不定积分-定积分复习题及答案
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）仅供参考积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,我们把函数f(x) 的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数f(x) 的不定积分. 记作∫f(x)dx其. 中∫叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x) 的不定积分,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x) 的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x) 的导数是f(x), 那么F(x)+C （C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说,把f(x) 积分,不一定能得到F(x), 因为F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以f(x) 积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用F(x)+C 代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx 上(限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b] 上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b] 的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx(上限 a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
定积分期末考试题及答案
定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx =∫<sub>a</sub><sup>b</sup>g(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫<sub>0</sub><sup>π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>(2x+1)dx的值为______。
答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。
答案：8/33. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>π</sup>sin(x)dx的值是______。
答案：24. 定积分∫<sub>-1</sub><sup>1</sup>|x|dx的值为______。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+ ８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分,定积分复习题及答案
姓名: 上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷学号: 班级: 成绩: 、选择题：(每小格3分，共30分) 竺仝为f(x)的一个原函数，且 a = 0，贝U x sinax sin ax 3 C ； (B ) 2 C ； ( C ) a x a x e x在(」：， ：：)上不定积分是F(x) C , 1、设(A ) 2、若 (A ) F(xH x_0 ；-e^+oxcO (B ) F(x)二(C ) < xe, xAO . F(x) x [-e +2,x v0 (D ) 3、设 (A ) (B ) (C ) (D ) 匸^dx 应等于( ) a 竺坐C ； ax sin ax (D) — x 则 F(x)二( ■ xe c,_xI e c 2,x ： 0 F (V 0 j —e , x < 01, x 0 f(x)二 0, x =0,F(x) f(t)dt ，则( -1,x ：：0 F(x)在x = 0点不连续; F(x)在内连续，在x = 0点不可导; F(x)在(_：：「：)内可导，且满足 F (x) = f (x)； F(x)在(-：：, =)内可导，但不一定满足 F (x)二f(x)。
4、极限啊 x tsin tdt 」 =( x 2 t 2dt(A)- 1； (D ) 2 b 5、设在区间[a,b]上 f (x) 0, f (x) :: 0, f (x) 0。
令 s 二 f (x)dx , s 2 二 ' a(B ) 0； (C ) 1 ； f(b)(b-a)& =2【f (a ) f (b)](b-a)，则((A ) 3 ：：： s 2::: S 3 ； (B ) s :::3 ：：： S 3；(C )sj::: S 1：：： S 2 ；(D) S 2：：：、填空题：(每小格3分，共30分)1、计算Md X2、计算 xta n 2 xdxX3、设 x _1，求,1 -t)dt1 + x ， x 04、设 f (x )、「x 01设f(x)的一个原函数是e-x ，则它的一个导函数是 ______________________2 1 2、 设］f (x)dx =1, f (2) =2，贝V ［xf (2x)dx = _______________ 。
第五章 不定积分与定积分习题解答
Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1
积分习题答案
积分习题答案积分习题答案积分作为微积分的重要概念之一，是解决各种数学问题的基础工具之一。
在学习积分的过程中，习题是不可或缺的一环。
通过积分习题的练习，可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。
本文将为大家提供一些积分习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、定积分定积分是积分的一种形式，用来计算曲线与坐标轴所围成的面积。
下面是一些常见的定积分习题及其答案：1. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
答案：∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3] (0,1) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1,2) (2x-1) dx。
答案：∫(1,2) (2x-1) dx = [x^2-x] (1,2) = 3。
3. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
答案：∫(0,π) sin(x) dx = [-cos(x)] (0,π) = 2。
二、不定积分不定积分是积分的另一种形式，用来求函数的原函数。
下面是一些常见的不定积分习题及其答案：1. 计算不定积分∫x^2 dx。
答案：∫x^2 dx = x^3/3 + C，其中C为常数。
2. 计算不定积分∫(2x-1) dx。
答案：∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，其中C为常数。
