六年级专题复习：圆柱、圆锥、球体

六年级专题复习：圆柱、圆锥、球体 知识定位 立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。

其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。

小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，本讲重点讲解立体图形中的圆柱、圆锥和球体。

重难点在于：1．圆柱、圆锥和球体的表面积和体积计算。

2．间接利用或逆用公式求解圆柱圆锥球体中的其它量。

3．圆柱圆锥球体等立体图形的组合图形主要的考点是：1．常见较复杂的组合图形计算。

2．灵活运用公式求解体积表面积外的其余量知识梳理一、圆柱、圆锥、球体圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r ；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长。

圆柱体的表面积：S 圆柱=侧面积+2个底面积=2πrh+2πr 2。

圆柱体的体积：2V r h π=圆柱圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r ；圆锥体的侧面展开图是一个扇形。

圆锥体的体积：213V r h π=圆锥体球体：343V r π=球体 求圆柱体的表面积．一般的方法是先求出圆柱体的侧面积，然后再加上圆柱的两个底面积。

求圆锥体的表面积需要先求出侧面积（扇形），再求出底面积（圆），两者相加即可。

r例题精讲【题目】一个底面半径的是５厘米．高是１５厘米的圆柱体，试求出它的表面积。

【答案】628(平方米）【解析】本题是较基础题型。

(１)侧面积：2x3.14x5x15=471(平方米）；(２）底面积：3.14x52=78.5（平方厘米）；(1)表面积：471+78.5x2=628(平方米）．【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】1【题目】一段圆柱体木料，如果截成两段，它的表面积增加25.12平方厘米；如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加100平方厘米。

求圆柱体的表面积。

【答案】182.12平方厘米【解析】一般解法：把圆柱体截成两段，表面积增加的是两个底面积；沿着直径劈成两个半圆柱体，表面积增加的是两个长为“高”，宽为“直径”的长方形。

同学们大都会按照“半径—高—表面积”思路来解答。

具体解法如下：25.12÷2÷3.14＝4（平方厘米）；4＝22 100÷2÷（2×2）＝12.5（厘米）；3.14×22×2＋2×3.14×2×12.5＝182.12（平方厘米）巧妙解法：我们不妨换个角度去思考，沿着直径把圆柱体劈成两半增加的100平方厘米写成算式是“直径×高×2”，求圆柱体的侧面积用“π×直径×高”，所以用“100÷2×3.14”就可以求出圆柱体的侧面积了，进而就能求出圆柱体的表面积，列式为：100÷2×3.14＋25.12＝157＋25.12＝182.12（平方厘米）答：圆柱体的表面积为182.12平方厘米。

【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米。

将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米? (π=3.14)【答案】16(平方厘米)【解析】根据圆柱体的体积公式推导过程，要求增加的表面积，实际上就是求拼成的长方体的两个侧面积之和，从拼成的长方体图形来看：体积÷长=右侧面积。

50.24÷(2×3.14)×2=16(平方厘米)；【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(3π=)【答案】30立方厘米.【解析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的矩形纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10厘米，宽为圆柱底面的直径，设为2r ，则210240,1r r ⨯⨯==(厘米)．圆柱体积为：211030π⨯⨯=(立方厘米)．【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【答案】34：【解析】因为18分钟水面升高：502030-=(厘米)．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是：20181230⨯=（分钟），实际上只用了3分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13124=：，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为34：．【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米?(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【答案】6553.6米【解析】最后拉出的面条直径是原先面棍的164，则截面积是原先面棍的2164，细面条的总长为：21.6646553.6⨯=(米)．注意运用比例思想。

【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_________。

【答案】60立方厘米【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7－5=2cm ，从而水与空着的部分的比为4:2=2:1，由图1知水的体积为10×4=40，所以总的容积为40÷2×（2+1）=60立方厘米。

【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】输液100毫升，每分钟输2．5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升?．【答案】150(毫升)【解析】100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2．5毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是100+50=150(毫升)．【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。

现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。

现在水深多少厘米?【答案】10(厘米)【解析】根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度。

（法1）：80×8÷(80一16) =640÷64=10(厘米)；（法2）：设水面上升了x 厘米。

根据上升部分的体积=浸人水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8+2=10(厘米)。

【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米.【答案】1776厘米 【解析】本题可能出现三种情况：①放入铁圆柱后，水深不及铁圆柱高.②放入铁圆柱后，水深比铁圆柱高但未溢出.③水有溢出.放入铁圆柱后，在铁圆柱周围，水的截面成圆环状，如图所示，截面积为π×5×5—π×2×2=21π.收入圆柱前后，水的体积不变，为π×5×5×15=375π.又因为375π÷21 π=7125=17 76<18厘米.因此这时容器的水深是1776厘米.请同学们考虑水深不是15，而是16厘米或19厘米的情况。

【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积。

（π取3.14）【答案】100.48立方米【解析】圆的直径为：16.56÷（1+3.14）=4（m ），而油桶的高为2个直径长，即为：4×2=8（m ），故体积为100.48立方米。

【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】将一个底面半径为3分米的圆柱体的底面平均分成若干个扇形，截开拼成一个和它等底等高的长方体后，表面积增加了16平方分米。

求圆柱体的体积。

（ 3.14π=）【答案】75.36立方分米【解析】根据圆柱体的体积推导过程，增加的表面积实际上就是长方体左、右两个面的面积。

（法1）:162(3.143)75.36÷⨯⨯=（立方分米）；（法2）: 23.143(1623)75.36⨯⨯÷÷=（立方分米）。

【知识点】圆柱、圆锥、球体【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】如图1，一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体．求三个立体中最大的体积和最小的体积的比．【答案】53 【解析】以长为3的直角边为轴旋转得到的立体是一个圆锥，底面半径是4，由圆锥的体积公式得：23143163V ππ=⨯⨯=以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是3，由圆锥的体积公式得：24134123V ππ=⨯⨯= 如图2，以长为5的斜边为轴旋转得到的立体是由两个圆锥底面上下叠合在一起形成的纺锥体．设两个圆锥的高为12,h h ，则有125h h +=，设底面的半径是r ，则由直角三角形面积公式得：1153422r ⨯⨯=⨯⨯，所以125r = 再由圆锥的体积公式计算纺锥体的体积，应当是：2225121211148()3335V r h r h r h h ππππ=+=+= 显然，4816125πππ，所以最大的体积和最小的体积之比是53。

【知识点】圆柱、圆锥。

球体【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。

皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。

皮球有45的体积浸在水中（见右图）。