不定积分-定积分复习题及答案

（A ） F ( x ) = ⎨ ；（B ） F ( x ) = ⎨ ⎩ -e - x + c , x < 0 ⎩ -e - x + c + 2, x < 0

3、设 f ( x ) = ⎨0, x = 0 , F ( x ) = ⎰ f (t )dt ，则（

）

⎪ -1, x < 0 ⎰ t sin tdt

⎰ t

2dt

2

上海第二工业大学

不定积分、定积分

测验试卷

姓名：

学号：

班级：

成绩：

一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）

1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ⎰

x a

dx 应等于（ ）

（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax

+ C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + C

a 3 x a 2 x ax x

2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （

）

⎧e x + c , x ≥ 0 ⎧e x + c , x ≥ 0

1 2

⎧e x , x ≥ 0 ⎧e x , x ≥ 0

（C ） F ( x ) = ⎨ ；（D ） F ( x ) = ⎨

⎩ -e - x + 2, x < 0 ⎩ -e - x , x < 0

⎧1, x > 0 ⎪ x

；

⎩

（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；

（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；

（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；

（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。

4、极限 lim x →0

x 0

x

＝（ ）

（A ）－1；

（B ）0； （C ）1；

（D ）2

5、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。令 s = ⎰ 1

b

a

f ( x )dx ， s = f (b )(b - a )

2

1

s = [ f (a ) + f (b )](b - a ) ，则（ ）

3

（A ） s < s < s ； （B ） s < s < s ； （C ） s < s < s ； （D ） s < s < s

1 2

3

2

1

3

3

1

2

2

3

1

二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分）

4、函数F(x)=⎰

3、设x≥1，求⎰(1-t)dt，求⎰f(x-2)dx

,0

⎰6、计算⎰

ϕ

（（

设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：不等式⎰

2⎰f(x)dx。

1、设f(x)的一个原函数是e-2x，则它的一个导函数是___________。

2、设⎰2f(x)dx=1,f(2)=2，则⎰1xf'(2x)dx=_____________。

00

3、已知f'(e x)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=_________________。

x 1(2-

1

)dt(x>0)的单调减少区间为________________。

t

5、由曲线y=x2与y=x所围平面图形的面积为___________。

三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）

(1+x)2

1、计算⎰dx

x(1+x2)

x

-12、计算⎰x tan2xdx

⎧1+x2x≤

4、设f(x)=⎨

⎩e-x,x>0

3

1

5、1

0ln(1+x)

(2-x)2

dx+∞

1

1

x x-1

dx

7、已知曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l,l分别是曲线C在点

12

(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三队连续导数，计算定积分⎰3(x2+x)f'''(x)dx。

四、解答题（本题10分）

设f(x)连续，(x)=

⎰1

0f(x t)dt，且lim

x→0

f(x)

x=A（A为常数），求ϕ'(x)，并讨论ϕ'(x)

在x=0处的连续性。

五、应用题（本题6分）

设曲线方程为y=e-x(x≥0)，把曲线y=e-x,x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围平

面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。1）旋转体体积V(ξ)；2）求满足V(a)=的a值。

六、证明题（6分）1

lim V(ξ) 2ξ→+∞

b a xf(x)dx≥a+b b

a

1、一个导函数是f'(x)=4e-2x。

2、⎰

3、f(x)=1

(ln x)2。

1、解：⎰dx=⎰(+

当-1≤x<0时，原式=⎰(1+t)dt=

当x≥0时，原式=⎰(1+t)dt+⎰(1-t)dt=1-(1-x)2。

4、解：⎰f(x-2)dx===⎰1f(t)dt=⎰0(1+t2)dt+⎰1e-t d t=

5、解：⎰dx=⎰1l n(1+x)d()=ln(1+x)

0(2-x)2-x2-x

01-⎰

0(1+x)(2-x)

=ln2-⎰(1

+

1

)dx=

1

ln2。

不定积分、定积分测验卷答案

一．选择题：（每小格3分，共30分）

1、（A）sin ax

a3x+C；

⎧e x,x≥0

2、（C）F(x)=⎨

⎩-e-x+2,x<0

；

3、（B）F(x)在(-∞,+∞)内连续，在x=0点不可导；

4、（C）1；

5、（B）s

213二、填空题：（每小格3分，共30分）

1 0xf'(2x)dx=3

4。

1

24、单调减少区间为(0,

4

)。5、1

3。

三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）

(1+x)212

x(1+x2)x1+x2

)dx=ln x+2arctan x+c

2、解：⎰x tan2xdx=⎰x(sec2x-1)dx=⎰xd tan x-⎰xdx=x tan x-⎰tan xdx-

x2

=x tan x+ln cos x-+c

2x2 2

⎧1+t,-1≤t<0 3、解：被积函数f(t)=⎨

⎩1-t,0≤t<+∞

，

x -11

2

(1+x)2；

0x

1 -102

3 1x-2=t

-1-10

71

-。

3e

1

ln(1+x)11

2

1

1

302-x1+x30

1

1dx