二次线性规划求目标函数的最值

线性规划问题

线性规划问题为了更好地解决高中数学中线性规划问题，笔者进行了简单总结。

一、利用线性规划求最值（一）目标函数为一次函数形式求的最大值，最小值。

分析：一般的直线的规划区域只要求出区域的交点坐标（最大值，最小值存在），将坐标点代入目标函数就可以。

线性规划区域的边界点坐标分别为（3，1），（7，9），（1，3），代入目标函数可以得到最大值为（7，9）取到为21，最小值为（3，1）取到为1。

含有参数的如：目标函数最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（）分析：直线x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0的交点分别为a（1，1），b(1，22/5)，c(5，2)，所以最值的取得是根据直线的斜率k的范围，把变为，结合图形分析当时，由题意可得得到时，结合图形分析可知，不存在满足题意的k，因此k=2（二）目标函数为二次函数能转化为完全平方形式例2.求的最小值。

分析：先将，可以发现表示的是点（x，y）到定点的距离的平方，过m作直线ac的垂线，易知，垂足n在线段ac上，故z的最小值是|nm|=2/9（三）目标函数是反比例形式例3.求。

(分析：把等号右边转化为斜率问题进行求解)表示可行域内任意一点与定点q（-1，-1/2）连线的斜率的2倍，因为故z的范围是[3/4，7/2]求的值域分析：因为所以z可以表示为单位圆上的点与（3，2）的斜率的取值范围，所以z的取值范围是两条斜率的取值范围[]二、线性规划的面积问题(一)与向量相结合例4.在平面直角坐标系里，o为坐标原点，，p点满足，则p点轨迹表示的平面区域面积是。

