第2章 线性规划模型
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
第二章线性规划
解：设产品 A、B 的产量分别为x , y 。则，数学模型为：
m inZ 2 x 3 y x 125 x y 350 2 x y 600 x, y 0
例3 营养问题
某公司饲养试验用的动物以供出售。已知这些动物的生长 对饲料中的三种营养元素特别敏感，分别称为营养元素A 、B、C。已求出这些动物每天至少需要700克营养元素 A,30克营养元素B，而营养元素C每天恰好为200克。现有 五种饲料可供选择，各种饲料的营养元素及单价如下表22所示，为了避免过多使用某种饲料，规定混合饲料中各 种饲料的最高含量分别为：50、60、50、70、40克。求满 足动物需要且费用最低的饲料配方。
最优解必定可在可行域的某个顶点上 取得。
QM软件求解两个变量的LP问 题的方法。（演示）
Step1 Step2 Step3 Step4
1 A B C 价 格 3 1 0.5 2
2 2 0.5 1 7
3 1 0.2 0.2 4
4 6 2 2 9
5 18 0.5 0.8 5
需 求 700 30 200
解：设 x j
j 1,2 ,3,4 ,5 为每天混合饲料内包含的
第 j 种饲料的数量 （克） 则营养问题的数学模型为： 。
m inZ 2 x1 7 x 2 4 x3 9 x 4 5 x5 3x1 2 x 2 x3 6 x 4 18x5 700 x 0.5 x 0.2 x 2 x 0.5 x 30 2 3 4 5 1 0.5 x1 x 2 0.2 x3 2 x 4 0.8 x5 200 x 50, x 60, x 50, x 70, x 40 2 3 4 5 1 x j 0, j 1,2,3,4,5,
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
第2章线性规划模型
线性规划应用极其广泛，从解决技术问题的最优化设计到工 业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策领域 都可以发挥作用。它是现代科学管理的一种重要手段。
例1 某工厂生产甲、乙两种产品，每件产品 的价格、所消耗的材料、工时及每天的材料限额 和工时限额，如下表所示。试问如何安排生产， 使每天生产的产品价值最大？
第2章 线性规划模型
2.1 引言 2.2 线性规划的数学模型 2.3 单纯形方法 2.4 对偶理论 2.5 优化后分析 2.6 运输问题及其解法 2.7 目标规划模型 2.8 评价相对有效性的DEA模型 2.9 应用实例
2.1 引言
在经济生活中，经常会遇到在有限的资源（如人力、原料、 资金等）情况下，如何合理安排，而使效益达到最大；或者对给 定的任务，如何统筹安排现有的资源，完成给定的任务而使花费 最小。这类现实中的优化问题，都可以用线性规划的数学模型来 描述。
上式中称A为约束矩阵(constraint matrix) 亦称为资源消耗系数矩阵；
称b为资源限制向量； 称C为价值向量； 称X为决策向量。 同时，我们对标准型还作如下假定： （1）矩阵A的秩rank(A) = m, 0＜m＜n。这就 是说，标准型中的约束方程彼此独立，没有多余 方程，且约束方程个数小于变量的个数。 （2）b≥0． 若有bi＜0，则可对第i个约束方 程两边同时乘以-1即可。
甲乙
材料
2
3
工时
3
2
价值(百元/件) 4
3
限额 24 26
这是一个生产计划问题，可用如下数学模型描述.
即 max Z 4x1 3x2 2x1 3x2 24
s.t.3x1 2x2 26 x1, x2 0
其中“s.t.”是英文“subject to”的缩写.
例1 某工厂生产甲、乙两种产品，每件产品 的价格、所消耗的材料、工时及每天的材料限额 和工时限额，如下表所示。试问如何安排生产， 使每天生产的产品价值最大？
第2章 线性规划模型
2.1 引言 2.2 线性规划的数学模型 2.3 单纯形方法 2.4 对偶理论 2.5 优化后分析 2.6 运输问题及其解法 2.7 目标规划模型 2.8 评价相对有效性的DEA模型 2.9 应用实例
2.1 引言
在经济生活中，经常会遇到在有限的资源（如人力、原料、 资金等）情况下，如何合理安排，而使效益达到最大；或者对给 定的任务，如何统筹安排现有的资源，完成给定的任务而使花费 最小。这类现实中的优化问题，都可以用线性规划的数学模型来 描述。
上式中称A为约束矩阵(constraint matrix) 亦称为资源消耗系数矩阵；
称b为资源限制向量； 称C为价值向量； 称X为决策向量。 同时，我们对标准型还作如下假定： （1）矩阵A的秩rank(A) = m, 0＜m＜n。这就 是说，标准型中的约束方程彼此独立，没有多余 方程，且约束方程个数小于变量的个数。 （2）b≥0． 若有bi＜0，则可对第i个约束方 程两边同时乘以-1即可。
甲乙
材料
2
3
工时
3
2
价值(百元/件) 4
3
限额 24 26
这是一个生产计划问题，可用如下数学模型描述.
