1.1 第1课时 认识勾股定理1

1．1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理

1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力；

2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．(重点、难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理的初步认识

【类型一】 直接利用勾股定理求长度

如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD

的长．

解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB·CD ＝1

2AC ·BC ，求出CD 的长．

解：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC

2

＝AB 2－BC 2＝52－32＝42

，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC·BC AB ＝4×35＝

125(cm)，故CD 的长是12

5

cm. 方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．

【类型二】 勾股定理与其他几何知识的综合运用

如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．

解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC于点E，在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．

证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．

方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．

【类型三】分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．

解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．

解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.

当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC 的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.

方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在

本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．探究点二：利用勾股定理求面积

如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，

则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．

解析：因为AE ＝BE ，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2

，

所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32

＝94

；同理可得S △AHC ＋

S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2

，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×

32

＝92.故填94、92

.

方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．

三、板书设计

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直

角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2

.

让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠久文化历史，激励学生发奋学习．