第5章角动量

r r r L rmv sin rm sin 2m sin 2m =常量 t 2t t L 是t时间内，行星与太阳间 =常量 联线所扫过的面积，如图。 t 2m
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其中 d /dt 称为掠面速度。 证明了掠面速度不变。即开普 勒定律。
5
6
二、力对参考点的力矩
定义：力对某一固定点O 的力矩
M
M r F 大小 M Fr sin Fr 方向：右手螺旋法则 r F 的方向
三、质点的角动量定理
角动量的时间变化率
O r
r
m
F
d L 质点角动量定理 M （微分形式） d t M dt d L
Lo r mv sin r mv
O
r
r A

p mv
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说明： 若
M外 0
则
L 常矢量
质点角动量守恒定律
1. 关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况： ⑴ 对孤立体，质点不受外力作用Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。 ⑵ 所有的外力通过定点，对该点每个外力的力矩皆为零，因而总 外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。 ⑶每个外力的力矩不为零，但总外力矩M = 0。 2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定 律或能量守恒定律中。 3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别 守恒。 例： 当 Mx = 0，则 Lx = 常量
轨道角动量
i
5.2 质点系的角动量定理
ri
m1 m2
ri
mi
自旋角动量
例：地球绕太阳转；电子绕原子核转（自旋不同于经典）
（1） 轨道角动量 与参考点O 的选择有关。 （2）自旋角动量 是以质心为参考点的角动量。与观察者选什么样的参 考点无关，也称为固有角动量。 13
二、质点系角动量定理和角动量守恒
合力矩的冲量 角动量的增量
dL d dr d p (r p) pr r F dt dt dt dt
质点的角动量定理： 质点所受合力矩的冲量等于 质点角动量的增量。

t2
t1
质点角动量定理 M d t L2 L1 （积分形式）
角动量定理只对惯性系中的固定点才成立。 0 L =常矢量 当对质心的合外力矩 M 外
质心系中（对质心）的角动量守恒定律 例：若质点系所受外力是重力，即 Fi mi g 则在质心参考系中角动量总是守恒
18
19
猫尾巴的功能
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例. 发射一宇宙飞船去考察一个质量M，半径R的行星，当飞船 静止于空间距行星中心 r=4R 时，以速度v0发射一质量m的仪器， 要使该仪器恰好掠过行星表面。求:发射角θ，及着陆滑行的初 速度v 多大？
t1
角动量定理
F 0
动量守恒
p 常矢量
M 0
L 常矢量
（冲量矩）
角动量守恒
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dL 由质点的角动量定理 M d t dL 若 则 M外 0 0 dt 质点的角动量守恒定律：
四、质点角动量守恒定律
或
L 常矢量
对某一参考点，质点所受合力矩为零，则质点对该参考点的 角动量保持不变。 例1. 质点做匀速直线运动中，对O点角动量是否守恒？ L Lo r mv
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例2.讨论的行星运动 有心力 M r f 0 L 常矢量 1.角动量方向不变 行星轨道平面方位不变 2.角动量大小不变
L
太阳
r

r
行星 m
v
行星矢径ຫໍສະໝຸດ Baidu位时间行扫过的面积（掠面速率）是常量。 1 —开普勒第二定律 r r sin 行星对太阳的角动量的大小 2
2.转动（定轴，非定轴） 刚体中所有点都绕同一条直线作圆周运动， 这运动称为转动。这条直线称转轴。
瞬时转轴
转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
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定轴转动的特点 ： 任意时刻，所有点都具有相同的角位移， 角速度，角加速度。这些角量也称刚体的角量。
3.刚体的一般运动：质心的平动 + 绕质心的转动
z
二、刚体定轴转动的描述
第五章
角动量 角动量守恒定律
为什么银河系呈旋转盘状结构？
为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？
体操运动员的“晚旋” 芭蕾，花样滑冰，跳水… 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情 时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到 楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减 少，为什么会这样呢？
方向一致 方向相反
z

d S r d v r dv d at r r d2t dt a v an r 2
r
质点匀变速直线运动
2. 角量与线量关系
v r
v dS
r d P
O
3. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
一、力对转轴的力矩
质点动力学问题 F ma 刚体动力学问题 M J
角动量守恒
z

