8分）如图，正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿AD 边向点D 运动，到达点D 停止.作射线CP ，将CP 绕着点C 逆时针旋转45°，与AB 边交于点Q ，连接PQ（1）画图，完善图形.（2）三条线段DP ，PQ ，BQ 之间有无确定的数量关系？请说明理由.（3）过点C 作CH PQ ⊥于H .若线段CP 的最大值为4，求点H 运动的路径长.24．（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．参考答案一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析]A 、不是中心对称图形，本选项错误；B 、不是中心对称图形，本选项错误；C 、是中心对称图形，本选项正确；D 、不是中心对称图形，本选项错误．故选C ．[点睛]本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°[答案]C[解析]∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ．[点睛]本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．3.如图，直角三角板A B C 的斜边A B ＝12 C m，∠A ＝30°，将三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿C B 方向向左平移，使点B ′落在原三角板A B C 的斜边A B 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为()A . 6 C mB . 4C m C . (6－23)C mD . (43－6)C m[答案]C[分析]根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出B C ，再利用勾股定理列式求出A C ，然后求出A B ′，过点B ′作B ′D ⊥A C 交A B 于D ，然后解直角三角形求出B ′D 即可．[解析]∵A B =12C m，∠A =30°，∴B C =12A B =12×12=6C m，由勾股定理得，A C =22AB BC-=22126-=63C m，∵三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°得到三角板A ′B ′C ′，∴B ′C ′=B C =6C m，∴A B ′=A C -B ′C ′=63-6，过点B ′作B ′D ⊥A C 交A B 于D ，则B ′D =33A B ′=33×（63-6）=（6-23）C m．故选C ．[点睛]本题考查了平移的性质，旋转变换的性质，解直角三角形，熟练掌握各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A ．点M B ．格点N C ．格点P D ．格点Q[答案]B[分析]此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．[解析]如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B ．[点睛]熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OA B C 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．2222⎛- ⎝⎭B ．(1,0)C ．2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(0,1)- [答案]A[分析]根据旋转的性质分别求出点A 1、A 2、A 3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.[解析]四边形OA B C 是正方形，且OA 1=，()A 0,1∴，将正方形OA B C 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，∴由勾股定理得：点A 12 A 1的纵坐标为2122A ∴⎝⎭， 继续旋转则()2A 1,0，322A ⎝⎭，A 4(0，-1)，A 522⎛ ⎝⎭，A 6(-1，0)，A 722⎛ ⎝⎭，A 8(0，1)，A 922⎝⎭，......，发现是8次一循环，所以20198252÷= (3)∴点2019A 的坐标为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ．[点睛]本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.6．将一副三角板顶点重合，三角板A B C 绕点A 顺时针转动的过程中，∠EA B 度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边A B ＝A E）（）A ．∠EAB ＝30° B ．∠EA B ＝45°C ．∠EA B ＝60°D ．∠EA B ＝75°[答案]C[分析]由旋转的性质和平行线的判定依次判断，可求解．[解析]当∠EA B =30°时．∵∠C A B =90°，∴∠C A E=60°=∠E，∴A C ∥D E，故A 不合题意；当∠EA B =45°，∴∠B A D =45°=∠B ，∴B C ∥A D ，故B 不合题意；当∠EA B =60°时，三角尺不存在一组边平行．当∠EA B =75°时，如图，延长A B 交D E于点M，∴∠B A D =15°，∴∠EMA =∠D +∠MA B =45°=∠A B C ，∴B C ∥D E．故选C ．[点睛]本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．7．如图，边长相等的两个正方形A B C D 和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积( )A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大[答案]A[分析]根据正方形性质得出∠B OC =∠EOG=90°，∠OB C =∠OC D =45°，OB =OC ，求出∠B OM=∠C ON，根据A SA 证△B OM≌△C ON，推出两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积等于S△B OC =14S正方形A B C D，即可得出选项．[解析]∵四边形A B C D 、四边形OEFG是两个边长相等正方形，∴∠B OC =∠EOG=90°，∠OB C =∠OC D =45°，OB =OC ，∴∠B OC -∠C OM=∠EOG-∠C OM，即∠B OM=∠C ON，∵在△B OM和△C ON中BOM CONOB OCOBM OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△B OM≌△C ON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积是S△C OM+S△C NO=S△C OM+S△B OM=S△B OC =14S正方形A B C D ，即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于14S正方形A B C D ，故选A ．[点睛]本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△B OM≌△C ON，即△B OM得面积等于△C ON的面积．8．如图，在坐标系中放置一菱形OA B C ，已知∠A B C =60°，点B 在y轴上，OA =1，先将菱形OA B C 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 019的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，3．(1345，3) D ．(1346，0)[答案]D[分析]连接A C ，根据条件可以求出A C ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．[解析]连接A C ，如图所示．∵四边形OA B C 是菱形，∴OA =A B =B C =OC ．∵∠A B C =60°，∴△A B C 是等边三角形．∴A C =A B ．∴A C =OA ．∵OA =1，∴A C =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019．∵B 3的坐标为(2，0)，∴B 2019的坐标为(1346，0)，故选：D[点睛]本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．9．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，则PAB △的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．3[答案]D[分析]将△B PC 绕点B 逆时针旋转60°得△B EA ，根据旋转的性质得B E=B P=4，A E=PC =5，∠PB E=60°，则△B PE 为等边三角形，得到PE=PB =4，∠B PE=60°，在△A EP 中，A E=5，延长B P ，作A F⊥B P于点FA P=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△A PE为直角三角形，且∠A PE=90°，即可得到∠A PB 的度数，在直角△A PF中利用三角函数求得A F的长，根据三角形的面积公式即可得到结论．[解析]∵△A B C 为等边三角形，∴B A =B C ，可将△B PC 绕点B 逆时针旋转60°得△B EA ，连EP，且延长B P，作A F⊥B P于点F．如图，∴B E=B P=4，A E=PC =5，∠PB E=60°，∴△B PE为等边三角形，∴PE=PB =4，∠B PE=60°，在△A EP中，A E=5，A P=3，PE=4，∴A E2=PE2+PA 2，∴△A PE为直角三角形，且∠A PE=90°，∴∠A PB =90°+60°=150°．∴∠A PF=30°，∴在直角△A PF中，A F=12A P=32，∴△PA B 的面积=12PB •A F=12×4×32=3，故选：D ．[点睛]本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．10．如图，正方形A B C D 的边长为2，点E，F分别在边A D ，C D 上，若∠EB F＝45°，则△ED F 的周长等于（）A ．22B ．3C ．4D ．42[答案]C[分析]根据正方形的性质得A B =B C ，∠B A E=∠C =90°，根据旋转的定义，把把△A B E绕点B 顺时针旋转90°可得到△B C G，根据旋转的性质得B G=B E，C G=A E，∠GB E=90°，∠B A E=∠C =90°，∠EB G=∠A B C =90°，于是可判断点G在C B 的延长线上，接着利用“SA S”证明△FB G≌△EB F，得到EF=C F+A E，然后利用三角形周长的定义得到答案．[解析]∵四边形A B C D 为正方形，∴A B ＝B C ，∠B A E ＝∠C ＝90°，∴把△A B E 绕点B 顺时针旋转90°可得到△B C G ，如图，∴B G ＝B E ，C G ＝A E ，∠GB E ＝90°，∠B A E ＝∠C ＝90°，∴点G 在D C 的延长线上， ∵∠EB F ＝45°，∴∠FB G ＝∠EB G ﹣∠EB F ＝45°，∴∠FB G ＝∠FB E ，在△FB G 和△EB F 中，B F ＝B F ，∠FB G ＝∠FB E ，B G ＝B E∴△FB G ≌△FB E （SA S ），∴FG ＝EF ，而FG ＝FC +C G ＝C F +A E ，∴EF ＝C F +A E ，∴△D EF 的周长＝D F +D E +C F +A E ＝C D +A D ＝2+2＝4，故选：C ．[点睛]本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． 11．如图，将一个三角板ABC ∆，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ∆，连接BE ，且2AC BC ==，90ACB ∠=︒，则线段BE =（ ）A ．62-B ．6C ．2D ．1[答案]A[分析]连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，根据旋转性质可知A B =A D ，∠D A B =60°，∠A ED =90°，A E=D E=A C =BC =2，由此得出△A BD 为等边三角形，然后进一步通过证明△B AE ≅△B D E 得出∠AB E=∠D B E ，根据等腰三角形“三线合一”可知B F ⊥A D ，且A F=D F ，由此利用勾股定理分别计算出A B 、B F 的长，最后通过B E=B F −EF 进一步计算即可得出答案.[解析]如图，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，由旋转可知，A B =A D ，∠D A B =60°，∠A ED =90°，A E=D E=A C =B C =2，∴△A B D 为等边三角形，∴A B =B D ，在△B A E与△B D E中，∵A E=D E，B A =B D ，B E=B E，∴△B A E≅△B D E（SSS），∴∠A B E=∠D B E，根据等腰三角形“三线合一”可得B F⊥A D ，且A F=D F，∵A C =B C =2，∠A C B =90°，∴A B =222222+=，∴A B =B D =A D =22，∴A F=2，∴B F=226AB AF-=，∵∠A ED =90°，A E=D E，∴∠FA E=45°，∵B F⊥A D ，∴∠FEA =45°，∴EF=A F=2，∴B E=B F−EF=62-，故选：A ．[点睛]本题主要考查了旋转的性质、全等三角形性质及判定和勾股定理与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，△A B C 中，∠A =30°，∠A C B =90°，B C =2，D 是A B 上的动点，将线段C D 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段C E，连接B E，则B E的最小值是（）A ．3-1B ．32C ．3D ．2[答案]A[分析]过点C 作C K⊥A B 于点K，将线段C K绕点C 逆时针旋转90°得到C H，连接HE,延长HE交A B 的延长线于点J；通过证明△C KD ≌△C HE (A SA )，进而证明所构建的四边形C KJH是正方形，所以当点E与点J重合时，B E的值最小，再通过在Rt△C B K中已知的边角条件，即可求出答案.[解析]如图,过点C 作C K ⊥A B 于点K ，将线段C K 绕点C 逆时针旋转90° 得到C H ，连接HE,延长HE 交A B 的延长线于点J ；∵将线段C D 绕点C 逆时针旋转90° ,得到线段C E ∴∠D C E=∠KC H = 90°∵∠EC H=∠KC H - ∠KC E ，∠D C K =∠D C E-∠KC E ∴∠EC H =∠D C K又∵C D = C E ，C K = C H ∴在△C KD 和△C HE 中90ECH DCK CK CHDKC EHC ∠=∠=⎧∠=∠=︒⎪⎨⎪⎩∴△C KD ≌△C HE (A SA ) ∴∠C KD =∠H=90°，C H=C K ∴∠C KJ =∠KC H =∠H=90°∴四边形C KJH 是正方形 ∴C H=HJ=KJ=C 'K∴点E 在直线HJ 上运动，当点E 与点J 重合时，B E 的值最小∵∠A = 30° ∴∠A B C =60°在Rt △C B K 中， B C = 2, ∴勾股定理得：C K =3， B K= = 1∴KJ = C K =3，所以B J = KJ-B K=31-；B E 的最小值为31-.故选A .