线性规划的图解法
合集下载
线性规划图解法
第二节 线性规划的图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
上页
下页 继续
返回
例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
上页
下页
返回
图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页 返回
上页
图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
上页 下页 返回
图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
上页
下页
返回
线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
上页
下页 继续
返回
例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
上页
下页
返回
图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页 返回
上页
图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
上页 下页 返回
图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
上页
下页
返回
线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
第2章 线性规划图解法
-8
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
线性规划的图解法
价值系数向量或 目标函数系数向量
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
x1 x2 X x n
决策变量向量
b1 b2 b b模型的一般形式（推广）
设决策变量 x1 ，x2 ，… ，xn 目标函数：max（min）z = c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件 s.t.：a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（=, ≥）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（=, ≥）b2 …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（=, ≥）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
主要内容
问题的提出（建模）
线性规划模型的标准化
图解法
灵敏度分析
线性规划（Linear Programming）
规划问题：生产和经营管理中经常提出如何合理安 排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得 最大的效益。
线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现代科学管 理的重要手段之一，是帮助管理者作出最优决策的一 个有效的方法。
线性规划问题的数学模型
例 如图所示，如何截取x使铁皮所围成 的容积最大？
x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
2.1 问题的提出（建模）
例1：某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如 下表所示，问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、 Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
x1 x2 X x n
决策变量向量
b1 b2 b b模型的一般形式（推广）
设决策变量 x1 ，x2 ，… ，xn 目标函数：max（min）z = c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件 s.t.：a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（=, ≥）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（=, ≥）b2 …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（=, ≥）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
主要内容
问题的提出（建模）
线性规划模型的标准化
图解法
灵敏度分析
线性规划（Linear Programming）
规划问题：生产和经营管理中经常提出如何合理安 排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得 最大的效益。
线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现代科学管 理的重要手段之一，是帮助管理者作出最优决策的一 个有效的方法。
线性规划问题的数学模型
例 如图所示，如何截取x使铁皮所围成 的容积最大？
x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
2.1 问题的提出（建模）
例1：某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如 下表所示，问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、 Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
线性规划的图解法
生产每吨产品所需资源 所需工时占总工时比例 所需原材料（吨）
产 A 1/3 1/3
品 B 1/3 4/3
C 1/3 7/3
设三种产品的产量分别是x1、x2、 x3吨，由于有三个决策变量，用图解 法求解下面的线性规划时，必须首先 建立空间直角坐标系。 M ax Z = 2 x1 +3 x2 +x3
1/ 3x1 +1/ 3x 2 +1/ 3x 3 1 s.t 1/ 3x1 + 4 / 3x 2 + 7 / 3x 3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
x2
14 —
12 — 10 —
2x1 + x2 16 B C 2x1 + 2x2 18
4x1+ 6x2=48 2x1+ 2x2 =18
(0,6.8) 8 —
6—
最优解 (3,6)
4x1 + 6x2 48
4—
2— | 2 | 4 | 6
D
| 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18
4x 1 2x 1 s. . t 2x 1 x ,x 2 1 6x 2 48 2x 2 18
x 2 16
0
按小组分工完成（1）画约束条件1；（2）画约束条 件2； （3）画约束条件3； （4）标明可行域； （5） 目标函数等值线； （6）说明如何得到最优解，算出相 应的目标函数最优值。 其他几 个小组对应讲评。
（案例1）某工厂生产A、B、C三种产品， 每吨的利润分别为2000元、3000元、1000元， 生产单位产品所需的工时及原材料如表1－2所 示。若供应的原材料每天不超过3吨，所能利 用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生 产计划，使三种产品的总利润最大？
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
线性规划图解法(NO3)
2x1 =16
最优值
C
2x2 =10 Maxz=37
Z=30 B Z=37
Z=15
0
4
8A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
3
一、线性规划问题的图解法
3、LP问题图解法的步骤：
（1）画出直角坐标系； （2）依次做每条约束直线，标出可行域的方向，并找出 它们共同的可行域；
（3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线） ,根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开 可行域处，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。
例：用图解法求解如下线性规划问题
最优解为
max Z 4x1 3x2
s.t.