3. 计算不定积分∫sin(x) dx。
答案：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
三、应用题积分在实际问题中的应用非常广泛，下面是一些与应用题相关的习题及其答案：1. 已知物体的速度函数v(t) = 2t，求物体在时间区间[0,2]上的位移。
答案：位移是速度的积分，即∫(0,2) 2t dt = t^2 |(0,2) = 4。
2. 已知曲线的边界方程为y = x^2，求曲线与x轴所围成的面积。
答案：面积是曲线的定积分，即∫(0,1) x^2 dx = 1/3。
3. 已知物体的加速度函数a(t) = 2，初速度v(0) = 1，求物体在时间区间[0,3]上的位移。
不定积分、定积分及其几何应用(部分含答案)
不定积分、定积分及其几何应用1、⎰+.d )ln (ln 123x x x x求Cx x +--21)ln (22、.sin 1d ⎰+xx求⎰-dx x x2cos sin 1=-+tan cos .x xc 13、求⎰-dxe x114、.d csc 4⎰x x 求.cot cot 313c x x +--5、⎰.d cos 3x x 求.sin 31sin 3c x x +-6、.d )(ln 112x x x⎰-求.)arcsin(ln c x +7、求⎰+.d )1(35x x xc x x ++++323)1(123138、.d 1323x xx ⎰+⋅求9、⎰-.4d 2xx x求10、⎰-dxxx24求 11、.4d 22⎰-x xx求12、⎰xx x d 2sin cos 2求x x x d cos sin 23⎰⋅.cos 214c x +-=13、.1d 23⎰-x xx求.211arccos 2122c x x x+-+14、.d cos 23x x x ⎰⋅求().cos sin 21222c x x x ++15、 .d 2432x xx x ⎰-求 c x x +-12174517245416、⎰'=t t f t f t t t f d )()(,cos )(ln 求设ct t t +-⋅sin cos17、 ．求⎰+202sin 8sin πdx xx2ln 6118、 ．求⎰+1012dx ex )13(3-e 19、 ．求⎰-+121x x dx4π20、．⎰+401dx xx3ln 221、 ⎰-1224．求dx x x 233-π22、．求⎰-eex x x dx)ln 1(ln 23、求⎰π02sin xdxx 24、．求⎰π02cos xdx x 25、求⎰-+21 2121sin 1－dxxx26、⎰+2232)sin (cos ππ－dxx x 27、如果.,612ln 2x e dtxt求π=-⎰28、求．⎰403cos sin πdx xxx 214-π29、 ．求⎰-3232)4(x dx)12(33-29、．，计算：dx e x⎰∞+-0)21min(⎰⎰+∞-+2ln 2ln 021dx e dx x =+1221(ln )30、 ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1010)(dx x f x x x xe x f x 1243--e π31、 ．求⎰∞++122)1(x x dx41π-32、 ．求dx x x x ⎰∞+++1222)1(21⎰∞+++122)111(dxx x =+14π33、设，求⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=-01011)(x e e x xx f xx⎰∞--2)1( dx x f 34、设，求⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=011)(22x e x x x f x ⎰∞-1)(dx x f 35、()⎰∞+-+311x x dx求42π36、设为连续函数，满足，求)(x f C 98)()(1816120+++=⎰⎰x x dt t f t dt t f x x)(x f 37、设有连续的二阶导数，且，求)(x f a b f b a f ='=')()(，⎰'''ba dxx f x f )()(38、． 计算设⎰⎰==-11 )()(22dt t tf I dx e t f t x 39、⎰⎰++++1021021)]1ln(1[大小与不计算积分，试比较dx x dx x x x 40、⎰⎰+-10102)1ln()2(大小与不计算积分，试比较dx x dx x x 41、若间有什么关系？与问的原函数为xe xf x e x f xx )(,)(⎰'dxx f x )(并求42、若间有什么关系？与问的原函数为xxx f x x x f sin )(,sin )(⎰'dx x f x )(并求 、．为自然数，、求)()1(4310n dx xx n⎰-,sin 2t x =令 原式=+⎰22102cos n tdtπ=+2221()!!()!!n n 44、nn nx n a n n dx e x f a x x x x x f 220lim )2()21()()1(21210)(∞→-==⎩⎨⎧≤≤-≤≤=⎰ ，， 求：，，设函数()()()1202112 a f x edx xedx x e dx n nxnxnx ==+----⎰⎰⎰=-+--11222ne e n n ()=1()lim lim()21222 n n n n n n a e e →∞→∞--=-+45、设，为偶函数，且[]上连续 ，在，)0()()(>-a a a x x f ϕ)(x ϕ（常数），证明：k x f x f =-+)()(⎰⎰=-aaadxx k dx x x f 0)()()(ϕϕ⎰⎰+=-aa dx x x f dx x x f 00)()()()(ϕϕ左边⎰⎰+-=aadxx x f dx x x f 0)()()()(ϕϕ=⎰c x dxaϕ()046、)()0()()()()(1x F x dt t f xx F x f x ''≠=∞+-∞⎰，求 可导，且，在设113xf x '()47、设，求dt ttx f x ⎰=21sin )(⎰10)(dx x xf 原式=)11(cos 21)(21102-=⎰dx x f 48、为偶函数．证明：函数⎰++=xdt t t x F 02)1ln()()()1ln()()(02u t dt t t x F x x-=++=-∞+-∞∈∀⎰- ， =-+-⎰ln()12u u du x=++⎰ln()u u dux120 =F x ()∴ 为偶函数F x ()49、为偶函数．证明：设)( , )cos 21ln()(02x F dt x t x x F ⎰+-=πF x x t x dt()ln(cos )-=++⎰1220πt u x u x du =--+-⎰ππln(cos )()1220=-+⎰ln(cos )1220x u x du π=F x ()221d d 0d )(502=+-⎰=-=t tx u txu et t x x 所确定的，求是由方程、若22e具有连续导数．，求及，、已知)(,)2(1)(0)2(21)2(5110220x f dx x f x dx x f f f ⎰⎰''=='=（0）52、试求抛物线和抛物线相切于纵坐标y=3处的切线及x 轴所围成的平面1)2(2-=-x y 图形面积。
2023-2024经济数学(2)复习题答案详解
增．
填空题
1．
1
1 4x
2
dx
（
） d arctan2x ．
