第2章 线性规划模型

问：应该怎样选配食品，才能保证在满足m种营 养成分需要的条件下，使食品总成本y最低？
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模型建立
n m in y c j x j j 1 n s .t . a ij x j b i , i 1, 2, m , j 1 x j 0, j 1, 2, , n .
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实例1 化肥的供应与销售

设有3个化肥厂：甲、乙、丙，供应3个地 区:A,B,C化肥，各厂的化肥年产量、各地区需求 量及各厂到3个地区的单位运价见表所示；假设 各地区需求量没有满足会造成经济损失: B,C区 的单位损失分别为3万元/万吨和2万元/万吨，A 区的需求量必须保证，求使得总运费和经济损失 费最少的调运方案。
约束条件
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注
释
x j ; j 1 , 2 ,..., n 为 待 定 的 决 策 变 量 ，
c (c 1 , c 2 , , c n ) 为 价 值 向 量 ，
c j ; j 1 , 2 ,..., n 为 价 值 系 数 ， b ( b 1 , b 2 ,..., b m ) 为 右 端 向 量 ，
min c x Ax b s .t . x 0
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概
念
x ( x 1 , x 2 , x n )

可行解（或可行点） 满足所有约束条件的向量 ： 可行集（或可行域） 所有的可行解的全体 ：
D { x Ax b , x 0 }
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合


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模型建立
m ax z 2 x1 5 x 2 8 x 3 x 4 s .t .1 0 0 x1 2 5 0 x 2 3 8 0 x 3 7 5 x 4 1 8 4 8 0 0 .2 x1 0 .3 x 2 0 .5 x 3 0 .1 x 4 1 0 0 x i 0, i 1, 2, 3, 4
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实例2 一般的运输问题

假设某种物资有m个产地，n个销地.第i个产地的 产量为 a i , i 1, 2, m ；第 j 个产地的需要量 为 b j , j 1, 2, n .其中 a b .由产地i到销地j 什么是吨公里数呢？ 的距离已知为 d ij ，问应如何分配该种物资，使 吨公里数=运载量*运载 既能满足各地的需要，又使所花费的运输总吨公 公里数 里数最少？
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实例1

某化工厂生产四种化工产品A1 , A2 , A3 , A4,每种产品生产1吨 消耗的工时、能源和获得的利润如表2-1所示
表2-1 生产1t产品的消耗和收益
产品 工时/h 能耗/t 标准煤 利润/万 元
A1
A2
A3
A4
100 0.2 2
250 0.3 5
380 0.5 8
75 0.1 1
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模型建立
n m ax z c j x j j 1 n 当拟订的生产计 s .t . a ij x j 划规模较大时,我 b i , i 1, 2 , m j 1 们通常采用向量、 T m ax 矩阵记号，则该 z c1,x2 , n x j 0, j 模型变成什么样 x b , s .t . A 了呢？ x 0.
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一 般 形 式
目标函数
min z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i ; i 1 , 2 ,..., p a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i ; i p 1 ,..., m s .t . x 0 ; j 1 , 2 ,..., q j x 无限制 ; j 1 , 2 ,..., q j
i 1 j 1
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每平产量 /kg
作物
土地
B1
B2

Bn
计划播种面积/平方 米
A1 A2 Am
土地面积/平方米
c11 c 21 cm1
b1
c12 c 22 cm 2
b2

c1 n c2 n
a1 a2 am


cmn
bn
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问题分析
决策量：各块土地种植某种作物的面积，且非负.
m n i j i 1 j 1
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模型建立

用 x ij 表示产地i供给产地j的物资数量，设s为运输 的总吨公里数，则上述问题的数学模型为
m n m in s d ij x ij i 1 j 1 n 对运输问题感兴趣的同学可以 s .t . x ij b j , j 1, 2, n i 1 查阅相关书籍，例如由前苏联数学 n 家编写的《生产组织与计划中的数 学方法》一书提出了这一类问题的 x ij a i , i 1, 2, m j 1 数学模型和求解方法。 x ij 0, i 1, 2, m ; n 1, 2, n .
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a 1n a 2n a mn
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为系数矩阵。
规 范 形 式
min c

x
Ax b s .t . x 0
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标 准 形 式
②销地A必须满足需要量，无损失费 ③销地B损失费为 3( 2 0 x1 2 x 2 2 x 3 2 ) 销地C损失费为 2 (5 0 x1 3 x 2 3 x 3 3 )
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模型建立
m in Z 160 5 x11 2 x12 5 x13 6 x 21 x 22 4 x 23 3 x 31 x 32 3 x 33
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产地
销地 运价
万元/万吨
A 5 6 3 75
B 1 4 2 20
C 7 6 5 50
年产量 （万吨）
甲 乙 丙 销量（万吨）
10 80 15
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问题分析


