一元函数求极限的若干方法

一元函数求极限的若干方法

（陕西师范大学 数学系，陕西 ）

摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词：极限；方法

大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法.

1 利用极限的定义求极限

极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限.

1.1 数列极限的定义

设{}n x 是一个数列,a 是定数,如果对任意给定的0>ε,总存在正整数N ，使得当N n >时有

ε<-a x n ,

我们就称定数a 是数列}{n x 的极限.记为

a x n n =∞

→lim 或 ()∞→→n a a n .

例1 按定义证明01

lim

=∞→a

n n ，这里a 是常数. 证 由于

a

a n

n 1

01=-， 故对任给的0>ε,只要取11

1+⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=a εN ，则当N n >时，便有

εN n a a <<11 即εn

a <-01.

这就证明了 01

lim

=∞→a

n n . 例2证明2

23lim

33

n n n →∞=- 分析 由于()222399

3333n n n n n

-=≤≥-- （1）

因此，对任给的0ε>，只要

9

n

ε<，便有 2

233,3

n n ε-<- （2）

即当9

n ε

>

时，（2）式成立．又由于（1）式是在3n ≥的条件下成立的，故应取

9max 3,.N ε⎧⎫

=⎨⎬⎭⎩ （3）

证 任给0ε>，取9max 3,.N ε⎧⎫

=⎨⎬⎭⎩据分析，当n>N 时有（2）式成立．于

是本题得证．

注 本例在求N 的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的ε能确定出N ．又（3）式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可．

1.2 函数极限的定义

函数极限的定义包括两个，一个是x 趋于∞时函数的极限，另一个是x 趋于

0x 时函数的极限.

1.2.1 x 趋于∞时函数的极限

设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数.若对任给的0>ε，存在正数

()a M ≥，使得当M x >时有

()ε<-A x f ，

则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记为

()A x f x =+∞

→lim 或 ()()+∞→→x A x f .

1.2.2 x 趋于0x 时函数的极限

设函数f 在点0x 的某个空心邻域()

'。δx U ;0内有定义，A 为定数.若对任给的

0>ε，存在正数()'δδ<，使得当δx x <-<00时有

()ε<-A x f ，

则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记为

()A x f x x =→0

lim 或 ()()0x x A x f →→.

例3 证明 01

lim

=∞→x

x . 证 任给0>ε,取ε

M 1

=,则当M x >时有

εM

x x =<=-1101, 所以01

lim

=∞→x

x . 例4 设()24

2--=x x x f ,证明()4lim 2=→x f x .

证 由于当2≠x 时,

()24242

4

42-=-+=---=-x x x x x f ,

故对给定的0>ε,只要取εδ=,根据题意当δx <-<20时有()εx f <-4.这就证明了()4lim 2

=→x f x .

注 用极限的定义时，只需证明存在 σ,故求解的关键在于不等式的建立，在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧．但是不能把含有δ的因子移到不等式的另一边再放大，而是直接应该对要证其极限的式子一步步放大，有时还需要加入一些限制条件．限制条件必须和所求的δ一致，最后结合在一起考虑．

2 利用极限的四则运算法则求极限

对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单，但为了能够使用法则，往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简，那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定，常用的方法有：分式的约分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函数的恒等变形，某些求和或求积公式的恰当变量替换等等.

2.1 直接运用函数极限的四则运算法则求极限

直接运用函数极限的四则运算法则求极限时，前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0.

定理 若极限()()0

lim lim x x x x

f x

g x →→与都存在，则函数

()()()()()()()()()()()()

000

0,.1lim lim lim ;

2)lim lim .lim ;

lim 3)lim .limg x x x x x x x x x x x x x

x x x x x f g f g x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x x g x →→→→→→→→→±→±=±⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦=当时极限也存在，且）

例5 求极限：143lim 23

+-→x x x .

解 1614lim 3lim 143lim 3

23

23

=+-=+-→→→x x x x x x x .

例 6 0sin lim 1

lim sin lim

=⋅=∞→∞→∞→x x x

x x x x (这种解法是错误的，因为x x sin lim ∞→不存

在，因此x x x sin lim ∞→不能写成x x x x sin lim 1

lim ∞→∞→⋅.)

2.2 间接运用函数极限的四则运算法则求极限.

间接利用该法则求极限，即分母的极限等于零或分子、分母的极限为∞时则不能运用该法则.此时可采用下列方法求解.

2.2.1 消零因子法

对于有理分式可将分子、分母分解因式，消去公因式后再求解.

例7 求极限 6

3

3lim 2233-+--+-→x x x x x x .

解 ()

()()()5

8

21lim 3231lim 633lim 23232233-=--=+-+-=-+--+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x .

2.2.2 无穷大分除法

当∞→x 时，分子分母的极限为无穷大，可用分母的最高次幂去除分子分母 再取极限.

例8 .2253

2lim

22----+∞→x x x x x

解 根据题意