数学文化复习题答案

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数学史概论复习题及参考答案[1]

6、20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。
7、从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者，将数学简单地定义为关于 “模式” 的科学：“【数学】这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性” 。
第四章印度与阿拉伯的数学
一、印度数学的发展可划分为3个重要时期，这3 个重要时期是指什么时期？二、用圆圈符号“O”表示零，可以说是印度数学的一大发明，印度人起初用什么表示零，直到最后发展为圈号。三、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的数学内容? 四、“阿拉伯数学“是否单指阿拉伯国家的数学？五、第一次给出一元二次方程的一般代数解法是来至何人著的著作?
五、古希腊三大著名几何问题是什么？P40
(Z) 答：（1）化圆为方，即作一个给定的圆面积相等的正方形。
（2）倍方立体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
（3）三等分角，即分任意角为三等分。
六、亚里士多德《物理学》中记载芝诺提出的四个著名的悖论是什么？P43
答：芝诺四个著名悖论： 1、两分法 2、阿基里斯 3、飞箭 4、运动场
二、用圆圈符号“O”表示零，可以说是印度数学的一大发明，印度人起初用什么表示零，直到最后发展为圈号。
7．玛雅数字（？）：二十进制数系
二、 “河谷文明”指的是什么？P16
答：历史学家往往把兴起于埃及。美索不大米亚、中国和印度等地域的古代文明称为 “河谷文明”。
三、关于古埃及数学的知识主要依据哪两部纸草书？P17,纸草书中问题绝大部分都是实用性质，但有个别例外，请举例。P23

中考数学复习与中国数学文化有关的经典数学问题汇总教师必备

• 4．清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
• 译文为：假如有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？请你解答．
第一单元数与式
数学文化(一)
第1部分第一单元数与式
正负数
《九章算术》中正负术曰：同名相除，异名相益，
正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正
无入正之，负无入负之．这里所说的“同名”、“异
名”分别相当于所说的同号、异号，“相益”、“相
除”是指二数相加、相减．
1．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一
A．(－6,24) B．(－6,25) C．(－5,24) D．(－5,25)
图4
第二单元方程(组)与不等式(组)
数学文化(二)
• 在我国古代的数学史上，很早就建立了“方程”的概念．早在汉朝时期，郑玄的“解九数”中就有方程．然而，古代方程与现代方程的含义有很大的区别．现代意义上的列方程和解方程大约出现在13世纪，即根据题意“立天
图1
第1部分第一单元数与式
3．我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图2表示的是计算3＋(－4)的过程．按照这种方法，图3表示的过程应是在计算
图2
第1部分第一单元数与式
A．(－5)＋(－2) C．5＋(－2)
图3 B．(－5)＋2 D．5＋2
章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈50记作

高考数学二轮复习练习-专题七数学文化练典型习题提数学素养

一、选择题1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人解析：选 B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912＝300×8 10022 500＝108.故选B. 2．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B.法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B.法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B.3．(2019·山东淄博模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎨⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15. 因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.5．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A.先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A.6．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.7．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则a2 017·a2 019－a22 018等于()A．1 B．－1C．2 017 D．－2 017解析：选A.因为a1a3－a22＝1×2－1＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝1，a4a6－a25＝3×8－52＝－1，…，由此可知a n a n＋2－a2n＋1＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a22 018＝(－1)2 017＋1＝1，故选A.8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A.10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B. 11．(多选)(2019·济南模拟)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝2n －1C ．a 4＝27D ．a n －a n －1＝2·3n －2(n ≥2) 解析：选ACD.黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.12．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路解析：选ABD.设此人第n 天走a n 里路，前n 天共走S n 里路．由题意可知，{a n }是首项为a 1，公比q ＝12的等比数列，由等比数列前n 项和公式得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192. 在A 中，a 2＝192×12＝96，故A 正确；在B 中，378－192＝186，192－186＝6，故B 正确；在C 中，a 3＝192×14＝48，48378>18，故C 错误；在D 中，a 4＋a 5＋a 6＝192×⎝⎛⎭⎫18＋116＋132＝42，故D 正确．13．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，下列命题正确的是( )A ．对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个B ．函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”C ．正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”D ．函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故A 正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故B 错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C 正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D 错误．二、填空题14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R ，(2R )2＝62＋22＋12，解得R 2＝414，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR 2＝41π.答案：41π15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF 2，PF 1分别是Rt △F 1PF 2的“勾”“股”，则点P 的横坐标为________．解析：由题意知半焦距c ＝3，又PF 1⊥PF 2，故点P 在圆x 2＋y 2＝3上，设P (x ，y )，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得P ⎝⎛⎭⎫263，33. 故点P 的横坐标为263. 答案：26316．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0．618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝________．解析：由题设n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝2·（2sin 18°cos 18°）cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2. 答案：217．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.答案：262－1。

高考数学二轮复习专题十第十九讲数学文化与核心素养习题文

第十九讲数学文化与核心素养1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V≈136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551132.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=√14[c2c2-(c2+c2-c22)2].若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )A.√3B.2C.3D.√63.3世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的n为(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018贵州贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n 的值为( ) A.20 B.25 C.30D.355.(2018重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π206.(2018云南昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )A.9B.16C.23D.307.(2018吉林长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为( )A.4B.5C.6D.128.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n 层,上底由a×b 个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),其中a 是上底长,b 是上底宽,c 是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )A.83B.84C.85D.869.(2018福建福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》.图中的Mod(N,m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n,例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A.23B.38C.44D.5810.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,他在5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos∠AOB=()A.125B.325C.15D.72512.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√c2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为( )A.①③B.①③④C.②③D.①④13.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是.14.(2018四川成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4,6,1,则输出的k的值为.15.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 .答案精解精析1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=13πr 2h≈7264l 2h=7264(2πr)2h,化简得π≈227.故选A. 2.A 根据正弦定理及a 2sinC=4sinA,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4,则S=√14[c 2c 2-(c 2+c 2-c 22)2]=√16-44=√3,故选A.3.B 按照程序框图执行,n=6,S=3sin60°=3√32,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=12,S=6sin30°=3,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=24,S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,跳出循环,输出n 的值为24,故选B. 4.B 解法一:执行程序框图,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+793≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.解法二:由题意,得{c +c =100,3c +c 3=100,且m,n 都是整数,解得n=25,m=75,故选B.5.D 如图,直角三角形的斜边长为√82+152=17,设其内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3,∴内切圆的面积为πr 2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-9π12×8×15=1-3π20.6.C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·[93]≠2;k=2,a=16,16-3·[163]=1≠2;k=3,a=23,23-3·[233]=2,23-5·[235]=3,满足条件,退出循环,则输出a=23.故选C.7.B 如图所示,由三视图可还原得到几何体ABCDEF,过E,F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN,可将原几何体切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱锥E-ADHG 和四棱锥F-MBCN,易知直三棱柱的体积为12×3×1×2=3,两个四棱锥的体积相同,都为13×1×3×1=1,则原几何体的体积为3+1+1=5.故选B.8.C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),得s=85,故选C. 9.A Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i =21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,结束循环.故输出的i=23.故选A.10.D 设截面与下底面的距离为h,则①中截面内的圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R 2-h 2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R -h)2;③中截面圆的半径为R-c2,则截面圆的面积为π(c -c 2)2;④中截面圆的半径为√c 2-c 2,则截面圆的面积为π(R 2-h 2).所以①④中截面的面积相等,满足祖暅原理,故选D.11.D 如图,AB=6,设CD=x(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5.由余弦定理得cos∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.12.A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x 2+√c 2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sinx 图象的对称中心上,则正弦函数y=sinx 是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.13.答案π8解析设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8. 14.答案 4解析 x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因为4>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因为4>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因为2>2不成立,2=2成立,所以输出的k=4. 15.答案20√5π3解析如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√cc 2+A c 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.。

