第七章 应力状态与应变状态分析
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工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
材料力学应力理论
例 单向拉伸状态
σx
45º
σx'
τx'y'
B
45º A
σy'
E
τy'x'
D
τα
b
2×45º
d
c
σα
o
a
2×45º
e
σx
¾45º斜面同有正应力、切应力；但正应力不是最大，切应力最大
例 纯剪切状态
D
σy'＝τ
y
O
x
τα
a (0,τ )
τ σx'＝τ
2×45º
2×45º
E
τ
e
c
b σα
o B
Α
d(0,-τ )
σy τyx
τyx
σy
σx
σz
τxy
σx
σz
τxy
平面应力三维看： σ1≥σ2 ≥σ3
τ
τ
o
σ2
σ
σ1
σ3 o
σ
σ1
σ3
τ
σ
σ2
o
200 300 50
τα
τmax
σ3
σ2
σα
o
σ1
σ3
200 300 50
τα
τα
σ3 σ2
O
σ2
σ1 σα
O
300 50
σα
σ1
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力。(MPa)
τ τ
45°
τ
τ
7.5 三向应力状态－应力圆法
设三个主应力已知
σ2
τα
τmax
y
σ3
z
x
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
不相同，此即应力的点的概念。
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
第七章 应力状态与应变状态分析
§7–１ 应力状态的概念
铸铁
P P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
2、State of stress at a point：
There are countless sections through a point. The gathering of stresses in all sections is called the state of stress at this point. 3、Element：Element— Delegate of a point in the member. It is a infinitesimal geometric body enveloping the studied point. In common use it is a correctitude cubic
A
P
sx
A
sx
t yx
P
M x
sx
tzx
B
z
C
txz
sx
C
t xy
六、原始单元体（已知单元体）：
[例1] P 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A P
sx
A
sx t yx
y
B z P M
sx
tzx
C
x
B
txz
sx
C
t ห้องสมุดไป่ตู้y
7、Principal element、principal planes、principal stresses：
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相
离。
证明 : 单元体平衡
sy
y
M
z
0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
应力状态
为了分析失效的原因，需要研究通过一点不同方向 面上应力相互间的关系。 ——应力状态分析。 ——建立复杂受力时强度设计准则的基础。
本章的主要内容： 1、首先介绍应力状态的基本概念； ——应力应变分析 2、以此为基础建立复杂受力时的失效判据与强度设计准则； ——强度理论
第一节
应力状态概述
一、什么是应力状态，为什么要研究应力状态
yx
sx+ sy 2
应力圆
2.应力圆的画法
y
sy
t
yx
(
sx- sy 2
)2 + t 2 xy
R
sx
t xy
x
c
b(s y , t yx )
a (s x , t xy )
x y 2
3、几种对应关系
1）点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一 方向上的正应力和切应力。
sy
t
k ( a , a )
s 30 = t 30 =
sx+ sy 2 sx- sy 2
+
sx- sy 2
cos 2a - t xy sin 2a = 102 MPa
sin 2a + t xy cos 2a = 22 MPa
2）求主应力值及主方向
s ¢= 1 + 2 2 sx+ sy 1 sⅱ = 2 2
sⅱ 0 =
s 1 = 105MPa ，s 2 =0 MPa ，s 3 = - 65MPa
二、应力状态分析的基本方法：
为描述一点的应力状态，围绕所考察的点做一个三对面互相 垂直的六面体，当各边边长足够小时，六面体便趋向于点。
——微元。
由于微元是平衡的，微元的任一局部也必然平衡，当微元 三对面上的应力已知时，由平衡条件就可确定任意方向面上的 应力。
工程力学第七章应力和应变分析
2
1
30MPa 3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
