【数学】1.1.2 类比推理 课件(北师大版选修2-2),
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高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)
( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角 都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等 A．① B．①②
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不 满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成 立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适． 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ． 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过 程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不 满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成 立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适． 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ． 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过 程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
北师大版选修1-2--第三章-1-1.2-类比推理----课件(27张)
2 + 3 + 4 ), 得r=
3
1 +2 +3 +4
3
.
命题(猜想).
知识梳理
名师点拨1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在
被研究中的事物的特征.所以由类比推理得出的结果具有猜测性,
不一定可靠.
2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.
知识梳理
【做一做1】 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的
性质,可推知正四面体有下列性质:
比平面、由内切圆类比内切球、由平面图形面积类比立体图形的
体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.
1
2
3
4
解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是内
切球半径r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底
1
面的四个小三棱锥的体积之和,则四面体的体积为 VA-BC = (1 +
答案:①
1
2
3
4
4.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,
2
则 r=
. 类比这个结论可知, 四面体 − 的四个面的面积分
++
别为1 , 2 , 3 , 4 , 内切球半径为, 四面体 − 的体积为, 求.
分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比直线、由直线类
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
2
解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆 2
+
2
2
= 1( > > 0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
3
1 +2 +3 +4
3
.
命题(猜想).
知识梳理
名师点拨1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在
被研究中的事物的特征.所以由类比推理得出的结果具有猜测性,
不一定可靠.
2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.
知识梳理
【做一做1】 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的
性质,可推知正四面体有下列性质:
比平面、由内切圆类比内切球、由平面图形面积类比立体图形的
体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.
1
2
3
4
解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是内
切球半径r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底
1
面的四个小三棱锥的体积之和,则四面体的体积为 VA-BC = (1 +
答案:①
1
2
3
4
4.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,
2
则 r=
. 类比这个结论可知, 四面体 − 的四个面的面积分
++
别为1 , 2 , 3 , 4 , 内切球半径为, 四面体 − 的体积为, 求.
分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比直线、由直线类
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
2
解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆 2
+
2
2
= 1( > > 0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
1.1.2《类比推理》课件(北师大版选修2-2)
(A)一条中线上的点，但不是重心
(B)一条垂线上的点，但不是垂心 (C)一条角平分线上的点，但不是内心 (D)中心 提示：选D.∵平面内的正三角形类比空间中正四面体，平面内
的圆类比空间中的球，正三角形各边中点类比空间正四面体各
面中心，因此选D.
典型例题精析
知能巩固提高
【解以 看成是四个三角形的面积之和，
类比此方法，我们可以采用等体积法解决三棱锥的相应性质： 如图，H1，H2，H3，H4依次是三棱锥Q-BCD、Q-ADC、Q-ABD和 Q-ABC的高，三棱锥的体积可以看成是这四个三棱锥的体积 之和.
所以S1=K,S2=2K,S3=3K,S4=4K,
数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____，_______， T16 成等 T12 比数列. 【解题提示】等差数列与等比数列中的类比是“和”类比
到“积”，“差”类比到“商”.
【解析】
答案：
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.通过计算可得下列等式：
23-13=3×12+3×1+1;33-23=3×22+3×2+1;
二、填空题（每题5分，共10分） 4.现有一个关于平面图形的命题： 如图所示，同一个平面内有两个 边长都是a的正方形，其中一个
的某顶点在另一个的中心，则这
a 2 .类比到空间，有两个棱 两个正方形重叠部分的面积恒为 4 长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这
两个正方体重叠部分的体积恒为______.
一、选择题（每题5分，共15分）
1.（2010·莆田高二检测）下面使用类比推理正确的是（ ）
(A)“若a·3=b·3，则a=b”,类比推出“若a·0=b·0,则a=b” (B)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“(a·b)c=ac·bc” (C)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“ a b a b (c≠0)” c c c n=anbn”,类比推出“(a+b)n=an+bn” (D)“(ab) 【解析】选C.由类比推理的形式结合代数式的运算律可知C正确.
