微积分讲座---Z2.16 奇异函数的卷积特性
微积分讲座---Z2.20 卷积的多种求解方法
三者常常结合起来使用。
例 已知 f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)。求卷积积分f1(t)*
f2(t)。
2
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
例 f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)，求卷积积分f1(t)* f2(t)。
2.3 卷积积分
知识点Z2.20
第二章 连续系统的时域分析
卷积的多种求解方法
主要内容：
卷积的多种求解方法
基本要求：
熟练各种卷积求解方法
1
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
Z2.20 卷积的多种求解方法
求解卷积的方法可归纳为：
(1)利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
解法I（定义）：
f1(t) f2 (t)
e2 ( ) (t )d
t e2 d (t) 1 (1 e2t ) (t)
0
2
解法II（性质）：
f1(t) f2 (t) (t) * e2t (t) (t) *[e2t (t)](1)
[e2t (t)](1) t e2 ( )d 1 (1 e2t ) (t)
2
3
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
解法III（图解）：
f1(t)
f2 (t)
t e2 d 1 (1 e2t )
0
2
0
t0 t0
解法IV（常用公式）：
f1 (t )
f2 (t)
(t) * e 2t
(t)
1 2
微积分讲座---Z2.2 微分方程的模拟框图
知识点Z2.2
第二章 要内容：
1. 基本部件的模型 2. 框图和方程之间的转换
基本要求：
1. 掌握框图的作图方法 2. 熟练掌握框图和微分方程的关系
0
2.1 LTI连续系统的响应
第二章 连续系统的时域分析
Z2.2 微分方程的模拟框图
1.基本部件：
d2 y(t) d y(t) a2 dt 2 a1 dt a0 y(t) f (t)
y(t) a1y(t) a0 y(t) f (t)
基本运算：数乘、微分、相加
基本部件：加法器、数乘器、积分器
f1 (t )
加法器：
f2 (t)
f1(t) f2 (t) ∑
a
数乘器： f(t)
可推导出:
y(t) = 4x’(t) + x(t)。(由LTI特性)
4
∑ f(t)
x"(t) ∫
3
x'(t)
x(t)
∫
2
∑ y(t)
4
2.1 LTI连续系统的响应
第二章 连续系统的时域分析
例3 已知框图，写出系统的微分方程。
x”(t)
∑
∫
f (t)
2
x’(t)
∫
4
x(t)
3
3
∑ y(t)
解：设辅助变量x(t)如图
af(t)
或a
积分器：
f (t)
∫
积分器的抗干扰性比微分器好
t
f (x)d x
1
2.1 LTI连续系统的响应
第二章 连续系统的时域分析
2.模拟框图 模拟框图：将微分方程用基本部件的相互联接表征
出来的图，简称框图。
卷积的定义和物理意义
卷积的定义和物理意义卷积（Convolution）是分析数学中一个重要的运算，很多具体实际应用中会用到这个概念，卷积的数学定义就是一个式子，背后有什么物理背景意义呢？这里做一个分析。
函数卷积的定义：设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g 的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f *g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
数列卷积定义：如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果定义：其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
卷积的物理意义（定义的来源思路）如果一个信号是一组历史信号的组合，比如a(0),a(1),a(2)......a(n)......，其中a(i)是i时刻信号的量值，我们要计算在某一时刻n的信号的组合量值f(n), f(n)是a(0),a(1),a(2)......a(n)的组合。
如果是类似f(n)=a(0)+a(1)+a(2)+......+a(n)的简单线性组合就好办了，但是信号会随着时间的变化，不断的在衰减的，也就是说我们只知道0时刻信号量值是a(0),但不知道a(0)变化到n时刻的时候的实际值，所以不能简单用到上面的线性组合式子。
现在假设我们知道信号的衰减规律符合统一规律函数b(n)，也就是说所有信号0时刻的衰减剩余率都是是b(0)，1时刻的衰减剩余率是b(1)......,如果我们求n时刻的信号组合量f(n)，因为n时刻a(n)信号刚出来，它的衰减剩余率应该为b(0)(理解一下），而 n-1时刻的信号衰减了一个时间周期了，它的衰减剩余率是b(1)......，写成式子就是：f(n)=a(0)b(n)+a(1)b(n-1)+a(2)b(n-2)+......+a(n)b(0)=sigma[a(i).b(n-i)]，i 取值 from0 ton.上面的式子，就是a(i).b(n-i)乘积形式的由来，作为数学推广，不是一般性，可以把取值范围推广到负无穷到正无穷。
2.4 卷积积分的性质
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
卷积的性质
第 17 页
阶跃响应的定义
(t )
初始状态为0 LTI
阶跃响应g(t)
第 18 页
冲激与阶跃响应之间的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
t
d g (t ) , h(t ) dt
第 19 页
冲激响应举例
LTI系统分析概述
系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响 应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
输入输出法（外部法） 系统的分析方法：
状态变量法（内部法）（chp.8)
时域分析（chp.2,chp.3) 外部法 变换域法 离散系统—频域法(4)和z域法(6) 系统特性：系统函数（chp.7)
设
h ' ( 0 ) h ' ( 0 ) a 1
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t ) (e e ) (t )
2t 3t
第 21 页
四、卷积积分
1
2 3
卷积概念
卷积图解法 Matlab求卷积
第 22 页
1.卷积概念
卷积概念视频
第 23 页
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
第 1页
连续系统—频域法(4)和复频域法(5)
求解的基本思路：
把零输入响应和零状态响应分开求。 把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本 信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
采用的数学工具： • 时 域： 卷积积分与卷积和 • 频 域： 傅里叶变换 • 复频域：拉普拉斯变换与Z变换
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]
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由时不变性： δ(t -τ)
h(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：
f
( ) (t ) d
f
( )h(t
) d
‖
‖
f (t)
yzs(t)
¥
ò yzs (t) =
f (t )h(t - t ) d t 卷积积分
-?