M i roi Fi roi Fiz roi Fi 垂直z 轴 roi Fi ri Fi riz Fi
r r R L0 r p ( R r ) p Rg R p R mgt Rmgt
mv
m g
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
4
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
7
注意：力矩和角动量都是对 惯性系中同一参考点而言。
F dt d p t2 t1 F d t p F 力 p 动量 t2 F d t 合力的冲量
t1
动量定理
M dt d L t2 t1 M d t L M 力矩（角力） L 角动量（动量矩） t2 M d t 合力矩的冲量
解： 引力场（有心力）； 系统的机械能守恒； 质点角动量守恒。
v0

m
v
r
R
o
M
1 2 GMm 1 2 GMm mv0 mv (1) 2 r 2 R mv0 r sin mvR (2) 3GM 1/2 v 4 v sin v v0 (1 ) 0 2 2 Rv0 1 3GM 1/2 sin (1 ) 2 4 2 Rv0
3. 行星近地（日）点速度大，在远地（日）点速度小
在近日点和远日点 r v
mr1v1 mr2v2 v1 v2
v2
D
C

r r2 2
v1 r1
B
O
r 1
A
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C ri rc ri L Li (ri mi vi ) vi vc vi r i i c
m
O
称为质点对参考点O的角动量或动量矩。
角动量是描述物体的转动特征的物理量 说明： 1. 角动量是矢量
大小：L rp sin rmv sin p 方向：右手螺旋法则，垂直 r 和 组成的平面 2. 角动量是相对给定的参考点定义的，且参考点在所选的参考系 中必须是固定点，对不同的参考点体系的角动量是不同的。通常 我们把参考点取为坐标原点，通常将角动量L 画在参考点上。 例：质点作圆周运动
L
L rp mrv mr 2
m o r
p
3
例：自由下落质点的角动量 （1）对A点的角动量 任意时刻 t
O
r
R
A r
（2）对O点的角动量
12 p mv mgt r gt 2 1 3 LA r p mt g g 0 2
1
5.1 质点的角动量
角动量定理
5.2 质点系的角动量定理 5.3 刚体的定轴转动 5.4 定轴转动刚体的角动量定理 5.5 定轴转动刚体转动定律 5.6 刚体的进动 角动量守恒 转动中的功和能
2
5.1 质点的角动量
一、质点的角动量
角动量定理
p
L
r
L r p r mv
15
旋转盘状星系结构---角动量守恒的结果
16
角动量守恒的现象
北
北
南
南
角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产 生了季节变化。
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*三、质心参考系的角动量定理及角动量守恒定律
相对质心系的角动量 自旋角动量或固有角动量 L ri mi vi
i
质心参考系的角动量定理 对质心的合外力矩等于对质心 d L M外 的角动量的时间变化率 dt 注意：质心可以是动点，质心角动量定理对非惯性系也成立。
Fi
1.质点系的角动量定理 mi ri rj L Li ri p f ij i i f ji mj d Li ri ri ( Fi f ij ) rj dt i j Fj O dL ri ( Fi f ij ) M 外 M 内 dt i i j M M i内 = (ri f ij ) M 外 M i外 ri Fi 内
一、质点系角动量
[(rc ri) mi vi ] O i rc mvc ri mi (vc vi) i rc mvc ri mi vc ri mivi i i rc mvc ri mi vi L轨道 L 自旋
i i
i i i j
计算i , j 两个质点，内力矩之和 M ij M ji ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0 所有内力矩的矢量和为零。
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M外
M外 d t d L
dL dt
匀变速定轴转动
1 2 x x0 v0t at 2 2 v 2 v0 2a( x x0 )
v v0 at
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
0 t
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5.4 定轴转动刚体的角动量定理
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5.3 刚体的定轴转动
一、刚体运动的基本形式
A
A A
B
B 刚体：受力时不改变形状和体积的物体 1.平动 运动过程中，刚体上的任一直线 在各个时刻的位置都相互平行。
B 刚体的平动 特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移相同，速度相同，加速 度相同。 刚体的平动 质点运动 转轴 用质心运动代表刚体的平动 F外 mac

t2
t1
M 外 d t L2 L1 L
质点系的角动量定理：质点系所受合外力的冲量矩等于质点系 角动量的增量。 2. 说明：质点系的内力矩不能改变质点系的总角动量。 3.质点系的角动量守恒定律 L Li 常矢量 M外 0 说明：
i
1.若质点所受外力是有心力，即 Fi 沿着或背着 r i 的方向 ri Fi 0 M 外 0 则质点系的角动量守恒 2. 角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每 个分量都成立。
1.用角量描述 角坐标 (t ) 角位移
转动平面

B
vA

d 矢量 方向：右手螺旋法则
角速度
o
r

x
d 方向：右手螺旋法则 dt
定轴转动：角速度仅有沿转轴的 两个方向。用正负号表示方向。
0
d
z
0
o
d
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角加速度
d 方向 d dt
加速转动 减速转动