即 max Z 4x1 3x2 2x1 3x2 24
s.t.3x1 2x2 26 x1, x2 0
其中“s.t.”是英文“subject to”的缩写.
统计学 第2章 线性规划模型
加工生产
1千克产品A
x1
设备1台时 第一种原料1千克 第二种原料1千克
加工，因此生产过程中使用的设备台 时数不能超过300，
• x1 + x2 ≤300（台时数限制） • 同样地我们可以得出： • 2 x1 + x2 ≤400（原料1的供应约束）
•
x2 ≤250（原料2的供应约束）
把所有满足约束条件的解称为可行解。把使目标函数（利润） 达到最大的可行解，称为最优解。
我们可以看到线性规划问题的一些共同的特点：
1 求目标达到某些数量上的最大化或最小化。
2 所有线性规划问题都是在一定约束条件下来追求目标的。
建模过程(steps of model building)： 1 什么条件下，追求什么目标。 2 定义变量(variable)，决策变量组（ x1, x2 , … , xn ）表 示了一个方案。 3 用线性函数写出追求的目标。 4 用决策变量的等式或不等式表示约束条件。
产品A 1 2 0 x1
产品B 1 1 1 x2
资源约束 300台时 400千克 250千克
解：设x1— 代表生产产品A的数量， x2— 代表生产产品B的数量
由于A的利润为每千克50元，B的利润为每千克100元，则利润函 数为：
利润=50× x1 +100× x2 （元）
设备1台时
第一种原料2千克
第二章 一个定量优化的数学模型
第一节 问题的提出
例1 某公司在一周内只生产两种产品：产品A和产品B，
产品A的利润为每千克50元，产品B的利润为每千克100元。
产品A和产品B由两种原料混合生成的，
设备 原料1 原料2
产品A 1 2 0
产品B 1 1 1
第2章 线性规划图解法
-8
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
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§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
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例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
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§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
线性规划数学模型
x 1 x 6 60
x 1 x 2 70
s
.
t
x 2 x 3 60
x 3 x 4 50 x 4 x 5 20
x 5 x 6 30
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 0
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
成本（元/千克） 3
2
z
x1
x2
min z = 3x1+2x2 12 x1 +3x2 ≥ 4 2 x1 +3x2 ≥ 2
s.t. 3 x1+15x2 ≥ 5 x1 +x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
配料平衡条件
14
三、人力资源问题的数学模型
解（参见教材P17）
三、人力资源问题的数学模型
练习： 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
8
16 12
线性规划问题的数学模型
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量， 则数学模型为：
max Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12
第2章 线性规划(对偶问题)
对偶问题（或原问题）
目标函数为 Min W
n个
约束条件
＝
m个
变量
0 0 无约束
约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题：
• 1.
max Z 2x1 x2 3x3 x4
x1 x2 x3 x4 5
s.t.
2x1 x2 3x3
原问题（对偶问题）
目标函数 限定向量 价值向量 技术系数 约束条件 变量数目 约束条件个数 变量正负
对偶问题（原问题）
目标函数 价值向量 限定向量 技术系数 对偶变量 约束条件个数 对偶变量数目 约束条件
非对称形式的对偶问题
• 在原线性规划问题为Max型，且变量非负 的前提下：
1. 原问题约束条件是“”型
x1
x3
x4
1
4
x1, x3 0, x2 , x4无约束
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
min W 5 y1 4 y2 y3
y1 2 y2 y3 2
s.t.