第2-4页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3 卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
f(t) f1()f2(t)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
第2-7页
■
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信号与系统 电子教案
2.3 卷积积分
二、卷积的图解法
f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d 用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移： 由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
卷积的介绍——精选推荐
卷积的介绍先看到卷积运算，知道了卷积就是把模版与图像对应点相乘再相加，把最后的结果代替模版中⼼点的值的⼀种运算。
但是，近来⼜看到了积分图像的定义，⽴马晕菜，于是整理⼀番，追根溯源⼀下吧。
1 卷积图像1.1 源头⾸先找到了⼀篇讲解特别好的博⽂，原⽂为：贴过正⽂来看：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------信号处理中的⼀个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形, 两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du 当然，证明卷积的⼀些性质并不困难，⽐如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。
其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚， 对于两个序列f[n],g[n],⼀般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k] 卷积的⼀个典型例⼦,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算, ⽐如(x*x+3*x+2)(2*x+5) ⼀般计算顺序是这样, (x*x+3*x+2)(2*x+5) = (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5 = 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10 然后合并同类项的系数, 2 x*x*x 3*2+1*5 x*x 2*2+3*5 x 2*5 ---------- 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 实际上,从线性代数可以知道,多项式构成⼀个向量空间,其基底可选为 {1,x,x*x,x*x*x,...} 如此,则任何多项式均可与⽆穷维空间中的⼀个坐标向量相对应, 如,(x*x+3*x+2)对应于 (1 3 2), (2*x+5)对应于 (2,5). 线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,⽽只有加法,数乘两种运算,⽽实际上,多项式的乘法,就⽆法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了. 但如果按照我们上⾯对向量卷积的定义来处理坐标向量, (1 3 2)*(2 5) 则有 2 3 1 _ _ 2 5 -------- 2 2 3 1 _ 2 5 ----- 6+5=11 2 3 1 2 5 ----- 4+15 =19 _ 2 3 1 2 5 ------- 10 或者说, (1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10) 回到多项式的表⽰上来, (x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 似乎很神奇,结果跟我们⽤传统办法得到的是完全⼀样的. 换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积. 其实,琢磨⼀下,道理也很简单, 卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在⼀起做了。
卷积积分(Convolution)的定义(精)
e(t) r(t) r ( t ) e ( t ) * h( t )
即
线性网络 零状态
t
h(t)
r (t ) e( )h(t )d
0
物理解释: 将激励 e(t)看成一系列宽度为 ，高度为 e(k )矩形脉冲叠加的。
e( t )
e(0)
o
2
k (k+1)
性质4筛分性性质3时刻观察到的响应应为0时间内所有激励产生的响应的和冲激响应积分参变量观察响应时刻解
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
f1 (t ) f 2 ( )d f 2 ( t ) * f1 ( t )