[点睛]本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键.二、填空题（每小题3分，共18分）13．一副三角板如图放置，将三角板A D E 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板A D E 的一边所在的直线与B C 垂直，则α的度数为__________．[答案]15°或45°．[解析]分情况讨论：①当D E⊥B C 时，∠B A D =75°，∴α=90°﹣∠B A D =15°；②当A D ⊥B C 时，∠B A D =45°，即α=45°．故答案为：15°或45°．[点睛]本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．14.将边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置（如图），使得点D 落在对角线C F上，EF与A D 相交于点H，则HD ＝．（结果保留根号）[答案]2﹣1．[解析]∵四边形A B C D 为正方形，∴C D ＝1，∠C D A ＝90°，∵边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置，使得点D 落在对角线C F上，∴C F＝，∠C FD E＝45°，∴△D FH为等腰直角三角形，∴D H＝D F＝C F﹣C D ＝﹣1．故答案为﹣1．[考点]本题主要考查了以正方形旋转为载体的求线段长度.15.如图，将等边△A OB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 在第一象限，将等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是．[答案]（﹣2，﹣2）．[解析]作B H⊥y轴于H，如图，∵△OA B 为等边三角形，∴OH＝A H＝2，∠B OA ＝60°，∴B H＝OH＝2，∴B 点坐标为（2，2），∵等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．[考点]本题主要考查了以等边三角形和坐标系旋转为载体的求点的坐标.16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，将直线A B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C ，则直线B C 的函数表达式是．[答案]y＝x﹣1．[解析]∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，∴A （，0），B （0，﹣1），∴OA ＝，OB ＝1，过A 作A F⊥A B 交B C 于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠A B C ＝45°，∴△A B F是等腰直角三角形，∴A B ＝A F，∵∠OA B +∠A B O+∠OA B +∠EA F＝90°，∴∠A B O＝∠EA F，∴△A B O≌△A FE（A A S），∴A E＝OB ＝1，EF＝OA ＝，∴F（，﹣），设直线B C 的函数表达式为：y＝kx+B ，∴，∴，∴直线B C 的函数表达式为：y＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1．[考点]本题主要考查了以线段旋转和一次函数为载体的求解析式.17．已知两个完全相同的直角三角形纸片△A B C 、△D EF，如图1放置，点B 、D 重合，点F在B C 上，A B 与EF交于点G．∠C =∠EFB =90°，∠E=∠A B C =30°，现将图1中的△A B C 绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△A B C 恰有一边与D E平行的时间为___________s[答案]3秒或12秒或15秒[解析]①如图（2），当A C ∥D E时，∵A C ∥D E，∴∠A C B =∠C HD =90°．∵∠E=30°，∴∠D =60°，∴∠HFD =90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3．②如图3，当B C ∥D E时，∵B C ∥ED ，∴∠B FE=∠E=30°，∴∠B FD =30°+90°=120°，∴t=120°÷10=12．③如图4，当B A ∥ED 时，延长D F 交D A 于G ．∵∠E=30°，∴∠D =60°，∵B A ∥ED ，∴∠B GD =180°-∠D =120°，∴∠B FD =∠B +∠B GF=30°+120°=150°，∴t=150°÷10°=15．故答案为3秒或12秒或15秒[点睛]本题主要考查平行线的性质．分三种不同的情况讨论，解题的关键是画出三种情况的图形． 18.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，正方形EFGH 绕点E 旋转，直线FB 与直线CH 相交于点P ，若2,75AB DBP ︒=∠=，则2DP 的值是____．[答案]523+[分析]如图，设EF 交A B 于M ，EH 交B C 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥A D 于T 交B C 于R ．首先证明∠C PB ＝90°，求出D T ，PT 即可解决问题．[解析]如图，设EF 交A B 于M ，EH 交B C 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥A D 于T 交B C 于R ．∵四边形A B C D 是正方形，∴A C ⊥B D ，A E ＝EB ，∠EA M ＝∠EB N ＝45°，∵四边形EFGH 是正方形，∴∠MEN ＝∠A EB ＝90°，∴∠A EM ＝∠B EN ，∴△A EM ≌△B EN （A SA ），∴A M ＝B N ，EM ＝EN ，∠A ME ＝∠B NE ， ∵A B ＝B C ，EF ＝EH ，∴FM ＝NH ，B M ＝C N ，∵∠FMB ＝∠A ME ，∠C NH ＝∠B NE ，∴∠FMB ＝∠C NH ，∴△FMB ≌△HNC （SA S ），∴∠MFB ＝∠NHC ，∵∠EFO ＋∠EOF ＝90°，∠EOF ＝∠POH ，∴∠POH ＋∠PHO ＝90°，∴∠OPH ＝∠B PC ＝90°， ∵∠D B P ＝75°，∠D B C ＝45°，∴∠C B P ＝30°，∵B C ＝A B ＝2，∴由勾股定理：PB 3PR ＝12PB 3RC ＝12， ∵∠RTD ＝∠TD C ＝∠D C R ＝90°，∴四边形TD C R 是矩形，∴TD ＝C R ＝12，TR ＝C D ＝A B ＝2， 在Rt △PD T 中，PD 2＝D T 2＋PT 2＝2213()(2)5232+=+ 故答案为523+[点睛]本题考查全等三角形的判定和性质，旋转变换，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于常考题型．三、解答题（共46分）19．（6分）△A B C 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△A B C 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△A B C 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平面直角坐标系中直线A B 上的一个动点，点N 是x 轴上的一个动点，且以O 、A 2、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标．[答案]（1）、（2）答案见解析；（3）当OA 2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA 2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．[分析]（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1，从而得到△A 1B 1C 1．（2）利用网格特点和平移的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2．（3）讨论：当OA 2为平行四边形的边时，利用平行四边形的判定和点平移的坐标特征确定N点坐标；当OA 2为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质和点平移的坐标特征确定N点坐标．[解析]（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；（3）当OA 2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA 2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．[点睛]本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质和平行四边形的判定．20．（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A ．矩形B ．正五边形C ．菱形D ．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A ．0B ．1C ．2D ．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．[答案]（1）B ；（2）(1)(3)(5)；（3）C ；（4）见解析[分析]（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．[解析]解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，故选：B ．（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；即命题中①③正确，故选：C ．（4）图形如图所示：[点睛]本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21、（8分）如图，点P是正方形A B C D 内的一点，连接C P，将线段C P绕点C 顺时针旋转90°，得到线段C Q，连接B P，D Q．（1）如图A ，求证：△B C P≌△D C Q；（2）如图，延长B P交直线D Q于点E．①如图B ，求证：B E⊥D Q；②如图C ，若△B C P为等边三角形，判断△D EP 的形状，并说明理由．[答案]（1）证明见试题解析；（2）①证明见试题解析；②△D EP为等腰直角三角形．[分析]：（1）由旋转的性质得到∠B C P=∠D C Q，即可证明△B C P≌△D C Q；（2）①由全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②由等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD =45°，∠ED P=45°，即可判断△D EP的形状．[解析]（1）∵∠B C D =90°，∠PC Q=90°，∴∠B C P=∠D C Q，在△B C P和△D C Q中，∵B C =C D ，∠B C P=∠D C Q，PC =QC ，∴△B C P≌△D C Q；(2)①如图B , ∵△B C F≌D C Q, ∴∠C B F=∠ED F, 又∠B FC =∠D FE,∴∠D EF=∠B C F=90°，∴B E⊥D Q②∵△B C P为等边三角形，∠B C P=60°，∴∠PC D =30°，又C P=C D ,∠C PD =∠C D P=75° ,又∠B PC =-60° ,∠C D Q =60°，∴∠EPD =45°，∠ED P =45°，∴△D EP 为等腰直角三角形.[考点]1．四边形综合题；2．正方形的性质；3．旋转的性质；4．全等三角形的判定与性质；5．综合题．22．（8分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．[答案]（1）1；（2）12π；（3）23OF = [分析]（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠A C F =∠EC F =30°，即C F 是∠A C B 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以C F 和C E 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △C EF 求出C F 和C E 的长，然后根据S 阴影=（S △C EF +S 扇形A C F ）－（S △A C G +S 扇形C EG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥C F 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得C H 的长，设OH=x ，则C O 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △B OC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．[解析]（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠A C B =60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠EC F =∠B A C =30°，EF =B C =1，∴∠A C F =30°，∴∠A C F =∠EC F =30°，∴C F 是∠A C B 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △C EF 中，∵∠EC F =30°，EF =1，∴C F =2，C E 3由旋转的性质可得：C F=C A =2，C E=C G 3 A C G =∠EC F =30°，∴S 阴影=（S △C EF +S 扇形A C F ）－（S △A C G +S 扇形C EG ）=S 扇形A C F －S 扇形C EG =2230330236036012πππ⨯⨯-=； 故答案为：12π；②作EH ⊥C F 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F =60°，EF =1， ∴13,2FH EH == C H =13222-=， 设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x ⎛=+=+=+ ⎝⎭， ∵OB =OE ，∴2234OB x =+， 在Rt △B OC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 解得：16x =，∴112263OF =+=． [点睛]本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．23.（8分）如图，正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿AD 边向点D 运动，到达点D 停止.作射线CP ，将CP 绕着点C 逆时针旋转45°，与AB 边交于点Q ，连接PQ（1）画图，完善图形.（2）三条线段DP ，PQ ，BQ 之间有无确定的数量关系？请说明理由.（3）过点C 作CH PQ ⊥于H .若线段CP 的最大值为4，求点H 运动的路径长.[解析]（1）画图，如图1.（2）DP ，PQ ，BQ 之间有确定的数量关系，PQ DP BQ =+.理由如下：如图1，∵ABCD 是正方形，∴可将DCP ∆绕点C 逆时针旋转90°到BCM ∆. ∴DCP BCM ∆∆≌，90PCM ∠=︒.∴DP BM =，CP CM =，190D ∠=∠=︒.∴Q ，B ，M 在同一条直线上.∵45PCQ ∠=︒，∴45MCQ ∠=︒.∴PCQ MCQ ∠=∠.∵CQ CQ =，∴()SAS PCQ MCQ ∆∆≌.∴PQ MQ =. ∴PQ DP BQ =+.（3）如图2，由（2），2M ∠=∠.∵3190∠=∠=︒，∴(AAS)PCH MCB ∆∆≌.∴CH CB =.当点P 还在点A 处时，CP 是正方形的对角线，此时最长.即正方形的对角线为4. ∴正方形的边长22CB =∴22CH =当点P 从A 到点D 时，点H 从点B 沿圆弧到点D ，圆心角90BCD ∠=︒.∴点H 运动的路径长为1224CB ππ⨯⋅=.24．（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．[答案]（1）点D 的坐标为()633,3；（2）点D 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点E 的坐标为()12,8． [分析](1) 过点D 作DG x ⊥轴于,G 根据已知条件可得出A D =6，再直角三角形A D G 中可求出D G ，A G 的长，即可确定点D 的坐标.(2) 过点D 作DG x ⊥轴于,G DH AE ⊥于H 可得出,GADH HA DG ＝＝，根据勾股定理得出A E 的长为10，再利用面积公式求出D H ，从而求出OG ,D G 的长，得出答案(3) 连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转性质得到,DAE AOC AD AO ∠∠＝＝，从而可证AEG AED AAS ≌（），继而可得出结论.[解析](1)过点D 作DG x ⊥轴于,G ，如图①所示：。
