弹性力学解题方法
第9次课第4章弹性力学解题方法问题2
（3）整理上面的方程，把其中 l 的指标取为 k，
σ ij , kk + σ kk , ij − σ ik , jk − σ
=
jk , ik jk Θ , ik
μ
1+ μ
(δ ij Θ , kk + δ kk Θ , ij − δ ik Θ , jk − δ
)
把 l=j 和 l=k 加起来，
σ ij , kj + σ kj , ij − σ ik , jj − σ
+ σ i 2 ,12 + σ 12 ,i 2 − σ i1,21 − σ 21,i1 + σ i 3,13 + σ 13, i 3 − σ i1,31 − σ 31,i1
σ i1,21 + σ 21,i1 − σ i 2,12 − σ 12,i 2
+σ i 2,22 + σ 22,i 2 − σ i 2,22 − σ 22,i 2 +σ i 3,23 + σ 23,i 3 − σ i 2,32 − σ 32,i 2
)
把 上两式相加有，
σ ij , kj + σ kj , ij − σ ik , jk − σ
=
jk , ik jk Θ , ik
μ
1+ μ
(δ ij Θ , kj + δ kj Θ , ij − δ ik Θ , jk − δ
)
对 k =1，2，3 时的三个方程叠加起来， 运用
σ kk = Θ δ kk = 3
满足位移边界条件 _ y =+ h : v = 0
弹性力学应力解法的基本步骤： 以应力分量 σij 作为基本未知量； 用六个应力分量表示协调方程； 关键点：以应力表示的协调方程。 应力解法的基本方程： 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程（用应力表示） 3. 本构方程（用应力表示应变） 4. 面力边界条件
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
弹性力学问题的解法
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z
∂τ yx ∂x
+
∂σ y ∂y
+
∂τ yz ∂z
+ fy = 0
σ ij , j + f i = 0
x = −y tan β
X = γy cos β Y = γy sin β
由应力边界条件公式， 由应力边界条件公式，有
α
l(σ x )s + m(τ xy )s = X m(σ y )s + l(τ xy )s = Y
σ x ⋅ (−cos β ) +τ xy ⋅ (−sin β ) = γy cos β
根据给定物体边界条件都类型， 根据给定物体边界条件都类型， 可将弹性力学边界条件分为三类一.位 Nhomakorabea边界条件
(Displacement Boundary Condition)
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量是 已知的，即： us = u , vs = v 式中 s 、 s —是位移的边界值； u v 是位移的边界值； 是位移的边界值
pi = σ ij n j
（在 Sσ 上）
τ zx ⋅ l + τ zy ⋅ m + σ z ⋅ n = p z
2）位移边界条件
(Displacement Boundary Condition)
u = u*
v = v*
w = w*
v w 注意： u * 、 * 、 * 为弹性体表面已知的位移
高中物理弹性力学题如何解答
高中物理弹性力学题如何解答弹性力学是高中物理中的一个重要知识点，涉及到弹簧、弹性体等物体的力学性质。
在解答弹性力学题目时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，详细说明高中物理弹性力学题如何解答，并给出一些解题的指导。
题目一：一根弹簧的弹性系数为k，将其悬挂在天花板上，并挂上一个质量为m的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动频率。
解答思路：根据弹簧的弹性力学特性，物体在弹簧上的振动属于简谐振动。
简谐振动的振动频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关。
根据公式f=1/2π√(k/m)，我们可以计算出振动频率。
题目二：一根长为L的均质弹性绳，两端固定在墙上，中间悬挂一个质量为m 的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动周期。
解答思路：同样地，根据弹性绳的弹性力学特性，物体在弹性绳上的振动也属于简谐振动。
简谐振动的周期与弹性绳的长度和物体的质量有关。
根据公式T=2π√(m/L)，我们可以计算出振动周期。
通过以上两个例题，我们可以看出解答弹性力学题的关键在于掌握弹性力学的基本公式和原理。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 确定题目中给出的已知量和未知量，理清思路，明确要求。
2. 根据题目中给出的物体和弹性体的性质，选择合适的公式进行计算。
3. 在计算过程中，注意单位的转换和计算的精度，保证结果的准确性。
4. 对于复杂的题目，可以将问题分解为多个简单的小问题，逐步解决，最后综合得出答案。
除了以上的解题技巧，我们还可以通过一些实际例子来加深对弹性力学的理解，并举一反三。
例如，我们可以通过观察弹簧的伸缩现象来理解弹性力学的基本原理，或者通过观察各种弹性体的应用，如弹簧秤、弹簧减震器等，来了解弹性力学在实际生活中的应用。
总之，解答高中物理弹性力学题需要掌握基本的解题技巧和方法，并通过具体的例题加深对弹性力学的理解。
弹性力学解法
(5-9)
例5-1〗
半空间体容重 p g 在水平面上受均布压力q作用， 求半空间体的位移分布和应力分布。
y x o
h
由于空间体的任意铅垂轴z为对称轴， 任意铅垂平面均视为对称面。故
图5-2
z
可假设：
u 0, v 0, w w( z )
(a)
代入拉梅方程(5-8)，前两式自然满足，而第三式为
x 2G
将几何方程
u u v , xy , x y x v v w x , yz , y z y w w u z , zx z x z
x
(5-2)
(5-7)
1.应力边值问题.