性质2
f1 (t ) *[ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * f 3 (t )
性质3
[ f1 (t ) * f 2 (t )]* f 3 (t ) f1 (t ) *[ f 2 (t ) * f 3 (t )]
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
t
证明 f1 (t ) * f 2 (t ) 0 f1 ( ) f 2 (t )d
f1 ( t ) f 2 ( )(d )
t
t 0
0
令 = t ：0 t : t 0
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
卷积及其性质
f1 ( ) f 2 (t )d
（） 1 分 配 律 ： f1(t) [ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物 理 意 义 ： 几 个 系 统 并 联 ， 可 等 效 为 一 个 冲 激 响 应 h(t) h1(t) h2(t) （ 2） 结 合 律 ： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t) [ f2(t) f3(t)] 物 理 意 义 ： 若 冲 击 响 应 为 h1(t)， h2(t)的 两 个 系 统 相 串 联 ， 此 两 系 统 的 组 合 可 等 效 唯 一 个 冲 击 响 应 h(t) h1(t)h2(t)的 系 统 。
x(n),x(m)
……
n,(m)
N-1
n,(m)
h(-m)
h(n-m)
…… n 0
……
n,(m)
n,(m)
…… n
……
n,(m)
n
n,(m)
所以
0, n 1 ( n 1) n 1 a y (n) a ,0 n N 1 1 1 a n 1 aN ,n N 1 a 1 1 a
(3) 交 换 律 ： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物 理 意 义 ： 串 联 的 子 系 统 可 以 任 意 交 换 位 置 。 （ 4） 卷 积 的 微 分 ： df2(t) df1(t) d f2(t) f1(t) f2(t) f1(t) dt dt dt （） 5 卷 积 的 积 分
m
x1 ( m ) x 2 ( n m )
例 ， 已 知 两 个 序 列 a n (0 a 1), n 0 1, 0 n N 1 x(n) , h(n) 0 , o t h e r s 0,n 0 求 卷 积 和 y (n ) x(n ) h (n ) 解 ： （1） 当 （ 2） 当 n 1 时 ，y ( n ) 0 ； 0 n N 1 时
微积分讲座---Z2.13 卷积公式
f1(t) * f2 (t)
f1( )
f2 (t
)d
e ( ) (t )d
e (t- )d 0
[ t e d ] (t) 0
e t (t) 0
(1 et ) (t)
4
h(t)
LTI系统 零状态
由时不变性： δ(t-τ)
h(t-τ)
由齐次性：f (τ)δ(t-τ)
f (τ) h(t-τ)
yzs(t)?
由叠加性：
f (τ)δ (tτ )dτ ǁ
f (τ ) h (t τ )d τ ǁ
f (t)
yzs (t)
y zs (t )
f ( )h(t ) d 卷积积分
量，t为参变量。结果仍为t 的函数。可演变其他上下限.
yzs (t)
f ( )h(t ) d f (t) * h(t)
3
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
例1：f1 (t) =e-tε(t) ， f2 (t) = ε(t)，求f (t) = f1 (t)* f2 (t)。
解： f (t)
2
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
[定义] 卷积积分
已知定义在区间(–∞,∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，则
定义积分
f (t)
f1(
)
f2 (t
)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变
2.3 卷积积分
知识点Z2.13
第二章 连续系统的时Байду номын сангаас分析
卷积公式
主要内容：
卷积定理的证明
卷积定理的证明卷积定理是信号处理和数学领域中常用的定理，它描述了两个信号的卷积运算可以通过傅里叶变换来实现。
本文将介绍卷积定理的证明。
假设我们有两个信号 f(x) 和 g(x)，其卷积定义为：(f * g)(x) = ∫[从负无穷到正无穷] f(t)g(x-t)dt我们的目标是证明卷积定理，即卷积运算可以通过傅里叶变换来实现。
首先，我们需要定义傅里叶变换和逆傅里叶变换：傅里叶变换：F(k) = ∫[从负无穷到正无穷] f(x)e^(-ikx)dx逆傅里叶变换：f(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] F(k)e^(ikx)dk现在我们开始证明卷积定理。
证明步骤一：我们先对卷积运算进行傅里叶变换。
