实变函数重点题集

3、下列说法不正确的是（ B ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测

(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=∅

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =[]0,1,o

E =∅,E =[]0,1. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂，则称E 是L 可测的

4、)(x f 可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。

1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。错误

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.错误例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。错误

二、2. 下列说法不正确的是(C )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点

(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点

(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言(B )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；

(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；

4. 下列断言中( C )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集；

（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；

1、设11[,2],1,2,n A n n n

=-=，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o

P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑ 4、鲁津定理：______________________________________________________

5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。 答案：()0,2 2，c ；0 ；∅ 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ⊂，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

5，对任意0,0εδ>∃>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,,,i i a b i n =只

要()1n i i i b a δ=-<∑，就有1|()()|n i i i F b F a ε=-<∑

1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。错误

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。错误

4、连续函数一定是有界变差函数。错误

2.(6分) 设0,,G E ε>∃⊃开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

证明：对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ⊃使*1()n m G E n -< 令1

n n G G ∞==，则G 是可测集，又因*()m G E -*1()n m G E n

≤-<对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，即M G E =-是一零测度集，所以也可测. 由()E G G E =--知，E 可测。

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

证明：因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于任意的k Z +∈，存在可

测集k E E ⊂，()n f x 在k E 上一致收敛于()f x ，且1(\)k mE E k < 令*1

k k E E ∞==，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ，*1

1(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k ∞==≤<，k=1,2 所以*(\)m E E 0=…

1、设集合N M ⊂，则()M M N --=N

2、设P 为Cantor 集，则 =P c ，mP =0，o P =∅。

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂，则称E 是L 可测的

4、叶果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数f 的可测函数，则对任意,0>δ存在子集E E ⊂δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。

5、设)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的充要条件是|)(x f |在E 上可积.

1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例：设G n =( n n 11,11+--- ),n=1,2, , 每个G n 为开集 但 ∞

=-=1

]1,1[n n G 不是开集. 2、若0=mE ，则E 一定是可数集。不成立；设E 是Cantor 集，则0mE =， 但E =c ， 故其为不可数集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。不成立

4、连续函数一定是有界变差函数。不成立

1、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体12{,,}Q r r =,令