总产量为10+80+15=105，总销量为75+20+50=145 因为总产量<总销量，故该问题为产销不平衡的 运输问题。 目标函数：总运费与经济损失费之和 决策变量：从产地运往销地的化肥量 约束条件：必须保证A区的需求量，即A区无损失 费；B,C有损失费；三个厂生产的化肥全部运出 无剩余。
x ( x1 , x 2 , x n )
T
就代表一个生产计划，我们的
问题是：要设法安排一个生产计划，使该厂获得的 总利润最高。
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问题分析

决策变量:n种产品的生产数量 x1 , x 2 , x n
目标：该厂获得的总利润最大 n 利润函数： c x


ij
ij
j 1

约束条件： 资源 Ai 的使用限额 蕴含约束：n种产品产量非负
第一篇 运筹学模型
运 筹 帷 幄 之 中 Linear Programming
决 胜
线性规划
千 里 之 外
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第2章 线性规划模型
2.1 拟订生产计划问题 2.2 运输问题 2.3 食谱问题 2.4 作物布局问题 2.5 配料问题 2.6 LP模型的一般形式与标准形式 2.7 LP模型的几何解释和图解法 2.8 一些实例
j
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模型建立
m n m ax y c ij x ij i 1 j 1 这是等式约束 n s .t . x ij a i , i 1, 2, m j 1 m x ij b j , j 1, 2, n i 1 x ij 0, i 1, 2, m ; j 1, 2, , n
3 x1 j 1 0 j 1 3 x2 j 80 j 1 3 x3 j 1 5 j 1 3 s .t . x i1 7 5 i 1 3 xi 2 2 0 i 1 3 xi3 5 0 i 1 x ij 0 , i , j 1, 2 , 3
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一般食谱问题

假定有n种食品，每种食品中含有m种营养成分. 其中：
a ij 一 个 单 位 的 第 j 种 食 品 中 含 有 第 i 种 营 养 的 数 量 bij 每 人 每 天 对 第 i 种 营 养 的 最 低 需 求 c j 第 j种 食 品 的 单 价 x j 所 用 第 j种 食 品 的 数 量
由于目标函数 z 是变量 x1 , x 2 , x 3 , x 4 的线性函数，约束条件是的 x1 , x 2 , x 3 , x 4 线性不等式，所以该问题为 线性规划问题，简写为LP.
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线性规划问题的特征
xi对目标函数的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续 比 例 性
目标：总产量最高 a i 计 划 播 种 作 物 Ai的 面 积 约束：①各块土地上种植作物 Ai 面积总和=作物 Ai 计 b j 土 地 B j的 面 积 划种植面 积 a i ；②第j块土地种植各种作物面积总和= B c ij 土 地 B j 上 b 植 作 物 Ai的 单 位 产 量 土地面积 种 ③种植面积非负 j
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问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ析

决策变量：四种产品明年的生产数量 x1 , x 2 , x 3 , x 4 目标：该厂明年的总利润最大 利润函数： 2 x1 5 x 2 8 x 3 x 4 约束条件： 工时限制 100 x1 250 x 2 380 x 3 75 x 4 18480 能耗限制 0 .2 x1 0 .3 x 2 0 .5 x 3 0 .1 x 4 1 0 0 蕴含约束：四种产品产量非负 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
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§2.4
作物布局问题
例 红星农场要在n块土地 B1 , B 2 B n 上，种植 m 种作物 A1 , A2 , Am ，各块土地的面积、各 种作物计划种植面积和在各块地上的每平 方米产量如下表，问 应如何合理安排种植 计划，才能使总产量最高. 这里假设计划播种的种面积等于土地的总面 m n 积，即 a i b j
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问题
已知该厂明年的工时限额为18480h，能耗限额为 100t标准煤，欲使该厂明年的总利润最高，请确定 定各种产品的生产数量，试建立数学模型。
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模型假设



四种产品的每吨获利是与它们各自的生产数量无 关的常数；每种产品生产一吨消耗的工时，能耗 是与各种产品的产量无关的常数。 四种产品每吨的获利是与它们相互间产量无关的 常数。每种产品所消耗的工时，能耗是与它们相 互间产量无关的常数。 生产产品的数量可以是任意实数。
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设从甲、乙、丙三个工厂向A,B,C三个地区运送 的化肥量为 , i , j 1, 2, 3( 万 吨 ) 总运费与经济损失 x ij 费之和为 . Z Z ①三个工厂到三地的运费之和记为 1
Z 1 (5 x11 x12 7 x13 ) (6 x 21 4 x 22 6 x 23 ) (3 x 31 2 x 32 5 x 33 )
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实例2一般的拟定生产计划问题

A 例2 设有m种资源： 1 , A 2 , A m ，拟生产n种产品： B1 , B 2 , B n .用 a ij 表示生产1个单位第j种产品
所需要的第i种资源的数量，用 b i 表示第i种资源
的使用限额，用 c j 表示销售一个单位的第j种产品 获得的利润，用 x j表示第j种产品的生产数量，则