二、 广义胡克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
下面计算沿 1方向的应变：
1 1 引起的应变为 1 E 2 、 3 引起的应变为 2 1 E 3 1 E 当三个主应力同时作用时： 1 1 1 （ 2 3 ） E
2
1
3
E
( 1 2 )
§7-4～5材料破坏的形式强度理论
max [ ] max [ ]
材料破坏的形式主要有两类：
流动(屈服)破坏 断裂破坏
常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类： 一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。
(3)最大剪应力值。 单位：MPa
解：
x 80MPa, x 60MPa, x y
y 40MPa = 30 x y
cos 2 x sin 2
2 2 102 MPa x y sin 2 x cos 2 2 22.0MPa
2
1 3
广义胡克定律：
1 1 1 （ 2 3 ） E 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E
Hale Waihona Puke 对于二向应力状态：1 1 ( 1 2 ) E 1 2 ( 2 1 ) E
1 ( 2 3 ) b
1
30MPa 3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
二、 广义胡克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
下面计算沿 1方向的应变：
1 1 引起的应变为 1 E 2 、 3 引起的应变为 2 1 E 3 1 E 当三个主应力同时作用时： 1 1 1 （ 2 3 ） E
2
1
3
E
( 1 2 )
§7-4～5材料破坏的形式强度理论
max [ ] max [ ]
材料破坏的形式主要有两类：
流动(屈服)破坏 断裂破坏
常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类： 一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。
(3)最大剪应力值。 单位：MPa
解：
x 80MPa, x 60MPa, x y
y 40MPa = 30 x y
cos 2 x sin 2
2 2 102 MPa x y sin 2 x cos 2 2 22.0MPa
2
1 3
广义胡克定律：
1 1 1 （ 2 3 ） E 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E
Hale Waihona Puke 对于二向应力状态：1 1 ( 1 2 ) E 1 2 ( 2 1 ) E
1 ( 2 3 ) b
7__应力状态及应变状态分析
确定构件上的危险点及危险方向
7.2 平面应力状态分析－－－－解析法
平面一般应力状态，即空间应力状态中，z方向的 应力分量全部为零；或只存在作用于x-y平面内的 应力分量。
y
y
7.2.1平面一般应力状态斜截面上应力
斜截面平行于z轴且与x面成倾角 ，由力的平衡条件 可求得斜截面上应力σ ，τ 。
x
y
t 0
( x - y )sin cos + x (cos - sin )
2 2
1 ( x - y ) sin 2 + x cos 2 2
例 一单元体如图所示，试求在 = 30的斜截面 上的应力。
x 10 MPa, y 30 MPa , x 20 MPa, y -20 MPa, 30
２．一点处的应力状态：是指通过一点不同截面 上的应力情况的集合。
二、单元体分析法
一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元 体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况 来表示。
轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。
特点：
1、微元体三个方向的尺寸均无穷小；
2、每个面上的应力是均匀的；
3、微元体内相互平行的截面上，应力相同； 4、互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
7 应力状态及应变状态分析
7.1 应力状态概述
一、一点的应力状态
1．凡提到“应力”，必须指明：
在哪一点；在哪个面；在哪个方向。
7.1 应力状态概述
一、一点的应力状态
1．凡提到“应力”，必须指明：
在哪一点；在哪个面；在哪个方向。
目的：判断受力构件在那个点，那个方向最危险， 以便解决构件在复杂受力情况下的强度问题。
7.2 平面应力状态分析－－－－解析法
平面一般应力状态，即空间应力状态中，z方向的 应力分量全部为零；或只存在作用于x-y平面内的 应力分量。
y
y
7.2.1平面一般应力状态斜截面上应力
斜截面平行于z轴且与x面成倾角 ，由力的平衡条件 可求得斜截面上应力σ ，τ 。
x
y
t 0
( x - y )sin cos + x (cos - sin )
2 2
1 ( x - y ) sin 2 + x cos 2 2
例 一单元体如图所示，试求在 = 30的斜截面 上的应力。
x 10 MPa, y 30 MPa , x 20 MPa, y -20 MPa, 30