F(x) = ∫[从负无穷到正无穷] (f * g)(t)e^(-ikx)dt将卷积运算展开：F(x) = ∫[从负无穷到正无穷] (∫[从负无穷到正无穷] f(u)g(t-u)du)e^(-ikx)dt通过交换积分次序：F(x) = ∫[从负无穷到正无穷] (∫[从负无穷到正无穷] f(u)g(t-u)e^(-ikx)dtdu将 e^(-ikx) 提到内积分中：F(x) = ∫[从负无穷到正无穷] (∫[从负无穷到正无穷] f(u)e^(-ik(u-t))g(t)dt)du应用变量替换 u = u-t：F(x) = ∫[从负无穷到正无穷] (∫[从负无穷到正无穷] f(u)e^(ikt)g(t)dt)du 重新排列积分顺序：F(x) = ∫[从负无穷到正无穷] (∫[从负无穷到正无穷] g(t)f(u)e^(ikt)du)dt 我们可以观察到，F(x) 的表达式实际上就是 g(t) 和 f(u) 的乘积的傅里叶变换，即：F(x) = G(k)F(k)证明步骤二：接下来，我们对卷积运算进行逆傅里叶变换。
(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] F(x)e^(ikx)dk将 F(x) = G(k)F(k) 代入上式：(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] G(k)F(k)e^(ikx)dk将 F(k) 进行逆傅里叶变换，即代入 f(u) 的定义：(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] G(k)(1/2π)∫[从负无穷到正无穷] f(u)e^(iku)dudk交换积分顺序：(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] (∫[从负无穷到正无穷]f(u)e^(iku)dk) G(k)du观察到，内积分是 f(u) 的傅里叶变换：(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] F(u)G(k)e^(iku)du再次应用变量替换 u = u-t：(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] F(u)G(k)e^(iku-t)du将 e^(iku-t) 拆成两部分：(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] F(u)G(k)e^(iku)e^(-ikt)du对 e^(-ikt) 进行傅里叶变换，即代入 g(t) 的定义：(f * g)(x) = (1/2π)∫[从负无穷到正无穷] F(u)G(k)e^(iku)G(-k)dk我们可以观察到，(f * g)(x) 的表达式实际上就是 F(u) 和 G(k) 的乘积的逆傅里叶变换，即：(f * g)(x) = F(u)G(k)综上所述，我们证明了卷积定理：卷积运算可以通过傅里叶变换来实现。
微积分讲座---Z2.22 矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
g (t) g
t
2
3
2.3 卷积积分
(4) 0≤ t≤τ 时：
g (t) g (t)
2
t
(11)dx
t
2
整理：
0
g (t) g (t) t t
t ，t t 0 0t
第二章 连续系统的时域分析
4
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
2.3 卷积积分
知识点Z2.22
第二章 连续系统的时域分析
矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
主要内容：
1. 同门宽矩形脉冲的卷积结果 2. 不同门宽矩形脉冲的卷积结果
基本要求：
掌握同门宽矩形脉冲的卷积产生三角形脉冲
1
2.3 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
Z2.22 矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
例2 两个门函数gτ1(t)和gτ2(t)，其幅度为1，宽度分别为τ1 和
τ2 ，求卷积积分 g 1 (t ) g 2 (t )。
结论：两个不同宽的门函数卷积时，其结果为梯形函数，梯 形函数的高度为窄门的门宽（面积），其上底为两个门函数宽 度之差绝对值，下底为两个门函数宽度之和。
5
例1 如图所示门函数gτ(t) ，在电子技术中称为矩形脉冲，其幅
度为1，宽度为τ ，求卷积积分 g (t) g (t)。
解：图解法
(1) 对gτ(t) 换元反折
2
2.3 卷积积分
(2) t <-τ 或 t >τ 时：
gτ(t) ﹡gτ(t) =0；
第二章 连续系统的时域分析
(3) -τ ≤ t< 0 时：
奇异积分
