平面向量的平行与垂直
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3.若e 1 ,e 2 是 两 个 不 共 线 的 向 量 ,已 知 A B2e1ke2, C B e 1 3 e 2 ,C D 2 e 1 e 2 ,若 A ,B ,D 三点共线，则 k=_____-8_____.
设A（4，1），B（-2，3），C（k，-6），若
△ABC为直角三角形且∠B= 9，0 求k的值。
4
4
故当t=-2时， k t 2
t
有最小值
7 4
7
a
4
小结
1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊
情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，
两向量垂直即向量的夹角为 ，无论是符号语言
2
还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。 2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。
c(ab)，则c ___(__97_,_7_3)________
3. 已知a,b是不共线的向A量 B， ab,
ACab(,R),则A,B,C三点共线的充要条
是______1___.
已知 O
为
ABC
所在平面内一点，满足
2
OA
2
BC
2
OB
2
CA
OC
2
Βιβλιοθήκη Baidu
2
AB
，则点
O
是ABC的 __垂___心 。
4. 平面上三个向量 a , b , c 的模均为1，它们相互
(2) 由 tantan16得 sinsin16coscos, 即 4cos4cossinsin0
a//b
练习
，
，
1．已知向量 a (3,1) b (1,3) c (k,2) ，若 (ac)b
10
则 k = 0 ;若(a ， c) ∥ b 则 k = 3
． ，
2. 已知向量a (1,2) b(2,3) 若向量 c 满足(ca)//b
解：当 B90， BA(6,2),BC(k2,9) B90BABC ,
BABC6(k2)(2)(9)0k5.
如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。 解：B P ( 5 ,2 ) ,B D ( 1 0 ,4 ) 2 B P
之间的夹角均为120°，求证：(ab) ⊥c
5. 已知
a(
3,1),b(1 2,,
3) 2
存在实
数xk 和解t,y使若得a不 ，等bx 式 aka bt t 20(t2 a 有 恒3 成x)b 立,y，y 求得 a的k k a 取t3 值 3tt范b且
4
，
kt21(t24t3)1(t2)27
t4
n
=1
.
例 4：设a向 (4c量 o,ssin),b(sin,4cos), c(co,s4sin) (1)若a与b2c垂直， ta求 n()的值； （2）若 tantan16,求证 a/： /b.
(1) 由 a 与 b 2 c 垂 直 ， a(b 2 c) ab 2 ac 0 ,
即 4 sin ( ) 8 c o s( ) 0 , ta n ( ) 2 ;
ab
a b 0 x1x2y1y20
(a0,b0)
一、基础训练 1.已知平面向量 a ( 3 ,1 ) ,b ( x , 3 ) ,a / /b ,则 x
等于_____-_9______
2.已知平面向量a =（1,－3），b =（4,－2）， a b与 a 垂直，则 是_____-_1______
A P ( 2 , 1 ) ,A C ( 8 , 4 ) 4 A P
又 BP、BD 共起点B ， AP、AC 共起点A，
则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。
a、b 是不共线的两个非零向量，OMma，ONnb
OPab，其中m、 n、 、 R，且 mn 0
，若M、P、N三点共线，则
m
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义： 方向 相同或相反 的非零向量叫平行向量。
记作 a ∥ b ；
2. 垂直向量定义： 若 、两个非零向量所成角为 90 ，则称这两
个向量垂直。记作 a ⊥ b
3.平面向量的平行与垂直的判定
向量关系式 坐标关系式
a // b
a b
x1y2x2y10
(b 0)
设A（4，1），B（-2，3），C（k，-6），若
△ABC为直角三角形且∠B= 9，0 求k的值。
4
4
故当t=-2时， k t 2
t
有最小值
7 4
7
a
4
小结
1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊
情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，
两向量垂直即向量的夹角为 ，无论是符号语言
2
还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。 2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。
c(ab)，则c ___(__97_,_7_3)________
3. 已知a,b是不共线的向A量 B， ab,
ACab(,R),则A,B,C三点共线的充要条
是______1___.
已知 O
为
ABC
所在平面内一点，满足
2
OA
2
BC
2
OB
2
CA
OC
2
Βιβλιοθήκη Baidu
2
AB
，则点
O
是ABC的 __垂___心 。
4. 平面上三个向量 a , b , c 的模均为1，它们相互
(2) 由 tantan16得 sinsin16coscos, 即 4cos4cossinsin0
a//b
练习
，
，
1．已知向量 a (3,1) b (1,3) c (k,2) ，若 (ac)b
10
则 k = 0 ;若(a ， c) ∥ b 则 k = 3
． ，
2. 已知向量a (1,2) b(2,3) 若向量 c 满足(ca)//b
解：当 B90， BA(6,2),BC(k2,9) B90BABC ,
BABC6(k2)(2)(9)0k5.
如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。 解：B P ( 5 ,2 ) ,B D ( 1 0 ,4 ) 2 B P
之间的夹角均为120°，求证：(ab) ⊥c
5. 已知
a(
3,1),b(1 2,,
3) 2
存在实
数xk 和解t,y使若得a不 ，等bx 式 aka bt t 20(t2 a 有 恒3 成x)b 立,y，y 求得 a的k k a 取t3 值 3tt范b且
4
，
kt21(t24t3)1(t2)27
t4
n
=1
.
例 4：设a向 (4c量 o,ssin),b(sin,4cos), c(co,s4sin) (1)若a与b2c垂直， ta求 n()的值； （2）若 tantan16,求证 a/： /b.
(1) 由 a 与 b 2 c 垂 直 ， a(b 2 c) ab 2 ac 0 ,
即 4 sin ( ) 8 c o s( ) 0 , ta n ( ) 2 ;
ab
a b 0 x1x2y1y20
(a0,b0)
一、基础训练 1.已知平面向量 a ( 3 ,1 ) ,b ( x , 3 ) ,a / /b ,则 x
等于_____-_9______
2.已知平面向量a =（1,－3），b =（4,－2）， a b与 a 垂直，则 是_____-_1______
A P ( 2 , 1 ) ,A C ( 8 , 4 ) 4 A P
又 BP、BD 共起点B ， AP、AC 共起点A，
则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。
a、b 是不共线的两个非零向量，OMma，ONnb
OPab，其中m、 n、 、 R，且 mn 0
，若M、P、N三点共线，则
m
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义： 方向 相同或相反 的非零向量叫平行向量。
记作 a ∥ b ；
2. 垂直向量定义： 若 、两个非零向量所成角为 90 ，则称这两
个向量垂直。记作 a ⊥ b
3.平面向量的平行与垂直的判定
向量关系式 坐标关系式
a // b
a b
x1y2x2y10
(b 0)