2020年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷

高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是()A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0B. ∃x∈Z，使x2+2x+m>0C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m>0D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m>02.两数√2+1与√2−1的等比中项是()A. −1B. 12C. 1D. ±13.“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. 3D. 2√35.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，S n是数列{a n}的前n项和，则S9等于()A. −8B. −6C. 10D. 06.双曲线x2m −y2n=1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为()A. 316B. 38C. 163D. 837.已知S n是数列{a n}的前n项和，则“{a n}是等差数列”是“{S nn}是等差数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且S nT n =7n+3n+3，则a2+a23b8+b17=()A. 176B. 134C. 193D. 1369.过(14,0)的直线与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于()A. 74B. 94C. 4D. 210.已知数列{a n}，如果a1，a2−a1，a3−a2，…，a n−a n−1，…，是首项为1，公比为13的等比数列，则a n=()A. 32(1−13n) B. 32(1−13n−1) C. 23(1−13n) D. 23(1−13n−1)11.已知点M(1,0)，A，B是椭圆x24+y2=1上的动点，且MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值是()A. [23,1] B. [1,9] C. [23,9] D. [√63,3]12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为()A. 13B. 12C. √32D. √63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是______．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+2，则数列{a n}的通项公式a n=______ ．15.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B两点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，若∠F1AF2=π2，且该椭圆的离心率e∈[√22,√63]，则θ的取值范围为______．16.过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆(x−1)2+y2=r2交于C，D两点，若有三条直线满足|AC|=|BD|，则r的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+2n+1，求a n．(2)已知{a n}是各项为正的等比数列，a1=2，a3=2a2+16，设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．18.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且a2c=√23．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．19.已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx−m+6>0恒成立．(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n−1}的前n项和(n∈N∗)；(3)设c n=log2b2n−1，P n为数列{4n2c n c n+1}的前n项和，求不超过P2019的最大整数．21.如图，已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点M(−2,1)是抛物线上的一点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若点P，Q在抛物线C上，且抛物线C在点P，Q处的切线交于点S，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，且满足k2−k1=1，当P，Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由．22.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程为x=4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE 的斜率分别为k1，k2，k3，求k2⋅(k1−k3)的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是：∀x∈Z，都有x2+2x+m>0，故选：C．将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m>0”．求含量词的命题的否定，应该将量词交换同时将结论否定．2.【答案】D【解析】解：设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2= (√2+1)(√2−1)=1，∴x=±1，故选：D．设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2=(√2+1)(√2−1)=1，解方程求得x的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，等比中项的定义．属于基础题．3.【答案】B【解析】解：若方程x2m +y22−m=1表示椭圆，则{m>02−m>0m≠2−m；解得0<m<2且m≠1；故“0<m<1”⇒方程x2m +y22−m=1表示椭圆；反之，方程x2m +y22−m=1表示椭圆推不出“0<m<1“．∴“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的充分不必要条件．故选：B．根据椭圆的标准方程，先推出方程x2m +y22−m=1表示椭圆的等价条件，再根据充分必要条件的定义得出结论即可．本题考查了椭圆的标准方程，充分必要条件的定义，属于基础题．【解析】解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±√3x所以焦点到其渐近线的距离d=√3√3+1=2√3．故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题．由a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，∴(a1+2×2)2=a1⋅(a1+3×2)，化为2a1=−16，解得a1=−8．∴则S9=−8×9+9×82×2=0，故选D．6.【答案】A【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，则双曲线的焦距为2，则有{m+n=11m=4解得m=14，n=34∴mn=316故选：A．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特这．