设p点坐标为（x，y）根据题意可得区域面积一目了然为2。

（二）与圆相结合例5.a=，b=；(1)p=的面积；(2)求点q的面积。

分析：p点转化x-3=x1，y-1=y1，所以(x-3)2+(y-1)21区域标识的是圆边界及其内部的面积。

q点横纵坐标转化x-x2=x1，y-y2=y1所以(x-x2)2+(y-y2)2=1，所以p点的轨迹是以线性规划目标区域中任意一点为圆心的圆。

线性规划的常见题型

线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。

目标函数的几种极值求解方法

目标函数的几种极值求解方法在数学和优化领域中，目标函数是一个描述优化问题的函数，其目标是将该函数的值最小化或最大化。

目标函数的极值求解方法主要有以下几种方法：1.数值方法：数值方法是通过计算目标函数在一组特定点上的近似值来确定极值。

其中最简单的方法是取目标函数的一些特定点，并计算这些点上的函数值。

然后根据计算结果确定极值。

这些特定点通常是目标函数的极值点的近似值。

例如，可以使用微分方法来估计目标函数的极值点。

2.数学分析方法：数学分析方法是通过对目标函数进行数学分析来确定极值。

其中最常用的方法是求解目标函数的导数或二阶导数，并设置导数等于零来求解函数的极值点。

这个方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数。

它可以精确地确定函数的极值点。

3.迭代方法：迭代方法是通过不断迭代目标函数来逼近极值。

迭代方法通常需要一个初始点，然后在每一步中更新该点，直到满足一些停止条件。

最常用的迭代方法是梯度下降法和牛顿法。

梯度下降法通过不断沿着函数的梯度方向进行迭代来逐渐接近极小值。

牛顿法将函数近似为一个二次函数，并使用二次函数的极值点来逼近原函数的极值点。

4.线性规划方法：线性规划方法是对一类特殊的目标函数进行极值求解的方法。

线性规划问题是指包含一组线性不等式或等式约束条件的目标函数的最小化或最大化问题。

线性规划方法可以通过求解线性规划问题的对偶问题来确定原问题的极值。

这个方法对于一些特殊的线性规划问题非常高效。

5.元启发式方法：元启发式方法是一种基于经验和启发式规则来确定目标函数极值的方法。

这些方法通常使用一些随机算法和优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。

元启发式方法通过不断目标函数的解空间来逼近极值。

总之，目标函数的极值求解方法有多种选择，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。

不同的方法有不同的适用范围和计算复杂度，需要根据具体情况进行选择和调整。

线性目标函数的最值

线性目标函数的最值
在线性规划中，我们通常会遇到线性目标函数的最值问题。

线性目标函数是指由线性项组成的目标函数，其中每个变量的系数都是常数。

最值问题要求找出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

在解决线性目标函数的最值问题时，我们可以使用多种方法。

其中一种常用的方法是图形法。

首先，我们将目标函数表示为一个以变量为自变量的直线方程。

然后，我们将所有约束条件表示为线性不等式，并将它们绘制在一个二维坐标系中。

通过观察约束条件和目标函数在图中的关系，我们可以确定目标函数取得最大值或最小值的范围。

另一种解决线性目标函数最值问题的常用方法是单纯形法。

这是一种基于可行解空间的迭代算法，通过不断迭代改善当前解的目标函数值，直到找到最优解。

单纯形法利用了线性规划解的几何特性，通过在可行解空间中移动，逐步接近最优解。

当线性目标函数的变量较多或约束条件较复杂时，我们还可以使用线性规划软件来求解最值问题。

这些软件能够自动解决包含数百个变量和约束条件的线性规划问题，并给出最优解。

线性目标函数的最值问题在实际中有着广泛的应用。

例如，在生产计划中，我们需要确定如何安排资源以最大化利润或最小化成本。

在运输领域，我们需要确定如何最优地分配货物以最小化运输成本。

在金融领域，我们需要确定如何最优地分配投资以最大化收益。

总之，线性目标函数的最值问题是线性规划中的核心问题之一。

通过图形法、单纯形法或线性规划软件，我们可以解决这类问题，并得出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

这些方法在实际中有广泛的应用，能够帮助我们进行有效的决策和资源分配。

线性规划最值问题

线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。

在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。

线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。

求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。

2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。

3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。

4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。

线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。

- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。

- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。

总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。

通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。

该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。

最优化理论试题及答案

最优化理论试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 最优化问题中，目标函数的极值点可能是（）。

A. 最小值点B. 最大值点C. 鞍点D. 所有选项答案：D2. 线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的，以下说法错误的是（）。

A. 线性规划问题有最优解B. 线性规划问题的最优解可能在可行域的边界上C. 线性规划问题的最优解一定在可行域的边界上D. 线性规划问题的最优解可能在可行域的内部答案：D3. 以下哪个算法不是用于解决非线性规划问题的（）。

A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 单纯形法D. 共轭梯度法答案：C4. 在约束优化问题中，拉格朗日乘数法用于（）。

A. 求解无约束问题B. 求解有约束问题C. 求解线性规划问题D. 求解整数规划问题答案：B5. 以下哪个条件不是KKT条件的一部分（）。

A. 梯度为零B. 可行方向C. 对偶可行性D. 互补松弛性答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个最优化问题的可行域是指满足所有_________的解的集合。

答案：约束条件2. 目标函数在点x*处取得极小值，当且仅当在该点处的_________为零。

答案：梯度3. 线性规划问题的标准形式通常包括_________和_________两部分。

答案：目标函数；约束条件4. 拉格朗日乘数法中，拉格朗日函数是原目标函数和_________的和。

答案：约束条件的线性组合5. 非线性规划问题中，牛顿法的迭代公式是x_{k+1} = x_{k} -H(x_{k})^{-1}_________。

答案：∇f(x_{k})三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是凸优化问题，并给出一个例子。

答案：凸优化问题是一类特殊的最优化问题，其中目标函数是凸函数，可行域是凸集。

例如，二次规划问题就是凸优化问题的一个例子。

2. 解释什么是局部最优解和全局最优解。

答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内比所有其他点都更优的解，但不一定在整个可行域内最优。

线性规划求最值问题

(2)若z=2x-y,求z的最值.
Zmax 2 5 2 8,
x
Zmin 2 1 4.4 2.4.
y
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x 2 y 2 )min 12 12 2, ( x y )max 52 22 29,
2 2
5
C
注意：目标函数化为斜截式后，分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
解：z x y化为y x z，与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
4 2 2 1 1 10
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
O
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！

线性目标函数最优解的求解方法

线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。

现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。

于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。

故选B 。

评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。

二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。

例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。

评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、比较斜率法平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000．答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。