２．一点处的应力状态：是指通过一点不同截面 上的应力情况的集合。
二、单元体分析法
一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元 体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况 来表示。
轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。
特点：
1、微元体三个方向的尺寸均无穷小；
2、每个面上的应力是均匀的；
3、微元体内相互平行的截面上，应力相同； 4、互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
7 应力状态及应变状态分析
7.1 应力状态概述
一、一点的应力状态
1．凡提到“应力”，必须指明：
在哪一点；在哪个面；在哪个方向。
7.1 应力状态概述
一、一点的应力状态
1．凡提到“应力”，必须指明：
在哪一点；在哪个面；在哪个方向。
目的：判断受力构件在那个点，那个方向最危险， 以便解决构件在复杂受力情况下的强度问题。
工程力学(材料力学部分第七章)
4 主应力及应力状态的分类
主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为主应力；
主应力所在的平面称为主平面；
主平面的外法线方向称为主方向。
主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。
应力状态分类
单向应力状态
11
应力状态分类
单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态)
三向应力状态(空间应力状态)
D点
由 y 40, yx 60
D'点
画出应力圆
52
圆心坐标
OC x y 80 (40)
2
2
20
半径
R
x
2
y
2
2 xy
80 (40) 2
(60)2
84.85 85
2
53
圆心坐标 OC 20
半径
R 85
1 OA1 OC R
E
105 MPa
3 OC R
65 MPa
D (x ,xy)
x y
2
R 1 2
x y
2
4
2 xy
38
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系 (1) 点面对应
应力圆上某一点 的坐标值对应着 单元体某一方向面上的正应力和切应力。
39
(1) 点面对应
应力圆上某一点的坐 标 值对应着单元体某 一方向面上的正应力 和切应力。
D点对应的面与E点 对应的面的关系
主应力。
从半径CD转到CA1 的角度即为从x轴转
到主平面的角度的
两倍。
44
主应力 即为A1, B1处的正应力。
max min
x
y
2
x
2
材料力学第七章__应力和应变分析__强度理论(2).ppt
所以
m Wtt
d 3
16Biblioteka 1E45o
例 边长为10mm的铝质方块，紧密无隙 地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽 中，如图所示。当铝块受到P=60MPa的
• 在小变形及线弹性范围内，线应变 只与正应力有关，而与剪应力无关；
• 剪应变只与剪应力有关，而与正应 力无关，满足应用叠加原理的条件。
• 所以，我们利用单向应力状态和纯 剪切应力状态的虎克定律，分别求 出各应力分量相对应的应变，
• 然后，再进行叠加。
正应力分量在不同方向对应的应变
sx
s y
sz
s 1
(s 2
s 3 )
2
1 E
s 2
(s 3
s 1 )
3
1 E
s 3
(s 1
s 2 )
二、体积应变及应力的关系 1．体积应变
变形前单元体的体积为
V dxdydz
变形后，三个棱边的长度变为
dx 1dx (1 1)dx dy 2dy (1 2 )dy dz 3dz (1 3 )dz
x
y
xy
x
y
sin 2
xy
cos 2
22
2
二、应变圆
x
y
x
y cos2 xy sin 2
2
2
2
x
y
sin 2
xy
cos 2
22
2
(
x
y
)2
(
)2
x
y
sin
2
(
xy
)
2
22
2
t x'y'
R 1 2
sx s y
第七章 应力 应变状态分析
薄板：在厚度方向应力为0；厚体：很厚，在厚度方向应变为0。
§7-6 平面应变状态应变分析
（本章平面应力状态是重点） 点的应力状态：过某点各微截面的应力情况 应变状态：某点在不同方位的应变情况 平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内 平面应力与平面应变状态对比：
方向应变(正应变和剪应变)
方向应力(正应力和剪应力) 为零，应力不为零
一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这 对平面) 二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的平面)可画平面图 (单位厚度应力) 三、符号规定：
方位角
，(从
轴)逆时针正 正应力
：拉为正
剪应力 ：使顺时针转正 四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡
微三角块平衡 五、结果
六、已知 ，求 ，
到E。 三、最大应变与主应变
1.应变极值及方位