给定物体表面的面力
2.位移边值问题. 给定物体表面的位移 3.混和边值问题.
在弹性力学中常用。
在有限元中常用。
部分表面给定面力， 其余表面给定位移
边界元中常用
写出图所示板，上下表面的边界条件
o
x
z
y
o
x 上表面：应力边界条件
z
y
yx s yz s
px 0 pz 0
因此，平衡方程组可写成：
G 2 u f x 0 x ( G ) G 2 v f y 0 y 2 ( G ) G w f z 0 z ( G )
(5-8a)
5.3.2 用位移分量表示的应力边界条件
或:
x l xy m xz n p x
pi ij n j （在 S 上）
(b).位移边条件：
u u , vv , ww
* *
第10次课第4章弹性力学解题方法问题-2
u v w 0
x y z
( G) ,i G2ui 0 (i 1, 2, 3)
2u
2u x2
2u y2
2u z 2
0
2v
2v x2
2v y2
2v z 2
0
y
v
u
o
x
s
2w
2w x2
2w y2
2w z 2
2
0
2 0 在 内
边界条件:
Ti
G ui N
Gu j,i Lj
Li
Tx G(u,xl1 u,yl2 u,zl3 ) G(u,xl1 v,xl2 w,xl3 )
适用于线性弹性体； 边界条件的确定要合理； 只要满足基本方程与边界条件，解是唯一的； 弹性力学试凑法的基础。
4.7 圣维南原理
在弹性体内，距外载荷作用较远处的各 点应力分布，当外载荷的合力与合力矩相同 时，与外载荷的具体作用方式关系很小。
这一原理也称为局部影响原理。
4.7 圣维南原理 更具体的描述：
所以有 x c1 y c2 z c3
式中 c1 c2 c3 由边界条件确定。
o
xNz o
h
M
h
bb
y
l
y
边界条件：x=l 时Tx xl yxm zxn xl x
放松边界条件：x=l 时 Fx xdA 0
A
x c1 y c2 z c3 代入上式
bh
Fx (c1y c2z c3)dydz 0
代入应力表示的协调方程中
(1 )2 x ,xx 0 (1 )2 y ,yy 0 (1 )2 z ,zz 0
(1 )2 xy ,xy 0 (1 )2 yz ,yz 0 (1 )2 zx ,zx 0
弹性力学弹性系数与弹性力的计算
弹性力学弹性系数与弹性力的计算弹性力学是研究固体物体在外力作用下发生形变后能够恢复原状的力学学科。
其中，弹性系数是评价物体材料抵抗形变的特性参数，而弹性力则是在物体发生形变时产生的恢复力。
本文将介绍弹性力学中弹性系数与弹性力的计算方法。
I. 弹性系数的定义与计算弹性系数是衡量材料抵抗形变的能力的物理量，常用的弹性系数包括弹性模量、剪切模量、泊松比等。
以下将介绍常见的弹性系数及其计算方法。
1. 弹性模量（Young's modulus）弹性模量是衡量材料在拉伸或压缩过程中抵抗形变的能力。
通常用符号E表示，计量单位为帕斯卡（Pa）。
弹性模量的计算公式如下：E = (F/A) / (ΔL/L)其中，F为施加在物体上的拉力或压力，A为物体的横截面积，ΔL 为物体形变后的长度变化，L为物体原始长度。
2. 剪切模量（Shear modulus）剪切模量是衡量材料抵抗剪切形变的能力。
通常用符号G表示，计量单位也为帕斯卡（Pa）。
剪切模量的计算公式如下：G = (τ/A) / (Δx/h)其中，τ为施加在物体上的切应力，A为物体的截面积，Δx为物体形变产生的相对位移，h为物体原始长度。
3. 泊松比（Poisson's ratio）泊松比是衡量材料在拉伸或压缩过程中横向收缩或膨胀的程度。
通常用符号ν表示，是一个无单位的物理量。
泊松比的计算公式如下：ν = - (ΔW/W) / (ΔL/L)其中，ΔW为物体在拉伸或压缩过程中横向变形，W为物体的初始宽度，ΔL为物体的纵向变形，L为物体的初始长度。
II. 弹性力的计算在弹性力学中，弹性力指的是物体在发生形变后恢复原状时产生的力。
根据胡克定律，弹性力与物体的形变程度成正比。
以下分别介绍不同形变情况下的弹性力计算方法。
1. 拉伸或压缩情况下的弹性力计算物体在拉伸或压缩过程中，弹性力与形变程度呈线性关系。
根据胡克定律，弹性力（F）等于弹性模量（E）与形变量（ΔL）的乘积。
解析弹性力学问题的解题思路
解析弹性力学问题的解题思路弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力分布规律。
解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。
一、力学模型的建立解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和物理性质都合适的理想模型。
常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。
建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。
二、应力和应变的计算在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。
应力是指单位面积上的力，常用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。
计算应力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。
三、边界条件和力的施加解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。
边界条件是指在模型的边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。
根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。
四、应力分布和形变分析在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到物体内部的应力分布和形变情况。
应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。
