1、数列的概念数列是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集{1(精)

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法：1(n n a a d d +-=为常数）

或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 公式法：①通项b an a n

+=；②前n 项和Bn An S n +=2

.

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-.

通项公式1(1)n a a n d =+-是n 的一次函数，以（n,a n ）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上. 公

差d=

1

1

--n a a n 是相应直线的斜率.当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减；当d=0时，{a n }为常数数列. 提醒：n m ≠时n

m a a d n

m --=，可用来快速求公差.

（3）等差数列的前n 和：1()2n n

n a a S +=

，1(1)

2

n n n S na d -=+

. 从函数的角度理解，Sn=na 1+2)1(-n n d 变形为Sn=2d n 2+(a 1-2

d

)n ，当d≠0时是n 的二次函数（缺常数项），它的图象是

过原点的抛物线上的一群孤立点.点（n ，n

Sn ）*

N n ∈）在一条直线上，此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn 的

增减变化及最值等问题。当d=0时，{an}是常数列，S n =na 1,此时，若a 1≠0,则S n 是关于n 的一次式；若a 1=0,则S n =0。

（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=

。

3.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d

；

前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.提醒：可设等差数列的通项公式为b an a n

+=，前n 和公式Bn An S n +=2

.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n

p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、*

{}(,)p nq a p q N

+∈{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、、⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n Sn 、 232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n

a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数

列.

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇

－，

),2(a a *1

n n

N n n S S ∈≥=

+欧

奇；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）

；:(1):奇偶

S S k k

=+。

4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法： 定义法：

1

(n n a q q a +=为常数）

，其中 0,0n q a ≠≠或11

n n n n a a a a +-=(2)n ≥． 公式法：①通项n n

kq a =；②1≠q 时，前n 项和可写成)1(n n q k S -=

（2）等比数列的通项：1

1n n a a q

-=或n m

n m a a q

-=。提醒：m

n

m

n a a q

=

-可用来求公比.

（3）等比数列的前n 和：⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q

a a q

q a q na S n n n

（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两

数才存在等比中项，且有两个5.等比数列的性质： （1）当m n

p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a = .

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n

a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a

b 、成等比数列，则

{}n n a b 、{}n n

a

b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数

列。当1q

=-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. (3) 当1q

≠时，b aq q

a

q q a S n n n +=-+--=

1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

(4) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.