新人教版初中数学九年级数学上册第三单元《旋转》检测(答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．25°D ．30°2．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，△ABC 中，AB =6，AC =4，以BC 为对角线作正方形BDCF ，连接AD ，则AD 长不可能是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 与对应点D 重合，得到EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则AC 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．26D ．418．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0），（0，1），()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称：第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点6P 与点4P 关于点B 成中心对称；…，照此规律重复下去，则点2013P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．()2,2-C ．()0,2-D ．()2,0- 9．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 10．如图所示的图形中,是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12B ．512-C ．33D ．3212．下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 在CD 边上，1DE =，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE '△，连接EE '，则线段EE '的长为______．14．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．15．如图，在等边△ABC 中，AC=10，点O 在AC 上，且AO=4，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋 转60º得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是________．16．如图，在ABC 中，108BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为_______．17．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，则阴影部分的面积为________．18．直角坐标系中，已知A （3，2），作点A 关于y 轴对称点A 1，点A 1关于原点对称点A 2，点A 2关于x 轴对称点A 3，A 3关于y 轴对称点A 4，……，按此规律，则点A 2019的坐标为_____．19．如图，把Rt △ABC 绕顶点C 顺时针旋转90°得到Rt △DFC ，若直线DF 垂直平分AB ，垂足为点E ，连接BF ，CE ，且BC =2．下面四个结论：①BF =22②∠CBF =45°；③∠CED =30°；④△ECD 的面积为223+，其中正确的结论有_____．(填番号)参考答案20．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ．将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连结BB '，则BB '的长度为_________．三、解答题21．如图1，等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若8AD =，20AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．22．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一点，将AEC 以点C 为旋转中心，逆时针旋转90°得到BFC △，AD 的延长线交线段BF 于点P ．探究线段EP ，FP ，BP 之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP BF ⊥；特例探究（2）如图2，当CE 垂直于AD 时，求证：2EP FP BP +=；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长都是1个单位长度． （1）画出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，请画出旋转后的222A B C △，并写出A 2的坐标． （3）直接写出12B B 的长度．24．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90 ，画出旋转后得到的△AB1C1；直接写出点B1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标．25．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标；（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．26．如图所示，△ ABC和△ AEF为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数．【详解】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，∴∠AD'D=1(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°，2∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据中心对称图形定义可得答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【解答】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．4．D解析：D【分析】将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC，DE=AD，等腰Rt△ADE中AE=2AD，在△ACE中由三边关系得，CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<10求出AD的范围即可．【详解】将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC=6，DE=AD，在Rt△ADE中由勾股定理得AE=2AD，在△ACE中由三边关系得，CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<10，<，2<AD<52=508故选：D．【点睛】本题考查AD的范围问题，掌握正方形的性质，和旋转性质，由条件分散，将已知与未知化归一个三角形中，利用旋转构造等腰直角三角形△ACE实现转化，利用三边关系确定AE 的范围是解题关键．5．D解析：D【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．6．B解析：B【分析】连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．【详解】解：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，∴CM=BM=1，PC=12A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．故选：B ．【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．7．D解析：D【分析】根据旋转的性质可得BA ＝BE ，∠ABE ＝60°，AC ＝DE ，进而可得△ABE 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和已知条件可得∠EAD ＝90°，根据勾股定理可求出DE 的长，即为AC 的长【详解】解：∵△EBD 是由△ABC 旋转得到，∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°，AC ＝DE ，∴△ABE 是等边三角形，∴∠EAB ＝60°，∵∠BAD ＝30°，∴∠EAD ＝90°，∵AE ＝AB ＝5，AD ＝4，∴DE，即故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．8．C解析：C【分析】计算出前几次跳跃后，点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7的坐标，可得出规律，继而可求出点P 2013的坐标．【详解】解：∵点1P 与点O 关于点A 成中心对称，∴P 1(2，0)，过P 2作P 2D ⊥OB 于点D ，∵2P 与点1P 关于点B 成中心对称，∴P 1B=P 2B ，在△P 1BO 和△P 2BD 中121212PBO P BD POB P DB PB P B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P 1BO ≌△P 2BD ，∴P 2D=P 1O=2，BD=BO=1，∴OD=2，∴P 2(-2，2)，同理可求：P 3(0，-2)，P 4(2，2)，P 5(-2，0)，P 6(0，0)，P 7(2，0)，从而可得出6次一个循环，∵2013=335…3，6∴点P2013的坐标为(0，-2)．故选C．【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．9．A解析：A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．D解析：D【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选D．【点睛】本题考查中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．C解析：C【分析】连接DB ，AC ，OE ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答即可．【详解】解：连接DB ，AC ，OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，∵点B 与点O 关于CE 对称，∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，在△COE 与△CBE 中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC ＝90°，∴AB 3CB ，即CB ：AB ＝33， 故选：C ．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB 是解题的关键． 12．B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A 错误；B 、是中心对称图形，符合题意，故选项B 正确；C 、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C 错误；D 、不是中心对称图形，符合题意，故选项D 错误；故选B .【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.二、填空题13．【分析】先根据正方形的性质可得再根据旋转的性质可得从而可得点在同一条直线上然后根据线段的和差可得最后在中利用勾股定理即可得【详解】四边形ABCD 是正方形由旋转的性质得：点在同一条直线上则在中故答案为解析：【分析】先根据正方形的性质可得90,3ABC D C CD BC AB ∠=∠=∠=︒===，再根据旋转的性质可得1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，从而可得点,,E B C '在同一条直线上，然后根据线段的和差可得4E C '=，最后在Rt ECE '中，利用勾股定理即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，90,3ABC D C CD BC AB ∴∠=∠=∠=︒===，1DE =，312CE CD DE ∴=-=-=，由旋转的性质得：1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，180ABC ABE '∴∠+∠=︒，∴点,,E B C '在同一条直线上，134E C BE BC ''∴=+=+=，则在Rt ECE '中，EE '==，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．14．【分析】先根据旋转的性质可得再根据等边三角形的判定与性质可得然后根据线段的和差即可得【详解】由旋转的性质得：是等边三角形故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质等边三角形的判定与性质等知识点熟练掌握旋 解析：1.8【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得4BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：4AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，4BD AB ∴==，5.8BC =，5.84 1.8CD BC BD ∴=-=-=，故答案为：1.8．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．15．6【分析】根据三角形的外角性质可得∠APO=∠COD 进而可以证明△APO ≌△COD 进而可以证明AP=CO 即可解题【详解】∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD ∠A=∠POD=60°∴∠APO=∠COD解析：6【分析】根据三角形的外角性质可得∠APO=∠COD ，进而可以证明△APO ≌△COD ，进而可以证明AP=CO ，即可解题．