线性规划求最大值或最小值

线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。

线性规划求最值

线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。

线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。

线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。

解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。

2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。

3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。

4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。

5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。

如果不满足，则需要重新调整模型。

线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。

通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。

然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。

总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。

通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。

二次线性规划求目标函数的最值

1.（13年江苏T9）抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 . 【测量目标】导数的几何意义、直线方程以及线性规划问题.【考查方式】给定函数和切点横坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法求解最值范围. 【参考答案】1[2,]2-【试题解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-.画出可行域（如图）. （步骤1）设2x y z +=，则1122y x z =-+经过点1(,0)2A ，(0,1)B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max 12z =，最小值min 2z =-，故取值范围是1[2,]2-.（步骤2）2.（13安徽T12）若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y --⎧⎨+⎩≥≤，则x y +的最大值为__________.【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】结合约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值．【参考答案】4【试题解析】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求.第2题图 FGQ28根据题目中的约束条件画出可行域，注意到,x y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线y x =-，并向上平移，数形结合可知，当直线过点(4,0)A 时，x y +取得最大值，最大值为4.3.（13年浙江T15）设z kx y =+，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数k = .【测量目标】线性规划解最值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值. 【参考答案】2【试题解析】作出不等式组2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩………表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，第3题图 FGQ43其中A （2，0），B （2，3），C （4，4）（步骤1）设z =F （x ，y ）=kx y +，将直线l ：z kx y =+进行平移，可得①当k ＜0时，直线l 的斜率-k ＞0.（步骤2）由图形可得当l 经过点B （2，3）或C （4，4）时，z 可达最大值，此时，max z =F （2，3）=2k +3或max z =F （4，4）=4k +4. （步骤3）但由于k ＜0，使得2k +3＜12且4k +4＜12，不能使z 的最大值为12，故此种情况不符合题意. （步骤4）②当k ≥0时，直线l 的斜率-k ≤0，由图形可得当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值此时max z =F （4，4）=4k +4=12，解得k =2. 符合题意，综上所述，实数k 的值为2. （步骤5）4.（13福建T6）若变量y x ,满足约束条件210x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥，则yx z +=2的最大值和最小值分别为（）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【测量目标】二元线性规划求目标函数最值．【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象求最优解．第4题图zwh5【参考答案】B【试题解析】作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解．作出可行域如图阴影部分．（步骤1）作直线20x y +=，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得(1,0),(2,0)A B ，∴min max 2,4z z ==．（步骤2）5.（13年全国卷T15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= GXX3第5题图 6.（13年新课标ⅠT14）设,x y 满足约束条件 13,10x x y⎧⎨--⎩剟剟，则2z x y =-的最大值为______.【测量目标】线性规划解最值.【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划性质求z . 【参考答案】3【试题解析】作出可行域，进一步探索最大值. 作出可行域如图阴影部分.CQ09 第6题图(步骤1)作直线20x y -=，并向右平移，当平移至直线过点B 时，2z x y =-取得最大值.而由3,0,x x y =⎧⎨-=⎩得B （3,3）.max 233 3.z ∴=⨯-=（步骤2）7．（13年山东T14）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩………所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值．【试题解析】如图所示，M 为图中阴影部分的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以OM 的最小值第7题图SFT58.（13年四川T8）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩…………且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（）A ．48 B.30 C.24 D.16 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出变量约束条件，画图求目标函数的最优解. 【参考答案】C【试题解析】先将不等式24y x -…转化为24,x y --…画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数55x zy =+的最优解，进而求得,a b 的值. 8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩ …………8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪--⎪∴⎨⎪⎪⎩…………由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由5,z y x =-得.55x zy =+（步骤1）由图知目标函数55x zy =+，过点()8,0A 时，m i n5=508=8z y x =-⨯--，即8.b =-（步骤2）目标函数55x zy =+过点B (4，4)时，m a x 554416,z y x =-=⨯-=即16.a = 第8题图 GXX15()16824,a b ∴-=--=故选C.（步骤3）9．（13年广东T13）已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩…剟…，则z x y =+的最大值是 ________【测量目标】线性规划问题的最值求解.【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示，由z x y =+，得y x z =-+，z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，（步骤1）由图知，当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时，目标函数取得最大值，为145z =+=.（步骤2）10.（13年湖南T13）若变量,x y 满足约束条件28,04,03x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟则x y+的最大值为______．【测量目标】线性规划知识求最值．第10题图hy4 【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值．【参考答案】6【试题解析】根据不等式组出其平面区域，令z x y =+，结合直线z x y =+的特征求解．如图，画出不等式组表示的平面区域，平行移动z x y =+经过点(4,2)A 时，z 取最大值6． 11.（13年陕西T7）若点()x,y 位于曲线y x =与2y =所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为 ( ). A. －6 B. －2 C. 0 D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】画出封闭区域，找出最优解，简单的数形结合能力. 【参考答案】A 【试题解析】曲线2y x ,y ==所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l :2y x =向左平移时，()2x y -的值在逐渐变小，当l 通过点A (-2,2)时，min (2) 6.x y -=- 第11题图CGC 4412.（13天津T2）设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩………则目标函数2z y x =-的最小值为（） A. 7- B.4- C. 1 D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值.【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值, min 3257Z =-⨯=-.第12题图 jxq2113.（13年新课标ⅡT3）设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则z =2x -3y 的最小值是（）A.-7B.-6C.-5D.-3 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.【考查方式】不等式组给出x ，y 的可行区间，目标函数求出最小值.【参考答案】B【试题解析】本题可先画出可行域，然后根据图象确定出最小值点进行解答.作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）.易知直线z=2x -3y 过点C 时，取得最小值. MF28 由3,10,x x y =⎧⎨-+=⎩得3,4,x y =⎧⎨=⎩∴min z =2⨯3-3⨯4=-6，故选B. 第13题图。