【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ）（B ）1i -1i -+（C ）（D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4）已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ）（B ）1 C ）（D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。

高考数学复习热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题(解析版)

热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。

2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。

②以数学猜想和定理为命题背景。

③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。

④以数学的应用为命题背景。

⑤历史名人。

⑥历史发展。

3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。

这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。

4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。

但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。

我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。

为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。

比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。

像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。

除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。

【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。

2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。

2019年高考数学二轮复习专项三特色讲练数学传统文化

年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅲ三视图·T 3数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易.2017卷Ⅰ中国古代太极图与几何概型·T 2 卷Ⅱ数列求和·T 3 2016卷Ⅱ秦九韶算法·T 8立体几何中的数学文化题立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．[典型例题](1)(2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．(2)(2018·黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点为(5，0)．直线y ＝0与y ＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为________．【解析】 (1)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A -BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.(2)由题意可得双曲线的方程为x 2－y 24＝1，直线y ＝3在第一象限内与渐近线的交点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，3，与双曲线在第一象限内的交点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫132，3，在所得几何体中，在高为h 处作一截面，则截面面积为π⎝⎛⎭⎫1＋h 24－h24＝π，根据祖暅原理，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3π.【答案】 (1)12π (2)3π(1)本例(1)以“鳖臑”为背景，考查由三视图还原几何体，并求几何体的表面积．此类问题源于生活中的盖房问题．这将引领师生关注生产、生活中的社会问题，体现数学文化“以数化人”的功能．对于其他几何体，如“刍童”“羡除”等，需要给予关注．(2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人教A 版《必修2》教材第30页专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，既考查了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华优秀传统文化．[对点训练]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A.数列中的数学文化题数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[典型例题](1)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟 B.107斗粟 C.157斗粟 D.207斗粟 (2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86【解析】 (1)法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C. (2)由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C.【答案】 (1)C (2)C解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[对点训练]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A.76钱B.56钱C.23钱 D.1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.算法中的数学文化题算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图．[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)( )A ．12B ．24C ．36D ．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a ＝110011，k ＝2，n ＝7，则输出的b ＝( )A ．19B ．31C．51 D．63【解析】(1)按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B.(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C.【答案】(1)B(2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6C．7 D．30解析：选C.a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a ＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a＝12，b＝3，a＝12－3＝9，n＝4＋1＝5；a＝b不成立，a>b成立，a＝9－3＝6，n＝5＋1＝6；a＝b不成立，a>b成立，a＝6－3＝3，n＝6＋1＝7；a＝b成立，输出的kb＝6，n＝7.概率中的数学文化题概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景，考查古典概型和几何概型．[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A.13B.14C.15D.16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.136B.118C.112D.19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝39＝13.故选A.(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B.【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．[对点训练]《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A.π15 B.2π5 C.2π15D.4π15解析：选C.因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C.三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．[典型例题](2018·益阳、湘潭调研)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A.32 B.34 C.52D.54【解析】由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2＋1）2（2－1）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22＋3－22－522＝34，故选B. 【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练]第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________．解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5，1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0<θ<π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7.答案：－7函数中的数学文化题函数中的数学文化题一般以中华优秀传统文化为背景，考查函数的图象与性质．[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个； ②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形．其中正确的命题为( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故④错误．故选A.【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A.如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD . 因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A.一、选择题1．(2018·合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.2．(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为( )A ．15B ．16C ．47D ．48解析：选D.执行程序框图，n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2≥0，v ＝1×3＋2＝5，i ＝1≥0，v ＝5×3＋1＝16，i ＝0≥0，v ＝16×3＋0＝48，i ＝－1<0，退出循环，输出v 的值为48.故选D.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334πB.332πC.12πD.14π解析：选B.如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12×6π×12＝332π.4．(2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音频率为a 8＝f (122)8－1＝1227f ，故选D.5．(2018·潍坊模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：选C.由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．6．(2018·惠州第二次调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.7．(2018·兰州模拟)刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.3π2C ．3πD ．4π解析：选B.由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2，故选B.8．(2018·唐山五校联考)割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这是公元三世纪我国古代数学家刘徽大胆地应用以直代曲、无限趋近求圆周率的思想方法．现利用刘徽的“割圆术”思想设计一个计算圆周率的近似值的程序框图(如图)．若输入的a ＝3，n ＝10，则输出的n ＝( )A ．20B ．40C ．80D ．160参考数据：α 36° 18° 9° 4.5° sin α0.587 80.309 00.156 40.078 5解析：选B.当a ＝3，n ＝10时，b ＝3，a ＝12×10sin 360°10＝2.939，此时|a －b |＝0.061>0.05，不满足条件，则n ＝20，b ＝2.939，a ＝12×20×sin 360°20＝3.090，此时|a －b |＝0.151>0.05，不满足条件，则n ＝40，b ＝3.090，a ＝12×40×sin 360°40＝3.128，此时|a －b |＝0.038<0.05，满足条件，故输出的n ＝40.故选B. 9．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.若a 2sin C ＝4sinA ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 C ．3D. 6解析：选A.根据正弦定理，由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.再结合(a ＋c )2＝12＋b 2，得a 2＋c 2－b 2＝4，则S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222＝16－44＝3，故选A. 10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392B.752C ．39D.6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B.11．(2018·昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现在一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )A.16π3 B ．6π C ．8πD ．16π解析：选C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝12×4×4×π＝8π，故旋转体D 的体积为8π，故选C.12．(2018·郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )A ．24B ．32 5C ．64D ．32 6解析：选B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S 四边形ABED ＝S 四边形ACFD ，S △ABC ＝S △DEF .过点A 向平面BCFE 作垂线，垂足为A ′，作AM ⊥CF 于点M ，作AN ⊥BC 于点N ，连接A ′N ，易知AA ′＝4，A ′N ＝CM ＝8－42＝2，CN ＝12BC ＝2.在Rt △AA ′N 中，AN ＝AA ′2＋A ′N 2＝42＋22＝25，在Rt △ANC 中，AC＝CN 2＋AN 2＝22＋（25）2＝26，在Rt △AMC 中，AM ＝AC 2－CM 2＝（26）2－22＝2 5.所以S四边形ACFD ＝12×(4＋8)×25＝125，S △ABC＝12×BC ×AN ＝12×4×25＝4 5.所以该茅草屋顶的面积为2×125＋2×45＝325，故选B.二、填空题13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．答案：314．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝________．解析：第一次循环，得S ＝2，否；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝92，否；第三次循环，得n＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝354，否；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝1358＞10，是，输出的n ＝4.答案：415．(2018·广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1＝1，S 2＝2，S 3＝2，S 4＝4，…，则S 126＝________．解析：题图②中的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第2n－1行，有2n－1个1.第1行，1个1，第2行，2个1，第3行，2个1，第4行，4个1；第1行1的个数是第2行1的个数的12，第2行与第3行1的个数相同，第3行1的个数是第4行1的个数的12；第5行，2个1，第6行，4个1，第7行，4个1，第8行，8个1；第5行1的个数是第6行1的个数的12，第6行与第7行1的个数相同，第7行1的个数是第8行1的个数的12.根据以上规律，当n ＝8时，第28－1行有128个1，即S 128＝128，第127行有64个1，即S 127＝64，第126行有64个1，即S 126＝64. 答案：6416．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.答案：2π2＋16π。