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．【解析】解：∵{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn ⇔S n n=An +B ⇔{Snn }是等差数列，∴“{a n }是等差数列”是“{Snn}是等差数列”的充要条件． 故选：C ．等差数列的判定结合充要条件的判定可得结果．本题考查了等差数列的判定、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S nT n=7n+3n+3，则a 2+a 23b8+b 17=a 1+a 24b 1+b 24=S 24T 24=7×24+324+3=193，故选：C ．由题意利用等差数列的性质、前n 项和公式，求得要求式子的值． 本题主要考查等差数列的性质、前n 项和公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，而抛物线y 2=x 的焦点F 为(14,0)， ∴弦AB 的中点到准线x =−14的距离为2，则弦AB 的中点到直线x +12=0的距离等于2+14=94． 故选：B ．求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线x +12=0的距离．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)=1−(13)n1−13=32(1−13n)故选：A ．因为数列a 1，(a 2−a 1)，(a 3−a 2)，…，(a n −a n−1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项． 考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，设A(2cosα,sinα)，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围． 【解答】解：∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 设A(2cosα,sinα)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α=3cos 2α−4cosα+2=3(cosα−23)2+23，∴cosα=23时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最小值为23；cosα=−1时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最大值为9， 故选：C ．12.【答案】A【解析】解：如图所示，设P(x 0,y 0)，不妨设y 0>0． F 1(−c,0)，F 2(c,0)．则G(x 03,y3)，∵IG ⊥x 轴，∴x I =x 03．设三角形内切圆的半径为r ．由三角形内切圆的性质可得：12r(2a +2c)=12⋅2c ⋅y 0．解得r =cy 0a+c ，∴y I =cya+c ．设PF 1，PF 2分别与内切圆相切于点D ，E ． 则PD =PE =12(2a −2c)=a −c ．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2．∴(a−c)2+(cy0a+c )2=(x0−x03)2+(y0−cy0a+c)2，化为：x029 4(a−c)2+y02b2=1．与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)比较可得：a2=94(a−c)2，∴a=32(a−c)，可得ca=13．∴e=13．故选：A．如图所示，设P(x0,y0)，不妨设y0>0.利用三角形重心性质可得G(x03,y03)，根据IG⊥x轴，可得x I=x03.设三角形内切圆的半径为r.由三角形内切圆的性质可得：12r(2a+2c)=12⋅2c⋅y0.可得r=cy0a+c=y I.设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E.可得PD=PE=12(2a−2c)=a−c.在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2.化简整理即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】m>3【解析】解：若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则{x|x>m}⫋{x|x>3}，即m>3，即实数m的取值范围是m>3，故答案为：m>3．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．14.【答案】2×3n−1−1【解析】解：由a n+1=3a n+2，得a n+1+1=3(a n+1)，又a1=1，所以{a n+1}是以2为首项、3为公比的等比数列，∴a n+1=2×3n−1，a n=2×3n−1−1．故答案为：2×3n−1−1．由a n+1=3a n +2，得a n+1+1=3(a n +1)，从而可判断{a n }是以2为首项、3为公比的等比数列，进而可求得a n +1．本题考查由数列递推公式求数列通项，属中档题．15.【答案】[π6,5π6]【解析】解：由题可知，AF 1+AF 2=2a ，即2ccos θ2+2csin θ2=2a ．∴c a =1sin θ2+cos θ2=√2sin(θ2+π4)，又∵e ∈[√22,√63]，∴sin(θ2+π4)∈[√32,1]． 又∵θ∈[0,π]∴θ∈[π6,5π6]．故答案为：[π6,5π6]．根据直角三角形的性质，找到e 与θ的数量关系，利用函数思想可求出来．本题主要考查椭圆的简单几何性质，利用了三角函数恒等变形，并考查了给值求角．16.【答案】(2,+∞)【解析】解：抛物线y 2=4x 焦点为(1,0)，(1)当直线l ⊥x 轴时，直线l ：x =1与抛物线交于A(1,2)、B(1,−2)， 与圆(x −1)2+y 2=r 2交于C(1,r)，D(1,−r)，满足|AC|=|BD|．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程组{y =k(x −1)y 2=4x，化简得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，由韦达定理x 1+x 2=2+4k 2，由抛物线得定义，过焦点F 的线段|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=4+4k 2，当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，∵|AC|=|BD|，∴AB 的中点为焦点F(1,0)，这样的不与x 轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为A 、C 、B 、D 时， ∵|AC|=|BD|， ∴|AB|=|CD|， 又∵|CD|=2r ，∴4+4k 2=2r ，即2k 2=r −2，当r >2时存在互为相反数的两斜率k ，即存在关于x =1对称的两条直线．综上，当r ∈(2,+∞)时有三条满足条件的直线． 故答案为：(2,+∞)．求得抛物线的焦点，讨论直线l 的斜率不存在，可得A ，B ，C ，D ，满足题意；当直线的斜率存在，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，讨论当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，当四点顺序为A 、C 、B 、D 时，考虑是否存在与直线x =1对称的直线，即可得到所求范围． 本题考查抛物线的定义、方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当n =1时，a 1=s 1=6；当n ≥2时，a n =s n −s n−1=(3n +2n +1)−[3n−1+2(n −1)+1]=2⋅3n−1+2， 由于a 1不适合此式，所以a n ={6,n =12⋅3n−1+2,n ≥2．