二次线性规划求目标函数的最值

1.（13年江苏T9）抛物线2

y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）

.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 . 【测量目标】导数的几何意义、直线方程以及线性规划问题.

【考查方式】给定函数和切点横坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法求解最值范围. 【参考答案】1

[2,]2

-

【试题解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为

12(1)y x -=-，即21y x =-.画出可行域（如图）. （步骤1）

设2x y z +=，则1122y x z =-

+经过点1

(,0)2

A ，(0,1)

B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max 1

2

z =，最小值min 2z =-，故取值范围是

1

[2,]2

-.（步骤2）

2.（13安徽T12）若非负数变量,x y 满足约束条件1

24

x y x y --⎧⎨+⎩≥≤，则x y +的最大值为

__________.

【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.

【考查方式】结合约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值． 【参考答案】4

【试题解析】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的

最优解，代入即可得所求.第2题图 FGQ28

根据题目中的约束条件画出可行域，注意到,x y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线y x =-，并向上平移，数形结合可知，当直线过点(4,0)A 时，x y +取得最大值，最大值为

4.

3.（13年浙江T15）设z kx y =+，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ⎧⎪

-+⎨⎪--⎩

………，若z 的最大值为

12，则实数k = .

【测量目标】线性规划解最值.

【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值. 【参考答案】2

【试题解析】作出不等式组2240240x x y x y ⎧⎪

-+⎨⎪--⎩

………表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，

第3题图 FGQ43

其中A （2，0），B （2，3），C （4，4）（步骤1）

设z =F （x ，y ）=kx y +，将直线l ：z kx y =+进行平移，可得①当k ＜0时，直线l 的斜率

-k ＞0.（步骤2）

由图形可得当l 经过点B （2，3）或C （4，4）时，z 可达最大值，此时，max z =F （2，3）=2k +3或max z =F （4，4）=4k +4. （步骤3）

但由于k ＜0，使得2k +3＜12且4k +4＜12，不能使z 的最大值为12，故此种情况不符合题意. （步骤4）

②当k ≥0时，直线l 的斜率-k ≤0，由图形可得当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值 此时max z =F （4，4）=4k +4=12，解得k =2. 符合题意，综上所述，实数k 的值为2. （步骤5）

4.（13福建T6）若变量y x ,满足约束条件210x y x y +⎧⎪

⎨⎪⎩

≤≥≥，则y

x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）

A ．4和3

B ．4和2

C ．3和2

D ．2和0 【测量目标】二元线性规划求目标函数最值．

【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象

求最优解． 第4题图

zwh5

【参考答案】B

【试题解析】作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解．

作出可行域如图阴影部分．（步骤1）

作直线20x y +=，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得(1,0),(2,0)A B ，

∴min max 2,4z z ==．（步骤2）

5.（13年全国卷

T15）若x y 、满足约束条件0,

34,34,x x y x y ⎧⎪

+⎨⎪+⎩

………则

z x y =-+的最小值为 .

【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.

【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.

【参考答案】0

【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()

包括边界，且

()()41,1040,.3A B C ⎛⎫

⎪⎝⎭

，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= GXX3第5题图 6.（13年新课标ⅠT14）设,x y 满足约束条件 13,

10

x x y

⎧⎨

--⎩剟剟，则2z x y =-的最大值为

______.

【测量目标】线性规划解最值.

【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划性质求z . 【参考答案】3

【试题解析】作出可行域，进一步探索最大值. 作出可行域如图阴影部分.

CQ09 第6题图

(步骤

1)

作直线20x y -=，并向右平移，当平移至直线过点B 时，2z x y =-取得最大

值.而由3,

0,

x x y =⎧⎨

-=⎩得B （3,3）.max 233 3.z ∴=⨯-=（步骤2）

7．（13年山东T14）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-⎧⎪

+-⎨⎪⎩

………所表示的

区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______

【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.

【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值．

【试题解析】

如图所示，M 为图中阴影部分的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以OM 的最小

值

第7题图SFT5

8.（13年四川T8）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,

x y y x x y +⎧⎪-⎪

⎨⎪⎪⎩…………且5z y x =-的最大值为a ，最

小值为b ，则a b -的值是 （ ）

A ．48 B.30 C.24 D.16 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】给出变量约束条件，画图求目标函数的最优解. 【参考答案】C

【试题解析】先将不等式24y x -…转化为24,x y --…画出不等式组表示的平面区域，并