轨道角动量及其表示
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的表示式中，则得
(10)
(11)
9
§3.1 轨道角动量及其表示
(12)
从而，我们看到在(10)中 和 的耦合得到了分离.
首先，由(11)容易得解的 部分为：
其次，方程(12)等价于缔合Legendre 方程，我们将
用
表示其解, 所以
(13)
所谓的Legendre 方程是指：
10
§3.1 轨道角动量及其表示
(14)
方程(14)的解为Legendre 多项式Pn(x). 缔合Legrendre方程：
(15)
方程(15)的解是缔合Legendre 多项式 Pnm (x)
11
§3.1 轨道角动量及其表示
实际上，在角动量共同本征方程含 部分即(12)
中, 若令
x = cos
我们பைடு நூலகம்可将其化为相应的缔合Legrendre方程. 如前所述，到目前为止，我们还未对 的取
15
(4)
3
§3.1 轨道角动量及其表示
由
4
§3.1 轨道角动量及其表示
因为 所以
总是厄米的；又
只当它是零时
部分才是厄米的。
由于角动量算符各个因子相互对易，故知其为 厄米的。
5
§3.1 轨道角动量及其表示
另外，直接计算可知角动量分量的对易关系
(5)
或简略地记为
或
(5a)
角动量的平方是
(6)
它与角动量的所有分量都对易，即
按照有关Legendre方程的标准理论，如果要求 解在奇点非奇异(nonsingular)，则参数
在这些假设下所生成的解就是众所周知 的球谐函数(spherical harmonics):
13
§3.1 轨道角动量及其表示
(16)
这里， 即为缔合Legendre 多项式。 球谐函数组成一正交基：
(17)
值做任何假设； 若单纯从 和 的微分方程(11) 和(12)来考察，则对于参数 和的任何取值，
这两个方程都有解。
12
§3.1 轨道角动量及其表示
因此，对于本征值的限制就只能来自于边界条 件了： 若我们要求解对于旋转单值—就是说假设
Y()=Y()—则m就必须是一个整数了； 另外, 注意到方程(12)存在两个奇点和，
14
§3.1 轨道角动量及其表示
值得指出的是，单值性、非奇异性的假设在经 典场论(比如电磁场)中可直接验证，因为场是
可观察量；但在量子理论中，态函数 没有这
样的直接物理意义，因此这样的经典边界条件 不能像经典场论中般验证.
单值性要求– A在旋转2 时应不变； 非奇异性要求– ||2因该可积.
§3.1 轨道角动量及其表示
在角动量的经典定义
(1)
中代入算符 和 ，则得到角动量算符
(2)
1
§3.1 轨道角动量及其表示
即
(3)
2
§3.1 轨道角动量及其表示
首先考虑到各个积的因子都是对易的厄米 算符 ， 也是厄米的. 这可用如下方法证明：为了考察厄米算符 的积 在什么条件下也是厄米的，我们 将其写成
(7)
6
球坐标中的角动量算符
由变换 及下列式子 故而，譬如
7
§3.1 轨道角动量及其表示
得到
(8)
以及
(9)
其中， 表示Laplace算符仅对角变量作用部分8 。
的共同本征函数
考虑到 相互对易，我们可以得到它们的共 同本征矢
这里关于 首先，由 进而
将其代入
的值尚未作出任何假设. 的算符表示，易知有
(10)
(11)
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§3.1 轨道角动量及其表示
(12)
从而，我们看到在(10)中 和 的耦合得到了分离.
首先，由(11)容易得解的 部分为：
其次，方程(12)等价于缔合Legendre 方程，我们将
用
表示其解, 所以
(13)
所谓的Legendre 方程是指：
10
§3.1 轨道角动量及其表示
(14)
方程(14)的解为Legendre 多项式Pn(x). 缔合Legrendre方程：
(15)
方程(15)的解是缔合Legendre 多项式 Pnm (x)
11
§3.1 轨道角动量及其表示
实际上，在角动量共同本征方程含 部分即(12)
中, 若令
x = cos
我们பைடு நூலகம்可将其化为相应的缔合Legrendre方程. 如前所述，到目前为止，我们还未对 的取
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§3.1 轨道角动量及其表示
由
4
§3.1 轨道角动量及其表示
因为 所以
总是厄米的；又
只当它是零时
部分才是厄米的。
由于角动量算符各个因子相互对易，故知其为 厄米的。
5
§3.1 轨道角动量及其表示
另外，直接计算可知角动量分量的对易关系
(5)
或简略地记为
或
(5a)
角动量的平方是
(6)
它与角动量的所有分量都对易，即
按照有关Legendre方程的标准理论，如果要求 解在奇点非奇异(nonsingular)，则参数
在这些假设下所生成的解就是众所周知 的球谐函数(spherical harmonics):
13
§3.1 轨道角动量及其表示
(16)
这里， 即为缔合Legendre 多项式。 球谐函数组成一正交基：
(17)
值做任何假设； 若单纯从 和 的微分方程(11) 和(12)来考察，则对于参数 和的任何取值，
这两个方程都有解。
12
§3.1 轨道角动量及其表示
因此，对于本征值的限制就只能来自于边界条 件了： 若我们要求解对于旋转单值—就是说假设
Y()=Y()—则m就必须是一个整数了； 另外, 注意到方程(12)存在两个奇点和，
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§3.1 轨道角动量及其表示
值得指出的是，单值性、非奇异性的假设在经 典场论(比如电磁场)中可直接验证，因为场是
可观察量；但在量子理论中，态函数 没有这
样的直接物理意义，因此这样的经典边界条件 不能像经典场论中般验证.
单值性要求– A在旋转2 时应不变； 非奇异性要求– ||2因该可积.
§3.1 轨道角动量及其表示
在角动量的经典定义
(1)
中代入算符 和 ，则得到角动量算符
(2)
1
§3.1 轨道角动量及其表示
即
(3)
2
§3.1 轨道角动量及其表示
首先考虑到各个积的因子都是对易的厄米 算符 ， 也是厄米的. 这可用如下方法证明：为了考察厄米算符 的积 在什么条件下也是厄米的，我们 将其写成
(7)
6
球坐标中的角动量算符
由变换 及下列式子 故而，譬如
7
§3.1 轨道角动量及其表示
得到
(8)
以及
(9)
其中， 表示Laplace算符仅对角变量作用部分8 。
的共同本征函数
考虑到 相互对易，我们可以得到它们的共 同本征矢
这里关于 首先，由 进而
将其代入
的值尚未作出任何假设. 的算符表示，易知有