(2)设等比数列的公比为q ，q >0，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16， 即q 2−2q −8=0，解得q =−2(舍)或q =4．∴a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1；b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1， ∵b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】(1)应用数列的递推式，化简可得所求通项公式；(2)设等比数列的公比为q ，q >0，应用等比数列的通项公式解方程可得q ，可得a n ，b n ，再由等差数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的应用，等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意，{ca =√3a 2c=√23，解得a =√63，c =√2．∴b 2=c 2−a 2=2−23=43． ∴双曲线C 的方程为3x 22−3y 24=1；(2)由{3x 22−3y 24=1x −y +m =0，得3x 2−6mx −3m 2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=2m ，又中点在直线x −y +m =0上， ∴中点坐标为(m,2m)，代入x 2+y 2=5得m =±1，满足判别式Δ>0． ∴m 的值为±1．【解析】本题考查双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交的性质，是中档题． (1)由已知可得关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则双曲线方程可求；(2)联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系求得AB 的中点坐标，代入圆的方程求得m 值．19.【答案】解：(1)∵4m 2+4m −24<0，∴m 2+m −6<0，∴−3<m <2， ∴实数m 的取值范围为：(−3,2)． (2)p ：−1≤x ≤2，设A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2+2mx −m +6>0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由(1)知，−3<m <2时，B =R ，满足题意；②m =−3时，B ={x|x 2−6x +9>0}={x|x ≠3}，满足题意； ③m =2时，B ={x|x 2+4x +4>0}={x|x ≠−2}，满足题意； ④m <−3，或m >2时，设f(x)=x 2+2mx −m +6， f(x)对称轴为x =−m ，由A ⊊B 得 {−m <−1f(−1)>0或{−m >2f(2)>0， ∴{m >1−3m +7>0或{m <−23m +10>0，∴1<m <73或−103<m <−2，∴−103<m <−3或2<m <73综上可知：−103<m <73【解析】(1)由△<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；(2)把p 是q 的充分不必要条件转化为由A ⊊B ，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m的取值范围．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，由b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，∴q2+q−6=0．由q>0，解得q=2.∴b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①，由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2．∴数列{a n}的通项公式为a n=3n−2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．(2)设数列{a2n b2n−1}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，b2n−1=2×4n−1，有a2n b2n−1=(3n−1)×4n，∴T n=2×4+5×42+8×43+⋯+(3n−1)×4n，4T n=2×42+5×43+8×44+⋯+(3n−4)×4n+(3n−1)×4n+1，上述两式相减，得−3T n=2×4+3×42+3×43+⋯+3×4n−(3n−1)×4n+1=12×(1−4n)1−4−4−(3n−1)×4n+1=−(3n−2)×4n+1−8．得T n=3n−23×4n+1+83.∴数列{a2n b2n−1}的前n项和为3n−23×4n+1+83．(3)由(1)知：b2n−1=22n−1，则c n=log222n−1=2n−1．∴4n2c n c n+1=4n2(2n−1)(2n+1)=4n24n2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12×(12n−1−12n+1)，∴P n=[1+12(11−13)]+[1+12(13−15)]+⋯+[1+12(12n−1−12n+1)]=n+n2n+1，∴P2019=2019+20194039>2019，∴不超过P2019的最大整数为2019．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；(2)求得a2n b2n−1=(3n−1)×4n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)求得b2n−1=22n−1，c n=log222n−1=2n−1．4n2c n c n+1=1+12×(12n−1−12n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和P n，计算可得所求最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程得2p =4，得p =2， 因此，抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则y 1=x 124，y 2=x 224，k 2−k 1=y 2−1x 2+2−y 1−1x1+2=x 224−1x 2+2−x 124−1x 1+2=x 2−24−x 1−24=x 2−x 14=1，∴x 2−x 1=4.①对函数y =x 24求导得y′=x2，所以，直线PS 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 1x 2−x124，同理可知，直线QS 的方程为y =x 2x 2−x 224，联立直线PS 和QS 的方程{y =x 1x2−x 124y =x 2x 2−x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， 所以，点S 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，PS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 1x 2−x 124)=(2,x 1)，同理可得QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−x 2)， 由三角形面积的向量公式可得S △PQS =12|−2x 2+2x 1|=|x 1−x 2|=4． 因此，△PQS 的面积为定值4．【解析】(1)先设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，可求出p 的值，于是可得出抛物线C 的标准方程；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，利用已知条件得出x 2−x 1=4，利用导数求出抛物线C 在点P 、Q 处的切线方程，联立求出点S 的坐标，然后利用三角形面积的向量公式求出△PQS 的面积，进而解答题中的问题．