1.1.2 类比推理 同步课件(北师大版选修2-2)
课前探究学习 课堂讲练互动
[思路探索 ] 求1＋2＋3＋…＋n的和时，用了累加法，整体求其
值，累加前的各式用了平方差公式．类比此过程，猜想求12＋22
＋ 32 ＋ „ ＋ n2 时，也用累加法．累加前的式子用立方差公式表 示．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1， n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1， „ 23－13＝3×12＋3×1＋1， 有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋„＋n2)＋3(1＋2＋3＋„＋n)＋n，
1．2 类比推理
【课标要求】 1．通过具体实例理解类比推理的意义． 2．会用类比推理对具体问题作出推断． 【核心扫描】
1．了解类比推理的含义．(重点)
2．合情推理含义的理解，归纳推理和类比推理含义的理解 及两种推理的应用．(重点、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．类比推理 (1)类比推理的含义 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根
2 1 3 n ＋5n 2 2 2 3 2 所以 1 ＋2 ＋„＋n ＝3n ＋3n ＋3n－ 2
2n3＋3n2＋n nn＋12n＋1 ＝ ＝ . 6 6
课前探究学习
课堂讲练互动
典型的数学方法往往可以解决一类问题，培养学生
总结、反思、举一反三的习惯，可以提高学生的知识迁移能力
据 一类对象的其他特征 其他特征
推断 另一类对象也具有类似的
，这种推理过程称为类比推理． 的推理．
类比推理是 两类事物特征之间
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)类比推理的特征
类比推理是从特殊到特殊的推理，简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的．
[思路探索 ] 求1＋2＋3＋…＋n的和时，用了累加法，整体求其
值，累加前的各式用了平方差公式．类比此过程，猜想求12＋22
＋ 32 ＋ „ ＋ n2 时，也用累加法．累加前的式子用立方差公式表 示．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1， n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1， „ 23－13＝3×12＋3×1＋1， 有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋„＋n2)＋3(1＋2＋3＋„＋n)＋n，
1．2 类比推理
【课标要求】 1．通过具体实例理解类比推理的意义． 2．会用类比推理对具体问题作出推断． 【核心扫描】
1．了解类比推理的含义．(重点)
2．合情推理含义的理解，归纳推理和类比推理含义的理解 及两种推理的应用．(重点、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．类比推理 (1)类比推理的含义 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根
2 1 3 n ＋5n 2 2 2 3 2 所以 1 ＋2 ＋„＋n ＝3n ＋3n ＋3n－ 2
2n3＋3n2＋n nn＋12n＋1 ＝ ＝ . 6 6
课前探究学习
课堂讲练互动
典型的数学方法往往可以解决一类问题，培养学生
总结、反思、举一反三的习惯，可以提高学生的知识迁移能力
据 一类对象的其他特征 其他特征
推断 另一类对象也具有类似的
，这种推理过程称为类比推理． 的推理．
类比推理是 两类事物特征之间
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)类比推理的特征
类比推理是从特殊到特殊的推理，简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的．
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.1 归纳与类比1.1.2
【例 3】 有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线
都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径. 定理:过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条
直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
(1)写出定理在椭圆
������2 ������2
侧棱长分别为������, ������, ������”, 类比上述处理方法,
可得该三棱锥的外接球半径������ =
.