32xx11
3 2
x x
2 2
24 26
x1,
x
2
0
B(0,13) Q3(0,8)
3x1+2x2=26 Q2(6,4)
x1=6,x2=4 最优值为 maxz=36
2x1+3x2=24
Q1(26/3,0) A(12,0)
一、线性规划问题的图解法
4、线性规划解的特性
• 由线性不等式组成的可行域是凸多边形(凸多边形是凸集)
凸集定义：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合
a
b
c
d
• 可行域有有限个顶点。 • 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在 其区域的内部。
5
一、线性规划问题的图解法
5、线性规划解的可能性
x1 x2 5 s.t.3x1 4x2 24
x1, x2 0
4
2
O
2
4
6
8 x1
第二章 线性规划的图解法
x2
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
[ 感谢观看 ]
约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
线性规划的图解法
设备能力(h)
3 2 0 1500
65 40 75
2.2.1 线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的 总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
2.2.1 线性规划的图解法
(1)建立直角坐标系： 分别取决策变量x1 ,x2 为坐标 向量，建立平面直角坐标系。
2.2.1 线性规划的图解法
（2）绘制可行域： 对每个约束（包括非负约束）条 件，作出其约束半平面（不等式）或 约束直线（等式）。
各半平面与直线交出来的区域若 存在，其中的点为此线性规划的可行 解。称这个区域为可行集或可行域。 然后进行下步。否则若交为空，那么 该线性规划问题无可行解。
线性规划的图解法
2.2.1 线性规划的图解法
对于只有两个决策变量的线性 规划问题，可以二维直角坐标平 面上作图表示线性规划问题的有 关概念，并求解。 图解法求解线性规划问题的步 骤如下：
例题
目标函数 Max z =1500x1+2500x2
约束条件 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0
2.2.1 线性规划的图解法
(3) 绘制目标函数等值线，并移动求解：
目标函数随着取值不同，为一族相 互平行的直线。 首先，任意给定目标函数一个值， 可作出一条目标函数的等值线（直线）； 然后，确定该直线平移使函数值增 加的方向； 最后，依照目标的要求平移此直线。
2.2.1 线性规划的图解法
结果
若目标函数等值线能够移动到 既与可行域有交点又达到最优的位 置，此目标函数等值线与可行域的 交点即最优解（一个或多个），此 目标函数的值即最优值。 否则，目标函数等值线与可行 域将交于无穷远处，此时称无有限 最优解。
[管理学]第2章 线性规划的图解法
![[管理学]第2章 线性规划的图解法](https://img.taocdn.com/s3/m/adb09ff987c24028915fc3fc.png)
2 x1 + x2 ≤ 400 （原料A数量约束） x2 ≤ 250 （原料B数量约束）
x1 , x2 ≥ 0
h
管理运筹学
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ 案；
x1
，x2
，…
，xn
），每一组值表示一个方
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有
可能的设备台时数及原料B，但原料A则还剩余50千克。
h
管理运筹学
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有唯一最优解，则一定有一个可 行域的顶点对应最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
x1 , x2 ≥ 0
h
管理运筹学
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ 案；
x1
，x2
，…
，xn
），每一组值表示一个方
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有
可能的设备台时数及原料B，但原料A则还剩余50千克。
h
管理运筹学
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有唯一最优解，则一定有一个可 行域的顶点对应最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
1.2 线性规划的图解法
4x1 16 (0, 4) 4 x2 12 x1 + 2 x 2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
线性规划的图解法
线性规划的图解法
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
单击此处添加文本具体内容
演讲人姓名
二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
谢谢观看！
CLICK HERE TO ADD A TITLE
练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
单击此处添加文本具体内容
演讲人姓名
二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
谢谢观看！
CLICK HERE TO ADD A TITLE
练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B(8,3)
z* = 36
A(8,0)
x1
z = 12
精选ppt
14
线性规划的图解法
三、无界解
x2 z* +∞
x1
四、无可行解
x2
9 R2
6
R1∩R2 = Ø
3
R1
4 8 12
x1
精选ppt
15
谢谢观看！
精选ppt
z 法x向1= 8
D(0,6) C(4,6)
2x2= 12
R
z* = 42
B(8,3)
O(0,0)
z = 30
A(8,0)
x1
z = 15
精选ppt
11
线性规划的图解法
几点说明
实际运用时还须注意以下几点: (1)若函数约束原型就是等式,则其代表的区域仅为一直线,而
且问题的整个可行域R(若存在的话)也必然在此直线上。
(2)在画目标函数等值线时只须画两条就能确定其法线方向,为此,
只须赋给z 两个适当的值。
(3)在找出最优点后,关于其坐标值有两种确定方法: ① 在图上观测最优点坐标值 ② 通过解方程组得出最优点坐标值
精选ppt
12
图解法
学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动
无可行解(即无最优解)
20 精选pp3t 0
40
50
x1
10
线性规划的图解法
图解法的基本步骤
m1a°x画z 出= 可3x行1+域5x图2 形 2°画x出1 目标函≤数8的
s.t. 等3x值1+线42及xx22其≤≤法31线62 3°确x定1, 最优x2点≥ 0
X*= (4, 6)T
z* = 42
x2 边界方程
精选ppt
图解法
5
图解法
max Z = 2X1 +
X1 + 1.9X2 = 10.2(≤)
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
11 = 2X1 + X2 17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
D可行域
（7.6，2）
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值
max Z=17.2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
精选ppt
x1
6
图解法
若max Z=3X1+5.7X2
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
精选ppt
2
第三节 两个变量问题的图解法
解（参见教材P21） 解（参见教材P22）
精选ppt
3
第三节 两个变量问题的图解法
解（参见教材P23） 解（参见教材P23）
精选ppt
4
练习： 用图解法求解线性规划问题 max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
精选ppt
13
几种可能结果
线性规划的图解法
一、唯一解
如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
线段BC上无穷多个
x2
点均为最优解。
二、多重解
max z = 3x1+4x2
x1
≤8
s.t.
2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36
x1 ， x2 ≥ 0
D(0,6) C(4,6)
R
O(0,0)
图解法
练习： max Z=x1+2x2
x1 3x2 6
x1 x2 3x1 x
4 2 6
x1 0、x2 0
2
max Z min Z
x1+x2=4(≥)
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
2
4 精选ppt
6
x1
9
x2
50
40
30
20
10
O
10
练习： max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x1 x2 50 x1 0, x2 0
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
精选ppt
图解法
x1
8
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
精选ppt
7
min Z=5X1+4X2 x2
1
第三节 两个变量问题的图解法
线性规划问题的求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。