【详解】∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD ，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD ，在△APO 和△COD 中，A C APO COD OD OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△APO ≌△COD （AAS ），即AP=CO ，∵CO=AC-AO=6，∴AP=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证△APO ≌△COD 是解题的关键．16．24°【分析】根据旋转的性质得出边和角相等找到角之间的关系再根据三角形内角和定理进行求解即可求出答案【详解】解：设=x°根据旋转的性质得∠C=∠=x°=AC=AB ∴∠=∠B ∵∴∠C=∠CA=x°∴∠解析：24°【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．【详解】解：设C '∠=x°.根据旋转的性质，得∠C=∠'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB.∴∠'AB B =∠B.∵AB CB ''=，∴∠C=∠CA 'B =x°.∴∠'AB B =∠C+∠CA 'B =2x°.∴∠B=2x°.∵∠C+∠B+∠CAB=180°，108BAC ∠=︒，∴x+2x+108=180.解得x=24.∴C '∠的度数为24°.故答案为24°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.17．9【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A1BC1A1B=AB=6所以△A1BA 是等腰三角形依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积由图形可以知道S 阴影=S △A1BA+S △A1BC1﹣S △ABC=解析：9【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B=AB=6，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S △A1BA +S △A 1BC 1﹣S △ABC=S △A 1BA ，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A 1BC 1， ∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B=AB=6，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA=30°，∴S △A1BA = 12×6×3=9， 又∵S 阴影=S △A1BA +S △A1BC1﹣S △ABC ，S △A1BC1=S △ABC ，∴S 阴影=S △A1BA =9． 故答案为9．【点睛】本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．18．（32）【分析】根据题目已知条件写出A1A2A3的坐标找出规律即可解决问题【详解】解：作点A关于y轴的对称点为A1是（﹣32）；作点A1关于原点的对称点为A2是（3﹣2）；作点A2关于x轴的对称点为解析：（3，2）．【分析】根据题目已知条件，写出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解决问题．【详解】解：作点A关于y轴的对称点为A1，是（﹣3，2）；作点A1关于原点的对称点为A2，是（3，﹣2）；作点A2关于x轴的对称点为A3，是（3，2）．显然此为一循环，按此规律，2019÷3＝673，则点A2019的坐标是（3，2），故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于坐标轴对称点的坐标，解答此题需熟悉：两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．19．①②④【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2∠BCF＝90°则可得△CBF为等腰直角三角形于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB则FA＝FBBE＝AE于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质解析：①②④【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；作EH⊥BD于H，如图，根据三角形中位线性质得EH＝1AC+1，利用旋转性质得CD＝CA＝，则利用三角形面积公式可计算出2△ECD的面积，从而可对④进行判断．【详解】∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，∴△CBF为等腰直角三角形，∴BFBC＝，∠CBF＝45°，所以①②正确；∵直线DF垂直平分AB，∴FA＝FB，BE＝AE，∴∠A＝∠ABF，而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，∴∠A＝22.5°，∵CE为斜边AB上的中线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；作EH⊥BD于H，如图，∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CD＝CA＝2+22，∵点E为AB的中点，∴EH＝1AC＝2+1，2∴△ECD的面积＝1•（2+1）•（2+22）＝22+3，所以④正确．2故答案为：①②④．【点睛】考查了旋转的性质，旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．20．4【分析】由勾股定理得到AB=10然后根据旋转的性质求出△BB′C′的边长最后根据勾股定理求出BB′即可【详解】∵在Rt△ABC中∠C=90°AC＝6cmBC＝8cm∴又由旋转的性质知AC′=AC=解析：5【分析】由勾股定理得到AB=10，然后根据旋转的性质求出△BB′C′的边长，最后根据勾股定理求出BB′即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴2210+=．AB AC BC又由旋转的性质知，AC′=AC=6，B′C′=BC=8∴BC′= AB-AC′=4∵B′C′⊥AB，∴在Rt △BB′C′中，BB =='．故答案为【点睛】 本题主要考查了旋转的性质和勾股定理，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB'与已知线段AC 、BC 的长度联系起来求解的．三、解答题21．（1）PM PN =， PM PN ⊥；（2）PMN 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98【分析】（1）根据题意可证得BD CE =，利用三角形的中位线定理得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出//PM CE ，得出DPM DCA =∠∠，通过角的转换得出DPM ∠与DPN ∠互余，证得PM PN ⊥． （2）先证明E ABD AC ∆≌，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论．（3）当BD 最大时，PMN 的面积最大，而BD 最大值是28AB AD +=，21()2PMN SPM =⨯，计算得出结论． 【详解】 （1）线段PM 与PN 的数量关系是PM PN =，位置关系是PM PN ⊥．∵等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，∴AB=AC ，∵AD=AE ，∴AB-AD=AC-AE ，∴BD=CE ，∵点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点， ∴12PM CE =，12PN BD =， ∴PM PN =；∵//PM CE ，∴DPM DCA ∠=∠，∵90A ∠=︒，∴90ADC ACD ∠+∠=︒，∵ADC DPN ∠=∠（两直线平行内错角相等），∴90MPN DPM DPN DCA ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴PM PN ⊥．（2）PMN 是等腰直角三角形．证明：由旋转可知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，∴()ABD ACE SAS ≌△△，∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =， 根据三角形的中位线定理可得，12PN BD =，12PM CE =， ∴PM PN =， ∴PMN 是等腰三角形，同（1）的方法可得，PM //CE ，∴DPM DCE ∠=∠， 同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∠=∠，∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，∵90BAC ∠=︒，∴90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90MPN ∠=︒，∴PMN 是等腰直角三角形．（3）由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， ∴PM 最大时，PMN 面积最大，∵点D 在BA 的延长线上，BD 最大，∴28BD AB AD =+=，∴14PM =， ∴2211149822PMN S PM ==⨯=最大△． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）成立．证明见解析．【分析】（1）根据旋转图形的性质，可得△AEC ≌△BFC ，得到∠FBC=∠EAC ，再由三角形内角和证明AP ⊥BE 即可．（2）先证明四边形CEPF是正方形，得到CE=FP，再证明△CED≌△BPD，可得CE=BP，则问题可证．（3）过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H，则按照（1）中方法问题证．【详解】（1）证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，∴∠FBC=∠EAC．又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，∴∠BDP+∠FBC=90°，∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC）=90°，∴AP⊥BE．（2）证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，∴四边形CEPF是矩形．∵CE=CF∴四边形CEPF是正方形．∴CE=EP=FP．又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°∴△CED≌△BPD，∴CE=BP．∴EP+FP=2CE=2BP．（3）成立．理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，∴∠CEG=∠CFH．∵∠CGE=∠CHF=90°，∴△CEG≌△CFH，∴CH=CG，EG=FH．∴EP+FP=GP+HP∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，∴四边形CGPH是正方形．又（2）可知，GP+PH=2BP，∴EP+PF=2BP．【点睛】本题考查了利用图形旋转证明三角形全等以及正方形的性质和判定，解答关键是应用由特殊到一般思想，通过类比方法证明问题．23．（1）图见详解，A1（-3，-5）；（2）图见详解；A2（5，3）；（3）B1B2=32．【分析】（1）找到A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1连接各点即可得到结果，同时得到点A1的坐标；（2）找到A、B、C绕着O点旋转90°后的对应点A2、B2、C2连接各点即可得到结果，同时得到点A2的坐标；（3）利用勾股定理求出B1B2的长．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（-3，-5）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（5，3）；（3）B1B2222．33【点睛】本题考查利用轴对称变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．24．（1）作图见解析；B1（4，-2）；（2）作图见解析；B2（-4，-4）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1，再写出点B1的坐标；（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【详解】（1）如图，B1（4，-2）；（2）如图，B2（-4，-4）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．25．（1）见解；（2）见解析；（3）M的坐标为（-1，0）；（4）P的坐标为（2，0）【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C关于点（1，0）的对称点A2，B2，C2即可．（3）连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为所求．（4）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点M即为所求，点M的坐标为（-1，0）．（4）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）．【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．150°【分析】连接FC，可证△AEB≌△AFC（SAS），然后根据勾股定理的逆定理可求的∠EFC=90°，然后根据全等的性质可求解.【详解】连接FC，则△AEB≌△AFC（SAS）．在△EFC中，EF=3，FC=4，EC=5，所以是直角三角形，则∠EFC=90°，∠AEB=∠AFC=90°+60°=150°。
新人教版初中数学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(答案解析)