2.主应变：
方位的正应变，由应变圆，它总是存在。
表示。 3.适用范围： 应变圆：纯几何角度推导，小变形，与材料性质无关。 应力圆：线性、非线性(因为推导没用到材料常数和胡克定律)。 4.P221例7-6，代公式，自学(
不好测)
求 , 的公式中，包含 三个量，如反过来要求 ，可先测三个方向 ，联立方程求解。
略去高阶微量 代入广义胡克定律
3.体积与形状改变比能 应变比能能够分解为体积改变比能与形状改变比能之和 体积改变比能等于与之体积应变相等的三向等应力单元体(其应力 为 的应变比能，故
代入（1） 形状改变比能 二、非主应力微体 1.复杂应力状态下应变比能
2.纯剪应力状态引起的体积应变为零 非主应力微体的剪应力可看作三个纯剪应力状态的叠加 3.体积与形状应变比能 由2，可知
圆柱体内第三主应力mpa1535010300假定圆柱体膨胀塞满凹座0002102000002mpa153mpa43mpa1531778复合材料的应力应变关系选讲复合材料种类繁多长纤维短纤维颗粒增强金属基树脂本书仅介绍长纤维树脂基复合材料正交各向异性有三个互相垂直的对称面横观各向同性一正轴物理方程轴1纤维纵向轴2纤维横向构成直角坐标系轴123称为材料主轴1
§7-6 平面应变状态应变分析
（本章平面应力状态是重点） 点的应力状态：过某点各微截面的应力情况 应变状态：某点在不同方位的应变情况 平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内 平面应力与平面应变状态对比：
方向应变(正应变和剪应变)
方向应力(正应力和剪应力) 为零，应力不为零
一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这 对平面) 二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的平面)可画平面图 (单位厚度应力) 三、符号规定：
方位角
，(从
轴)逆时针正 正应力
：拉为正
剪应力 ：使顺时针转正 四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡
微三角块平衡 五、结果
六、已知 ，求 ，
到E。 三、最大应变与主应变
1.应变极值及方位
2.主应变：
方位的正应变，由应变圆，它总是存在。
表示。 3.适用范围： 应变圆：纯几何角度推导，小变形，与材料性质无关。 应力圆：线性、非线性(因为推导没用到材料常数和胡克定律)。 4.P221例7-6，代公式，自学(
不好测)
求 , 的公式中，包含 三个量，如反过来要求 ，可先测三个方向 ，联立方程求解。
略去高阶微量 代入广义胡克定律
3.体积与形状改变比能 应变比能能够分解为体积改变比能与形状改变比能之和 体积改变比能等于与之体积应变相等的三向等应力单元体(其应力 为 的应变比能，故
代入（1） 形状改变比能 二、非主应力微体 1.复杂应力状态下应变比能
2.纯剪应力状态引起的体积应变为零 非主应力微体的剪应力可看作三个纯剪应力状态的叠加 3.体积与形状应变比能 由2，可知
圆柱体内第三主应力mpa1535010300假定圆柱体膨胀塞满凹座0002102000002mpa153mpa43mpa1531778复合材料的应力应变关系选讲复合材料种类繁多长纤维短纤维颗粒增强金属基树脂本书仅介绍长纤维树脂基复合材料正交各向异性有三个互相垂直的对称面横观各向同性一正轴物理方程轴1纤维纵向轴2纤维横向构成直角坐标系轴123称为材料主轴1
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
应力状态与应变状态分析
概念
应变状态分析对应力状态分析起到补充作用，特别是在复杂受力情况下，能够更 准确地描述物体的变形行为。
应变状态的分类
单轴应变
物体在单向受力过程中发 生的应变，只有一个方向 的长度变化。
双轴应变
物体在双向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在两个相互垂直的方向上。
三轴应变
物体在三向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在三个相互垂直的方向上。
塑性变形
在某些高应力状态下，材料可能 会发生塑性变形，影响其机械性 能和稳定性。
断裂韧性
材料的断裂韧性可能会受到其内 部应力的影响，高应力状态可能 降低材料的断裂韧性，导致材料 更容易断裂。
02
应变状态分析
定义与概念
定义
应变状态分析是研究物体在受力过程中内部应变的分布和变化情况，以及应变与 应力之间的关系。
详细描述
在塑性行为下，材料发生屈服，即应力达到某一特定值后，应变开始急剧增加。这种行为通常发生在 材料承受的应力高于其屈曲点时。
脆性行为
总结词
当材料受到外力作用时，它可能会突然断裂，而不会发生显著的形变。
详细描述
在脆性行为下，材料在较低的应力状态下就会断裂，且断裂前几乎没有明显的塑性变形。这种行为常见于某些脆 性材料，如玻璃或陶瓷。
弹性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变， 但当外力去除后，材料能够完全恢复 其原始形状和尺寸。
详细描述
在弹性行为下，材料的应力和应变之 间呈线性关系，即应力与应变成正比。 这种行为通常发生在材料承受的应力 低于其屈服点时。
