李雅普诺夫第二法

例 设 x x1 x2 x3 T
1) V (x) (x1 x2 )2 x32 因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （a，- a，0）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2) V (x) x12 x22
因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （0，0，a）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
函数V(x)（广义能量函数）,显然可以根据该函数的导数V&(x)
来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是 保持不变的。
李 氏 直 接 法 ： 利 用V(x)及V(x)的 符 号 性 质 来 直 接 判 断系 统 在 平衡处是否稳定。
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4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
设实对称阵
p11
P
p21
M
pn1
p12 L p22 L MO LL
p1n
M , M
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1 p11 ,
2
p11 p21
p12 p22
,L
, n
P
矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：
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4.3 李雅普诺夫第二法
(1)若 i 0 (i 1, 2,L , n)， 则 P 正定；
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.3 李雅普诺夫第二法
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角 度直接判断系统稳定性。
系统被激励 储能随时间
逐渐衰减至最小值
渐近稳定
储能不变
李氏稳定
储能越来越大
不稳定
思路：对于一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量
则平衡状态 xe 为在李亚普诺夫意义下的稳定。
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4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据
定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若 V&(x)是负定的；或者 V&(x)为半负定，对任意初始状 态 x(t0 ) 0 ，除去x=0外，有 V&(x)不恒为0。 则平衡状态Biblioteka Baiduxe 是渐近稳定的。 进一步当 x ，有 V (x) ，则在原点处的平衡状态 是大范围渐近稳定的。
例如：
1 1 0 x1
V (x) x12 2x1x2 x22 x32 x1
x2
x3 1
1
0
x2
0 0 1 x3
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4.3 李雅普诺夫第二法
二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，
通过变换 x Tx ，使之化为：
V (x) xT Px xTT T PTx xT (T T PT )x x T Px
数，则 （1）V (x)正定，则 P 正定矩阵，记为 P>0; （2）V (x)负定，则 P 负定矩阵，记为 P<0; （3）V (x) 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P≥0; （4）V (x) 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P≤0;
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4.3 李雅普诺夫第二法 3、希尔维斯特判据
x2
x0
x2
x0
V ( x )C
V ( x )C
xe
x1
xe
x1
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
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4.3 李雅普诺夫第二法
例4-4 已知系统 x&1 x2 x1(x12 x22 )
解：二次型 可以写为
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
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4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若V&(x) 是半负定的。
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4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若 V&(x)是正定的。
(2)若
0(i为偶数) i 0(i为奇数)
，则 P 负定；
(3)若
0(i=1,2,L i 0(i=n)
,n-1) ，则 P 半正定；
0(i为偶数) (4)若 i 0(i为奇数)
0(i=n)
，则 P 半负定；
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例 证明如下二次型函数是正定的。 V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
1
xT
0
2
O
0
n
x
i 1
i xi2
n
此称为二次型函数的标准型，i 为P的特征值，则 V (x) 正定的充要条件是P的特征值 i 均大于0。
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4.3 李雅普诺夫第二法 矩阵P的符号性质定义如下：
设 P 为n×n实对称阵，V (x) xT Px 为由 P 决定的二次型函
设 是向量 x 的标量函数，且在 x=0 处，恒有 对所有在定义域中的任何非零向量 x，如果成立：
（1） （2） （3） （4） （5）
，则称 ，则称 ，则称 ，则称 ，或
是正定的。 是半正定(非负定)的。 是负定的。 是半负定(非正定)的。
则称 是不定的。
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4.3 李雅普诺夫第二法
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4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量，二次型标量函数可写为
V (x) xT Px x1 x2 L
其中，P为实对称矩阵。
p11
xn
p21 M
pn1
p12 L p22 L MO LL
p1n x1
M
x2
M M
pnn
xn
则平衡状态 xe 是不稳定的。
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4.3 李雅普诺夫第二法
说明：
（1） V&(x) 0 ，则此时 V (x) C ，系统轨迹将在某个曲面上， 而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。
（2）V&(x)不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 V (x) C相交， 但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。