解：d arctan2x 2 dx ，所以， 1 dx 1 d arctan2x ．
1 4x2
1 4x2
2
2．
x
f
ln x f ln x
dx
解：
x
f
ln x f ln x
dx
f
ln x f ln x
d
ln
x
．
f
1
ln
x
df
(ln
x)
2
解：f xy，x y x2 y 2 xy (x y)2 xy ．令 xy s ，x y t ，则 f s，t t 2 s ，
故， f x，y y 2 x ．
填空题
15．若 z 2x2 3xy y2 ，则 2 z
．
xy
解： z 4x 3y ， 2 z 3．
x
xf
xdx
5
0
xdf
x
xf
5 (x)
0
5
0
f
xdx
5
f
(5)
3
7
．
填空题
5．
1
x
1 x2
2dx
1
．
偶倍奇零
1
解： x
1 x2 2dx
1 x2 2x 1 x2 1 x2 dx
1
2x
1 x2
1 dx
1
1
1
1
1dx 2 ． 1
6．
x2
1 dx 2x 2
xd
ln
x
ln
不定积分与定积分部分典型例题
不定积分与定积分部分典型例题例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有)()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可.解 因为x xx x x F ln 11)ln 1()(+=⋅+=' xxx x x x G ln 111ln )(+=+⋅='所以2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数.且有21)(21ln ln 21)ln 1(21)(22+=++=+=x G x x x x F说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为x21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是xx f 21)(=的积分曲线.解 c x x xx x f y +===⎰⎰d 21d )(且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c于是所求曲线方程为1+=x y例3 判断下列等式是否正确. （1）x xx xd 11d 11d22-=-⎰（2）c x x x +-='⎰cos d )(sin （3）21d ln d de 1=⎰x x x x 分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断. 解 （1）依照不定积分的性质x x f x x f d )(d )(d =⎰所以, 等式x xx xd 11d 11d22-=-⎰成立.（2）依照不定积分的性质c x f x x f +='⎰)(d )(所以, 等式c x x x +-='⎰cos d )(sin 不成立. 正确的应为c x x x +='⎰sind )(sin（3）由定积分定义,)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式21d ln d de 1=⎰x x x x 错误, 正确的结果应为0d ln d d e 1=⎰x xxx . 例4 计算下列积分： （1）x x x d )1(23+⎰（2）x xxxx)d sin e (3e 2-+⎰ （3）x x d sin 20⎰π分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[π上有⎩⎨⎧≤<-≤≤=πππ2sin 0sin sin x x x xx利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.解（1）将被积函数变形为32312)1(xx x x x ++=+x x x d )1(23+⎰=x xx x x x x x x x d 1d 2d d )12(33⎰⎰⎰⎰++=++=c xx x +-+2221ln 221. （2）将被积函数变形为xx xx xx22sin 1e)3()sin e (3e +=+-再利用积分公式和积分运算性质得=+-⎰x x x xx)d sin e (3e 2⎰⎰+x xx xd sin 1d e)3(2 =c x x+-+cot 13ln )e 3( (3)⎰⎰⎰-+=ππππ2020d sin d sin d sin x x x x x x)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=πππx x4=.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将xe 乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分： （1）x xx d 12⎰-；（2）x x xd )e (1e 2⎰+ （3）x xxd ln e12⎰（4）x x d sin 203⎰π分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数21x x -看成ux , 其中21x u -=, 且x x u d 2d -=, 于是,u ux ux d 121d -=, 这时对于变量u 可以利用公式求积分. （2）将被积函数2)e (1e x x +看成2e u x , 其中x u e 1+=, 且x u xd e d =, 于是22d d e u u x u x =, 这样对于变量xu e 1+=可以利用积分公式求积分.（3）将被积函数x x 2)(ln 看成x u 2, 其中x u ln =, 且x xu d 1d =, 于是x x u d 2u u d 2=, 这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数x 3sin 分解成x x x x x x x sin cos sin sin )cos 1(sin sin 222-=-=即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为x u sin 2, 其中x u cos =, x x u d sin d -=解 （1）x x x d 12⎰-=u ux x d 121)1d(112122⎰⎰-=---)1(2x u -= =c x c u +--=+-21（2）u ux xx x x d 1)e 1(d )e (11d )e (1e 222⎰⎰⎰=++=+ （x u e 1+=） =c c u x ++-=+-e111 （3）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有 31)01(3131d d ln 33103102e12=-===⎰⎰u u u x x x[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.)d(ln ln d ln e 12e12x x x xx⎰⎰=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x(4) 因为x x d sin 23⎰π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202⎰⎰⎰-=-πππ对于积分1cos d sin 2020=-=⎰ππx x x对于积分x x x d sin cos 202⎰π用凑微分法,[方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2π=x 时, 0=u , 于是有3131d d sin cos 1312202==-=⎰⎰u u u x x x π[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 20320222=-=-=⎰⎰πππx x x x x x说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分⎰u u f d )(容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着⎰u u f d )(容易求积分的方向进行.