通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。
解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。
通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。
在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。
解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。
弹性力学解题方法问题
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
xy
x
y
y
zy
z
fy
0
z
x
yz
y
z
z
fz
0
张量表示： ij,i f j 0
2.几何方程：弹性体要满足的基本方程
x
u x
,
y
v y
,
z
w , z
xy
1 2
( v x
u ) y
yz
1 2
( w y
v ) z
zx
1 2
( u z
w) x
张量表示：
ij
1 2
A
1 2
21 G
q
由条件 wzh 0 得
B
1 2
21 G
qh
1 2
41 G
gh2
w 将常数 A 和 B 代入 的表达式，得
w
1 2
4G1
g
h2 z2
2qh z
u0
求应变
v0
e z
=
2G1-(12-mm) [-zr g
-q]
由广义胡克定律
x 2G xx xy 2G xy
按位移解题例题
例 设有半空间体，单位体积的
质量为 ，在水平边界面上受均 布压力 q 的作用，试用位移法求
各位移分量和应力分量，并假设在
处 z 方向的位移 w 0 z h
解：可以假设
u 0,v 0, w wz
因此体积应变
受均布压力作用的半空间体
xyz
uvwdw x y z dz
对于Leme方程 G2ui ( G) ,i fi 0
弹性力学发展史及实际中的解题方法
弹性力学弹性力学简介elasticity弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展简史人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。
英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。
牛顿于1687年确立了力学三定律。
同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。
在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。
这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。
在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。
到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。
柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。
这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。
同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。
1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。
06-弹性力学解题方法
§4－3 按应力求解弹性力学问题
基本方程
ij
x j
fi
0
ij
1
E
ij
E
ij
ij
1 ui 2 x j
u j xi
相容方程（应变协调方程）：
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
x
xy
z
zx
弹性方程：
r
E
1
1
2
u r
1
E
1
2
u r
z
E
1
1
2
w z
zr
E 2(1
)
u z
w r
r z 0
z 0 r 0
E 2(1
)
1
1
2
r
2u
u r2
fr
0
u u w
E 2(1
)
1
1
2
z
2w
fz
0
r r z
2
2 r 2
1 r
r
2 z 2
u z
w x
Fx
lG
u y
v x
m
2G
v y
nG
v z
w y
Fy
解题思路：
G
1 2
xi
G 2ui
fi
0
（4－3）
n
jG
ui x j
u j xi
6弹塑性力学基本求解方法
6.1 弹性力学的基本方程
回顾： 应力平衡微分方程（3） 几何方程（6） 物理方程（6） 相容方程 边界条件方程
第六章 弹性力学基本求解方法
6.2 弹性力学的基本问题
➢ 已知表面载荷，求应力场 、应变场 和位移 ——力的边值问题；
➢ 已知表面位移，求应力场 、应变场 ——位移边值问题；
1 2
ij
ij
1 2
( rr
)
6G
2 ( r0 r
)6
总应变能：
U
U0
4
r
2
dr
8
G
2r03
0r
（其中 、G、E为弹性常数）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 逆解法(inverse resolution)
思路：1. 假设出满足相容方程的应力函数；
2. 由应力函数求解出各应力分量；
3. 确定这些应力分量在边界上的分布，从而得知这
些假设的应力函数能解决什么问题。
例如：
1. (x, y) a by cx
(一阶)
2 2 2
➢ 已知部分边界载荷及部分边界位移，求应力场 、应变场 和位移 ——混合边值问题。 15个未知量：应力分量6个，应变分量6个，位移分量3个 15个方程：应力平衡微分方程（3），几何方程（6）， 物理方程（6） 理论上可解，实际上并不可解。为什么？
第六章 弹性力学基本求解方法
弹性力学的基本求解方法
➢ 应力函数 (stress function)
应力表示的相容方程（平面问题）
借助平衡微分方程把剪应力去掉，即由物理方程
可得
2 ( x2
2 y 2
)(
x