y1 y1
y2 1 3y2 y3
3
y1
y3
1
y1 0, yLeabharlann 0, y2无约束例：y1
0,
y3
0,
y2无约束
对偶的基本性质
• 原问题： Max Z=CTX
• 对偶问题： Min W=bTY
s.t. AXb X0
s.t. ATY C Y0
• ①对称性：对偶问题的对偶是原问题； • ②弱对偶性：若X是原问题的可行解，Y是
对偶问题的可行解，则CTX bTY
• 弱对偶性的证明： AX’ b X’TAT bT X’TATY’ bTY’
第2章—线性规划
§5 利用EXCEL求解线性规划模型（练习2）
数学模型
目标函数 ：
max z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x8 ≥ 100 x1 x8 ≥ 0
资源 设
产 品 备
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量 8台时 16 kg 12 kg
原材料 A 原材料 B
§1 线性规划问题—例1
如何用数学关系式描述这问题，必须考虑： 设 x1 , x2 分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量，称它为 分别表示计划生产产品Ⅰ 决策变量；(确定决策变量阶段) 决策变量；(确定决策变量阶段) 生产 x1 , x2 数量的多少受资源拥有量的限制，这是约 束条件 x1 + 2 x2 ≤ 8; 4 x1 ≤ 16; 4 x2 ≤ 12；x1 , x2 ≥ 0 ； (确定 约束条件阶段) 约束条件阶段) 如何安排生产，使利润最大，这是目标 。(确定目 标函数阶段) 标函数阶段)
工厂1 工厂1： 工厂2 工厂2： 工厂3 工厂3：
x1 ≤ 4; 2 x2 ≤ 12； 3 x1 + 2 x2 ≤ 18
§1 线性规划问题—例3
可得上述问题的数学模型为：
max z = 3 x1 + 5 x2 x1 ≤ 4; 2 x ≤ 12； 2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 18; x1 , x2 ≥ 0
第2章 线性规划及单纯形法1-2节
2x1+ x2 400
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
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i 1 j 1
第21页
每平产量 /kg
作物
土地
米
A1 A2 Am
土地面积/平方米
c11 c 21 cm1
b1
c12 c 22 cm 2
b2
c1 n c2 n
a1 a2 am
cmn
bn
第22页
问题分析
决策量：各块土地种植某种作物的面积，且非负.
第8页
实例2一般的拟定生产计划问题
A 例2 设有m种资源： 1 , A 2 , A m ，拟生产n种产品： B1 , B 2 , B n .用 a ij 表示生产1个单位第j种产品
所需要的第i种资源的数量，用 b i 表示第i种资源
的使用限额，用 c j 表示销售一个单位的第j种产品 获得的利润，用 x j表示第j种产品的生产数量，则
3 x1 j 1 0 j 1 3 x2 j 80 j 1 3 x3 j 1 5 j 1 3 s .t . x i1 7 5 i 1 3 xi 2 2 0 i 1 3 xi3 5 0 i 1 x ij 0 , i , j 1, 2 , 3
第12页
产地
销地 运价
万元/万吨
A 5 6 3 75
B 1 4 2 20
C 7 6 5 50
年产量 （万吨）
甲 乙 丙 销量（万吨）
10 80 15
第13页
问题分析
总产量为10+80+15=105，总销量为75+20+50=145 因为总产量<总销量，故该问题为产销不平衡的 运输问题。 目标函数：总运费与经济损失费之和 决策变量：从产地运往销地的化肥量 约束条件：必须保证A区的需求量，即A区无损失 费；B,C有损失费；三个厂生产的化肥全部运出 无剩余。
m n i j i 1 j 1
第17页
模型建立
用 x ij 表示产地i供给产地j的物资数量，设s为运输 的总吨公里数，则上述问题的数学模型为
m n m in s d ij x ij i 1 j 1 n 对运输问题感兴趣的同学可以 s .t . x ij b j , j 1, 2, n i 1 查阅相关书籍，例如由前苏联数学 n 家编写的《生产组织与计划中的数 学方法》一书提出了这一类问题的 x ij a i , i 1, 2, m j 1 数学模型和求解方法。 x ij 0, i 1, 2, m ; n 1, 2, n .