塑性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，并且当外力去除后，材料不能完全恢复其原始形状和尺寸。
应变状态分析对应力状态分析起到补充作用，特别是在复杂受力情况下，能够更 准确地描述物体的变形行为。
应变状态的分类
单轴应变
物体在单向受力过程中发 生的应变，只有一个方向 的长度变化。
双轴应变
物体在双向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在两个相互垂直的方向上。
三轴应变
物体在三向受力过程中发 生的应变，长度变化发生 在三个相互垂直的方向上。
塑性变形
在某些高应力状态下，材料可能 会发生塑性变形，影响其机械性 能和稳定性。
断裂韧性
材料的断裂韧性可能会受到其内 部应力的影响，高应力状态可能 降低材料的断裂韧性，导致材料 更容易断裂。
02
应变状态分析
定义与概念
定义
应变状态分析是研究物体在受力过程中内部应变的分布和变化情况，以及应变与 应力之间的关系。
详细描述
在塑性行为下，材料发生屈服，即应力达到某一特定值后，应变开始急剧增加。这种行为通常发生在 材料承受的应力高于其屈曲点时。
脆性行为
总结词
当材料受到外力作用时，它可能会突然断裂，而不会发生显著的形变。
详细描述
在脆性行为下，材料在较低的应力状态下就会断裂，且断裂前几乎没有明显的塑性变形。这种行为常见于某些脆 性材料，如玻璃或陶瓷。
弹性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变， 但当外力去除后，材料能够完全恢复 其原始形状和尺寸。
详细描述
在弹性行为下，材料的应力和应变之 间呈线性关系，即应力与应变成正比。 这种行为通常发生在材料承受的应力 低于其屈服点时。
塑性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，并且当外力去除后，材料不能完全恢复其原始形状和尺寸。
H应力状态强度(8.ok)
第七章 应力应变状态分析 强度理论 —— 称为一点的应力状态
三、一点应力状态的表示
单元体（ 单元体（Element） ）
P
点
P
1.每个面上应力均匀分布； 每个面上应力均匀分布； 每个面上应力均匀分布 2.相互平行的面上应力相同； 相互平行的面上应力相同； 相互平行的面上应力相同 3.通过研究单元体不同斜截面上的应力来 通过研究单元体不同斜截面上的应力来 分析该点的应力状态。 分析该点的应力状态。 应力状态的研究方法: 应力状态的研究方法
第七章 应力应变状态分析 强度理论
四、应力状态分类： 应力状态分类：
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。 存在三个互相垂直的主平面
对应三个主应力： 对应三个主应力： σ1 ≥σ2 应力状态分类： 应力状态分类：
三向（空间）应力状态 三向（空间）应力状态:
≥σ3
σ2
σ3
σ1
二向（平面）应力状态 二向（平面）应力状态:
σ
τ zx τ xz
z
τ
τ
zy
yz
σ
x
τ xyτ
σ
yx
σx
y
σy
τyx
单向应力状态
σx
纯剪应力状态
τ xy
第七章 应力应变状态分析 强度理论
§7. 2 二向和三向应力状态的实例 一、二向应力状态实例1 二向应力状态实例 圆筒形薄壁压力容器， 圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力 作用 、 ，承受内力p作用
σx
x
y
σy σx,τxy :法线平行于 x 轴面上正应力和切应力 法线平行于 τyx σy ,τyx :法线平行于 y 轴面上正应力和切应力 法线平行于 σx
三、一点应力状态的表示
单元体（ 单元体（Element） ）
P
点
P
1.每个面上应力均匀分布； 每个面上应力均匀分布； 每个面上应力均匀分布 2.相互平行的面上应力相同； 相互平行的面上应力相同； 相互平行的面上应力相同 3.通过研究单元体不同斜截面上的应力来 通过研究单元体不同斜截面上的应力来 分析该点的应力状态。 分析该点的应力状态。 应力状态的研究方法: 应力状态的研究方法
第七章 应力应变状态分析 强度理论
四、应力状态分类： 应力状态分类：
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。 存在三个互相垂直的主平面
对应三个主应力： 对应三个主应力： σ1 ≥σ2 应力状态分类： 应力状态分类：
三向（空间）应力状态 三向（空间）应力状态:
≥σ3
σ2
σ3
σ1
二向（平面）应力状态 二向（平面）应力状态:
σ
τ zx τ xz
z
τ
τ
zy
yz
σ
x
τ xyτ
σ
yx
σx
y
σy
τyx
单向应力状态
σx
纯剪应力状态
τ xy
第七章 应力应变状态分析 强度理论
§7. 2 二向和三向应力状态的实例 一、二向应力状态实例1 二向应力状态实例 圆筒形薄壁压力容器， 圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力 作用 、 ，承受内力p作用
σx
x
y
σy σx,τxy :法线平行于 x 轴面上正应力和切应力 法线平行于 τyx σy ,τyx :法线平行于 y 轴面上正应力和切应力 法线平行于 σx
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4、Expression of stresses in general case