2.2.4 奇异积分在分析学中,基本问题之一就是用具有一定性质的函数,一般用比f 性质较好的函数,在这种或那种意义下去逼近给定的函数f .我们希望借助于给定的f 自身进行某种光滑运算去构造具有较好性质的函数.我们在研究傅立叶级数求和过程中就用到了奇异卷积积分去逼近f ,这在研究中具有特殊的意义. 首先给出卷积积分定义:给定π2c f ∈,称形如⎰∞∞--=*du u u x f x f nn )()(21))((χπχ的卷积积分为奇异积分,如果序列{}∞=1)(n n x χ是(周期)核,具体说如果对每个.2)(,,12πχχπππ=∈N ∈⎰-du u L n n n 且这样的序列如果还满足:对所有的,0)(,0,,lim1=<<≤⎰≤≤∞→πδχπδχu nn ndu u M n 并且对每个称它为逼近恒同核.奇异积分理论与傅里叶级数理论是密切相关的，函数f 的傅里叶级数前n 项部分和可以写成具有Dirichlet 核的奇异积分，而这些部分和的算术平均序列又构成具有Fejer 核的卷积积分，Fejer 核是逼近恒同的，Dirichlet 核则不是。
取第一次算术平均的方法就是周知的f 的傅里叶级数Cesaro 求和。
定义 2.2.1 设ρ为参数，取值于某个集合Ω，后者或是一个区间),(b a ，+∞≤<≤b a 0，或是集T ，并设0ρ为a 或b 。
我们称函数集{})(x ρχ为周期核，如果对每一个Ω∈ρ，12πρχL ∈,具有)(,2)(-Ω∈=⎰ρπχππρu如果)(x ρχ为实函数，核{})(x ρχ称为实的；如果∞∈πρχ2L ，称为有界的；如果∞∈πρχ2C 称为连续，如果ρχ为绝对连续的（对每一个Ω∈ρ）则称为绝对连续的。
实核{})(x ρχ称为偶的，如果)()(x x -=ρρχχ 几乎处处成立 ；如果0)(≥x ρχ几乎处处成立（对每一个Ω∈ρ），称为正的。
定义2.2.2 设)X (2π∈f ，{})(x ρχ为核，称du u u x f x f x f I ⎰-=*=ππρρρχχ-)()(21))((),(（2.2.6）为（周期）奇异积分（或卷积积分）。
卷积new
f (t )
f (τ )
h(t )
h(τ )
τ
t
h (t − τ )
−∞
f (t) * h(t) =
f (τ )h(t − τ )
τ
t
τ
t
∞
∫
−∞
e(τ )h(t −τ )dτ
X
第
积分限的确定: r(t) = ∫−∞ e(τ )h(t −τ )dτ = ∫ e 0
h (t − τ )
∞
t
−(t −τ )
f2 (t )
g(t )
15 页
下限 [A,B] [C,D] +
f1(t ) -1
1
f2(t )
0
3
g(t ) − 1 4 [A+C,B+D] 当 f1(t ) பைடு நூலகம் f2(t ) 为非连续函数时，卷积需分段，积分限分 为非连续函数时，卷积需分段， 段定。 段定。
X
第 16 页
f (t) = u(t)， (t) = e−t u(t)，计算 (t) *h(t) h f
3 2
1
t
O
3
g(t )
t
t2 t 1 + + 4 2 4 t g(t ) = 2 − t + t + 2 4 2 0
−1 ≤ t ≤ 1 1≤ t ≤ 2 2≤ t ≤ 4 t 其他
−1 O 2
1
2
4
t
X
第 14 页
X
第
积分上下限和卷积结果区间的确定
(1)积分上下限 (1)积分上下限 的范围（区间）确定。 由f1(τ ) ⋅ f2 (t −τ ) ≠ 0的范围（区间）确定。 上限取小，下限取大 上限取小， (2)卷积结果区间 (2)卷积结果区间 上限 一般规律： 一般规律： f1(t )
005第二章-3奇异函数
解：f (t ) e [ (t ) (t 2)] e (t ) e (t 2)
t t t
t t t t f (t ) e (t ) e (t ) e (t 2) e (t 2)
(t ) e (t 2) e [ (t ) (t 2)]
1sin263tt?0??2sindtttt??24奇异函数2312?tt2??425dttt?24ft?2已知信号ft变换后的图形要求画出ft24奇异函数0123t10001ttatttaaaat?????????????????????三单位斜变函数rt24奇异函数000tttrtdt?????单位冲激偶t为一正一负两个冲激四单位冲激偶t24奇异函数带括号的1标在中间它不表示冲激的强度而是表示单位冲激函数的导数基本信号门函数幅度为1宽度为的对称矩形脉冲信号
(t ) e (t 2) e [ (t ) (t 2)]
2 t
例：如图所示函数，求其导数
▲函数连续的部分用常规求导方法求 ▲函数有跳变的地方
，则有一个冲激函数存在，冲激 方向取决于向上还是向下跳变，冲激的强度则取决于 它的跃变量
单位冲激函数的几个性质：
1、f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
t
d dt
(t )
t
d dt
(t )
t
d dt
r (t )
基本信号－抽样信号
sin t 定义： f (t ) Sa (t ) t
Sa(t)
1
性质：
1、偶函数
z变换卷积定理
z变换卷积定理
z变换卷积定理是指，在离散时间下，两个序列的z变换的乘积等于这两个序列的卷积的z变换。
具体地，假设有两个离散时间信号序列x(n)和h(n)，它们的z变换分别是X(z)和H(z)。
那么它们的卷积序列y(n)的z变换Y(z)可以表示为：
Y(z) = X(z) · H(z)
其中，"·"表示两个函数的乘积，Y(z)、X(z)和H(z)分别是序列y(n)、x(n)和h(n)的z变换。
该定理可以用于求解离散时间系统的输入-输出关系，通过将输入序列和系统响应的z变换相乘得到输出序列的z变换。
这样就可以在频域上分析系统的频率响应、稳定性等特性，从而更好地理解和设计系统。