安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)
2020年安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)
2020年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.） 1．（5分）已知复数z 满足(1)3i z i +=-g ，则||(z = ) A ．5B ．3C ．5D ．32．（5分）设U R =，2{|40}A x x x =-<，{|1}B x x =„，则()(U A B =⋂ð ) A ．{|04}x x <„B ．{|14}x x <„C ．{|04}x x <<D ．{|14}x x <<3．（5分）已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则( ) A ．b c a << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．（5分）函数cos sin 2xxy =的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）裴波那契数列()Fibonaccisequence 又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多g 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是( ) A ．14 B ．13C ．12D ．236．（5分）将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75︒得到OB u u u r，则(OB =u u u r )A ．62(2B ．26(2-C ．62(2D ．26(2 7．（5分）已知数列{}n a 满足2*12222()n n a a a n n N ++⋯+=∈，数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S ，则2019(S = )A ．20192020B ．12019C ．12020D ．201820198．（5分）已知函数()f x 在R 上满足2(4)2()25f x f x x x -=-+，则曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程是( )A ．y x =-B ．4y x =-C ．38y x =-D ．512y x =-9．（5分）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)22ππ-上单调递增，且图象关于x π=-对称，则ω的值为( ) A ．23 B ．53C ．2D ．8310．（5分）如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．（5分）已知函数3()||||2f x ln x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．2(0,)eB ．2(,)e -∞C ．12(0,)eD ．12(,)e -+∞12．（5分）如图，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a b Γ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点(A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =，则双曲线Γ的离心率为( )A ．5B 265C ．2623D ．263二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．（5分）已知函数21()1,0()22,0xx f x x lnx x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩„则((1))f f -= ．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件：0401x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则22x y z -+=的最大值为 ．15．（5分）函数211y x =-+与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是 ．16．（5分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin C A bB A a c-=-+， （1）求角C 的大小；（2）若3c =，求a b +的取值范围．18．（12分）田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等．于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注．假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示： 田忌的马/获胜概率/公子的马 上等马中等马下等马上等马0.50.81中等马 0.2 0.5 0.9 下等马0.050.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 19．（12分）已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，3ABC π∠=，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若异面直线PB 与AC 所成的为3π，求二面角C PB A --的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点2()2-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，定点(2,0)P ，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）函数21()(1)2f x ax a x lnx =+--．（1）求()f x 的单调区间；（2）在函数()f x 的图象上取1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两个不同的点，令直线AB 的斜率为k ，则在函数的图象上是否存在点0(P x ，0)y ，且1202x x x +=，使得0()k f x ='？若存在，求A ，B 两点的坐标，若不存在，说明理由．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(1,1)P 且倾斜角为α的直线．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 与直线l 相交于M ，N 两点，求||||PM PN +的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||2|f x x x =++- （1）解不等式()5f x <；（2）若23()32f x a a --…恒成立，求a 的取值范围．2020年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.） 1．