2020年中考复习——代数类传统文化题专题训练(二)(有答案)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 中考复习——代数类传统文化题专题训练（二）
班级：___________姓名：___________ 得分：___________
一、选择题
1. 我国古代数学巨著《孙子算经》中的“鸡兔同笼” 题为：“今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何”.正确答案是( )
− = 4.5
− = 4.5
− = 4.5
− = 4.5
A.
−
1 2
=1
B.
−
1 2
=1
C.
1 2
−
=1
D.
1 2
−
=1
2 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
10. 据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，
人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山 AB 位于树的西面．山高 AB 为未知数，山与树相距 53 里，树高 9 丈 5 尺人站在离树 3 里的地方，观察到树梢 C 恰好与山峰 A 处在同一斜线上，人眼离地 7 尺，则山 AB 的高为(保留到整数，1 丈= 10 尺)( )
22. 我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“以碗知僧”问题，题目大意是：
山上有一古寺叫都来寺．在这座寺庙里，3 个和尚合吃一碗饭，4 个和尚合分一碗汤，一共享了 364 只碗．问都来寺里有多少个和尚？请解答上述问题．
23. 《九章算术》中有这样一道题：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，
A.
2+
=
1
−
1 2
+2

高考数学二轮复习第二部分专题二数学传统文化的创新应用问题习题-人教版高三全册数学试题

专题二数学传统文化的创新应用问题一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《X 丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)．答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 82803，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 11－271－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B6．(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B. 答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今某某省某某市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝5k －15k －1＋12＝5k5k －12，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k5k －1212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π传统文化训练二一、选择题1．(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.答案：A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否；当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C. 答案：C3．(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( ) A ．28 B ．32 C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱．答案：B4．(2017·某某模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝x32＋3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66x －322＋34，故选A.答案：A5．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D. 答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516， b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n 97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( )A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1C.1n ＋2＋1nn ＋2 D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.故选A. 答案：A 二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P 的值为________．解析：由题意，第1次循环：a ＝0，b ＝1，i ＝3，S ＝0＋1＝1，求出第3项c ＝1，求出前3项和 S ＝0＋1＋1＝2，a ＝1，b ＝1，满足条件，i ＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c ＝1＋1＝2，求出前4项和S ＝0＋1＋1＋2＝4，a ＝1，b ＝2，满足条件，i ＝5，执行循环体，…… 第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i ＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S 的值，故判断框内应为“i ≤9？”，所以P 的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00011．(2017·某某模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：通解：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5 280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.优解：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5512．(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________个．解析：根据题意可知，a ＝2，b ＝1，n ＝15，则c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为15×20＋34×15＋146＝1 360. 答案：1 360。

高考中的数学文化(解析版)

高考中的数学文化一、单选题1．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V 、E 和F 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：2V E F -+=.已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有（）条棱A ．30B ．14C ．20D ．26【答案】A 【分析】由已知条件得出20V =，12F =，代入欧拉公式2V E F -+=可求得E 的值，即为所求.【详解】由已知条件得出20V =，12F =，由欧拉公式2V E F -+=可得22012230E V F =+-=+-=.故选：A.2．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u ，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（）A ．1340B ．720C ．14D ．310【答案】A 【分析】由题可求出所有情况共40种，再求出满足条件的情况即可求出概率.【详解】依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有215440C C =种，其中满足条件的为()7,8,9，()7,6,9，()7,4,9，()7,2,9，()5,8,9，()5,6,9，()5,4,9，()3,8,9，()3,6,9，()1,8,9，()7,8,5，()7,6,5,，()7,8,3，共13种，故所求概率1340P =.故选：A ．3．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（）A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项【答案】D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A ．12cos αB ．12sin αC ．sin 3πsin8αD ．cos 3πcos8α【答案】A 【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=，所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 2cos RR αα=.故选：A 【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.5．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）A ．12尺布B ．518尺布C ．1631尺布D ．1629尺布【答案】D 【分析】设该女子第()Nn n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值.【详解】设该女子第()Nn n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.6．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤【答案】C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==.故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.7．古希腊时期，人们把宽与长之比为512-的矩形称为黄金矩形，把这个比值512称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均近似为黄金矩形.若A 与D 间的距离大于18.7m ，C 与F 间的距离小于12m ．则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（）（参考数据：510.6182-≈，70.6180.38≈，30.6180.236≈）A ．29mB ．29.8mC ．30.8mD ．32.8m【答案】C 【分析】由矩形ABCD 和EBCF 是黄金矩形，由边长的比求出AB 范围即可得．【详解】由黄金矩形的定义可知0.618AD AB ≈，20.6180.38BC CF CFAB BC AB⋅=≈≈，所以18.730.260.6180.618AD AB m ≈>≈，1231.580.380.38CF AB m ≈<≈，即()30.26,31.58AB ∈，对照各选项，只有C 符合．故选：C ．【点睛】本题考查数学文化，考查学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．属于基础题．8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126= （）A ．1254-B．38+C ．154+D ．458+【答案】C 【分析】计算出51cos 724-= ，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36= 的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36o 的等腰三角形，所以，72ACB ∠= ，则1512cos 72cos 4BCACB AC-=∠==，()sin126sin 9036cos36=+= ，而2cos722cos 361=-，所以，51cos364+====.故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周四尺.高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为4尺.米堆的高为3尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A ．7斛B ．3斛C ．9斛D ．12斛【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则42r π=，解得8r π=，故米堆的体积为2118163433ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴161.6233÷≈，故选：B ．【点睛】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A ．2B ．242+C ．42+D ．442+【答案】D 【分析】利用三视图还原原几何体，结合三视图中的数据可计算出该“堑堵”的侧面积.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：2的等腰直角三角形，且直三棱柱的高为2，因此，该“堑堵”的侧面积为()22224+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的侧面积，一般要求还原原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.11．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元2041年，即输入2041N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出58x =，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元1208年，则该年所对应的干支为（）六十干支表（部分）56789戊辰己巳庚午辛未壬申5657585960己未庚申辛酉壬戌癸亥A ．戊辰B ．辛未C ．已巳D ．庚申【答案】A 【分析】输出1208N =，计算输出结果，查表可得结果.【详解】输入1208N =，1i =，第一次循环，120836011145x =--⨯=，2i =，60x ≤不成立；第二次循环，120836021085x =--⨯=，3i =，60x ≤不成立；第三次循环，120836031025x =--⨯=，4i =，60x ≤不成立；由上可知，每执行一次循环后，x 的值对应地在上一次循环后x 的值中减去60，则输出的x 的值为1205除60后的余数，120620605=⨯+ ，则输出的x 的值为5，因此，公元1208年对应的干支为戊辰.故选：A.【点睛】本题考查数学文化中的“干支纪年法”，考查程序框图的应用，考查计算能力，属于中等题.12．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形ABCDEFGH ）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设1OA =.则下述四个结论：①以直线OH 为终边的角的集合可以表示为32,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；②以点O 为圆心、OA 为半径的圆的弦AB 所对的弧长为4π；③22OA OD ⋅= ；④(BF = 中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义可判断命题①的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题②的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题③的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题④的正误.【详解】对于命题①，以直线OH 为终边的角的集合可以表示为3,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，命题①错误；对于命题②，4AOB π∠=，以点O 为圆心、OA 为半径的圆的弦AB 所对的弧长为4π，命题②正确；对于命题③，由平面向量数量积的定义可得3cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=- ，命题③错误；对于命题④，易知点22,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22F ⎛-- ⎝⎭，所以，(BF = ，命题④正确.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.【答案】29714【分析】作出图形，设球体的半径为R ，根据几何关系可得出关于R 的等式，进而可解得R 的值.【详解】如下图所示：在正四棱锥P ABCD -中，设M 为底面正方形ABCD 的对角线的交点，则PM ⊥底面ABCD ，由题意可得21PM =，30AB =，2302BD ==，则152BM =设该球的半径为R ，设球心为O ，则O PM ∈，由勾股定理可得222OB OM BM =+，即()(22221152R R =-+，解得29714R =.故答案为：29714.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.14．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.【答案】1532【分析】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，求得116S π=，2S π=，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，即可求解.【详解】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，则21416S ππ=⨯=，221S ππ=⨯=，可得黑色区域的面积为()1211522S S π⨯-=，所以落在黑色区域的概率为()121115232S S P S -==.故答案为：1532.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N =求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，53.14,sin 22.513π≈≈ ，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）【答案】317【分析】根据弓形的锯口深1寸，锯道长1尺，求出圆的半径，从而求出弓形（阴影部分）面积后，由柱体体积公式得木材体积【详解】如图，设圆半径为r 寸（下面长度单位都是寸），连接,OA OD ，已知152AD AB ==，1OD OC CD r =-=-，在Rt ADO 中，222AD OD OA +=，即2225(1)r r +-=，解得13r =，由5sin 13AD AOD AO ∠==得22.5AOD ∠=︒，所以45AOB ∠=︒，图中阴影部分面积为S S =扇形214131012 6.332522AOB S πππ-=⨯⨯-⨯⨯≈△（平方寸），镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，所以其体积为 6.332550317V Sh =≈⨯≈（立方寸）故答案为：317．【点睛】本题考查柱体的体积，关键是求底面面积，方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积，属基础题．16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______1-【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长．【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形ABCDEFGH ，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为a ，则2212a a ⨯+=，解得1a =-，1-．【点睛】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长．。