一、选择题1．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝47，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 2．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．3．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点,E 以点B 为中心，取旋转角等于,ABC ∠把BAE △顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ''∠的大小为（ ）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 5．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．236．在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是( )A ．22B ．4C ．23D ．不能确定 8．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．23C ．13D ．159．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．-1D ．111．如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1812．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，若使点D 恰好落在BC 上，则线段AP 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．14．已知点(,2)A m m 在直线3y x 上，则点A 关于原点对称点B 的坐标为______． 15．如图，将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，若40AOB ︒∠=，则AOD ∠=_______________．16．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝112°．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．当α为______________度时，△AOD 是等腰三角形？17．如图，如果正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，连接DG ，那么∠DGE ＝________．18．如图，在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.19．如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点A 顺时针旋转到111A B C △的位置，点,B O 分别落在点11,B C 处，点1B 在x 轴上，再将111A B C △绕点1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，再将112A B C 绕点2C 顺时针旋转到222A B C △的位置，点2A 在x轴上，依次进行下去，······，若点()3,0,0,2,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭则点2020B 的坐标为__________________．20．如图，正方形ABCD 的边长为a ，对角线AC 和BD 相交于点O ，正方形A 1B 1C 1O 的边OA 1交AB 于点E ，OC 1交BC 于点F ，正方形A 1B 1C 1O 绕O 点转动的过程中，与正方形ABCD 重叠部分的面积为_____（用含a 的代数式表示）三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6．以点A 为中心，逆时针旋转矩形ABCD ，得到矩形AEFG ，点B ，C ，D 的对应点分别为点E ，F ，G ．（1）如图1，当点E 落在边CD 上时，求线段CE 的长；（2）如图2，当点E 落在线段CF 上时，求证：∠EAC ＝∠BAC ；（3）在（2）的条件下，CD 与AE 交于点H ，求线段DH 的长．22．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=．（1）直接写出ABC ∠的大小为______．（用含α的式子表示）（2）当060α︒<<︒时，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，连接AD 、CD ．①求证：ABD ACD ∆≅∆；②当40α=︒，求ACD ∠的度数．23．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A 第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N ．（1）若30θ=︒时，求点A 的坐标；（2）设MBN △的周长为P ，在旋转正方形OABC 的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论；24．已知：点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点（不与点B 重合），连接AD ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接CE ．求证：,BD CE BD CE =⊥；（2）如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接CE ，请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）根据图2，请直接写出,,AD BD CD 三条线段之间的数量关系．25．如图1，AC ⊥CH 于点C ，点B 是射线CH 上一动点，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE （点D 对应点C ）．（1）延长ED 交CH 于点F ，求证：FA 平分∠CFE ；（2）如图2，当∠CAB ＞60°时，点M 为AB 的中点，连接DM ，请判断DM 与DA 、DE 的数量关系，并证明．26．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（4、4），B（－2，2），C（3，0），（1）画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C'（2）写出 A'，B'，C'三点的坐标．（3）把每个小正方形的边长看作1，试求△ABC的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，从而求得GF，即可求解出△AEF的面积，最终即可判断出所有选项．【详解】∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝47，∴BF＝47，AF②正确，③错误，∴GF＝3+47＝257，∴S△AEF＝S△AGF＝12AB×GF＝507，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．D解析：D【分析】根据中心对称图形定义可得答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．4．C解析：C【分析】先根据平行四边形的性质可得60,//AD BC ABC ∠=︒，再根据平行线的性质可得130DA B '∠=︒，然后根据直角三角形的性质、旋转的性质可得30BA E BAE ''∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，60,//AD BC ABC ∴∠=︒，50ADA '∠=︒，180130DA B ADA ''∴∠=︒-∠=︒，AE BC ⊥，9030BAE ABC ∴∠=︒-∠=︒，由旋转的性质得：30BA E BAE ''∠=∠=︒，13030160DA E DA B BA E '''''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形与旋转的性质是解题关键．5．A解析：A【分析】由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC ∆≌EDB ∆，∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，∴O 为DE 中点，∴OB=OE ，∴∠OBE=∠E ，∴∠OBE=∠A ，∴AF=BF ，设AF=BF=x ，则CF=4-x ，∵222BC CF BF +=，∴2223(4)x x +-=， ∴258x =， ∴258BF =， ∴257488EF BE BF =-=-=． 故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 6．A解析：A【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形．【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形． 故选A ．【点睛】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．7．C解析：C【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ 的最小值．【详解】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，又∵∠ACB=60°，∴∠BCQ=120°，∵点D 是AC 边的中点，∴CD=4，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ=30°，∴CQ=1CD=2，2∴DQ=22-=，4223∴DQ的最小值是23，故选：C．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．8．C解析：C【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.【详解】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴2222+=+=3213BC CM∴13故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．9．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别10．B解析：B【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.【详解】∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a+b=﹣3.故选B.【点睛】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.11．D解析：D【分析】设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的14，再求出正方形B的面积=2正方形A的面积，即可得出答案．【详解】解：设正方形B对角线的交点为O，如图1，设正方过点O作边的垂线，则OE＝OM，∠EOM＝90°，∵∠EOF+∠EON＝90°，∠MON+∠EON＝90°，∴∠EOF＝∠MON，在△OEF和△OMN中EOF MON OE 0MOEF OMN 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△OEF ≌△OMN （ASA ），∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝14S 正方形CTKW ， 即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12， ∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的18， 故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据题意通过“角角边”证明△AOP ≌△CDO ，进而得到AP=OC=AC ﹣AO=6.【详解】解：根据题意可知：∠A=∠C=60°，∵线段OP 绕点O 逆时针旋转得到线段OD ，∴OP=DO ，∵∠DOP=60°，∴∠AOP+∠COD=∠CDO+∠COD=120°，∴∠AOP=∠CDO ，在△AOP 与△CDO 中，A C AOP CDO OP DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△CDO （AAS ），∴AP=OC=AC ﹣AO=6.故选C.【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握其知识点是解此题的关键.二、填空题13．﹣3【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出ab 的值即可得出答案【详解】∵点M （3a ﹣2）N （ba ）关于原点对称∴b=﹣3a ﹣2=﹣a 解得：a=1则ab=1×(﹣3)=﹣3故答案为：﹣3【点睛】本题解析：﹣3【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】∵点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，∴b =﹣3，a ﹣2=﹣a ，解得：a =1，则ab =1×(﹣3)=﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．14．【分析】先由点在直线上求出m 的值然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可【详解】解：∵点在直线上∴2m=m+3∴m=3∴点A 坐标是（36）∴点（36）关于原点对称的点的坐标为 解析：(3,6)--【分析】先由点(,2)A m m 在直线3y x 上求出m 的值，然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可． 【详解】解：∵点(,2)A m m 在直线3y x 上，∴2m =m +3，∴m =3，∴点A 坐标是（3，6），∴点A （3，6）关于原点对称的点B 的坐标为（﹣3，﹣6）．故答案为：（﹣3，﹣6）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点和关于原点对称的点的坐标特征，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．15．30°【分析】根据旋转的性质得到利用角的和差即可求解【详解】解：∵将绕点逆时针旋转70°到的位置∴∴故答案为：30°【点睛】本题考查旋转的性质明确旋转的性质是解题的关键解析：30°【分析】根据旋转的性质得到40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，∴40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，∴30AOD AOC COD ∠=∠-∠=︒，故答案为：30°．【点睛】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键．16．112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD 是等边三角形进而可得∠CDO ＝∠COD ＝60°然后分三种情况根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可【详解】解：∵将△BOC 绕点解析：112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD 是等边三角形，进而可得∠CDO ＝∠COD ＝60°，然后分三种情况，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可．【详解】解：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴CO ＝CD ，∠OCD ＝60°，∠ADC =α，∴△COD 是等边三角形．∴∠CDO ＝∠COD ＝60°，①若AO ＝AD ，则∠AOD ＝∠ADO ，∵∠AOD ＝360°﹣112°﹣60°﹣α＝188°﹣α，∠ADO ＝α﹣60°，∴188°﹣α＝α﹣60°，解得：α＝124°；②若OA ＝OD ，则∠OAD ＝∠ADO ．∵∠OAD ＝180°﹣（∠AOD +∠ADO ）＝180°﹣（188°﹣α+α﹣60°）＝52°，∴α﹣60°＝52°，∴α＝112°；③若OD ＝AD ，则∠OAD ＝∠AOD ．