（5分）已知复数z 满足(1)3i z i +=-g ，则||(z = )A ．5B ．3CD 【解答】解：由(1)3i z i +=-g ，得31iz i-=+，3|3|||||1|1|i i z i i --∴====++． 故选：C ．2．（5分）设U R =，2{|40}A x x x =-<，{|1}B x x =„，则()(U A B =⋂ð ) A ．{|04}x x <„B ．{|14}x x <„C ．{|04}x x <<D ．{|14}x x <<【解答】解：集合2{|40}{|04}A x x x x x =-<=<<，U R =Q ，{|1}B x x =„， {|1}U B x x ∴=>ð， (){|14}U A B x x ∴=<<I ð，故选：D ．3．（5分）已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则( ) A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【解答】解：0.30221a =>=Q ， 2000.30.31b <=<=， 0.30.3log 2log 10c =<=，c b a ∴<<． 故选：D ． 4．（5分）函数cos sin 2xxy =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：cos()cos sin()sin ()()22x x x xf x f x ----===-则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ．当0x >在0的右侧，当0x →，()0f x >，排除D ， 故选：C ．5．（5分）裴波那契数列()Fibonaccisequence 又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多g 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是( ) A ．14 B ．13C ．12D ．23【解答】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 的前40项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269， 2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155， 其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352． ∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是101404P ==． 故选：A ．6．（5分）将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75︒得到OB u u u r，则(OB =u u u r )A．( B．( C． D． 【解答】解：将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75︒得到OB u u u r， 设(,)OB x y =u u u r，则30)x -︒=，30)y =-︒=．∴OB =u u u r，2-．故选：C ．7．（5分）已知数列{}n a 满足2*12222()n n a a a n n N ++⋯+=∈，数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S ，则2019(S = ) A ．20192020B ．12019C ．12020D ．20182019【解答】解：212222n n a a a n ++⋯+=Q ，1n ∴=时，121a =，解得112a =， 2n …时，211212221n n a a a n --++⋯+=-，两式相减，得：21n n a =，∴12n na =， ∴2212211111111(1)122n n n n log a log a n n n n log log ++===-++g ，∴数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：11111111(1)()()()122334111n nS n n n n =-+-+-+⋯+-=-=+++， 201920192020S ∴=． 故选：A ．8．（5分）已知函数()f x 在R 上满足2(4)2()25f x f x x x -=-+，则曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程是( )A ．y x =-B ．4y x =-C ．38y x =-D ．512y x =-【解答】解：2(4)2()25f x f x x x -=-+，①把4x -替换成x ，得22()2(4)2(4)5(4)2(4)21112f x f x x x f x x x =---+-=--+-，②①代入②，得2()274f x x x =-+，()47f x x '=-，f '（2）1=，f （2）81442=-+=-，故曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程为(2)24y x x =--=-， 即4y x =-， 故选：B ．9．（5分）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)22ππ-上单调递增，且图象关于xπ=-对称，则ω的值为( ) A ．23 B ．53C ．2D ．83【解答】解：要使函数()sin()(0)6f x wx w π=+>的递增，则22()262k x k k Z ππππωπ-+++∈剟，化简得：222()33k k x k Z ππππωωωω-++∈剟， 已知在(,)22ππ-单增，所以23232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩„…，故203ω剟， 又因为图象关于x π=-对称，()62x k k Z ππωπ+=+∈，所以13k ω=--， 因为0ω>，此时1k =-，所以23ω=， 故选：A ．10．（5分）如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】】解：设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，上面圆锥的高为h ，则下面圆锥的高为2R h -，在△1OO C 中，有222()R r R h =+-，得222r Rh h =-．两个圆锥体积和为2211122(2)33V r RR Rh h ππ==-g g g球的体积3243V R π=．由题意，213212(2)33483R Rh h V V R ππ-==g g ．所以224830h Rh R -+=，即2R h =． 所以下面的圆锥的高为32R ．则这两个圆锥高之差的绝对值为3||622RR R -==．故选：C ．11．（5分）已知函数3()||||2f x ln x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．2(0,)eB ．2(,)e -∞C ．12(0,)eD ．12(,)e -+∞【解答】解：由题意，可知||0x >， 令||t x =，则0t >． 