解析:由求直角三角形外接圆的半径的方法,通过类比得出求三
棱锥的外接球的半径的方法为:将三棱锥补全为长方体,而长方体的
对角线长就是三棱锥的外接球的直径,从而得出该三棱锥的外接球
半径 R=
1.2 类比推理
-1-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
题型一 等差数列与等比数列之间的类比
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
���������3���
于是 bmbnbp=b1qm-1·b1qn-1·b1qp-1=������ 13qm+n+p-3=������13q3r-3=(b1qr-1)3=���������3��� ,
北师大版高中数学选修2-2课件1.1.2类比推理课件4
• 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的 推理．
• 利用归纳推理得出的结论不一定是正确 的．一般地，如果归纳的个别情况越多，越 具有代表性，那么推广的一般性结论也就越 可靠．
• 2．类比推理的定义
• 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在 此基础上，根据一类对象的其他特征，推断 另一类对象也 _具__有_类__似_的__其_他__特__征_____________，这种推理 方式称为类比推理(简称类比)．
(－1)n·nn2＋1 ，所以第n个式子可为12－22＋32－42 ＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn2＋1(n∈N＋)．
• 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图 (1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个 图案，这些图案都是由小正方形构成，小正
方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺 绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图 形包含f(n)个小正方形．
• 5．合情推理的特点及一般步骤：
• (1)合情推理是指“合乎情理”的推理，数 学研究中，得到一个新结论之前，合情推理 常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个 数学结论之前，合情推理常常能为我们提供 证明的思路和方向．
• (2)一般来说，由合情推理所获得的结论， 仅仅是一种猜想，未必可靠．
(3)合情推理的一般步骤概括为： 从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想
请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存
在什么类似的结论？并用体积法证明．
• [分析] 考虑到用“面积法”证明结论时， 把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形 分成三个三角形，利用面积相等来证明相应 结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑 利用体积的方法相应结论．
[结论] 在四面体V－BCD中，任取一点O，连接
• 利用归纳推理得出的结论不一定是正确 的．一般地，如果归纳的个别情况越多，越 具有代表性，那么推广的一般性结论也就越 可靠．
• 2．类比推理的定义
• 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在 此基础上，根据一类对象的其他特征，推断 另一类对象也 _具__有_类__似_的__其_他__特__征_____________，这种推理 方式称为类比推理(简称类比)．
(－1)n·nn2＋1 ，所以第n个式子可为12－22＋32－42 ＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn2＋1(n∈N＋)．
• 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图 (1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个 图案，这些图案都是由小正方形构成，小正
方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺 绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图 形包含f(n)个小正方形．
• 5．合情推理的特点及一般步骤：
• (1)合情推理是指“合乎情理”的推理，数 学研究中，得到一个新结论之前，合情推理 常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个 数学结论之前，合情推理常常能为我们提供 证明的思路和方向．
• (2)一般来说，由合情推理所获得的结论， 仅仅是一种猜想，未必可靠．
(3)合情推理的一般步骤概括为： 从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想
请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存
在什么类似的结论？并用体积法证明．
• [分析] 考虑到用“面积法”证明结论时， 把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形 分成三个三角形，利用面积相等来证明相应 结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑 利用体积的方法相应结论．
[结论] 在四面体V－BCD中，任取一点O，连接
【数学】1.1.2 类比推理 课件(北师大版选修2-2)
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
单位元
a+0=a
通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出 空间中四面体性质的猜想．
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.1.2 类比推理
1.2 类 比 推 理
必备知识·自主学习
1.类比推理
定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此 基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象 也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为 类比推理 类比推理 特征:①类比推理是两类事物特征之间的推理; ②利用类比推理得出的结论不一定是正确的
ha hb hc hd
【思路导引】中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,向量与实数, 空间与平面,圆与球等.
【解析】1.
pa
1 ＝2
BC
pa
＝S
PBC
ha
1 2
BC
ha
S ABC
同理, pb ＝S PAC ，pc ＝S PAB
hb S ABC hc S ABC
因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,
T10 T20 T30
差数列{an}中,若Sn是{an}的前n项和.可类比得到的结论是______________.
2.我们已经学过了等差数列,是否有等和数列呢? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义. (2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点?并加以说明. (3)在等和数列{an}中,如果a1=a,a2=b,求它的前n项和Sn.
于是
S2
ABC＝(
1 2
BC
AE)2＝( 1 2
BC
EM)
(1 2
BC
ED)
=S△BCM·S△BCD.
类型二 数列中的类比
【典例】1.在公比为4的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有 T20 ，T30 ，T40 也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地,在公差为3的等
必备知识·自主学习
1.类比推理
定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此 基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象 也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为 类比推理 类比推理 特征:①类比推理是两类事物特征之间的推理; ②利用类比推理得出的结论不一定是正确的
ha hb hc hd
【思路导引】中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,向量与实数, 空间与平面,圆与球等.
【解析】1.
pa
1 ＝2
BC
pa
＝S
PBC
ha
1 2
BC
ha
S ABC
同理, pb ＝S PAC ，pc ＝S PAB
hb S ABC hc S ABC
因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,
T10 T20 T30
差数列{an}中,若Sn是{an}的前n项和.可类比得到的结论是______________.