在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分： （1）⎰+x x x d 1)sin2(；（2）⎰22d e x x x； （3）⎰e e1d ln x x分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及v u ',的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为x v d ', 即v x v d d =', 使积分变为⎰v u d ； 2．代公式,⎰⎰-=u v uv v u d d , 计算出x u u d d '= 3．计算积分⎰u v d . 在定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba bau v uv v u d d , 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中ba uv 是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设x v x u 2sin ,1='+=, 则x v 2cos 21-=, 由分部积分公式有 ⎰⎰++-=+x x x x x x x d 2cos 212cos )1(21d 1)sin2(=c x x x +++-2sin 412cos )1(21 (2) 设2e ,x v x u ='=, 则2e 2xv =, 由定积分分部积分公式有44e 4e 4e4e 4d e 2e2d e 20222202202=+-=-=-=⎰⎰x x x x x x x x（3）因为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=e1ln 1e1ln ln x x x x x , 利用积分区间的可加性得到⎰⎰⎰+-=e11e1e e1d ln d ln d ln x x x x x x其中第一个积分为⎰⎰-=1e 11e11e1d ln d ln x xxx x x x1e2e 11e 1-=+-= 第二个积分为11e e d ln d ln e 1e1e1=+-=-=⎰⎰x x x x x ,最后结果为e221e 21d ln d ln d ln e 11e1e e1-=+-=+-=⎰⎰⎰x x x x x x . 例7 计算下列无穷限积分： （1）x x d )1(113⎰∞++；（2）⎰∞+-02d e x x ； （3）⎰∞+0d ln 1x xx 分析 对于无穷限积分⎰+∞ax x f d )(的求解步骤为：（1）求常义定积分⎰-=baa Fb F x x f )()(d )(；（2）计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）])1(21[lim d )1(1lim d )1(1121313bb b b x x x x x -+∞→+∞→∞++-=+=+⎰⎰=)41()21(])11()1[(lim 2122-⨯-=+-+---+∞→b b 81=（2）]e 31[lim d e lim d e 030303bx b bx b x x x -+∞→-+∞→∞+--==⎰⎰31]e e[31[lim 03=--=-+∞→bb (3)+∞===+∞→+∞→∞+⎰⎰bb b b x x x x xx e e e)ln(ln lim )d(ln ln 1lim d ln 1说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）81])1(21[d )1(11213-=+-=++∞-∞+⎰x x x （2）31]e 31[d e 0303=-=+∞-∞+-⎰xx x （3）+∞===∞+∞+∞+⎰⎰e x x xx x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e.。
定积分复习
e
（10）ò -
1022)(1xmdx ；（11）ò
p
lnx dx ；（12）ò 20x cos xdx .
1
e
1
11.已知.. f(0) = 1, f (2) = 3, f ￠(2) = 5 ，试计算ò0
xf ￠
￠￠(2x)dx .
35 6
b
1
15
1
(5) -ln |1+ 3 cos x | +C; (6) -(3 -2x) + C; (7) -3 -2x + C; (8) -ln |1 -10 x | +C;
3 cosxx +
(9) -ln |1 -3e | +C; (10) ln | x -5x + 7| +C; (11) -e + C; (12) 2eC;
211
(arcsin x2)
dx ；（2）ò-
332423sinxx dx .
21-xx + 2x +1
7.计算下列定积分:
（1）ò
p
xdx；（2）ò xdx；（3）òp
2 12 sin
1
dx ；（4）ò
p
-322cos1pxdx；
203cossinx1022(x +1)1 xx
12.设.. f(x) 在区间[a, b] 上具有二阶连续导数，且.. f(a) = f (b) = 0 ，证明：..
1
f ￠￠(x)(x -a)(x -b)dx
ò 2 ò=
babaxdxf()
微积分(I)复习(不定积分与定积分)
7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8） 估 值 定 理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10） 广 义 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且 在[a, b]
上 不 变 号, 则 存 在 [a, b], 使 得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
(四)变上限定积分
x2 a2 dx.
x
解 令 x asec t, 则
原式
a tant asec t
asin t cos2 t
dt
a
sin 2 t cos2 t
dt
a
tan 2
tdt
a (sec 2 t 1)dt a sec2 tdt dt
a d tant dt a tant at C
限 值 为f ( x)在[a, b]上 的 定 积 分 ， 记 作
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k1
f (k )xk
此 时 称f ( x)在[a, b]上 可 积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.