第25讲数学文化性问题-2019年中考数学总复习(解析版)

2019年中考数学总复习专题25 数学文化性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。

在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．此类问题涉及到古代数学名著中关于数学计算的典例事例分析，或者典型问题展示，也会涉及到古代著名数学家提出的相关问题，首先理解问题内容，再转化为数学语言进行解答即可，难度一般不大。

主要类型有以科技或数学时事为题材、以数学名著为题材、以数学名人为题材.【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创】《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一。

原题是：妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰：“有客。

”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。

不知客几何？”大意为：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客？”妇女答：“洗65 只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗。

你说有多少客人用餐？”【解析】根据题意，要想知道一共有多少人用餐，只要知道每一位客人用掉的碗数就可以了，显然，每一位客人用去的碗的数量是：饭碗12、汤碗13、肉碗14，据此，可以列出方程得：例如：设来了x位客人，根据题意：12x+13x+14x=65 ；1312x=65；x=60答：有60位客人用餐.【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九2x＝﹣6章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（）A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16C．D．【分析】可设有x个人共同买鸡，等量关系为：9×买鸡人数﹣11＝6×买鸡人数+16，即可解答．【解答】解：设有x个人共同买鸡，可得：9x﹣11＝6x+16，故选：B．【点评】此题考查考查一元一次方程的应用，根据鸡价得到等量关系是解决本题的关键．【例题2】《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，根据走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步可得走路快的人与走路慢的人速度比为100：60，利用走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等列出方程，然后根据等式的性质变形即可求解．【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，而此时走路慢的人走了步，根据题意，得x＝+100，整理，得＝．故选：B．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

数学史知识点及复习题

数学史知识点及复习题一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

)1.关于古埃及数学的知识，主要来源于( )。

A.埃及纸草书和苏格兰纸草书√B.莱茵德纸草书和莫斯科纸草书C.莫斯科纸草书和希腊纸草书D.莱茵德纸草书和尼罗河纸草书2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。

A.爱奥尼亚学派B.伊利亚学派C.诡辩学派√D.毕达哥拉斯学派3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。

A.《九章算术》B.《孙子算经》√C.《周髀算经》 D.《缀术》4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。

A.中国√B.印度C.阿拉伯D.古希腊5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( )。

√A.斐波那契 B.卡尔丹C.塔塔利亚D.费罗6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )。

A.伽利略B.哥白尼√C.开普勒 D.牛顿7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( )√A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻8.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线( )A.不可公度数B.化圆为方√C.倍立方体D.三等分角9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( )A.棱柱√B.棱锥C.棱台D.楔形体10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( )A.阿耶波多B.婆罗摩笈多√C.马哈维拉D.婆什迦罗11.射影几何产生于文艺复兴时期的( )A.音乐演奏B.服装设计C.雕刻艺术√D.绘画艺术12.微分符号“d”、积分符号“∫”的首先使用者是( )A.牛顿√B.莱布尼茨C.开普勒D.卡瓦列里13.求和符号Σ的引进者是( )A.牛顿B.莱布尼茨√C.柯西D.欧拉14.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波约是( )A.俄国人B.德国人C.葡萄牙人√D.匈牙利人15.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( )√A.康托尔 B.欧拉 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西16.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是( )√A.希尔伯特 B.庞加莱 C.罗素 D.克莱因17．《周髀算经》和（）是我国古代两部重要的数学著作。

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52，即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。

数学史复习题总结及答案(原创)

1,18世纪主要的数学家：欧拉，雅科布•贝努力，约翰•贝努利，泰勒，麦克劳林，棣莫弗等。

2,19世纪主要的数学家：傅里叶，柯西，泊松，刘维尔，若而当，庞加莱，黎曼，魏尔斯特拉斯，克莱因，希尔伯特，切比雪夫，柯瓦列夫斯卡娅等。

3,《四元玉鉴》作者是：元代数学家朱世杰4,中国古代数学发展的顶峰时期是：宋元时期5,最早使用“函数”这一术语的是：莱布尼茨6,首次获得四次方程的一般解法的是：费拉利7,《九章算术》里“少广”指的是：开方数8,最早使用位制制计数的国家是：美索不达米亚。

他们主要用60进制。

9,希尔伯特在历史上明确提出选择和组织公里的原则：相容性，完备性，独立性10,二项展开式的系数图表在中学称为：杨辉三角。

数学史学者常称：贾宪三角。

11,欧几里得《几何原本》共有13卷，包含5条公理，5条公式12,被称为现代分析之父的数学家是:魏尔斯特拉斯。

被称为数学之王的数学家是：高斯13,第一台能做加减运算的机械式计算机是由数学家：帕斯卡在1642年发明的。

14,1900年德国的希尔伯特在巴黎国际数学大会上提出23 个尚未解决的问题。

15,首先将三次方程一般解法公开的是：卡当（意大利）首先获得四次方程一般解法的是：费拉利首先获得三次方程一般解法的是;费罗16,中国历史上最早叙述勾股定理的著作：《九章算术》中国历史上最早完成勾股定理证明的是：三国时期的赵爽17,积分学的起源早于微分学。

微积分诞生于17 世纪。

18,数学家为了研究古希腊三大尺规作图问题花费了2000 年的时间，在1882年德国数学家林德曼证明了数PI的超越性，从而确定了尺规画圆为方的不可能性。

19,世界上讲述方程最早的著作是：《九章算术》20,《数学汇编》是一部总结前人成果的著作,被认为是古希腊数学的安魂曲,作者是:帕波斯21,不属于算经十书的是：《数书九章》22,以万物皆为数为信条的古希腊学派是：毕达哥拉斯学派23,首先使用“0”来表示零的国家是：印度。