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查利用导数求切线方程，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．22.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．依题意，ca =12，且a 2c=4，解得a =2，c =1．故b 2=a 2−c 2=3． 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).据题意，S 1S 2=32，即12×|AF|×|y 1|12×|BF|×|y 2|=32，整理可得|y 1||y 2|=12，所以NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 代入坐标，可得{1−x 2=2(x 1−1) −y 2=2y 1 ，即{x 2=3−2x 1 y 2=−2y 1 又点M ，N 在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 (3−2x1)24+(−2y 1)23=1 ，解得{x 1=74y 1=3√58 所以直线l 的斜率k =3√5874−1=√52． (3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)．联立方程组{y =k(x −1) x 24+y 23=1 整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故x D =x 1+x 22=4k 24k 2+3，y D =k(x D −1)=−3k4k 2+3，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )． 所以k 3=−3k4−1=−1k．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+1k )， =k(x 2−1)x 2−2⋅[k(x 1−1)x 1+2+1k ]=k 2(x 1−1)(x 2−1)+(x 2−1)(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−x 1+2x 2−2x 1x 2−2x 1+2x 2−4，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−(x 1+x 2)−2+3x 2x 1x 2−2(x 1+x 2)−4+4x 2=，k 2[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]+4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3−2+3x 24k 2−124k 2+3−2×8k 24k 2+3−4+4x 2，=3x 2−21k 2+184k 2+34x 2−28k 2+244k 2+3=3(x 2−7k 2+64k 2+3)4(x 2−7k 2+64k 2+3)=34．法二：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，即x =1k y +1，记m =1k ， 则直线l 的方程为x =my +1，与椭圆C 联立方程组{x =my +1 x 24+y 23=1 整理得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 所以y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2． 故y D =y 1+y 22=−3m 4+3m 2，x D =my D +1=44+3m 2，所以直线OD 的方程为y =−3m 4x ，令x =4，得y E =−3m ，即E(4,−3m)．所以k 3=−3m 4−1=−m ．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+m)=y 1y 2+my 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=y 1y 2+my 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2−1)=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−my 1+3my 2−3，=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−m(y 1+y 2)−3+4my 2=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−9m 24+3m 2+6m24+3m 2−3+4my 2，=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−12(m 2+1)4+3m 2+4my 2=34．法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 x 224+y 223=1 两式相减，得x 22−x 124+y 22−y 123=0，即y 2+y 1x2+x 1⋅y 2−y 1x 2−x 1=−34，所以k OD ⋅k =−34，即k OD =−34k，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )，所以k 3=−3k4−1=−1k． 又直线AM 的方程为y =k 1(x +2)，与椭圆C 联立方程组{y =k 1(x +2) x 24+y 23=1 整理得(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0，所以−2⋅x 1=16k 12−124k 12+3，得x 1=6−8k 124k 12+3，y 1=k 1(x 1+2)=12k14k 12+3．所以点M 的坐标为(6−8k 124k 12+3 , 12k14k 12+3)． 同理，点N 的坐标为(8k 22−64k 22+3 , −12k24k 22+3)． 又点M ，N ，F 三点共线， 所以k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=−12k 24k 22+38k 22−64k 22+3−1，整理得(4k 1k 2+3)(3k 1−k 2)=0，依题意，k 1>0，k 2>0，故k 2=3k 1． 由k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=4k11−4k 12可得，1k =1−4k 124k 1=14k1−k 1，即1k +k 1=14k 1． 所以k 2⋅(k 1−k 3)=3k 1⋅(k 1+1k )=3k 1⋅14k 1=34．【解析】(1)根据椭圆的性质和离心率公式即可求出a ，c 的值，即可求出b ，椭圆方程可得，(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据三角形面积，即可求出NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据点在椭圆上，即可求出点M 的坐标，即可求出直线的斜率，(3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法二：设直线l 的方程为x =my +1，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，根据点差法，三点共线，直线方程，斜率公式，化简整理即可本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理和斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是难题．。