不定积分与定积分典型例题
不定积分与定积分典型例题(二)典型例题1.填空题(1)若/(X)的一个原函数为lnx2,则/(x)= ____________ .答案：-X(2)__________________________________ 若j* f(x)dx = sin 2x + c ,则f (x) ______________________ .答案：2cos2x(3)若Jcosxdx= _______________答案：sinx + c(4)J de .答案：e』+c(5)J(sinx)dx = ________________ ・答案：sinx + c(6)若j* f(x)dx = F(x) 4- c ,则J /(2A - 3)ck = 答案：丄F(2x — 3) + c2(7)若j* f\x)dx = F(x) + c» 则j*xf(\ -x~)ck = 答案：一丄F(l_/)+ c2(8)j^sin xcos2x-x2+ x)dx = __________ ・答案：-？3(9)£||ln(A2 + l)dx = ____________________ .答案：o(10)J°e2v d¥= _______ .答案：-22.单项选择题(1)下列等式成立的是()・A. dj/(x)cLv = f(x)答案：D （3）（） 答案：A （4）下列定积分中积分值为0的是（）・ -XC ・ f (x 3 +cosx)d¥D ・ f (x 2 +sinx)(iv J-ffJ-JT答案:A (5)设/(x)是连续的奇函数，则泄积分£/(x)ch =() A. 0 B./(x)cLv C. £ /(A )dv D. 2j° f(x)dx答案：A （6）下列无穷积分收敛的是（）・C.厂丄drD. JJ X e _2v d.v答案：D 3.计算题(1)J(2x-l),o dx-解：j(2x-l),u ck = |j(2x-l)10d(2¥-1) = J-(2x-l)u +cA .| ^inxdv B ・ C. —J f(x)dx = f(x)答案：c (2) 以下等式成立的是( A. In xdx = d(—) x C.dx 77D. Jd/W = /W)B ・ sin xdx = d(cosx)D. 3v dx = — In 3 A. /(x)-/(x) + cC. —x 2f'(x) + cB ・ xf\x) + c D ・(x + l)/3 + cLsin 丄(2) J —1 sm-] j ] 解：\— ¥ = - fsin —d — =cos_ + c J x" J xx x⑶ j'n_e v (4 + e r )2dA-解：「y hzdv =丄「(1 + 5In 小/(1 + 5Inx)=丄(1 + 5Inx)2 =-1(36-1) = - Ji r s Ji in in ?解：f xe'di =xe A 一 f e v dx-=4 •证明题⑴证明等式 = £[/(-X )+ /(X )]dA- •证明 J a /3dY = J 丿⑴山 + £ /(x)dv令 x = -t i 则 dY = -df,且当 x = -a 时，t =a > x = 0 时，t = 0 于是 f° /(T)d(“) = -f°/(-r)dr=f fl /(-r)dz= f7(-x)d.r J-n JO JO所以= J ： /(-x)dY + £ fMdx = £[/(-A -) + /(x)]dx(2)设厂(x)在S0]上连续，证明:\h xf'\X }dx = [bf\b) - f(b)]-[af\a) - /⑷]证明利用分部积分法，[灯0皿=[炖• 3 =时©) ][ — f f f (x)dx=bf(b) - af(a) - /(x)|：-W f (b) - f(b)] - - f(a)] e v (4 + e v )~dx = £ (4 + e l )2d(4 + e v )= (4 + e v )= 1(216-64) = 1^。
不定积分和定积分习题
f ( x) f ( x)dx f x df x 1 2 f x C 2
1 cos x sin 2 x C 2 2 1 x sin x
2
不定积分 dx 2 x x 1
u x 1
1 3 ln x 1dx 3
2 x ln x 1 dx
不定积分
e cos 2 x 2 e sin 2 xdx
x x
e
x
cos 2 xdx cos 2 xde
x
e x cos 2 x 2 sin 2 xde x
2 d x x 1 1 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1 3 1 dx 2 ln x x 1 2 2 2 2 3 1 x 2 2
......