04弹性力学解题方法
Laplace算子 位移分量表示 的平衡微分方程
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi G G 2 u f x 0 1 2 x G G 2 v f y 0 1 2 y G G 2 w f z 0 1 2 z
几何方程：
物理方程
1 x E x y 1 y x y E 1 xy xy G
E x x y 2 1 E y y x 2 1
xy G xy
解题思路：
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi
ui u j n jG x j x i
ui ui
几何 方程 物理 方程
n j ij Fi （4－4）
u v w
ij
ij
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
q
解：
位移分量：
o
x
Z=h
uv0
1 2 w 4(1 )G
应力分量：
z g( h2 z 2 ) 2q( h z )
x y
1
(q gz )
z (q gz)
z 0 r 0
r
E 1 2(1 ) 1 2 E 1 2(1 ) 1 2
u 2u 2 fr 0 u u w r r r r z 2 w fz 0 2 2 1 z 2 2 2 r r z r
( G ) G 2 ui f i 0 xi
弹性力学部分习题解决方案 (5)
弹性力学部分习题解决方案1. 弹性力学概述弹性力学是研究固体在外力作用下发生形变时，恢复原状的性质和规律的学科。
在弹性力学中，固体的形变和应力之间存在一定的关系，而这种关系可以通过弹性力学方程进行描述。
以下是一些常见的习题解决方案。
2. 问题1问题描述：一根长度为L的弹簧，弹性系数为k，质量为m的物体挂在弹簧下方，使得弹簧产生一定的伸长。
求物体受重力作用下的形变量。
解决方案：我们根据胡克定律得到弹簧的形变量和受力的关系：F = kx其中F为受力，k为弹性系数，x为形变量。
然后根据牛顿第二定律得到物体受重力作用下形变量和重力的关系：F = mg其中m为物体质量，g为重力加速度。
将上述两个方程联立解得形变量x：kx = mgx = (mg) / k所以物体受重力作用下的形变量为(mg) / k。
3. 问题2问题描述：一块长为L，宽为W，高为H的长方体物体，质量为m，被放在一个水平地面上。
求物体的压缩形变量。
解决方案：我们需要计算物体受到的重力：F = mg其中m为物体质量，g为重力加速度。
根据问题描述，物体受到的重力和地面垂直，无法导致压缩形变，所以我们要考虑地面对物体的支持力。
当物体受到地面的支持时，支持力的大小等于物体受到的重力大小，但方向相反。
所以支持力的大小为mg。
接下来，我们使用牛顿第三定律，认为物体同样对地面产生压力，且大小也为mg。
由于受力方向相反，压力将导致物体的压缩形变。
压缩形变量定义为物体的高度减去原始高度，即Hh。
4.通过以上两个问题的解答，我们可以看到弹性力学在研究固体形变和应力之间的关系时，能够使用胡克定律和牛顿定律等基本原理进行求解。
这些原理可以帮助我们理解和解决弹性力学问题，从而推动弹性力学学科的发展。
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弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。
根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。
常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。
通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。
边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。
边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。
一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。
位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。
通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。
解方程的方法包括解析方法和数值方法。
解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。
数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。
其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。
弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。
根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。
平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。
相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。
根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。
相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。
构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。
通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。
综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。
弹性力学的理论模型和计算方法