目标：总产量最高 a i 计 划 播 种 作 物 Ai的 面 积 约束：①各块土地上种植作物 Ai 面积总和=作物 Ai 计 b j 土 地 B j的 面 积 划种植面 积 a i ；②第j块土地种植各种作物面积总和= B c ij 土 地 B j 上 b 植 作 物 Ai的 单 位 产 量 土地面积 种 ③种植面积非负 j
问：应该怎样选配食品，才能保证在满足m种营 养成分需要的条件下，使食品总成本y最低？
第19页
模型建立
n m in y c j x j j 1 n s .t . a ij x j b i , i 1, 2, m , j 1 x j 0, j 1, 2, , n .
x ( x1 , x 2 , x n )
T
就代表一个生产计划，我们的
问题是：要设法安排一个生产计划，使该厂获得的 总利润最高。
第9页
问题分析
决策变量:n种产品的生产数量 x1 , x 2 , x n
目标：该厂获得的总利润最大 n 利润函数： c x
ij
ij
j 1
约束条件： 资源 Ai 的使用限额 蕴含约束：n种产品产量非负
第20页
§2.4
作物布局问题
例 红星农场要在n块土地 B1 , B 2 B n 上，种植 m 种作物 A1 , A2 , Am ，各块土地的面积、各 种作物计划种植面积和在各块地上的每平 方米产量如下表，问 应如何合理安排种植 计划，才能使总产量最高. 这里假设计划播种的种面积等于土地的总面 m n 积，即 a i b j
第10页
模型建立
n m ax z c j x j j 1 n 当拟订的生产计 s .t . a ij x j 划规模较大时,我 b i , i 1, 2 , m j 1 们通常采用向量、 T m ax 矩阵记号，则该 z c1,x2 , n x j 0, j 模型变成什么样 x b , s .t . A 了呢？ x 0.
②销地A必须满足需要量，无损失费 ③销地B损失费为 3( 2 0 x1 2 x 2 2 x 3 2 ) 销地C损失费为 2 (5 0 x1 3 x 2 3 x 3 3 )
第15页
模型建立
m in Z 160 5 x11 2 x12 5 x13 6 x 21 x 22 4 x 23 3 x 31 x 32 3 x 33
第一篇 运筹学模型
运 筹 帷 幄 之 中 Linear Programming
决 胜
线性规划
千 里 之 外
第1页
第2章 线性规划模型
2.1 拟订生产计划问题 2.2 运输问题 2.3 食谱问题 2.4 作物布局问题 2.5 配料问题 2.6 LP模型的一般形式与标准形式 2.7 LP模型的几何解释和图解法 2.8 一些实例
由于目标函数 z 是变量 x1 , x 2 , x 3 , x 4 的线性函数，约束条件是的 x1 , x 2 , x 3 , x 4 线性不等式，所以该问题为 线性规划问题，简写为LP.
第7页
线性规划问题的特征
xi对目标函数的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续 比 例 性
第2页
实例1
某化工厂生产四种化工产品A1 , A2 , A3 , A4,每种产品生产1吨 消耗的工时、能源和获得的利润如表2-1所示
表2-1 生产1t产品的消耗和收益
产品 工时/h 能耗/t 标准煤 利润/万 元
A1
A2
A3
A4
100 0.2 2
250 0.3 5
380 0.5 8
75 0.1 1
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a 1n a 2n a mn
第26页
为系数矩阵。
规 范 形 式
min c
x
Ax b s .t . x 0
第27页
标 准 形 式
第6页
模型建立
m ax z 2 x1 5 x 2 8 x 3 x 4 s .t .1 0 0 x1 2 5 0 x 2 3 8 0 x 3 7 5 x 4 1 8 4 8 0 0 .2 x1 0 .3 x 2 0 .5 x 3 0 .1 x 4 1 0 0 x i 0, i 1, 2, 3, 4
第24页
一 般 形 式
目标函数
min z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i ; i 1 , 2 ,..., p a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i ; i p 1 ,..., m s .t . x 0 ; j 1 , 2 ,..., q j x 无限制 ; j 1 , 2 ,..., q j
第3页
问题
已知该厂明年的工时限额为18480h，能耗限额为 100t标准煤，欲使该厂明年的总利润最高，请确定 定各种产品的生产数量，试建立数学模型。
第4页
模型假设
四种产品的每吨获利是与它们各自的生产数量无 关的常数；每种产品生产一吨消耗的工时，能耗 是与各种产品的产量无关的常数。 四种产品每吨的获利是与它们相互间产量无关的 常数。每种产品所消耗的工时，能耗是与它们相 互间产量无关的常数。 生产产品的数量可以是任意实数。
第16页
实例2 一般的运输问题
假设某种物资有m个产地，n个销地.第i个产地的 产量为 a i , i 1, 2, m ；第 j 个产地的需要量 为 b j , j 1, 2, n .其中 a b .由产地i到销地j 什么是吨公里数呢？ 的距离已知为 d ij ，问应如何分配该种物资，使 吨公里数=运载量*运载 既能满足各地的需要，又使所花费的运输总吨公 公里数 里数最少？
min c x Ax b s .t . x 0
第28页
概
念
x ( x 1 , x 2 , x n )
可行解（或可行点） 满足所有约束条件的向量 ： 可行集（或可行域） 所有的可行解的全体 ：
D { x Ax b , x 0 }
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合
第14页
设从甲、乙、丙三个工厂向A,B,C三个地区运送 的化肥量为 , i , j 1, 2, 3( 万 吨 ) 总运费与经济损失 x ij 费之和为 . Z Z ①三个工厂到三地的运费之和记为 1
Z 1 (5 x11 x12 7 x13 ) (6 x 21 4 x 22 6 x 23 ) (3 x 31 2 x 32 5 x 33 )
第21页
每平产量 /kg
作物
土地
米
A1 A2 Am
土地面积/平方米
c11 c 21 cm1
b1
c12 c 22 cm 2
b2
c1 n c2 n
a1 a2 am
cmn
bn
第22页
问题分析
决策量：各块土地种植某种作物的面积，且非负.