∵∠AOD ＝188°﹣α，∠OAD ＝()180602α︒--︒＝120°﹣2α， ∴188°﹣α＝120°﹣2α，解得：α＝136°． 综上所述：当α为112°或124°或136°时，△AOD 是等腰三角形．故答案为：112°或124°或136°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，全面分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．17．15°【分析】如图根据旋转的性质得∠DCG=30°∠CGE=∠CDA=90°CG=CD 可得△CDG 是等腰三角形再根据顶角度数求出底角∠CGD 的度数它的余角即为所求【详解】解：∵正方形ABCD 绕点C 按解析：15°【分析】如图，根据旋转的性质得∠DCG=30°，∠CGE=∠CDA=90°，CG=CD ，可得△CDG 是等腰三角形，再根据顶角度数求出底角∠CGD 的度数，它的余角即为所求．【详解】解：∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，∴∠DCG=30°，CG=CD ，∠CGE=∠CDA=90°，∴∠CDG=∠CGD=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DGE ＝∠CGE-∠CGD=90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查正方形的性质，解题关键是由旋转前、后的图形全等得等腰三角形．18．（21）【分析】观察图形根据中心对称的性质即可解答【详解】∵点P （11）N （20）∴由图形可知M （30）M1（12）N1（22）P1（31）∵关于中心对称的两个图形对应点的连线都经过对称中心并且被对解析：（2,1）【分析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答.【详解】∵点P （1，1），N （2，0），∴由图形可知M （3，0），M 1（1，2），N 1（2，2），P 1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分， ∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为（2，1）．【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．19．(60602)【分析】首先根据已知求出三角形三边长度然后通过旋转发现BB2B4…每偶数之间的B相差6个单位长度根据这个规律可以求得B2020的坐标【详解】∵A(0)B(02)则OA=OB=2∴Rt△解析：(6060，2)【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的坐标．【详解】∵A(32，0)，B(0，2)，则OA=32，OB=2，∴Rt△AOB中，52==，∴OA+AB1+B1C2=352622++=，∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，即B2(6，2)，∴B4的横坐标为：2×6=12，∴点B2020的横坐标为：2020÷2×6=6060，点B2020的纵坐标为：2，即B2020的坐标是(6060，2)，故答案为：(6060，2) ．【点睛】本题考查了坐标与旋转规律问题以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．20．a2【分析】由题意得OA＝OB∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°∠BOF+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOF根据ASA可证△AOE≌△BOF由全等三角形的性质可得S△AO解析：14a2．【分析】由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOF，根据ASA可证△AOE≌△BOF，由全等三角形的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得重叠部分的面积为正方形面积的14，即可求解．【详解】解：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，在△AOE 和△BOF 中OAE OBF OA OBAOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△BOF （ASA ），∴S △AOE ＝S △BOF ，∴重叠部分的面积21144AOB ABCD SS a ===正方形， 故答案为：14a 2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AOE ≌△BOF 是本题的关键． 三、解答题21．（1）2；（2）见解析；（3）165 【分析】（1）由旋转的性质知AB=AE=10，由矩形的性质得出AD=BC=6，∠BAD=∠D=90°，由勾股定理得出DE=8，即可得出答案；（2）由旋转的性质知∠AEF=∠BAD=90°，AE=AB ，证明Rt △ABC ≌Rt △AEC （HL ），即可得出结论；（3）设DH=x ，由矩形的性质得出CH=CD-DH=10-x ，∠DCA=∠BAC ，证出∠DCA=∠EAC ，得出AH=CH=10-x ，在Rt △ADH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：由旋转的性质知：AB ＝AE ＝10，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝6，∠BAD ＝∠D ＝90°，∴DE＝8，∵CD ＝AB ＝10，∴CE ＝DC ﹣DE ＝10﹣8＝2；（2）证明：由旋转的性质知：∠AEF ＝∠BAD ＝90°，AE ＝AB ，∵点E 落在线段CF 上，∴∠AEC ＝∠AEF ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △AEC 中，AE AB AC AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △AEC （HL ），（3）解：设DH＝x，在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝10，∴CH＝CD﹣DH＝10﹣x，∠DCA＝∠BAC，又∵∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AH＝CH＝10﹣x，在Rt△ADH中，∵DH2+AD2＝AH2，∴x2+62＝（10﹣x）2，解得：x＝165，∴DH＝165．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键．22．（1）90°－12α；（2）①见解析；②∠ACD=10°．【分析】（1）由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠ABC的大小；（2）①由旋转的性质可得BC=BD，∠DBC=60°，所以△BCD为等边三角形，于是BD=CD，再根据SSS可得△ABD≌△ACD；②先由（1）求得∠ABC=70°，再由△BCD为等边三角形可得∠BDC=60°，于是可得∠ABD 的度数．【详解】解：(1)90°－1 2α∵ AB=AC，∴∠ABC=12（180°－∠BAC）=12（180°－α）=90°－1 2α(2)①线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD则BC=BD，∠DBC =60°∴△BCD为等边三角形∴ BD=CD在△ABD和△ACD中，∵AB =ACBD= CD，AD=AD∴△ABD ≌△ ACD （SSS ）②当α=40°时，∵ AB=AC ，∠ACB =∠ABC =90°－12α=70° ∵△BCD 为等边三角形∴∠BCD =60°∴∠ACD = ∠ACB －∠BCD ＝ 10°【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，综合性较强，熟练掌握定理及性质是解题的关键．23．（1）（2，23）；（2）不变【详解】解：（1）如图1，过A 作AD ⊥y 轴，交y 轴于点D∵AD ⊥y 轴，30θ=︒，正方形OABC 的边长是4∴AD=2，OD=23∴A 的坐标是（2，23）（2）P 值无变化．证明：延长BA 交y 轴于E 点．（如图2）在△OAE 与△OCN 中90?AOE CON OAE OCN OA OC =⎧⎪==⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△OAE ≌△OCN （AAS ）∴OE=ON ，AE=CN ．在△OME 与△OMN 中45?OE ON MOE MON OM OM =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△OME ≌△OMN （SAS ）∴MN=ME=AM+AE ，∴MN=AM+CN ，∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8．∴在旋转正方形OABC 的过程中，P 值无变化．【点睛】此题主要考查了一次函数的综合应用、全等三角形的判定与性质等知识，利用图形旋转的变化规律得出对应边之间关系是解题关键．24．（1）证明见解析；（2）图见解析，结论仍然成立，理由见解析；（3）2222AD BD CD =+．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的定义可得,90,45AB AC BAC ABC ACB =∠=︒∠=∠=︒，再根据旋转的性质可得,90AD AE DAE =∠=︒，然后根据角的和差可得BAD CAE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质、垂直的定义即可得证；（2）先根据旋转的定义画出图形，再根据旋转的性质可得,90AD AE DAE =∠=︒，然后根据角的和差可得BAD CAE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质、垂直的定义即可得证；（3）如图（见解析），先在Rt ADE △中，根据勾股定理可得222DE AD =，再在Rt CDE △中，根据勾股定理可得22222DE CE CD BD CD =+=+，由此即可得出答案．【详解】（1）ABC 是等腰直角三角形，,90,45AB AC BAC ABC ACB ∴=∠=︒∠=∠=︒，由旋转的性质得：,90AD AE DAE =∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，,45BD CE ACE ABD ∴=∠=∠=︒，90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，BD CE ∴⊥；（2）成立，理由如下：由题意，画出图形如下：由旋转的性质得：,90AD AE DAE =∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，,45BD CE ACE ABD ∴=∠=∠=︒，90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，BD CE ∴⊥；（3）如图，连接DE ，,90AD AE DAE =∠=︒，∴在Rt ADE △中，22222=+=DE AD AE AD ，由（2）可知，,BD CE BD CE =⊥，∴在Rt CDE △中，22222DE CE CD BD CD =+=+，2222AD BD CD ∴=+，即,,AD BD CD 三条线段之间的数量关系为2222AD BD CD =+．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．25．（1）见解析；（2）2DM +3AD ＝DE ，证明见解析．【分析】（1）根据直角三角形全等判定，得到对应角相等，根据角分线定义证明．（2）延长AD 交BC 于F ，连接CD ；利用旋转的到特殊值三角形，运用三角形的中位线定理，将DE 解转化到CB 决问题即可．【详解】（1）如图1中，∵△ADE 由△ABC 旋转得到，∴AC ＝AD ，∠ACF ＝∠ADE ＝∠ADF ＝90°，AF=AF∴ACF ADF ≌(HL)，AFC AFD ∴∠=∠， FA 平分∠CFE ； （2）结论：23DM AD DE +=，理由如下：如图2中，延长AD 交BC 于F ，连接CD ，∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴AD ＝CD ＝AC ，∵∠ACF ＝90°，∠CAF ＝60°，∴∠AFC ＝30°，∴AD ＝AC ＝12AF ， ∴AD ＝DF ，∴D 为AF 的中点，又∵M 为AB 的中点，∴DM ＝12FB ，即FB=2DM在Rt△AFC中，FC＝3AC=3AD，==+，DE CB FB FC∴+=+23FB FC DM AD∴23+=．DM AD DE【点睛】本题考查图形旋转、30°直角三角形性质及三角形中位线定理，综合运用所学知识，将DE 解转化为CB是解题关键．26．（1）见解析；（2）A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；++．（3）2101729【分析】（1）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A′B′C′；（2）结合直角坐标系可得出出A′，B′，C′三点的坐标；（3）根据勾股定理得到AB，AC，BC的长，相加即可求得△ABC的周长．【详解】解：（1）所画图形如下：（2）结合图形可得A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；（3）22AB=+=62210221417AC=+22BC+=．2529.则△ABC的周长为2101729【点睛】此题考查了旋转作图及中心对称、勾股定理的知识，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．。
初中数学人教版九年级上册第23章《旋转》测试卷解析及答案-九上23