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相 离。
sy
y
sz
z
txy sx
x
Provement : The element is in equilibrium.
Mz 0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
t xy t yx
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
OF STRESS CIRCLE
§7–6 ANALYSIS OF STRAIN IN A PLANE §7–7 RELATION BETWEEN STRESS AND STRAIN UNDER
COMPLEX STRESSED STATE—（GENERALIZED HOOKE’S LAW）
§7–8 STRAIN -ENERGY DENSITY UNDER COMPLEX STRESSED STATE
ANALYTICAL METHOD
§7–3 ANALYSIS OF THE STATE OF PLANE §ST7R–E4 SSP—RINGCREAPAPHLYSTCRAELSMSEESTAHNODDTHEIR TRAJECTORIES OF
THE BEAM
§7–5 ANALYSIS OF TRIAXIAL STRESSED STATE—METHOD
Mechanics of Materials
CHAPTER 7 ANALYSIS OF THE STATE OF
STRESS AND STRAIN
§7–1 CONCEPTS OF THE STATE OF STRESS §7–2 ANALYSIS OF THE STATE OF PLANE STRESS —
第七章 应力状态与应变状态分析
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法 §7–3 平面应力状态分析——图解法 §7–4 梁的主应力及其主应力迹线 §7–5 三向应力状态研究——应力圆法 §7–6 平面内的应变分析 §7–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义虎克定律） §7–8 复杂应力状态下的变形比能
P Cast iron in
tension
Cast iron in compression
P
M
Low-carbon steel
Cast iron
P
P
2)、How will the member rupture in
combined deformations？
M
一、引言
§7–１ 应力状态的概念
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
2、State of stress at a point：
There are countless sections through a point. The gathering of stresses in all sections is called the state of stress at this point.
应力状态（概念）：指构件内过一点处沿不同方向斜截面上的应力状 态。
应力状态和强度理论为研究杆件在复杂变形时的强度问题提供了理论 基础。 。。。研究一点处的应力状态，引入单元体（P193）
§7–１ CONCEPTS OF THE STAFE OF STRISS
1、Forward
1)、Investigation on the tensile, compressive and torsional test of cast iron and low-carbon steel
问题引入：
杆件在几种基本变形（拉伸、压缩、扭转、弯曲）的强度问题，建立 了只用正应力或切应力作用时的强度条件，而工程实际中，几种基本 变形组合在一起，称为组合（叠加）变形（小变形情况下）
对应构件横截面上某点存在正应力和切应力时，能否分别对正应力和 切应力建立独立的强度条件进行计算？（X）
前面讨论构件基本变形的强度问题时，是用横截面上的危险点处的应 力建立强度条件进行强度计算，而有些破坏没有发生在试件横截面上 ，而是斜截面上。需研究斜截面上的应力状态。
的无限小的几何上，应力均布；
sy
y
b、平行面上，应力相等。
sz
z
txy sx
x
四、普遍状态下的应力表示
5、 Theorem of conjugate shearing stress:
Shearing stresses on perpendicular planes are equal in magnitude and have directions such that both stresses point toward ,or both point away form ,the line of intersection of the faces .
body.
sy
Properties of an element—a、Stresses are distributed
y
uniformly in the sections；
sz
z
txy sx
x
b、The stresses in two planes that are parallel to each other are equal.