2020届中考数学总复习课件：核心素养专题九数学文化 (共25张PPT)

9x＝11y， ___（__1_0_y_＋__x_）__－__（__8_x_＋__y_）__＝__1_3_______．
8．我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九
日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)利用我们学习过的知识可以计算出 63
野鸭与大雁经过_1_6__天相遇．
V≈316L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3，那么，近似公式 V≈725
L2h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为( B )
22
25
A. 7
B. 8
C.15507
D.311535
【解析】 316×3＝725π，∴π＝285.
3．[2019·长沙]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今
有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思
ห้องสมุดไป่ตู้
是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头
还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确
的是( A )
y＝x＋4.5， A.0.5y＝x－1
解：设共有 x 人，根据题意得x3＋2＝x－2 9，去分母得 2x＋12＝3x－27，解得 x＝39，∴39－2 9＝15. 答：共有 39 人，15 辆车．
12．(8 分)[2020·中考预测]我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 译文：良马平均每天能跑 240 里，驽马平均每天能跑 150 里．现驽马出发 12 天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？

(word完整版)九年级数学总复习试卷及参考答案

九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．38．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．129．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=．12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=度．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．14．若tanα=5，则=．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为m．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为米．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos25422．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵cosA=，∴设AC=7x，AB=25x，则BC=24x，则tanB=．故选：C．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义可得cosB=，然后根据题目所给3a=4b 可求解．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 对边，如果3a=4b，令b=3x，则a=4x，所以c=5x，所以cosB=故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握cosB=，3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cos B B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA=，tanB=，cosB=，stnB=；因而b=c•sinB=a•tanB，a=b•tanA，错误的是b=c•cosB．故选：A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】坡度=坡角的正切值，依此求出坡角的度数．【解答】解：设坡角为α，由题意知：tanα==，∴∠α=30°．即斜坡的坡角为30°．故选：B．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵∠A为锐角，cosA=，∴∠A=60°．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，BC=8，∴在Rt△ABC中，sinA===，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：sinA===，∴tanA==，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．12【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵tanA=，∴sinA=，∴=，∴AB=10，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，∴BC=AB•cos∠B=5cos25°．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，牢记直角三角形中边角之间的关系是解题的关键．10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x，结合BC=10（1+）即可求出x的值，进而即可得出A和C之间的距离．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x．∵BC=BD+CD=（+1）x=10（1+），∴x=10，∴AC=10．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解一元一次方程求出AD的长度是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=45°．【分析】根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答．【解答】解：∵sinα=cos（90°﹣α），∴α=90°﹣α，解得，α=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=65度．【分析】依据α是锐角，且cotα=tan25°，即可得出α=65°．【解答】解：∵α是锐角，且cotα=tan25°，∴α=65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【分析】由斜坡的坡度i=1：=，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得．【解答】解：∵斜坡的坡度i=1：=，∴坡角α=60°，∴斜坡的正弦值sinα=，∴小明上升的高度是100×sinα=50（米）．故答案为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．14．若tanα=5，则=．【分析】根据同角的三角函数的关系即可求出答案．【解答】解：原式=∵tanα=5，∴原式=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题的关键熟练运用同角三角函数的关系，本题属于基础题型．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为2m．【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，可求出坡面的铅直高度，此题得解．【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，∴AC=6m，∴BC=×6=2m．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，牢记坡度的定义是解题的关键．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为150米．【分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解．【解答】解：∵坡度tanα==1：=，∴α=30°．∴上升的垂直高度=坡长×sin30°=300×=150（米）．故答案为150．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．掌握坡度、坡角的定义是解答本题的关键．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）【分析】判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．【解答】解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D．由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．设AD=x海里．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD=AD=x海里．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CD=AD=x海里．∵BD+DC=30，∴x+x=30，解得x=15（﹣1），17（﹣1）≈10.5＞8，即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）【分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG=EF﹣GE=100，构造关系式求解．【解答】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF=90°．设CE=x米，∵在Rt△CEF中，tan∠CFE=，∴EF===x，∵在Rt△CEG中，tan∠CGE=，∴GE===x．∵FG=EF﹣GE=100，∴x﹣x=100，解得x=50．∴CD=CE+ED=50+1.5（米）．答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，此类题目要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC，再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长，然后求出AB的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A==，∴AC=12，∴AB===6，∴sin∠B===．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用BC表示出AC是解题的关键．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【解答】解：原式=﹣（﹣）=﹣==【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）原式=（）2﹣×+1=﹣+1=，（2）原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）=1+1=2【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．22．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）【分析】（1）作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=15°，∠BCH=22°，然后计算它们的和即可得到∠BCD的度数；（2）利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan15°=8.04，在Rt△BCH 中计算出BH=30tan22°=12.12，然后计算BH+DH即可得到教工宿舍楼的高BD．【解答】解：（1）作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；（2）易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，在Rt△DCH中，tan∠DCH=，∴DH=30tan15°=30×0.268=8.04，在Rt△BCH中，tan∠BCH=，∴BH=30tan22°=30×0.404=12.12，∴BD=12.12+8.04=20.16≈20.1（m）．答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．计算：sin45°+cos45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=+=．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．【分析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4，在Rt△ABC中求得AB=4，再根据三角函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD=3、BD=5，∴BC===4，又AC=AD+CD=8，∴AB===4，则sinA===，cosA===，tanA===．【点评】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．【分析】（1）根据正弦函数的定义解答；（2）设AC=x，则BC=x，利用方程解答；（3）由锐角三角函数定义求得AB=4，然后由勾股定理解答．【解答】解：（1）sinA=；（2）在Rt△ABC中，∠A=45°，设AC=x，则BC=x，AB=，则sinB=；（3）sinB=，则AB=4，由勾股定理得：BC2=AB2﹣AC2=16﹣12=4，∴BC=2．【点评】考查了锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）【分析】（1）作CH⊥AB于H，如图，利用坡度的定义得到tan∠CAH===，然后根据特殊角的三角函数值求出∠CAH即；（2）另一条坡度定义得到tan∠CBH==，所以BH=CH=6，再利用=得到AH=6，接着计算出AB≈4.392，然后根据3+4.392＞7可判断文化墙需要拆除．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH===，∴∠CAH=30°，即新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH==，∴BH=CH=6，∵=，∴AH=CH=6≈10.392，∴AB=AH﹣BH=6﹣6=4.392，∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．【分析】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．【解答】解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=，故答案为：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°==∴BC=AB×=4×=∵∠B=90﹣∠A∴∠B=15°∵sin∠B=sin15°==∴AC=AB×=【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第七章第一节尺规作图知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第七章第一节尺规作图知识精练基础题1.(2023随州)如图，在▱ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线交BD 于点O ，交AD ，BC 于点E ，F ，下列结论不正确的是()A.AE ＝CFB.DE ＝BFC.OE ＝OFD.DE ＝DC第1题图2.(2023甘肃省卷)如图，BD 是等边△ABC 的边AC 上的高，以点D 为圆心，DB 长为半径作弧交BC 的延长线于点E ，则∠DEC ＝()第2题图A.20°B.25°C.30°D.35°3.(2023通辽)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.求作：Rt △ABC 的外接圆.作法：如图②.(1)分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；(2)作直线PQ ，交AB 于点O ；(3)以O 为圆心，OA 为半径作⊙O .⊙O 即为所求作的圆.图①图②第3题图下列不．属于．．该尺规作图依据的是()A.两点确定一条直线B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等4.[新考法—数学文化](2023兰州)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．(1)以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；(2)分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA ＝OB ；(3)连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a ∥b .按以上作图顺序，若∠MNO ＝35°，则∠AOC ＝()A.35°B.30°C.25°D.20°第4题图5.(2023贵州)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝5，CD ＝3.按下列步骤作图：①以点D 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA ，DC 于E ，F 两点；②分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径画弧，两弧交于点P ；③连接DP 并延长交BC 于点G .则BG 的长是()第5题图A.2B.3C.4D.56.(2023营口)如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E.若AC＝5，CD＝6，则AE＝________．第6题图7.(2023广东省卷)如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°.(1)实践与操作：用尺规作图法，过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．第7题图8.如图，已知△ABC，∠ABC＝120°，AB＝BC，D是AC的中点，连接B D.(1)请在CD的上方找一点E，使得∠CDE＝∠BCD，且满足DE＝BC；(要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接CE，若AB＝6，求四边形BCED的周长．第8题图拔高题9.(2023孝感)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为()第9题图A.10B.11C.23D.410.[新考法—无刻度直尺作图](2023江西)如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺．．．．．．按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中作锐角△ABC，使点C在格点上；(2)在图②中的线段AB上作点Q，使PQ最短．图①图②第10题图参考答案与解析1.D 【解析】根据作图可知，EF 垂直平分BD ，∴BO ＝DO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO ＝∠FBO .∵∠BOF ＝∠DOE ，∴△BOF ≌△DOE (ASA)，∴BF ＝DE ，OE ＝OF ，故B ，C 正确；无法证明DE ＝CD ，故D 错误．2.C 【解析】∵△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，由“三线合一”得∠DBC ＝30°，又∵BD ＝DE ，∴∠DEC ＝∠DBC ＝30°.3.D 【解析】如解图，作直线PQ (两点确定一条直线)，连接PA ，PB ，QA ，QB ，OC ，由作图步骤得，PA ＝PB ，QA ＝QB ，∴PQ ⊥AB 且AO ＝BO (与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).∵∠ACB ＝90°，∴OC ＝12AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴OA ＝OB ＝OC ，∴A ，B ，C 三点在以O 为圆心，AB 为直径的圆上，∴⊙O 为△ABC 的外接圆．第3题解图4.A 【解析】由作图，得a ∥b ，∴∠CON ＝∠MNO ＝35°.∵OA ＝OB ，C 是AB 的中点，∴OC 平分∠AON ，∴∠AOC ＝∠CON ＝35°.5.A 【解析】由题可得，DG 是∠ADC 的平分线，∴∠ADG ＝∠CDG .∵AD ∥BC ，∴∠ADG ＝∠CGD ，∴∠CDG ＝∠CGD ，∴CG ＝CD ＝3，∴BG ＝CB －CG ＝5－3＝2.6.4【解析】由作图可知，AD ＝AC ，AE 是CD 的垂直平分线，∵CD ＝6，∴CE ＝DE ＝3.∵CA ＝5，∴AE ＝AC 2－CE 2＝52－32＝4.7.解：(1)如解图，DE 即为所求；第7题解图(2)在Rt △ADE 中，∵∠DAB ＝30°，∴AE ＝AD ·cos ∠DAB ＝4×32＝23，∴BE ＝AB －AE ＝6－23，即BE 的长为6－23.8.解：(1)作图如解图①；(作法不唯一)第8题解图①(2)如解图②，∵AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝60°.在Rt △BDC 中，BC ＝AB ＝6，∴BD ＝BC ·cos 60°＝3.∵∠CDE ＝∠BCD ，∴DE ∥BC .又∵DE ＝BC ，∴四边形BCED 是平行四边形，∴EC ＝DB ＝3，DE ＝BC ＝6，∴▱BCED 的周长为2(BD ＋BC )＝18.第8题解图②9.A 【解析】如图，设BP 交CD 与点J ，过点J 作JK ⊥BD 于点K .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，∠BCD ＝90°.∵CN ⊥BM ，∴∠CMB ＝∠CDN ＝90°，∴∠CBM ＋∠BCM ＝90°，∠BCM ＋∠DCN ＝90°，∴∠CBM ＝∠DCN ，∴△BMC ∽△CDN ，∴BM CD ＝BC CN ，∴BM ·CN ＝CD ·CB ＝3×4＝12.∵∠BCD ＝90°，CD ＝3，BC ＝4，∴BD ＝CD 2＋BC 2＝32＋42＝5.由作图可知BP平分∠CBD，∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK＝JC.∵S△BCD＝S△BDJ＋S△BCJ ，∴12×3×4＝12×5×JK＋12×4×JC，∴JC＝KJ＝43，∴BJ＝CB2＋JC2＝42＋（43）2＝4103.∵cos∠CBJ＝BMCB＝BCBJ，∴BM4＝44103，∴BM＝6105.∵CN·BM＝12，∴CN＝10.第9题解图10.解：(1)如解图①，△ABC即为所求作(答案不唯一，作出其中一个即可).(2)如解图②，点Q即为所求作．【作法提示】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．图①图②第10题解图。