人教版数学九年级上册第23单元《旋转》测试答案一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B A A B B A二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11. 150 12. 5 13. 二12114. 40°15. ③④16.8三．解答题：本大题有7个小题，共66分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分6分）A1(2，-2)，B1(3，0)，C1(1，1)，··········（1分一个，共3分）··················（3分）18.（本小题满分8分）证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴BO=DO，AO=CO，·····················（1分）∵AF=CE，∴AO-AF=CO-CE，······················（1分）∴FO=EO，························（1分）在△FOD和△EOB中⎪⎩⎪⎨=∠=∠DO BO EOB FOD ·······················（2分）∴△FOD ≌△EOB （SAS ）， ·················（2分） ∴DF=BE ··························（1分） 19. （本小题满分8分）解：∵把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到在Rt △AB'C'，∴∠BAB'=40°，AB=AB'， ··················（2分） ∴∠ABB'=∠AB'B ， ·····················（2分） ∴∠ABB'=240-180︒︒=70°， ··················（2分） ∴∠BB'C'=90°-70°=20°. ··················（2分） 20. （本小题满分10分）证明：（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ， ······（1分） ∵AB=AC ，∴AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，AB=AC ， ············（1分） ∴△AEB ≌△AFC (SAS) ··················（1分） ∴BE=CF ； ·························（1分） （2）∵四边形ACDE 为菱形，AB=AC=2，∴DE=AE=AC=AB=2，AC//DE ， ···············（1分） ∴∠AEB=∠ABE ，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°， ···················（1分） ∴△ABE 为等腰直角三角形， ·················（1分） ∴BE=2AB=2， ······················（1分） ∴BD=BE-DE=2-2. ····················（2分） 21. （本小题满分10分）解：（1）∵点A （-8，0）向右平移4个单位后，再向上平移2a =24=2个单位得∴点E 的坐标为（-4，2）， ··················（1分） ∵点C （-2，4）向右平移4个单位后，再向上平移2a =24=2个单位得到点G ， ∴点G 的坐标为（2，6）， ··················（1分） ∴H 点的坐标为（-4， 6）； ·················（2分） （2）连接AG 、DF 它们的交点为点P ，如图，由题意有A （-8，0），G （2，24a+）， ············（2分） ∴AG 的中点P 点坐标为（-3，42a+）， ············（2分）∵P 的坐标为（-3 ，m ）， ∴m=42a +=48+a 。
人教版数学九年级上册第23章《旋转》单元检测试卷及答案解析
第23章《旋转》单元测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列图形中，是中心对称图形的是（）2.以下图的右边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是（）3.用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（）A．平移和旋转B．对称和旋转 C．对称和平移 D．旋转和平移4.已知点A（a，2013）与点A′（﹣2014，b）是关于原点O的对称点，则a+b 的值为（）A．1 B．5 C．6 D．45.在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）A．60°B．72°C．90°D．144°7.如图，将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°，得到△OCD ，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°8.在平面直角坐标系xOy 中，A 点坐标为（3，4），将OA 绕原点O 顺时针旋转180°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）A ．（﹣4，3）B ．（﹣3，﹣4）C ．（﹣4，﹣3）D ．（﹣3，4）9.如图，将Rt △ABC （其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B 、A 、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）B 1C 1C BAA ．30°B ．60°C ．90°D ．180° 10.如图，在△ABC 中，∠AB=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ADE ，连接BD ，若AC=3，DE=1，则线段BD 的长为（ ）E DCB AA ．5B ．3C ．4D ．10二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，△ABC 中，∠C ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得△ADE ，AE 与BC 交于F ，则∠AFB ＝_______°.12如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转44°，得到Rt △AB′C′，点C′恰好落在边AB 上，连接BB′，则∠BB′C′=图11B'C'CBA图1213.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为．14.如图，直线y=﹣33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．15.时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是．16.在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为．三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？18.（本题8分）将下图所示的图形面积分成相等的两部分．(图中圆圈为挖去部分)19.（本题8分）19．(8分)直角坐标系第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，试求x＋2y的值．20.（本题8分）如图，已知AD=AE，AB=AC．（1）求证：∠B=∠C；（2）若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？21.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴，垂足为A．（1）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（2）△O′A′B′与△OAB关于原点对称，写出点B′、A′的坐标．22.（本题10分）当m为何值时（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？23.（本题10分）直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？24.（本题12分）等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB 绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）求出点B的坐标；（2）当A1与B1的纵坐标相同时，求出a的值；（3）在（2）的条件下直接写出点B1的坐标．第23章《旋转》单元测试卷解析一、选择题1.【答案】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：C2.【答案】以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，黑圆在右上角，再按顺时针方向旋转180°，黑圆在左下角．故选：A．3.【答案】根据对称和旋转定义可知：“当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称；“坐地日行八万里”是旋转．故选B．4.【答案】∵点A（a，2013）与点A′（﹣2014，b）是关于原点O的对称点，∴a=2014，b=﹣2013，则a+b的值为：2014﹣2013=1．故选：A．5.【答案】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴m=2且m﹣n=﹣3，∴m=2，n=5，∴点M（m，n）在第一象限，故选A．6.【答案】如图，设O的是五角星的中心，∵五角星是正五角星，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5=72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．故选：B．7.【答案】∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°，∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α，∠D=100°∵∠A=2∠D=100°，∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°，∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°，故选A8.【答案】根据题意得，点A关于原点的对称点是点A′，∵A点坐标为（3，4），∴点A′的坐标（﹣3，﹣4）．故选B．9.【答案】∵B、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1=180°，∴旋转角等于180°．故选D．10.【答案】由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD，∵在RT△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：10又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在RT △ADB 中，即：BD 的长为故：选A二、填空题11.【答案】90º12.【答案】∵Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到Rt △AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=44°，在△ABB′中，∠ABB′=12（180°﹣∠BAB′）=12（180°﹣44°）=68°， ∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB ，∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣68°=22°．故答案为：22°．13.【答案】∵AO=32，BO=2，∴AB=52，∴OA+AB1+B1C2=6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，∴B4的横坐标为：2×6=12，∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6=6048．∴点B2016的纵坐标为：2． ∴点B2016的坐标为：（6048，2）．故答案为：（6048，2）．14.【答案】令y=0x+2=0，解得令x=0，则y=2，∴点A （0），B （0，2），∴OB=2，∴∠BAO=30°，∴AB=2OB=2×2=4，∵△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO′B′，∴∠BAB′=60°，∴∠OAB′=30°+60°=90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故答案为：（4）．15.【答案】∵时针从上午的8时到11时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故答案为：90°．16.【答案】如图所示：在直角△OBC 中，OC=12AC=12BC=1cm ，则（cm ），则（cm ）．故答案为：cm ．三、解答题17.【答案】这个图形的旋转中心为圆心；∵360°÷6=60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．18.【答案】如图：19.【答案】解：根据题意，得(x2＋2x)＋(x＋2)＝0，y＝－3.∴x1＝－1，x2＝－2.∵点P在第二象限，∴x2＋2x＜0，∴x＝－1，∴x＋2y＝－720.【答案】（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD；∴△AEB≌△ADC，∴∠B=∠C．（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．21.【答案】（1）如图，点C的坐标为（﹣2，4）；（2）点B′、A′的坐标分别为（﹣4，﹣2）、（﹣4，0）．22.【答案】（1）∵点A（2，3m），∴关于原点的对称点坐标为（﹣2，﹣3m），∵在第三象限，∴﹣3m＜0，∴m＞0；（2）由题意得：①0.5m +2=12（3m ﹣1），解得：m=52；②0.5m +2=﹣12（3m ﹣1），解得：m=﹣34．23.【答案】（1）点P 关于原点的对称点P'的坐标为（2，1）； （2）OP '=（a ）动点T 在原点左侧，当1TO OP '=时，△P'TO 是等腰三角形，∴点1T,0),（b ）动点T 在原点右侧，①当T2O=T2P'时，△P'TO 是等腰三角形，得：2T (54,0)，②当T3O=P'O 时，△P'TO 是等腰三角形，得：3T,0)，③当T4P'=P'O 时，△P'TO 是等腰三角形，得：点T4（4，0）．综上所述，符合条件的t 的值为，54，4．24.【答案】（1）如图1所示过点B 作BC ⊥OA ，垂足为C ．图1∵△OAB 为等边三角形，∴∠BOC=60°，OB=BA ．∵OB=AB ，BC ⊥OA ，∴OC=CA=1．在Rt △OBC中，BCOC =，∴∴点B 的坐标为（1．（2）如图2所示：（A 1）图2yx O B 1CB A∵点B1与点A1的纵坐标相同，∴A1B1∥OA ．①如图2所示：当a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．如图3所示：A 1图3yxO B 1CBA当a=120°时，点A1与点B1纵坐标相同．∴当a=120°或a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．（3）如图2所示：由旋转的性质可知A1B1=AB=2，点B 的坐标为（1，2）， ∴点B1的坐标为（﹣1．如图3所示：由旋转的性质可知：点B1的坐标为（1．∴点B1的坐标为（﹣11．【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
数学九年级上册《旋转》单元检测卷(附答案)
6.下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出.
三、解答题（共 4 小题 ，每小题 10 分 ，共 40 分 ）
18. 如图 ，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 个单位．将 向绕点 逆时针旋转 ，得到 ，请你画出 （不要求写画法）．
如图 ，已知点 和 ，试画出与 关于点 成中心对称的图形．
19.如图所示，已知 ，且 ．
说明 经过怎样的变换后可与 重合；
二、填空题（共 5 小题 ，每小题 3 分 ，共 15 分 ）
13.从数学对称的角度看：下面的几组大写英文字母：① ；② ；③ ；④ ．不同于另外三组的一组是________，这一组的特点是________．
14.若点 与 关于原点 对称，则 ________且 ________．
15.如图，这个图形是由”基本图案” 绕着点________顺时针依次旋转________次得到的，则每次旋转的角度为________．
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10.如图，将线段 绕点 顺时针旋转 后，得到线段 ，则点 的对应点 的坐标是（）
A.(-3, 2)B.(2, 2)C.(3, 0)D.(2, 1)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得出BC=A′O，进而得出A′点坐标.