3、Element：Element— Delegate of a point in the member. It is a infinitesimal
geometric body enveloping the studied point. In common use it is a correctitude cubic
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相 离。
sy
y
sz
z
txy sx
x
Provement : The element is in equilibrium.
Mz 0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
t xy t yx
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
OF STRESS CIRCLE
§7–6 ANALYSIS OF STRAIN IN A PLANE §7–7 RELATION BETWEEN STRESS AND STRAIN UNDER
COMPLEX STRESSED STATE—（GENERALIZED HOOKE’S LAW）
§7–8 STRAIN -ENERGY DENSITY UNDER COMPLEX STRESSED STATE
ANALYTICAL METHOD
§7–3 ANALYSIS OF THE STATE OF PLANE §ST7R–E4 SSP—RINGCREAPAPHLYSTCRAELSMSEESTAHNODDTHEIR TRAJECTORIES OF
THE BEAM
§7–5 ANALYSIS OF TRIAXIAL STRESSED STATE—METHOD
Mechanics of Materials
CHAPTER 7 ANALYSIS OF THE STATE OF
STRESS AND STRAIN
§7–1 CONCEPTS OF THE STATE OF STRESS §7–2 ANALYSIS OF THE STATE OF PLANE STRESS —
第七章 应力状态与应变状态分析
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法 §7–3 平面应力状态分析——图解法 §7–4 梁的主应力及其主应力迹线 §7–5 三向应力状态研究——应力圆法 §7–6 平面内的应变分析 §7–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义虎克定律） §7–8 复杂应力状态下的变形比能
P Cast iron in
tension
Cast iron in compression
P
M
Low-carbon steel
Cast iron
P
P
2)、How will the member rupture in
combined deformations？
M
一、引言
§7–１ 应力状态的概念
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
2、State of stress at a point：
There are countless sections through a point. The gathering of stresses in all sections is called the state of stress at this point.
应力状态（概念）：指构件内过一点处沿不同方向斜截面上的应力状 态。
应力状态和强度理论为研究杆件在复杂变形时的强度问题提供了理论 基础。 。。。研究一点处的应力状态，引入单元体（P193）
§7–１ CONCEPTS OF THE STAFE OF STRISS
1、Forward
1)、Investigation on the tensile, compressive and torsional test of cast iron and low-carbon steel
问题引入：
杆件在几种基本变形（拉伸、压缩、扭转、弯曲）的强度问题，建立 了只用正应力或切应力作用时的强度条件，而工程实际中，几种基本 变形组合在一起，称为组合（叠加）变形（小变形情况下）
对应构件横截面上某点存在正应力和切应力时，能否分别对正应力和 切应力建立独立的强度条件进行计算？（X）
前面讨论构件基本变形的强度问题时，是用横截面上的危险点处的应 力建立强度条件进行强度计算，而有些破坏没有发生在试件横截面上 ，而是斜截面上。需研究斜截面上的应力状态。
的无限小的几何上，应力均布；
sy
y
b、平行面上，应力相等。
sz
z
txy sx
x
四、普遍状态下的应力表示
5、 Theorem of conjugate shearing stress:
Shearing stresses on perpendicular planes are equal in magnitude and have directions such that both stresses point toward ,or both point away form ,the line of intersection of the faces .
body.
sy
Properties of an element—a、Stresses are distributed
y
uniformly in the sections；
sz
z
txy sx
x
b、The stresses in two planes that are parallel to each other are equal.
3、Element：Element— Delegate of a point in the member. It is a infinitesimal
geometric body enveloping the studied point. In common use it is a correctitude cubic