与数学文化相关的数学专题

与数学文化相关的数学专题【方法综述】关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.【解答策略】类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念.例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .【答案】【解析】由题意可知：将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，44，233，377，610，987，……该数列的一个规律是，第4，8，12，16，……4n项是3的倍数；甲同学报数的序数是1，6，11，16，……，5m-4；甲同学报的数为3的倍数，依次为第15，35，55，75，95位数，共5个，所以，甲同学拍手的总次数是5次.【指点迷津】以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏.例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识.本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力.【举一反三】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N+）位回文数有______个.【答案】910n ⨯ ()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个. 类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养.例2、我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【指点迷津】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n na d n a S，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*科网【举一反三】我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）A．0.9升B．1升C．1.1升D．2.1升【答案】B【解析】依题意得，故，即，解得，故升.故选B.类型三、取材数学名题数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.例3、我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【答案】A【解析】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选：A．【指点迷津】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【举一反三】 2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】C由时，，可得，时，，可得,排除，由，可排除,故选C.类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法.例4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【指点迷津】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).【举一反三】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）A．9 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差的等差数列，该问题中的1864人全部派遣到位的天数为，则，依次将选项中的值代入检验得，满足方程，故选B.类型五、取材数学图形例5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形较小的锐角为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的边长为，小正方形边长为.设四个全等的直角三角形的长直角边为，则短直角边为由勾股定理得，解得为直角三角形较小的锐角，所以所以【举一反三】1.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，立方寸=升，则商鞅铜方升的容积约为（）A．升B．升C．升D．升【答案】B【解析】由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）故其体积（立方寸），（升），故选:B2.牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足应用上述方法，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，切线斜率，切线方程，令，得，切线斜率，切线方程，令，得，切线斜率，切线方程，令，得，故选D项类型六、取材数学文化与现代科学：数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息.例6、习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C 处测得山顶B的仰角为，则山高约为______米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.【答案】【解析】过C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,设BM=h,则CM=,解得h=20(),∴BD=h+20【指点迷津】 1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.2.注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.【举一反三】中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.【强化训练】一、选择题1．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是（）A．且B．且C．且D．且【答案】B【解析】由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，由等比数列的性质可得．故选：B．3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A．23 B．32 C．35 D．38【答案】C【解析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，即，解得，故选C.4.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是A．24里 B．36里 C．48里 D．60里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．5.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.6.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，，两式相减得，则,解得，故选D.7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设是中点，连接，由于分别是中点，是三角形的中位线，故，所以是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故选C.8.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设为第等人的得金数，则为等差数列，由题设可知，，故，而，故选C．9.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，p＝10，S8，∴此三角形面积的最大值为8．故选：C．10.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，因此，又由题意可得，所以，因此；延长交于，记，，则，所以；又由题意易知，则，在三角形中，由正弦定理可得，即，因此，，所以，因为，所以，即，整理得，所以.故选D11.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：①②③④图①是底面直径和高均为的圆锥；图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为的正四棱锥；图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解析】几何体是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的横坐标为，切线为，即，横截面面积图①中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线绕轴旋转得到横截面的面积为.所以几何体和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A项.12.孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的体积分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是正四棱柱去掉部分棱柱的几何体，由题意可知V1＝32﹣8＝24；V2＝32﹣10＝22；V3＝32﹣6＝26，这3根木条的体积分别为V1，V2，V3，满足V2＜V1＜V3．故选：C．二、填空题12. 我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________．【答案】【解析】【分析】利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积，进而求得圆柱的体积. 【详解】表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是，所以区域的面积为，所以圆柱的体积.13.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．【答案】【解析】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟．故答案为：；．14.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．【答案】120【解析】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.根据题意可知，，法一：，，.法二：，解得所以15.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.【答案】【解析】如图，作出直线：，当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径1，即：.解得：16．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米__________斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率）【答案】【解析】,圆柱形容器体积为 ,所以此容器能装斛米．16.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．【答案】【解析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知，则，则三角形的面积，，，则三角形的面积，当且仅当a=b=取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：．。