2.我们已经学过了等差数列,是否有等和数列呢? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义. (2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点?并加以说明. (3)在等和数列{an}中,如果a1=a,a2=b,求它的前n项和Sn.
于是
S2
ABC＝(
1 2
BC
AE)2＝( 1 2
BC
EM)
(1 2
BC
ED)
=S△BCM·S△BCD.
类型二 数列中的类比
【典例】1.在公比为4的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有 T20 ，T30 ，T40 也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地,在公差为3的等
高三数学：1.1.2类比推理 课件 (北师大选修2-2)
例如,法国数学家费马观察到 221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65 537都是质数,于是他用归纳推理提出
猜想 : 任何形如22n 1 n N 的数都是质
数 .这就是著名的费马猜想.半个世纪 之后,
小结：线→面,平面→空间，圆→球.
例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的 运算性质.
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果 若a,bR则a+bR
若a,bR则a×bR
运算律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
ab=ba (ab)c=a(bc)
加法的逆运算是减法, 乘法的逆运算是除法,
逆运算 使得方程a+x=0有唯 使得方程ax=1有唯一
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理. (简称;类比)
移动n个金属片时，可分为下列3个步骤： (1)将上面(n-1)个金属片从1号针移到2号针； (2)将第n个金属片从1号针移到3号针； (3)将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.
递推公式：
a1 an
1 2an1
1(n
N*,
n
1).
1.1.2类比推理 课件(北师大版选修2-2)
不是都有正 n 面体。 我们知道正多面体只有五种。 4．类比推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径： 如： 平面上的直线可以和空间的平面进行类比； 向量与数 可以类比； 平面图形的面积与空间几何体的体积可以类比； 等 差数列与等比数列可以类比等等；
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
例 3 如图，已知点 O 是 ABC 内任意一点，连结 AO, BO, CO, 并延长交对边 于 A , B , C ，则 OA
1 1 1
1
AA1
OB1 OC1 1 BB1 CC1
（Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体V BCD ，
存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。 分析：平面中的三角形可与空间的四面体进行类比，三角形内一 点对应于四面体内一点，三角形的三个顶点类比四面体的四个顶点， 三角形的三边类比四面体的四个面，于是可类比得到相应的结论 （Ⅱ） ；而证明， （Ⅰ）可用面积法，那么证明（Ⅱ）可类比使用体积 法。 注意：本题不仅用类比得到一个新的性质，而且证明方法上也运用了 类比的方法
二．例题分析 我们再看几个类似的推理实例。 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质： (1) a=b a+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=b a2=b2;等等。 猜想不等式的性质： (1) a＞ b a+c＞ b+c; (2) a＞ b ac＞ bc; (3) a＞ b a2＞ b2;等等。
☆上述两个例子均是这种由两个 （两类） 对象之间在某些方面 的相似或相同， 推演出他们在其他方面也相似或相同； 或其中 一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理（简称类比） ． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
高中数学北师大版选修1-2 1.2 类比推理课件(32张)
两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所
在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
三角形的两边之和大于第三边
四面体
三角形的中位线的长等于第三边长的一半 , 且平
行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点 , 且这个点是
富的联想,利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难 度 ,先解决较简单的问题 ,再类比到复杂问题 ,常常可达到柳 暗花明的成效.
跟踪训练 2
1 设 f ( x) ＝ x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公 2＋ 2
式的方法,可求得 f(－5) ＋f(－ 4) ＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6) 的值是 3 2 ______.
§1 1.2
[学习目标]
归纳与类比 类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出推断.
知识点一
类比推理
(1)类比推理的含义
由于两类不同对象具有某些类似的特征 , 在此基础上 , 根据 一类对象的其他特征 ,推断另一类对象也具有类似的其他特征 , 这种推理过程称为类比推理. 类比推理是 两类事物特征之间 的推理.
(2)类比推理的特征 类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
(4)思维过程流程图：
观察、比较 ― → 联想、类推 ― → 猜想新的结论
思考 类比推理的结论能作为定理应用吗？
答 不能.因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格
的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用.
n2＋2n－n nn＋1 所以 1＋2＋3＋„＋n＝ ＝ . 2 2
在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
三角形的两边之和大于第三边
四面体
三角形的中位线的长等于第三边长的一半 , 且平
行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点 , 且这个点是
富的联想,利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难 度 ,先解决较简单的问题 ,再类比到复杂问题 ,常常可达到柳 暗花明的成效.