不定积分
e
3 x
x 3 ue
练习题（不定积分、定积分）
y f x 0
a
0
x
x+dx
b
不定积分
sin x 已知 f ( x) 的一个原函数为 ，求 f ( x) f ( x)dx 1 x sin x 2 sin x cos x sin x 解： f x 2 1 x sin x 1 x sin x
x
sin x cos x 1 d sin x 1 sin 4 x dx 2 1 sin 2 x 2 1 2 arctan sin x C 2 x 2 dx dx 2 x 2 x 2 x 2 1
不定积分与定积分复习与典型复习题解答
不定积分与定积分复习与典型复习题解答(一)内容1.原函数与不定积分：原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
2.定积分：定积分的定义(用牛顿−莱布尼兹公式作定义)、性质和计算。
3.广义积分（简单的无穷限积分） (二)要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法。
2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分。
（三）典型例题1．填空题（1）若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 。
解：因为c x dx x f +=⎰2ln )( 所以=)(x f x xx 222= （2）若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=)(x f ． 解：=)(x f x 2cos 2（3）若c x x x x f +=⎰ln d )(，则=')(x f ． 解：=)(x f 1ln +x ，=')(x f x1（4）=⎰-x x d e d 2． 解：=⎰-x x d e d 2dx e x 2-（5）='⎰x x d )(sin ． 解：='⎰x x d )(sin c x +sin（6）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32( ． 解：⎰=-x x f d )32(c x F x d x f +-=--⎰)32(21)32()32(21 （7）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 ． 解：⎰=-x x xf d )1(2c x F x d x f +--=---⎰)1(21)1()1(21222 （8） .______d )2cos (sin 112=-⎰-x x x x 解：322d )2cos (sin 12112112-=-=-=-⎰⎰⎰--dx x dx x x x x x （9）=+⎰e 12d )1ln(d d x x x . 解：=+⎰e12d )1ln(d d x x x（10）x x d e 02⎰∞-= ．解：x x d e 02⎰∞-21)1(lim 21lim 21lim 20202=-===-∞→-∞→-∞→⎰a a ax a ax a e e dx e 2．单项选择题（1）下列等式成立的是（ ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 解：应选A（2）若c x x x f x +=⎰22e d )(，则=)(x f （ ）. A. )1(e 22x x x + B. x x 22e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e解：因为c x x x f x +=⎰22e d )(，两边同时对x 求导得： =+=x x e x xe x f 22222)()1(e 22x x x + 应选A（3）以下计算正确的是（ ）A ．3ln 3d d 3xxx = B ．)1(d 1d 22x x x +=+ C ．x xxd d = D ．)1d(d ln x x x =解：应选A（4）=''⎰x x f x d )(（ ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1(解：=''⎰x x f x d )(⎰⎰+-'='-'='c x f x f x dx x f x f x x f xd )()()()()( 应选A（5）⎰-x a x d d 2=（ ）．A ．x a 2-B ．x a a x d ln 22--C ．x a x d 2-D ．c x a x +-d 2 答：应选C（6）如果等式⎰+-=--C x x f xx11e d e )(，则=)(x f （ ） A.x 1- B. 21x -C. x 1D. 21x解：由⎰+-=--C x x f x x11e d e )(两边对x 求导，得：)]1([)(211xe ex f xx---=--，=)(x f 21x - 应选B（7）若⎰+10d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．21解：因为⎰+10d )2(x k x 21)(102=+=+=k kx x 所以1=k 应选A（8）下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x xx d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππ D ．x x x d )sin (2⎰-+ππ解：令2)(xx e e x f --=则)(2)(x f e e x f xx -=-=-- 所以函数2)(xx e e x f --=是奇函数因此x xx d 2e e 11⎰---=0 应选A （9）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aa x x f -d )(（ ）A ．⎰0-d )(2a x x fB ．⎰0-d )(a x x fC ．⎰ax x f 0d )( D ． 0 答：应选D（10）下列无穷积分收敛的是（ ）．A ．⎰∞+0d in x x sB ．⎰∞+-02d e x xC ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x答：应选B 3．