2020中考复习——代数类传统文化题专题训练(一)(有答案)

任务：请根据以上材料，证明以下结论： (1)任意一个三角形数乘 8 再加 1 是一个完全平方数； (2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数．
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21. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人
各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所
房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每间房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每间住 9 人，那么就空出一间客房．设该店有客房 x 间、房客 y 人，列出关于 x、y 的二元一次方程组：________．
15. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：
趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”
译文：“2 人同吃一碗饭，3 人同吃一碗羹，4 人同吃一碗肉，共用 65 个碗，问有
多少客人？”设共有客人 x 人，可列方程为
18. 《算法统宗》中有如下问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折
测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？译文为：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 5 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 1 尺．绳长、井深各是多少尺？
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19. 我国古代民间流传着这样一道数学题：“只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两
一分多四两，半斤一分不半斤，借问各位能算者，多少客人多少银？”其大意是：有客人在分银子，若每人分四两，则多出四两，若每人分半斤，则少半斤。问有多少客人？多少银子？(注：古代旧制：半斤= 8 两)试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解。

2021届高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)专题8第1讲数学文化及核心素养类试题

第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A． 2 B．2 2C． 6 D．2 3我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝p(p－a)(p－b)(p－c)，其中p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A考向3 立体几何中的数学文化例3我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2＝()A．2 B．3 2C．1 D．3 4考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为()A．37B．715C．25D．35数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为()A．104 5aB．109 10aC．D．真题押题『真题检验』1．(2020·新高考卷Ⅰ) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块3. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.『押题』4．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是________年；使用干支纪年法可以得到________种不同的干支纪年．专题作业一、选择题1．(2020·山东省烟台市模拟)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为()A．13B．23C．16D．562．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．48里B．24里C．12里D．6里3. (2020·河北六校联考)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭县反山文化遗址．如图，玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm，外径17.6 cm，琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．估计该神人纹玉琮王的体积为(单位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．23504．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为()A．1910B．3910C．4455D．64555．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A．x29＋y216＝1 B．x23＋y24＝1C．x218＋y232＝1 D．x24＋y236＝16．(2020·山东省泰安市模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝32，EF ∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为()A．6 B．11 3C．314D．127．(2020·江西省九江市二模)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()A．38B．12C．23D．348．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为()A．83B． 2C．2 D．2 29．(2020·四川省达州市模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1、图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm2,900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，那么这个斗的体积是()注：台体体积公式是V＝13(S′＋S′S＋S)h.A．5700 cm3B．8100 cm3C．10000 cm3D．9000 cm310. (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积．某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1，因此该椭圆近似于圆形；③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后)，地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天．以上结论正确的是()A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题11．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________.12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________.13．(2020·山东省泰安市高三一模)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成，“”表示一根阳线，“”表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为________.14．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________ m.第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A ． 2B ．2 2C ． 6D ．2 3答案 A解析由a cos B ＋(b ＋3c )cos A ＝0，可得sin A cos B ＋cos A sin B ＋3sin C cos A ＝0，即sin(A ＋B )＋3sin C cos A ＝0，即sin C (1＋3cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以cos A ＝－13，由余弦定理可得a 2－b 2－c 2＝－2bc cos A ＝23bc ＝2，所以bc ＝3，由△ABC 的面积公式可得S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(bc )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋b 2－a 222＝14×(32－12)＝ 2.故选A ．我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年答案 A解析由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，由图3近似画出如图平面几何图形，则tanα＝1610＝1.6，tanβ＝16－9.410＝0.66，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝ 1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.457.∵0.455<0.457<0.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193答案 BD解析由题意可知，数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的公差为d ，a 1＝5，由题意可得30a 1＋30×29d 2＝390，解得d ＝1629，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16n ＋12929，∵b n ＝2an ，∴b n ＋1b n ＝2an ＋12an ＝2an ＋1－an ＝2d (非零常数)，则数列{b n }是等比数列，B 正确；∵5d ＝5×1629＝8029≠3，b 10b 5＝(2d )5＝25d ≠23，∴b 10≠8b 5，A 错误；a 30＝a 1＋29d ＝5＋16＝21，∴a 1b 30＝5×221>105，C 错误；a 4＝a 1＋3d ＝5＋3×1629＝19329，a 5＝a 1＋4d ＝5＋4×1629＝20929，∴a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝3a 53a 4＝a 5a 4＝209193，D 正确．故选BD.本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A答案B解析由题意知log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)， ∴a i ＋1a i＝2112，故数列{a n }是公比q ＝2112的等比数列． ∵a 4＝D #，a 8＝a 4q 4＝D #×(2112)4＝D #×32＝G ，∴G D #＝32.故选B.考向3 立体几何中的数学文化例3 我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.答案 4π解析因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a ，所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ＝43π×12×3＝4π，故答案是4π.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A ．2B ．32C．1 D．3 4答案 A解析由球的半径为R，得半球的内部表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为143πR2，∴圆柱的侧面积为83πR2.设圆柱的高为h，则2πR·h＝83πR2，即h＝43R.∴V1＝πR2·43R＝43πR3，V2＝23πR3，∴V1V2＝43πR323πR3＝2.故选A．考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为() A．37B．715C．25D．35答案 C解析若n＝5，根据上述过程得出的整数有5,16,8,4,2,1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n＝C26＝15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m＝C24＝6，则这两个数都是偶数的概率为P＝mn＝615＝25.故选C.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15答案 A解析金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝C25＝10,2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝510＝12.故选A．考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 D解析观察题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为( )。

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1、数学科学按其内容可分成五个大学科：1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics）2）应用数学（Applied mathematics）3）计算数学（Computational mathematics）4）运筹与控制（Operational research and control）5）概率论与数理统计（Probability theory and mathematical statistics）1+、数学进展的大致情况：两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以前是数学发展的初级阶段（初等数学阶段），其内容主要是常量数学，如初等几何、初等代数；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支．2、代数之父是亚力山大后期的丢番图，代表作《算术》16世纪末，法国数学家韦达(1540-1630)，开创了符号数学的先河其代表作为《分析引论》。

