常微分方程与差分方程

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第12页
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.(C1, C2 是常 数)
定理 2:如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第16页
6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数, 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这 样的解叫做微分方程的通解.
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解, 叫做微分方程的特解.
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题, 叫初值问题.
y
e
P( x)dx
[
Q( x)e P( x)dxdx C]
(用常数变易法)
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
3.可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次,得通解.
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
第10页
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第11页
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
4.线性微分方程解的结构
(1) 二阶齐次方程解的结构:
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第9页
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x)
dx
当Q( x) 0,
上述方程称为齐次的.
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx(用分离变量法)
非齐次微分方程的通解为
第十章 常微分方程与差分方程
第1页
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第2页
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
4. 线性方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
Βιβλιοθήκη Baidu
可降阶方程
线性方程 解的结构
相关定理
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第3页
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 变量代换法 常数变易法 特征方程法
待定系数法
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第4页
一、主要内容——差分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第15页
y py qy 0
特征方程为 r 2 pr q 0
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
(2)二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)

y1*

y
* 2
分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
一阶方程 二阶方程
代入法 特征根法 待定系数法
特征方程法
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
1.微分基本概念
第6页
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程.
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为微分方程的阶.
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解.
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第14页
5.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
相关文档
最新文档