02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲).

e jt L[
e jt
1(t)]
2
1 2
s
1
j
s
1
j
s2
s
2
2.1.1 简单函数的拉氏变换
4 幂函数 t n 1(t)
L[tn 1(t)]
tn
0
estdt
1 t en st s
|0
n s
t n1 est dt
0
L[tn 1(t)] n t n1 estdt n L[tn1 1(t)]
例：
L[sin t
1(t )]
e jt L[
e jt
1(t)]
2j
1 2j
s
1
j
s
1
j
s2
2
2.2 拉氏变换的性质
2 微分定理 L[ dx(t)] sX (s) x(0 )
推论：
（1）L[
d
n
dt •
x(t)] sn X (s) sn1x(0 ) sn2 x(0 )
dt n
s x(n2) (0 ) x(n1) (0 )
二阶导数的拉氏变换
L[
d
2 x(t dt 2
)
]
s
2
X
(s)
sx
(0)
x'
(0)
（2）在零初始条件下
L[
dn dt n
x(t)]
sn X (s)
2.2 拉氏变换的性质
3 积分定理
X (s) x1(0)
L[ x(t)dt] s s
式中
Baidu Nhomakorabea推论：
x1(0)
根据欧拉公式 e j cos j sin e j cos j sin
cos e j e j
2
sin e j e j
2j
2.1.1 简单函数的拉氏变换
L[sin t 1(t)] L[ e jt e jt 1(t)]
2j
1 2j
s
1
j
s
1
j
s2
2
L[cos t
1(t)]
x(t)dt t0
（1）L[ L
x(t)(dt)n ]
X (s) sn
x1(0 ) sn
x2 (0 sn1
)
L
（2）在零初始条件 下
x(n1) (0 ) s2
xn (0 s
)
L[
x(t)(dt)n ]
X (s) sn
2.2 拉氏变换的性质
4 衰减定理 L[eat x(t)] X (s a)
| L[(t)]
1(t
)est
dt
1 est
1
0
s 0s
2 指数函数 eat 1(t)
L[eat 1(t)] eat 1(t) estdt 0
1(t
)
e
(sa)t
dt
0
s
1 a
e(sa)t
|0
s
1
a
2.1.1 简单函数的拉氏变换
3 正弦函数 sin t 1(t) 余弦函数 cost 1(t)
lim x(t) lim sX (s)
t 0
s
7 终值定理
lim x(t) lim sX (s)
t
s0
注意:运用终值定理的前提 lim x(t)是存在。
t
2.2 拉氏变换的性质
8 时间比例尺改变的象函数（相似定理）
L[x( t )] aX (as) a
例：求 L[ f (at b) 1的(a拉t氏变b换)]。
s0
s
n0 n2
1
1
L[11(t)] s
n 1
L[t 1(t)] s2
L[t 2
1(t)]
2 s3
L[t n
1(t)]
n! sn1
2.1.1 简单函数的拉氏变换
x(t)
1
5 单位脉冲函数 (t)
t0
0
(t )
1
tl0im0 t0
(t 0且t>t0 ) (0 t t0 )
0 t0 单位脉冲函数
例：已知
L[sin t 1(t)]
s2 2
L[cos t
1(t)]
s2
s
2
求： L[eat sin t 1(t)] ?
(s a)2 2
L[eat cost 1(t)] ? s a (s a)2 2
2.2 拉氏变换的性质 5 延时定理
L[x(t a) 1(t a)] eas X (s)
其中 是正实数，即x(t)为指数级的；则x(t)的拉氏
变换存在，其表达式记作:
X (s) L[x(t)]
x(t)est dt
0
式中，s是复变数； s j
x(t ) 为原函数；X (s)为象函数。
2.1.1简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1(t)
0,t 0 1(t) 1,t 0
)
1 2
t
2
t0
L x(t) 1(t) 1 t e2 stdt 02 1 s3
0
t
单位加速度函数
2.2 拉氏变换的性质 1 叠加定理（线性定理）
若 L[x1(t)] X1(s) L[x2 (t)] X 2 (s)
则 L[a x1(t) bx2 (t)] a X1(s) bX 2 (s)
11 周期函数的象函数 x(t T ) x(t)
2.1.1 简单函数的拉氏变换
6 单位速度函数（斜坡函数）
x(t)
0 t 0
x(t) t t 0
1
L x(t) 1t
test dt
0
t est est dt s 0 s 0
1 s2
0
1
t
单位速度函数
2.1.1 简单函数的拉氏变换
7 单位加速度函数
x(t)
0 t 0
x(t
t
L[ (t) 1(t)] lim 1 estdt lim 1 1 est0
t 0 t0 0 0
t0 0 t0s
由洛必达法则：lim 1 (1 et0 s ) lim (1 et0 s )
t0 0 t0 s
t00 (t0 s)
所以： L (t) lim s et0 s 1
s t0 0
L[ f (at b) 1(at b)]
L{ f [a(t b )]1[a(t b )]}
a
a
1
F
(
s
)
e
b a
s
aa
2.2 拉氏变换的性质
9 tx(的t)象函数
L[tx(t)] dX (s) ds
10 x(t的) 拉氏变换
t
L[ x(t) ]
X (s)ds
t
s
2.2 拉氏变换的性质
x(t)
x(t)
t
t
a
L[sin
(t
4)
1(t
4)]
e4s
s2
2
2.2 拉氏变换的性质 例：求如下图的拉氏变换。
f (t) f1(t) f2 (t) E 1(t) E 1(t t0)
L[ f (t)] E et0s E E (1 et0s )
s
ss
2.2 拉氏变换的性质 6 初值定理
2 拉氏变换与反变换
拉氏变换作用：将微分方程转换为代数方程， 使求解大大简化，拉氏变换是分析机电控制系统的 基本数学方法之一。在此基础上，进一步得到系统 的传递函数。
2.1 拉氏变换定义
对于函数x(t)满足， （1）t<0时， x(t)=0
t>=0时，x(t) 在每个有限区间上分段连续。
（2） x(t)et dt 0