二次规划资料

向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，

二次规划问题的一个解法及几点注记

二次规划问题的一个解法及几点注记二次规划问题是指在线性规划模型中，目标函数和约束条件均为二次函数的问题。

常见的解法有坐标下降法和半正定性法。

下面是关于二次规划问题的一个解法（坐标下降法）及几点注记。

解法：坐标下降法是一种求解二次规划问题的迭代算法。

基本思路是不断地求解当前点的搜索方向，然后在这个方向上移动，直到找到最优解为止。

具体步骤如下：1.设定初始点 x0，并求出当前点的目标函数值 f(x0)。

2.求解当前点 x0 的搜索方向 d0。

3.设定步长 t，求出下一个点 x1 = x0 + t * d0。

4.求出下一个点 x1 的目标函数值 f(x1)，并与当前点 x0的目标函数值 f(x0) 进行比较。

5.若 f(x1) < f(x0)，则接下来以 x1 为当前点，重复步骤 2-5；若 f(x1) ≥ f(x0)，则退出迭代。

注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。

一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯二次规划问题的一个解法及几点注记：继续上文：注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。

一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯度的负方向，即 d0 = -∇2f(x0)。

2.坐标下降法的收敛速度取决于步长 t的取值。

常用的方法有常数步长法和自适应步长法。

常数步长法是指固定步长t，而自适应步长法是指根据当前点的目标函数值变化情况来调整步长 t。

3.坐标下降法的收敛性是指随着迭代次数的增加，目标函数的值会逐渐降低。

但是，坐标下降法并不能保证收敛到全局最优解，只能保证收敛到局部最优解。

4.坐标下降法的迭代次数一般较多，但是每次迭代的计算量较小，因此坐标下降法适用于线性规划问题规模较大的情况。

希望这些内容能为你的学习提供帮助！。

两参数线性规划问题的解法

两参数线性规划问题是一类常见的数学规划问题，通常表示为:有两个变量x和y，求解以下线性规划问题:max z = ax + bys.t.c1x + d1y ≤b1c2x + d2y ≤b2...cnx + dny ≤bnx, y ≥0其中，a、b、c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。

两参数线性规划问题的解法通常采用解析法和数值法两种方法。

解析法:解析法是指用数学方法直接求解最优解的方法。

常用的解析法有单纯形法、图解法等。

单纯形法是一种常用的解析法，它通过构造单纯形来求解线性规划问题。

图解法是一种简单易懂的解析法，它通过绘制线性规划模型的图象来求解问题。

数值法:数值法是指通过计算机程序或其他数学工具来近似求解线性规划问题的方法。

常用的数值法有随机化算法、贪心算法、遗传算法等。

随机化算法是指利用随机数来求解线性规划问题的方法。

常用的随机化算法有随机化单纯形法、随机化贪心算法等。

贪心算法是一种解决线性规划问题的有效算法，它的基本思想是每一步都选择最优的解决方案。

遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，它通过模拟自然界中物种进化的过程来求解线性规划问题。

总的来说，两参数线性规划问题可以采用解析法和数值法两种方法来求解。

在选择求解方法时，应根据实际情况和需求的精度来决定使用哪种方法。

如果需要精确求解最优解，可以使用解析法，如果只需要大致估算最优解，则可以使用数值法。

此外，在求解两参数线性规划问题时，还需要注意以下几点:确定目标函数: 目标函数是线性规划问题的核心，通常表示为max z = ax + by或min z = ax + by，其中z是目标函数值，a和b是系数。