現在我们所用的加号“＋”及减号“－”就是他所创用的。

1859年，李善兰和英国传教士伟烈亚力合译英国数学家狄摩根的代数著作Elements of algebra 時，首次把“algebra”翻译为“代数”。

○补2+、代数学研究各种代数结构及其表示和上同调；它们的组合、计算等方面的性质及其应用；它们之间的相互联系以及和其它学科之间的联系3、公理化方法非欧几何的出现，使数学家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。

分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。

构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：•相容性：即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的；•完备性：即理论系统中的定理都可以从公理导出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的；•独立性：即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑结果。

3+、演绎法（公理化方法）的基本构件：定义（概念）、公理和定理。

3++、公理化方法的例子：欧几里德《几何原本》4、归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。

归纳法是实验科学最基本的方法。

归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。

数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，如果（1）P(n)当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。

那么P(n)对任意自然数n都成立。

这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。

数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛归纳法：逻辑学中的方法数学归纳法：数学中的一般方法4+、类比法（数学上的类比）：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。

例子：线段、三角形、四面体4++、数学构造法（数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法。

）的应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等例子：1）求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 0)的根。

2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。

3）勾股定理（毕氏定理）。

4+++、数学化归法原则是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。

数学化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化归的手段。

实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反演（RMI），分解与组合…4++++、数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的方法。

5、数学学科的特点1. 抽象性2. 精确性3. 应用的广泛性数学研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内涵没有直接联系。

数学抽象的特点在于：I.在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃了其他；II.数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象;III.数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系的圈子之中.6、几何学分支简介1)欧氏几何2)非欧几何3)解析几何4）射影几何5)拓扑学6)微分几何坐标几何与曲线方程思想---17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。

两位数学家敏锐地看到欧氏几何方法的局限性，认识到利用代数方法来研究几何问题，是改变传统方法的有效途径。

并为此开始了各自的研究工作，把代数方程和曲线、曲面的研究联系在一起。

6+：欧式几何和非欧几何的区别：是否满足《原本》中的第五公设。

6++：解析几何的创始人是谁：笛卡尔和费马其基本思想是什么：用代数方法去解决几何问题，这就是解析几何的基本思想。

6+++、1）古典几何包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等，（由欧几里德、笛卡尔、高斯、黎曼、罗巴切夫斯基等创建的。

）2）现代几何主要是指微分几何（在解析几何的基础上，如果要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，这时需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。

），（由高斯、黎曼等人所奠基，再由嘉当、陈省身等人发扬光大。

）6、分析学分支：1.微积分学（研究函数的导数、积分的性质和应用）2.微分方程（从所给的微分方程解出解出未知函数）3.复变函数（研究解析函数的性质）4.实变函数（积分论、函数构造论）5.泛函分析（古典分析观点的推广，研究无穷维线性空间中映射理论）7、古典概型与几何概型各有什么特点？1）（有限性）试验有有限个基本事件;2)（等可能性）任何两个基本事件不可能同时出现，且每次试验中各可能结果出现的可能性均相同.1）样本空间是直线、平面或空间上的某个区域，含有无限多个样本点；2）各个样本点对应的基本事件的发生是等可能的。

7+. 说说概率论和数理统计的关系？1）概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.2）概率论与数理统计是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.8、统计学的英文是什么？统计学是怎样的一门学科？Statistics数理统计是一门应用性很强的学科，它是研究如何有效地收集、整理和分析受随机影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的一门学科。

8+.统计与数学的区别是什么？8++. 什么是随机现象的统计规律性？频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是客观存在的。

9、现代统计学的鼻祖是谁？英国威廉佩蒂《政治算术》，采用“数字、重量和尺度”等定量的分析工具，对英国和当时的主要发达国家的经济实力进行了比较分析。

其所采用的方法是前所未有9+.举例说明统计学的应用。

市场调查与咨询物流交通运输业的统计分析10、举一古代中国的运筹典故的例子。

1）孙膑与田忌赛马---用局部的牺牲换取全局的胜利，达到以弱胜强的目的---不强求一局的得失，而争取全盘的胜利，是典型的博弈问题2）围魏救赵---善于调动敌人，“攻其所必救”10+.运筹学有哪些分支？1）规划论(线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划、随机规划、模糊规划等）2）图论3）决策论4）博弈论（对策论）5）排队论(随机服务系统理论)6）可靠性理论7）搜索论10++.运筹学有哪些性质和特点？1) 运筹学的性质a) 运筹学具有普遍性b) 运筹学强调以量化为基础c) 运筹学依靠多学科的交叉d) 运筹学强调”整体最优”2) 运筹学的特点a) 目的性b) 系统性c) 有效性d) 科学性e) 参谋性11、现代运筹学的发源地是哪里？谁被人们称为现代运筹学之父？英国是现代运筹学的发源地Patrick Blackett（1897－1974）勋爵，1948年诺贝尔物理学奖得主，英国曼彻斯特大学的教授，通常被人们称为现代运筹学之父。

11+、洛伦兹的天气预报（美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，1853-1928）1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进行长期天气预报。

结果发现了一个奇怪的现象。

在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑。

）Lorenz发现混沌运动的两个重要特点：（1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。

Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。

11++、混沌和分形学的应用：1）医学：利用混沌过程预测和控制癫痫，心律不齐等等病症2）天气预报3）通讯中的保密：基于混沌理论的保密通信、信息加密和信息隐藏技术的研究已成为国际热门前沿课题之一，也是高科技研究的一个新领域。

12、费马猜想的内容是什么?此猜想最终如何?X^n+Y^n=Z^n当n>2时没有正整数解已解决由1994年英国数学家Andrew Wiles的108页论文解决了费马定理。

他1996年获沃尔夫奖，1998年获菲尔兹奖。

13、举例说明各种数学美?1.简洁美大数表示2.对称美圆3.和谐美黄金分割4.奇异美六分之一14、什么是数学发展中心？说说数学发展中心的迁移规律。

数学发展的历史上，常常有这样的情形：一个时期，可能在某一个地域，集中了大批优秀的数学家；数学在那里得到长足的发展，水平居于世界领先的地位；各地的数学工作者，向往和来到这一地域学习或工作。

我们称这一地域为这一时期的“数学发展中心”。

数学的发展与其它科学的发展一样，有一些要素：第一要有客观需求，第二要有经济保障，第三要有文化环境，第四要有大批人才15、哪一年哪一届的国际数学家大会首次在中国北京举行？有何意义？2002年的第24届ICM，首次在中国北京举行。

ICM2002取得了巨大的成功，得到了国际数学界高度评价，它将以21世纪数学界的首次最高盛会和历史上第一次在发展中国家举办的数学家大会而载入史册。

15+.你知道哪些国际数学大奖？菲尔兹奖(特点：4年一届40岁以下。

别称:数学界的诺贝尔奖)沃尔夫奖（终身成就陈省身1984年获得了沃尔夫奖威尔斯42获得）高斯奖邵逸夫奖苏步青奖16、世界数学年联合国宣布2000年为世界数学年17、何谓数学悖论?一个命题，无论肯定它还是否定它都将导致矛盾的结果，这种命题称为悖论。

数学中产生的悖论称为数学悖论18、三次数学危机都和哪些数学悖论相联系?毕达哥拉斯悖论贝克莱悖论罗素悖论19、数学危机给数学带来怎样的影响?每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。

实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。

第一次实数第二次极限第三次集合20、不连续的函数是否可以求定积分？定积分的条件有限个间断点的有界函数21、罗素悖论的内容是什么？其通俗说法可以如何描述？以M表示“是其本身成员的所有集合的集合”（所有异常集合的集合），而以N表示“不是它本身成员的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于M，或者属于N，两者必居其一，且只居其一。