计算题（1）⎰+-x xxx x d sin 33解：⎰+-x xxx x d sin 33⎰⎰⎰+-=xdx dx x dx x sin 13c x x x +--=c o s32ln 323（2）x x d )12(10⎰- 解：x x d )12(10⎰-c x x d x +-+⋅=--=+⎰11010)12(110121)12()12(21 c x +-=11)12(221（3）x x x d 1sin2⎰解：x xx d 1sin2⎰c x x d x +=-=⎰1cos )1(1sin(4)x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰ 解：x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰319389)1(31)1()1(2ln 0322ln 0=-=+=++=⎰x x x e e d e (5)x x xd ln 51e1⎰+ 解：x x x d ln 51e 1⎰+⎰⎰++=+=ee x d x x d x 11)ln 51()ln 51(51ln )ln 51( 21)16(101)ln 51(215112=-=+⋅=ex(6)x x x d e 10⎰ 解：x xe xd 10⎰1)1(1011010=--=-=-==⎰⎰e e ee dx e xexde x xx x(7)⎰π20d sin x x x解：⎰20d sin πx x x )cos cos (cos 202020⎰⎰--=-=πππxdx x x x xd101sin 20=-==πx4.证明题(1)证明等式⎰⎰+-=-aaa x x f x f x x f 0)]()([)(d d 证明：⎰⎰⎰+=--aa aa dx x f dx x f dx x f 00)()()(考虑积分⎰-0)(a dx x f ，令t x -=，则dt dx -=，从而⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--=--=-aaaaadx x f dt t f dt t f dt t f dx x f 0)()()(])[()(所以⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰+-=+-=aa adx x f x f dx x f dx x f 0)]()([)()((2)设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([)(a f a f a b f b f b dx x f x ba -'--'=''⎰ 证明：⎰⎰⎰'-'='=''ba ba ba b a dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()()]()([)()()()()(a f b f a f a b f b x f a f a b f b ba '-'-'-'=-'-'=)]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'=。
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（A ） F ( x ) = ⎨ ；（B ） F ( x ) = ⎨ ⎩ -e - x + c , x < 0 ⎩ -e - x + c + 2, x < 03、设 f ( x ) = ⎨0, x = 0 , F ( x ) = ⎰ f (t )dt ，则（）⎪ -1, x < 0 ⎰ t sin tdt⎰ t2dt2上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ⎰x adx 应等于（ ）（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax+ C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + Ca 3 x a 2 x ax x2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （）⎧e x + c , x ≥ 0 ⎧e x + c , x ≥ 01 2⎧e x , x ≥ 0 ⎧e x , x ≥ 0（C ） F ( x ) = ⎨ ；（D ） F ( x ) = ⎨⎩ -e - x + 2, x < 0 ⎩ -e - x , x < 0⎧1, x > 0 ⎪ x；⎩（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。
4、极限 lim x →0x 0x＝（ ）（A ）－1；（B ）0； （C ）1；（D ）25、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。
令 s = ⎰ 1baf ( x )dx ， s = f (b )(b - a )21s = [ f (a ) + f (b )](b - a ) ，则（ ）3（A ） s < s < s ； （B ） s < s < s ； （C ） s < s < s ； （D ） s < s < s1 23213312231二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分）4、函数F(x)=⎰3、设x≥1，求⎰(1-t)dt，求⎰f(x-2)dx,0⎰6、计算⎰ϕ（（设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：不等式⎰2⎰f(x)dx。
1、设f(x)的一个原函数是e-2x，则它的一个导函数是___________。
2、设⎰2f(x)dx=1,f(2)=2，则⎰1xf'(2x)dx=_____________。
003、已知f'(e x)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=_________________。
x 1(2-1)dt(x>0)的单调减少区间为________________。
t5、由曲线y=x2与y=x所围平面图形的面积为___________。
三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）(1+x)21、计算⎰dxx(1+x2)x-12、计算⎰x tan2xdx⎧1+x2x≤4、设f(x)=⎨⎩e-x,x>0315、10ln(1+x)(2-x)2dx+∞11x x-1dx7、已知曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l,l分别是曲线C在点12(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。
设函数f(x)具有三队连续导数，计算定积分⎰3(x2+x)f'''(x)dx。
四、解答题（本题10分）设f(x)连续，(x)=⎰10f(x t)dt，且limx→0f(x)x=A（A为常数），求ϕ'(x)，并讨论ϕ'(x)在x=0处的连续性。
五、应用题（本题6分）设曲线方程为y=e-x(x≥0)，把曲线y=e-x,x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。