跟踪训练 2
1 设 f ( x) ＝ x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公 2＋ 2
式的方法,可求得 f(－5) ＋f(－ 4) ＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6) 的值是 3 2 ______.
§1 1.2
[学习目标]
归纳与类比 类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出推断.
知识点一
类比推理
(1)类比推理的含义
由于两类不同对象具有某些类似的特征 , 在此基础上 , 根据 一类对象的其他特征 ,推断另一类对象也具有类似的其他特征 , 这种推理过程称为类比推理. 类比推理是 两类事物特征之间 的推理.
(2)类比推理的特征 类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
(4)思维过程流程图：
观察、比较 ― → 联想、类推 ― → 猜想新的结论
思考 类比推理的结论能作为定理应用吗？
答 不能.因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格
的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用.
n2＋2n－n nn＋1 所以 1＋2＋3＋„＋n＝ ＝ . 2 2
1.1 归纳与类比 课件(北师大选修2-2)
[例 1]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 已知：1> ；1＋ ＋ >1；1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 2 3 2 3 4 5 6 7
3 1 1 1 > ；1＋ ＋ ＋…＋ >2；…… 2 2 3 15 根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
[思路点拨]
n
观察不等式左边最后一项的分母特点为
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构
成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有 点构成的集合． (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是 空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质. 圆 球
圆心与弦(非直径)中点的连 球心与截面(不经过球心的小 线垂直于弦 圆面)圆心的连线垂直于截面
[一点通]
根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：
(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代
数式的相同或相似之处等；
(2)提炼出数、式的变化规律；
(3)运用归纳推理写出一般结论．
1．(2012· 陕西高考)观察下列不等式： 1 3 1＋ 2< ， 2 2 1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 …… 照此规律，第五个不等式为___________________．
2.演绎推理的含义 演绎推理是根据 已知的事实 和 正确的结论 ，按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
1.归纳推理的特点
（1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论 是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳 推理不能作为数学证明的工具； （2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代
高中数学 1.2 类比推理同步课件 北师大版选修22
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教
当
学
堂
方 案
1.了解类比推理的含义，能利用类比推理进行简
双 基
设
达
计 课标解读 单的推理．(重点、难点)
标
课 前
2.体会合情推理在数学发现中的作用.
课
自
时
主
作
导
业
学
课
教
堂
合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结 论不一定正确．对于数学命题，需要通过___演__绎__推__理_____严 格证明．
演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的 逻辑法则得到新结论的推理过程.
BS·数学 选修2-2
教
易
学
错
教
易
法
误
分 析
等差数列与等比数列的类比
辨 析
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
学
【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四
课 堂
个面的面积．
教 师
互
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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错
教
易
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分
辨
析
析
教
当
学
堂
方 案
1.了解类比推理的含义，能利用类比推理进行简
双 基
设
达
计 课标解读 单的推理．(重点、难点)
标
课 前
2.体会合情推理在数学发现中的作用.
课
自
时
主
作
导
业
学
课
教
堂
合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结 论不一定正确．对于数学命题，需要通过___演__绎__推__理_____严 格证明．
演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的 逻辑法则得到新结论的推理过程.
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分 析
等差数列与等比数列的类比
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课 前 自 主 导 学
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【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四
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个面的面积．
教 师
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单位元
a+0=a
通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出 空间中四面体性质的猜想．
第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理
1
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
2
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
14
练习2
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则图(2)有体积关系: PA PB PC VP ABC
B B
B
A
B
C
P
C
A
P
图(1)
A 图(2)
A
15
例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P 为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc, pb pc 我们可以得到结论: pa
ha
平面上 图 形 结 论
hb
hc
A P
1
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
空间中
A P pb pc pa B C
D C
B
pa pb pc 1 ha hb hc
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
16
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
问：这样猜星上是否有生命？
火星
地球
相似点: 相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
5
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其
中一类对象的某些已知特征，推出另一类
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
17
18
9
练习1 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
10
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
12
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理, 试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3 和1个“斜面” S
13
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
7
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
8
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。