第8页
实例2一般的拟定生产计划问题
A 例2 设有m种资源： 1 , A 2 , A m ，拟生产n种产品： B1 , B 2 , B n .用 a ij 表示生产1个单位第j种产品
所需要的第i种资源的数量，用 b i 表示第i种资源
的使用限额，用 c j 表示销售一个单位的第j种产品 获得的利润，用 x j表示第j种产品的生产数量，则
3 x1 j 1 0 j 1 3 x2 j 80 j 1 3 x3 j 1 5 j 1 3 s .t . x i1 7 5 i 1 3 xi 2 2 0 i 1 3 xi3 5 0 i 1 x ij 0 , i , j 1, 2 , 3
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产地
销地 运价
万元/万吨
A 5 6 3 75
B 1 4 2 20
C 7 6 5 50
年产量 （万吨）
甲 乙 丙 销量（万吨）
10 80 15
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问题分析
总产量为10+80+15=105，总销量为75+20+50=145 因为总产量<总销量，故该问题为产销不平衡的 运输问题。 目标函数：总运费与经济损失费之和 决策变量：从产地运往销地的化肥量 约束条件：必须保证A区的需求量，即A区无损失 费；B,C有损失费；三个厂生产的化肥全部运出 无剩余。
m n i j i 1 j 1
第17页
模型建立
用 x ij 表示产地i供给产地j的物资数量，设s为运输 的总吨公里数，则上述问题的数学模型为
m n m in s d ij x ij i 1 j 1 n 对运输问题感兴趣的同学可以 s .t . x ij b j , j 1, 2, n i 1 查阅相关书籍，例如由前苏联数学 n 家编写的《生产组织与计划中的数 学方法》一书提出了这一类问题的 x ij a i , i 1, 2, m j 1 数学模型和求解方法。 x ij 0, i 1, 2, m ; n 1, 2, n .
目标：总产量最高 a i 计 划 播 种 作 物 Ai的 面 积 约束：①各块土地上种植作物 Ai 面积总和=作物 Ai 计 b j 土 地 B j的 面 积 划种植面 积 a i ；②第j块土地种植各种作物面积总和= B c ij 土 地 B j 上 b 植 作 物 Ai的 单 位 产 量 土地面积 种 ③种植面积非负 j
问：应该怎样选配食品，才能保证在满足m种营 养成分需要的条件下，使食品总成本y最低？
第19页
模型建立
n m in y c j x j j 1 n s .t . a ij x j b i , i 1, 2, m , j 1 x j 0, j 1, 2, , n .
x ( x1 , x 2 , x n )
T
就代表一个生产计划，我们的
问题是：要设法安排一个生产计划，使该厂获得的 总利润最高。
第9页
问题分析
决策变量:n种产品的生产数量 x1 , x 2 , x n
目标：该厂获得的总利润最大 n 利润函数： c x
ij
ij
j 1
约束条件： 资源 Ai 的使用限额 蕴含约束：n种产品产量非负
第20页
§2.4
作物布局问题
例 红星农场要在n块土地 B1 , B 2 B n 上，种植 m 种作物 A1 , A2 , Am ，各块土地的面积、各 种作物计划种植面积和在各块地上的每平 方米产量如下表，问 应如何合理安排种植 计划，才能使总产量最高. 这里假设计划播种的种面积等于土地的总面 m n 积，即 a i b j
第10页
模型建立
n m ax z c j x j j 1 n 当拟订的生产计 s .t . a ij x j 划规模较大时,我 b i , i 1, 2 , m j 1 们通常采用向量、 T m ax 矩阵记号，则该 z c1,x2 , n x j 0, j 模型变成什么样 x b , s .t . A 了呢？ x 0.