1）旋转体体积V(ξ)；2）求满足V(a)=的a值。
六、证明题（6分）1lim V(ξ) 2ξ→+∞b a xf(x)dx≥a+b ba1、一个导函数是f'(x)=4e-2x。
2、⎰3、f(x)=1(ln x)2。
1、解：⎰dx=⎰(+当-1≤x<0时，原式=⎰(1+t)dt=当x≥0时，原式=⎰(1+t)dt+⎰(1-t)dt=1-(1-x)2。
4、解：⎰f(x-2)dx===⎰1f(t)dt=⎰0(1+t2)dt+⎰1e-t d t=5、解：⎰dx=⎰1l n(1+x)d()=ln(1+x)0(2-x)2-x2-x01-⎰0(1+x)(2-x)=ln2-⎰(1+1)dx=1ln2。
不定积分、定积分测验卷答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A）sin axa3x+C；⎧e x,x≥02、（C）F(x)=⎨⎩-e-x+2,x<0；3、（B）F(x)在(-∞,+∞)内连续，在x=0点不可导；4、（C）1；5、（B）s<s<s。
213二、填空题：（每小格3分，共30分）1 0xf'(2x)dx=34。
124、单调减少区间为(0,4)。
5、13。
三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）(1+x)212x(1+x2)x1+x2)dx=ln x+2arctan x+c2、解：⎰x tan2xdx=⎰x(sec2x-1)dx=⎰xd tan x-⎰xdx=x tan x-⎰tan xdx-x2=x tan x+ln cos x-+c2x2 2⎧1+t,-1≤t<0 3、解：被积函数f(t)=⎨⎩1-t,0≤t<+∞，x -112(1+x)2；0x1 -1023 1x-2=t-1-1071-。
3e1ln(1+x)11211302-x1+x3011dx⎰dx = ⎰ 2 dx + ⎰ +∞1dx ==== ⎰ 2 x x - 1 (t 2 + 1)t 2 1 x -1=t 2 2dx = ⎰ +∞= 2( - ) ；⎰⎰f ( x t )dt =⎰1f (u )所以 ϕ ( x ) = ⎨6、解：因为 lim f ( x ) = ∞ ，所以 x = 1 为瑕点，因此该广义积分为混合型的。
x →1++∞ 11 1 1 x x - 1 1 x x - 12 x x - 1dx = I + I12I = ⎰211 2tdt π= 2arctan x 1 =I = ⎰+∞21 2tdt x x - 1 1 (1+ t2 )t== 2arctan x +∞ 1 π π 2 4所以 +∞1 1 x x - 1dx = I + I = π 。
1 27、解：按题意，直接可知f (0) = 0, f (3) = 0, f ''(3) = 0 （拐点的必要条件）。
从图中还可求出 y = f ( x ) 在点 (0,0) 与 (3,2) 处的切线分别为 y = 2 x , y = -2 x + 8 。
于是f '(0) = 2, f '(3) = -2 。
所以⎰3 0( x 2 + x ) f '''( x )dx = ⎰ 3( x 2 + x )df ''( x ) = ( x 2 + x ) f ''( x ) 3 - ⎰ 3f ''( x )(2 x + 1)dx= -⎰ 3(2 x + 1)df '( x ) = -(2 x + 1) f '( x ) 3 + 2⎰ 3f '( x )dx = -7 f '(3) + f '(0) + 2 f ( x )= -7 ⋅ (-2) + 2 + 2 ⋅ (2 - 0) = 20 。
四、解答题（本题 10 分）3 0解：因为 lim x →0f ( x ) x= A ，故 lim f ( x ) = 0 ，而已知 f ( x ) 连续， lim f ( x ) = f (0) = 0 ；x →0 x →0由于 ϕ ( x ) =⎰1 0f ( x t )dt ，令 u = xt ，当 t : 0 → 1 时，有 u : 0 → x ， du = xdt ；当 x ≠ 0 时，有 ϕ ( x ) =当 x = 0 时，有 ϕ (0) =⎰1x1⎧ ⎰ x f (u )du⎪ 0 x⎪⎩0,, x ≠ 0 。
x = 0x →0 x →0 , x ≠ 0 ⎪ ⎪所以 ϕ '( x ) = ⎨ 。
⎪⎩ 2 , 解：（1）V (ξ ) = ⎰π y 2dx = ⎰π (e - x )2 dx = 2 ⎰ f (t )dt即⎰⎰ f ( x )dx ≥ 0 ，所以有 ⎰bxf ( x )dx ≥a + b⎰ bf ( x )dx 。
a a当 x ≠ 0 时，有ϕ '( x ) = xf ( x ) - ⎰ 0x f(u )dux 2；当 x = 0 时， lim x →0 ϕ( x ) - ϕ(0)x - 0 = limϕ( x ) x= lim x →0⎰ x0 f (u )dux 2 = limf ( x ) A = ；2 x 2⎧ xf ( x ) - ⎰ x f (u )du0 x 2 ⎪ Ax = 0又因为 lim ϕ'( x ) = limx →0 x →0xf ( x ) - ⎰ x f (u )du0 x 2f ( x ) ⎰x f (u )du= lim( -x →0 x x 2A A) = A - = ，2 2所以 lim ϕ'( x ) = ϕ'(0) =x →0A 2，即 ϕ '( x ) 在 x = 0 处连续。
五、应用题（本题 6 分）ξ ξπ 2(1- e -2ξ ) ；（2）V (a ) = π 2 (1- e -2a ) ，于是V (a ) = 1 1 π πlim V (ξ ) = ⋅ lim (1- e -2ξ ) = ；2 ξ →+∞ 2 ξ →+∞ 2 4π 1 π 1故 (1- e -2a ) = lim V (ξ ) = ⇒ a = ln 2 。
2 2 ξ →+∞ 4 2六、证明题（6 分）证：设 F ( x ) = ⎰ x tf (t )dt - a a + x xax ∈[a , b ]因为 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，所以F '( x ) = xf ( x ) -1⎰xf (t )dt -a + xf ( x ) = x + a f ( x ) - 1 ⎰ xf (t )dt = 1⎰ x [ f ( x ) - f (t )]dt 2a2 2 2 a 2 a因为 f ( x ) 在 [a , b ] 单调增加， 0 ≤ t ≤ x , f (t ) ≤ f ( x ) ⇒ f ( x ) - f (t ) ≥ 0 ，所以 F '( x ) ≥ 0 ；所以 F ( x ) 在 [a , b ] 单调增加；又 F (a ) = 0, 所以 F (b ) ≥ F (a ) = 0 ，baxf ( x )dx -a +b b2 2 a。