中考数学三角形综合复习

第二节三角形

（一）三角形初步和全等三角形

考点精要解析

考点一：三角形的相关概念及分类

1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．2．三角形的分类

（1）三角形按边分类

三角形⎧

⎪

⎧

⎨

⎨

⎪

⎩

⎩

不等边三角形

底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形

等边三角形

（2）三角形按角分类

三角形⎧

⎪

⎧

⎨

⎨

⎪

⎩

⎩

直角三角形

锐角三角形斜三角形

钝角三角形

3．三角形具有稳定性．

4．三角形的三条重要的线段

（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高．

（2）连接一个顶点和它所对的边中点的线段叫作三角形的中线．

（3）三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线

考点二：三角形的边与角

1．三角形的三边关系

定理：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．

2．三角形的三边关系定理的应用

①判断给定的三条线段能否围成三角形；

②巳知两边确定第三边的长或周长的取值范围；

③证明线段间的不等关系．

3．三角形的内角和定理

（1）三角形三个内角的和是180°．

（2）三角形内角和定理的应用

①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角．

②证明角之间相等关系．

4．三角形的外角

（1）三角形的外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．（2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

（3）三角形外角和定理：三角形外角和是360°．

（4）三角形外角的性质的应用

①已知外角以及与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；

②可证一个角等于另两个角的和；

③利用它作为中间关系式证明两个角相等；

④利用它证明角的不等关系．

5．一些常用的基本图形

模型“小旗”模型“8”字模型“飞镖”模型

图形

线段

的结

论

AD＋BC＞AB＋DC AB＋AC＞BD＋DC

角的结论∠BCD＝∠A＋

∠B

∠A＋∠B＝∠C＋∠D

（需要证明）

∠BDC＝∠ABD＋∠A＋∠

ACD

（需要证明）

考点三：全等三角形

1．定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．

2．全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

（3）全等三角形的周长、面积相等；

（4）全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．3．全等三角形的判定

（1）一般三角形全等判定方法

①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；

②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；

③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；

④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．（2）直角三角形全等判定方法

①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直

角边”或“HL”）．

②一般方法：SAS，ASA，AAS．

4．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）

（1）已知两边

SAS

HL

SSS

→

⎧

⎪

→

⎨

⎪→

⎩

找两角

找直角

找另一边

（2）已知一边一角

AAS

ASA

AAS

SAA

→→

⎧

⎪

→

⎧

⎪

⎨⎪

→

⎨

⎪

⎪

⎪→

⎩

⎩

若边为角的对边找任意一角

找这条边上的另一角

若边就是角的一条边找这条边上的对角

找该角的另一边

（3）已知两角

ASA

AAS

→

⎧

⎨

→

⎩

找两角夹边

找任意一边

考点四：角平分线

1．角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

2．角的平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

3．三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，交点是三角形的内心，且到三边的距离相等．

4．与角平分线有关的辅助线图形

(1)在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段．(点垂线，垂两边，线等全等都出现)

如图4－2－1(a)所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD＝CE，△OCD≌△OCE．(2)在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．(角分线，分两边，对称全等要记全)

如图4－2－1(b)所示，在OA，OB上分别截取OD＝OE，连接CD，CE，则△OCD≌△OCE．(3)角平分线＋垂线，全等必出现，

如图4－2－1(c)所示，延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．

(4)角平分线十平行线，等腰三角形必呈现．

如图4－2－1(d)所示，∵∠2＝∠1＝∠3，∴OC＝CD．∴△COD是等腰三角形．