弹性力学的理论模型和计算方法弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力分布规律的学科。
它在工程学、物理学、材料学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍弹性力学的理论模型和计算方法，帮助读者更好地理解和应用弹性力学的知识。
1. 弹性力学的基本概念弹性力学研究物体在受力时的变形和应力，其中弹性变形指物体在外力作用下的恢复性形变，应力则是物体内部单元之间的相互作用力。
根据物体受力的不同方式，弹性力学可以分为静力学和动力学两个分支。
2. 弹性力学的理论模型在弹性力学中，最常用的理论模型是胡克定律。
胡克定律描述了物体的应力和应变之间的线性关系，即应力与应变成正比。
根据具体情况的不同，可以采用各种模型进行计算，如一维线弹性模型、平面应力和平面应变模型等。
3. 弹性力学的计算方法在实际应用中，针对不同的问题和受力情况，可以选择不同的计算方法来求解弹性力学的问题。
以下介绍几种常用的计算方法：a. 解析解法：从理论上解析得出物体的应力和应变分布规律，适用于简单几何形状和边界条件的情况。
b. 数值解法：通过建立有限元模型，利用数值方法求解弹性力学问题。
常用的数值解法有有限元法、有限差分法和边界元法等。
c. 实验方法：通过真实物体的实验测试来获取其力学性质，并反推计算应力和应变分布。
实验方法通常用于验证理论模型的正确性和精确度。
4. 弹性力学的应用领域弹性力学广泛应用于工程学和物理学等领域中。
在工程学中，弹性力学常用于结构设计和材料力学的分析，例如建筑物的承载能力计算和风力荷载分析等。
在物理学中，弹性力学被用于研究固体和流体的弹性性质，探究其力学行为和性能。
5. 弹性力学的发展趋势随着科技的不断发展和应用的深入，弹性力学的研究也在不断前进。
当前，弹性力学中的非线性、动态和复杂问题成为研究的热点。
同时，计算机技术和仿真方法的发展，为弹性力学的理论模型和计算方法提供了更多的工具和手段。
总结：弹性力学的理论模型和计算方法是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的重要内容。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。
本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。
弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。
⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。
根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。
弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。
应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。
三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。
主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。
本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。
弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。
5-第三章-弹性力学平面问题的解析解法
x4 2 x2y2 y4 0
为四阶偏微分方程
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容
方程，不论其系数如何。
应力函数表示的相容方程
4 2 4 4 0 为四阶偏微分方程
x4 x2y2 y4
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容 方程，不论其系数如何。
1. 一次式
a bx cy
(l
x)2
与材料力学中结果相同
说明：（1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程
x
1 E
( x
y)
y
1 E
( y
x)
xy
xy
G
（b）再将应变分量代入几何方程
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
（c）再利用位移边界条件，确定常数。
（2） 若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。
（3） 若取固定端边界条件为：
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1）逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出 x , y , xy（具有待定系数）；
（3）再利用应力边界条件式，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
2 y 2
2 x 2
( x
y
)
(1
)
X x
Y y
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
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G
x
2 ui j x
j
2u j xix j
ij
x j
fi
0
G
x
2 ui j x
j
2u j xix j
xi
fi
0
ai ij a j
ij
x j
xi
(
G) xi
G
2ui x jx j
fi
0
(
G)
xi
G 2ui
fi
0
( G)
xi
G 2ui
fi
0
E
ui
(1 )(1 2 )
物理
几何
方程
方程
求出应力
求出应变
分量
分量
以应力分量为基 本未知量
消去位移和应 变分量
求出应力 分量
几何
物理
方程
方程
求出位移
求出应变
分量
分量
四、弹性力学问题的基本类型