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新人教版九年级数学上册《旋转》单元测试卷及答案一、选择题1、(安顺中考)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、平面图形的旋转一般情况下会改变图形的（）A．位置B．大小C．形状D．性质3、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．角4、如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到Rt△DEC,点M是BC的中点，点P是DE的中点，连接PM，若BC =2,∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．15、如图所示，在矩形ABCD中，AD=8，DC=4，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点,A,B,E在同一直线上），连接CF，则CF=( )A．10 B．12 C． D．6、如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（）A. 90°B. 80°C. 50°D. 30°7、如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(-2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2016次翻转之后，点C的坐标是（）A．(4032，0) B．(4032，2) C．(4031，) D．(4033，)8、在△ABC中，∠CAB=40°，在同一平面内，将△ABC绕着A点逆时针旋转α° 得到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则α的数值是（）A．130 B．120 C．110 D．1009、如图，含角的直角三角尺放置在上，角的顶点在边上，．若为锐角，，则的大小为（）A． B． C． D．10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11、已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a+b =________．12、平面直角坐标系中，P（2，3）关于原点对称的点A 坐标是_______.13、如图：所示的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是_______________度.14、如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC．若AB=，BC=1，则线段BE的长为_____________．15、将直角三角形按如图放置，直角顶点重合，则∠AOB+∠COD=________________．16、点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为_____．17、如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BE=4，CD=6，则DE 的长为________．18、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为__________．19、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O顺时针旋转60°后点P的对应点的坐标是___________．20、如图，在等边△ABC中，AC=7，点P在△ABC内部，且∠APC=90°，∠BPC=120°，直接写出△APC的面积为__________.三、解答题21、如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．（1）写出点A，C的坐标；（2）求点A和点C之间的距离．22、在图中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案23、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC向上平移3个单位后得到的△A1B1C1，（2）画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°后所得到的△A2B2C1.24、如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．25、如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H,求DH的长。
26、如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H．求证：EF=EH．27、如图，已知点D是等腰直角三角形ABC斜边BC上一点（不与点B重合），连接AD，线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，求∠BCE的度数．参考答案1、B2、A3、A4、B5、C6、B7、D8、D9、C10、B11、-612、（-2，-3）13、6014、315、180°16、（2，﹣1）17、18、219、(,－1)20、21、（1）点A的坐标是（-2，0），点C的坐标是（1，2）．（2）．22、见解析23、图形见解析24、(1)图见解析，A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；（2）+3．25、26、证明见解析27、证明见解析【解析】1、分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.详解：第一个图既是轴对称图形又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形但不是中心对称图形；第三个图既是轴对称图形又是中心对称图形；第一个图不是轴对称图形，是中心对称图形.故选B.点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形。
一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.2、试题解析：旋转和平移一样只改变图形的位置．故选A.3、A选项正确，平行四边形绕对角线的交点旋转180°能和自身重合，所以平行四边形是中心对称图形．B选项错误，直角三角形绕任一点旋转180°都不能和自身重合，故直角三角形不是中心对称图形．C选项错误，等边三角形绕中心旋转180°不能和自身重合，故等边三角形不是中心对称图形．D选项错误，直角三角形绕任一点旋转180°都不能和自身重合，故角不是中心对称图形．故选A．点睛：若一个图形绕某一点旋转180°能和自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形．4、分析：连接CP，由题意可知BC的长，从而求出AB、CM的长，由旋转的性质得出ED的长,再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可求出PC的长，最后由三角形的两边之和大于第三边可知，当点P、M、C共线时，PM取最大值.详解：如图：连接CP，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4.∵BC的中点为M，∴CM=BC=×2=1.∵绕点C逆时针旋转任意一个角度得到Rt△DEC，P是Rt△DEC中ED的中点. ∴AB=ED,∴CP=ED=AB=×4=2.由三角形的三边关系得，CM+CP＞PM，∴P、C、M三点共线时PM有最大值.此时PM=CM+CP=1+2=3．点睛：本题考查了旋转的性质、三角形的三边关系.5、分析：根据勾股定理得出AC的长度，然后根据旋转图形的性质得出△AFC为等腰直角三角形，从而求出FC的长度．详解：∵AD=8，CD=4，∴AC=，根据旋转图形可得：AF=AC=，∠FAC=90°，∴FC=，故选C．点睛：本题主要考查的是旋转图形的性质以及直角三角形的勾股定理，属于中等难度题型．判断出△AFC为等腰直角三角形是解题的关键．6、根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠A′=40°，∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°-110°-40°=30°，∴∠ACB=30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选B．7、试题分析：∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2016÷6=336，∴经过2016次翻转为第336循环，点C在开始时的位置，∵A（-2，0），∴AB=2，∴翻转前进的距离=2×2016=4032，如图，过点C作CG⊥x于G，则∠CBG=60°，∴BG=2×=1，CG=2×=，∴OG=4032+1=4033，∴点C的坐标为（4033，）．故选D．点睛：本题考查的是正多边形和圆，涉及到坐标与图形变化-旋转，正六边形的性质，确定出最后点C所在的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形．在解决这类问题的时候，我们一般情况下找出变化的规律，根据变化的规律确定最后所求点的位置，然后再进行计算得出答案．8、试题解析：∵△ABC绕A点逆时针旋转到△AB′C′的位置∴AC=AC′∠C′AB′=∠CAB∴∠AC′C=∠ACC′∠C′AC=∠B′AB∵CC′∥AB∴∠C′CA=∠CAB=40°∴∠CAC′=180°-40°×2=100°∵∠BAB′=100°∴α=100°.故选D.9、∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠FDE=30°，∴∠ADF=90°-30°=60°，∵BC∥DF，∴∠B=∠ADF=60°，故选C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．10、连接PC，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，P是A'B'的中点，则因为M是BC的中点，所以MC=1,在旋转的过程中，当点P在MC 的延长线上时，PM最大，为2+1=3.故选B.11、试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－6，故答案为－6．12、若两个点关于原点对称，则它们的横坐标与纵坐标分别互为相反数. 根据上述规律可知，点P (2, 3)关于原点的对称点A的坐标为(-2, -3).故本题应填写：(-2, -3).13、根据旋转性质可得,旋转角等于=360°÷6=60°,故答案为60°.14、在Rt△ABC中, AB=,BC=1,由勾股定理可得=,根据旋转性质可得:EC=AC=2,所以BE=2+1=3,故答案为3.15、因为∠COA+∠DOB=180°，所以∠AOB+∠COD=180°.16、试题分析：根据点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）即可得到点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标．解：点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．故答案为（2，﹣1）．考点：关于原点对称的点的坐标．17、分析：把△ADC绕点A顺时针旋转120°得到△AD′B，再结合条件可证明△AD′E≌△ADE，可得ED′=ED，过D′作DF⊥BE于点F，可求得EF和D′F的长，在Rt△D′FE中可求得ED′，则可求得ED．详解：∵AB=AC，∴可把△ADC绕点A顺时针旋转120°得到△AD′B，∴BD′=DC=6，AD′=AD，∠D′AB=∠DAC，∵∠BAC=120°，∠EAD=60°，∴∠BAE+∠DAC=60°，∴∠D′AE=∠D′AB+∠BAE=60°，在△D′AE和△DAE中AD'=AD，∠D'AE=∠DAE，AE=AE，∴△D′AE≌△DAE（SAS），∴D′E=DE，过D′作DF⊥BE于点F，连接D′F，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=∠D′BA=30°，∴∠D′BF=60°，∴∠BD′F=30°，∴BF=BD′=3，D′F=3，∵BE=4，∴FE=BE-BF=1，在Rt△D′FE中，由勾股定理可得D′E=，∴ED=．点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质及直角三角形的性质，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．18、∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，∴BC=DC，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，∴△DBC是等边三角形，∴n=∠DCB=60°，∴∠DCA=90°-∠DCB=90°-60°=30°，∵BC=2，∴DC=2，∵∠FDC=∠B=60°，∴∠DFC=90°，∴DF=DC=1，∴FC=，∴S阴影=S△DFC=DF·FC=×1×=．点睛：本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．19、设点P绕点O顺时针旋转60°得到点P′，连接OP，OP′，PP′，由旋转的性质可得△OPP′是等边三角形，∵A（0，2），B（，0），∴OA=2，OB=2，∴AB= =4,∴∠ABO=30°，∵点P为线段AB的中点，∴P（，1），OP=PB，∴∠POB=30°，∵∠PO P′=60°，∴∠BOP′=30°，∴点P′与点P关于x轴对称，∴点P′的坐标为（，-1），故答案为：（，-1）.20、将ΔACP绕A旋转60°到ΔABQ，连接PQ，易得ΔAPQ是等边三角形，∴∠APQ=∠AQP=60°，又∠APC=90°，∠BOC=120°，∴∠APB=150°，∴可得∠BQP=30°，∠BPQ=90°，设PB=x，则BQ=2x，PQ=，在RTΔABQ中，AQ2+BQ2=AB2，3x2+4x2=49，x=，∴SΔAPC=SΔAQB=.故答案是：.【点睛】等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．21、试题分析：（1）根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减：可得A、C点的坐标；（2）根据点的坐标，在Rt△ACD中，AD=OA+OD=3，CD=2，借助勾股定理可求得AC的长．试题解析：（1）点A的坐标是（-2，0），点C的坐标是（1，2）．（2）连接AC，在Rt△ACD中，AD=OA+OD=3，CD=2，∴AC2=CD2+AD2=22+32=13，∴AC=．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．坐标与图形变化-平移．22、试题分析:按照旋转的性质并结合网格的特点进行画图.如图所示：23、试题分析：（1）根据平移的性质得出对应点位置，依次连接即可；（2）利用旋转的性质得出对应点位置依次连接即可；试题解析：作图如下：（1）△A1B1C1是所求的三角形；（2）△A2B2C1为所求作的三角形.24、试题分析：（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．试题解析：（1）所求作△A1B1C如图所示：由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；（2）∵AC=，∠ACA1=90°∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+S△ABC= +×3×2= +3．考点：作图-旋转变换；扇形面积的计算．25、试题分析：连接CH，证明Rt△CFH≌Rt△CDH得到∠DCH=30°，再用勾股定理算出即可．试题解析：连接CH，∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，∴∠F=∠D=90°，∴△CFH与△CDH都是直角三角形，在Rt△CFH与Rt△CDH中，，∴△CFH≌△CDH（HL）,∴∠DCH=∠FCH=∠DCF=×（90°-30°）=30°，∴CH=2DH，在Rt△CDH中，CH2=DH2+CD2，CD=3，∴DH=．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等，作出辅助线是关键．26、试题分析：根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠B，根据旋转的性质，可得∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．试题解析：证明：∵OA=OB,∠AOB=50∘，∴∠A=∠B.∵将△AOB绕O点顺时针旋转30∘，得到△COD，∴∠AOC=∠BOD=30∘，OD=OB=OA，∠D=∠B.在△AOF和△DOH中，，∴△AOF≌△DOH(ASA)，∴OF=OH，∵OC=OB，∴FC=BH.在△FCE和△HBE中，，∴△FCE≌△HBE(AAS)，∴EF=EH.点睛：利用旋转的性质得出∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B是解题关键.27、试题分析：根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；试题解析：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.。