②销地A必须满足需要量，无损失费 ③销地B损失费为 3( 2 0 x1 2 x 2 2 x 3 2 ) 销地C损失费为 2 (5 0 x1 3 x 2 3 x 3 3 )
第15页
模型建立
m in Z 160 5 x11 2 x12 5 x13 6 x 21 x 22 4 x 23 3 x 31 x 32 3 x 33
第一篇 运筹学模型
运 筹 帷 幄 之 中 Linear Programming
决 胜
线性规划
千 里 之 外
第1页
第2章 线性规划模型
2.1 拟订生产计划问题 2.2 运输问题 2.3 食谱问题 2.4 作物布局问题 2.5 配料问题 2.6 LP模型的一般形式与标准形式 2.7 LP模型的几何解释和图解法 2.8 一些实例
由于目标函数 z 是变量 x1 , x 2 , x 3 , x 4 的线性函数，约束条件是的 x1 , x 2 , x 3 , x 4 线性不等式，所以该问题为 线性规划问题，简写为LP.
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线性规划问题的特征
xi对目标函数的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续 比 例 性
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实例1
某化工厂生产四种化工产品A1 , A2 , A3 , A4,每种产品生产1吨 消耗的工时、能源和获得的利润如表2-1所示
表2-1 生产1t产品的消耗和收益
产品 工时/h 能耗/t 标准煤 利润/万 元
A1
A2
A3
A4
100 0.2 2
250 0.3 5
380 0.5 8
75 0.1 1
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a 1n a 2n a mn
第26页
为系数矩阵。
规 范 形 式
min c
x
Ax b s .t . x 0
第27页
标 准 形 式
第6页
模型建立
m ax z 2 x1 5 x 2 8 x 3 x 4 s .t .1 0 0 x1 2 5 0 x 2 3 8 0 x 3 7 5 x 4 1 8 4 8 0 0 .2 x1 0 .3 x 2 0 .5 x 3 0 .1 x 4 1 0 0 x i 0, i 1, 2, 3, 4
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一 般 形 式
目标函数
min z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i ; i 1 , 2 ,..., p a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i ; i p 1 ,..., m s .t . x 0 ; j 1 , 2 ,..., q j x 无限制 ; j 1 , 2 ,..., q j
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问题
已知该厂明年的工时限额为18480h，能耗限额为 100t标准煤，欲使该厂明年的总利润最高，请确定 定各种产品的生产数量，试建立数学模型。
第4页
模型假设
四种产品的每吨获利是与它们各自的生产数量无 关的常数；每种产品生产一吨消耗的工时，能耗 是与各种产品的产量无关的常数。 四种产品每吨的获利是与它们相互间产量无关的 常数。每种产品所消耗的工时，能耗是与它们相 互间产量无关的常数。 生产产品的数量可以是任意实数。
第16页
实例2 一般的运输问题
假设某种物资有m个产地，n个销地.第i个产地的 产量为 a i , i 1, 2, m ；第 j 个产地的需要量 为 b j , j 1, 2, n .其中 a b .由产地i到销地j 什么是吨公里数呢？ 的距离已知为 d ij ，问应如何分配该种物资，使 吨公里数=运载量*运载 既能满足各地的需要，又使所花费的运输总吨公 公里数 里数最少？
min c x Ax b s .t . x 0
第28页
概
念
x ( x 1 , x 2 , x n )
可行解（或可行点） 满足所有约束条件的向量 ： 可行集（或可行域） 所有的可行解的全体 ：
D { x Ax b , x 0 }
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合
第14页
设从甲、乙、丙三个工厂向A,B,C三个地区运送 的化肥量为 , i , j 1, 2, 3( 万 吨 ) 总运费与经济损失 x ij 费之和为 . Z Z ①三个工厂到三地的运费之和记为 1
Z 1 (5 x11 x12 7 x13 ) (6 x 21 4 x 22 6 x 23 ) (3 x 31 2 x 32 5 x 33 )