1. 力的边值问题
在物体的全部表面上给定面力的问题。 力法
2. 位移的边值问题
在物体的全部表面上给定位移的问题。 位移法
3. 混合边值问题
在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分表面上
给定位移的问题。
力法或位移法
§4－2 按位移求解弹性力学问题
Basic equation
ij
x j
fi
0
ij
1 ui 2 x j
u j xi
ij 2G ij ij
ij
G
ui x j
u j xi
ij
ui uj
xi x j
（4－1）
G
yz
zx G zx
E
(1 )(1 2 )
ij 2G ij ij
➢ Stress boundary condition
l x m yx n zx Fx l xy m y n zy Fy l xz m yz n z Fz
ij nj Fi
➢ Displacement boundary condition
2(1 E
) xy
yz
yz
G
2(1 E
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
)
zx
ij
1
E
ij
E
ij
➢ Constitutive equation （Generalized Hooke's law ）
➢ Deviation form
1 ex 2G sx
1 e y 2G s y
1 ez 2G sz
l x m yx Fx
l xy m y Fy
l cos m sin
➢ Displacement boundary condition
uu vv
பைடு நூலகம்
三、弹性力学问题的解法
1. 位移法 Displacement method
以位移分量为基 本未知量
用位移表示应 力和应变
求出位移 分量
2. 力法 Force method
xi
（4－2） Lame‘ equation
2
2 x jx j
2 x 2
2 y2
2 z 2
G G (1 2 )
Laplace operator
G
1 2
xi
G 2ui
fi
0
（4－3）
用位移分量表示 的平衡微分方程
G
1 2
x
G 2u
fx
0
G
1 2
y
G 2v
fy
0
Elastic equation
第四章 弹性力学解题方法
弹性力学问题的基本方程 按位移求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题 平面问题和应力函数 逆解法和半逆解法 边界上的应力函数及导数 平面问题的极坐标解法
§4－1 弹性力学问题的基本方程 一、Basic equations of the space problem
➢ Differential equation of equilibrium
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
xy
x
y
y
zy
z
fy
0
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
ij
x j
fi
0
§4－1 弹性力学问题的基本方程 一、Basic equations of the space problem
➢ Geometrical equation
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
Stress-displacement relationship
G
1 2
z
G 2w
fz
0
➢ boundary condition
Stress ijnj Fi
Displacement ui ui
ij
G
ui x j
u j xi
ij
n
jG
ui x j
u j xi
n
j
ij
Fi
（4－4）
uu vv ww
ui ui
二、 Basic equations of Plane stress problem
➢ Differential equation of equilibrium
z xz yz 0
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
➢ Geometrical equation
e xy
1 2G
xy
e yz
1 2G
yz
ezx
1 2G
zx
eij
1 2G
sij
➢ Constitutive equation （Generalized Hooke's law ）
stress-strain relationship
x 2G x
y 2G y
z
2G z
xy
G
xy
yz
yz
w y
v z
zx
u z
w x
ij
1 ui 2 x j
u j xi
➢ Constitutive equation （Generalized Hooke's law ）
Physical equation
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
➢ Constitutive equation
ε
x
ε
y
1 E σx μσy
1 E σ y μσx
γ xy
1 G
τ xy
x
E
1 2
x y
y
E
1 2
y x
xy G xy
➢ Stress boundary condition
（4－4）
几何 物理 方程 方程
u
v
ij
ij
w
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
缺点： 解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。
空间轴对称问题： u u(r ), v 0, w w(r, z) r z 0
Equation of equilibrium
lG
u x
u x
l
mG
u y
v x
nG
u z
w x
Fx
l
2G
u x
mG
u y
v x
nG
u z
w x
Fx
lG
u y
v x
m
2G
v y
nG
v z
w y
Fy
Train of thought
G
1 2
xi
G 2ui
fi
0
（4－3）
n
jG
ui x j
u j xi
n j ij
Fi
ui ui