确定约束条件: 约束条件是线性规划问题的基本要求，表示为c1x + d1y ≤b1、c2x + d2y ≤b2、...、cnx + dny ≤bn，其中c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。

线性规划求最值的常见题型

④综上,z最大值为3；z最小值为-3.
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
��0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
(2)�� = ��++31的最值.
从目标函数的几何意义思考
非线性目标函数
（1）�� = (�� + 3)2+(�� + 1)2的最大值和最小值
可求得��可��目��9��行标��,��域8函��中数.=的��的��点几��到��何��P2意=点义=的��可��距2��表��离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题二、求非线性目标函数的最值问题三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视台的广告时间为主要变量，公司的收益为两个电视台获得的收益总和，故可设两个电视台的广告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别

线性规划的基本概念与解法

线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。

它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。

本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。

一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。

这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。

例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。

2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。

通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

可行解存在于约束条件所定义的空间中。

4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。

最优解可以是唯一的，也可以有多个。

二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。

通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。

该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。

3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。

该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。

三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。

2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。

3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。

4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。

二次函数的最值与优化问题

二次函数的最值与优化问题二次函数是数学中的一种常见函数形式，其一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实常数，且a≠0。

在本文中，我们将探讨二次函数的最值问题以及与之相关的优化问题。

一、二次函数的最值对于给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望确定其在定义域内的最大值或最小值。

为此，我们可以采用两种主要方法来求解。

1.1 完全平方与顶点根据二次函数的形式，我们可以将其转化为完全平方式，即通过提取二次项系数a来得到形如(x + p)^2 + q的表达式。

其中，p和q是与原函数相关的实数常数。

为了找到二次函数的最值，我们可以通过在完全平方形式下确定顶点来实现。

顶点坐标为(-p, q)，其中q为二次函数的最值。

顶点对应着二次函数的最值点。

1.2 导数与极值点除了利用完全平方形式来确定顶点之外，我们还可以应用导数的概念来解决二次函数的最值问题。

具体而言，我们计算出二次函数的导数，并找出导数为零的点。

这些点将对应着二次函数的极值点。

在计算导数时，我们可以使用幂函数的求导法则，得到二次函数的导函数f'(x) = 2ax + b。

令f'(x) = 0，我们可以解得x = -b/2a。

将该值代入原函数，即可得到最值点的纵坐标。

通过以上两种方法，我们可以有效地求解二次函数的最值问题，并得到有效的数学模型。

二、二次函数的优化问题除了求解最值问题外，二次函数还可以应用于优化问题。

在优化问题中，我们希望找到二次函数在一定条件下的最优解。

2.1 最优解的定义在优化问题中，我们需要明确定义何为最优解。

针对二次函数的优化问题，最优解通常是指使得目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

2.2 约束条件的设定在确定最优解之前，我们需要设定一些约束条件。

这些条件可能来自于实际问题的限制或者其他相关要求。

常见的约束条件包括：定义域的范围、一些限制性条件（如非负性、连续性等）等。

求线性规划问题中目标函数最值专题

来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示。 • 目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距离等.
．
• 3. 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.
利用线性规划求最值（名师，考点二）
x＋2y≥2，例 1 设变量 x，y 满足约束条件2x＋y≤4，
• 2项必须防范
• 1. 画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先使二元不等式标准化．
• 2. 注意不等式中不等号有无等号，含等号时，直线画为实线；不含等号时，画为虚线．
• 3点必知关键 • 1. 线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面
区域是解题的基础． • 2. 目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距
离最小.又即ຫໍສະໝຸດ OM 13, ON 9 ,
2
∴z的9最大x值2 为y12 3,最13小,值9为 x2 y2 13.
2
2
9
.
2
(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点B
的连线的斜率值最小,
又
k OA
2, kOB
1 , 1 22
y 2. x
∴z的最大值为2,最小值为 1 .
(1)形如 z＝ax＋by 的截距型； (2)形如 z＝yx－－ab的斜率型； (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型．
x≥0
[变式探究] 设变量 x，y 满足约束条件y≥0
，
4x＋3y≤12
则 z＝yx＋＋11的取值范围是(
)
A．[0,4]
B．[14，5]
C．[54，6]
• 答案：B
x y 3 0