故32y lnt at =-+， Q 函数3()||||2f x ln x a x =-+有4个零点，32y lnt at ∴=-+有2个零点． 即曲线y lnt =与直线32y at =-有2个交点． 根据题意，画图如下：则直线在32y =-与直线32y at =-与曲线y lnt =相切之间即有2个交点．①当直线在32y =-时，0a =；②当直线32y at =-与曲线y lnt =相切时，设切点为0(t ，0)y ． 对于曲线1:y lnt y t ='=，001|t t y t ='=．∴曲线y lnt =在切点0(t ，0)y 的切线方程为：0001()y y t t t -=-， 整理，得0011y t lnt t =-+， 0312lnt ∴-+=-，解得120t e -=．1210211a e t e -∴===．∴实数a 的取值范围为12(0,)e ．故选：C ．12．（5分）如图，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a b Γ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点(A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =，则双曲线Γ的离心率为( )A ．5B ．265C ．2623+D ．263+【解答】解：由1||:||:||2:2:1F A AB BP =，可设||BP t =，||2AB t =，1||2F A t =， 由双曲线的定义可得21||||242F B F B a t a =-=-， 21||||222F A F A a t a =+=+，直线l 与圆222()x c y r -+=相切于P ，可得2||PF r =，且1290F PF ∠=︒， 在直角三角形2PBF 中，222(42)t r t a +=-， 在直角三角形2PAF 中，2229(22)t r t a +=+， 上面两式消去r ，可得286(42)t t a t =-g ， 即有65t a =，可得410r a =，在直角三角形12F PF 中，可得222254t r c +=， 即为22216036425a a c +=， 化为265c e a ==． 故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）13．（5分）已知函数21()1,0()22,0xx f x x lnx x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩„则((1))f f -= 2 ．【解答】解：Q 函数21()1,0()22,0xx f x x lnx x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩„，11(1)()112f -∴-=-=，((1))f f f ∴-=（1）22112ln =⨯-=．故答案为：2．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件：0401x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则22x y z -+=的最大值为 12 ．【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件：0401x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，作出可行域如图，则22x y z -+=的最大值就是2u x y =-的最小值时取得． 联立01x y y -=⎧⎨=⎩，解得(1,1)A ，化目标函数2u x y =-+为2y x u =+，由图可知，当直线2y x u =+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最大值为21122-+=． 故答案为：12．15．（5分）函数211y x =-与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是 4(3-，1]- ．【解答】解：由题意，函数211y x =-+可变形为22(1)1x y +-=． 210x -Q …，11x ∴-剟，而1y …．∴函数211y x =-+的函数图象为圆22(1)1x y +-=的上半部分．又Q 函数(2)y k x =-表示过定点(2,0)的直线， 根据题意，画图如下：Q 图象有两个不同的公共点， ∴直线应在图中两条之间之间，①当直线经过点(1,1)时，01121k -==--； ②当直线与曲线相切时， 联立2(2)11y k x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，整理，得22(1)2(21)4(1)0k x k k x k k +-+++=， ∴△2224(21)4(1)4(1)0k k k k k =+-++=gg ， 解得43k =-．实数k 的取值范围为：4(3-，1]-．故答案为：4(3-，1]-．16．（5分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是30[,2)5．【解答】解：取BC中点N，连结1B D，1B N，DN，作CO DN⊥，连结1C O，Q平面1//B DN平面1A BM，∴点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括边界，故不含点N和点)D，在△1C DN中，12C D=，221151()2DN C N==+=，∴12215262()()222C DNS=⨯⨯-=V，过1C O DN⊥，则当P与O重合时，1C P长度取最小值，1C P∴长度的最小值为1630415C O==⨯，当P与D重合时，1C P长度取最大值，1C P∴长度的最大值为12C D=，PQ与D不重合，1C P∴长度的取值范围是30[，2)．故答案为：30[，2)．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin C A bB A a c-=-+， （1）求角C 的大小；（2）若3c =，求a b +的取值范围． 【解答】解：（1）由sin sin sin sin C A bB A a c-=-+， 则c a bb a a c-=-+，可得：222a b c ab +-=， 所以：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，而(0,)C π∈， 故3C π=．（2）由222a b c ab +-=，且3c =， 可得：2()29a b ab ab +--=， 可得：22()933()2a b a b ab ++-=„， 可得：2()36a b +„， 所以6a b +„， 又3a b c +>=，所以a b +的取值范围是(3，6]．18．（12分）田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等．于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注．假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：下等马 0 0.05 0.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 【解答】解：（1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜． 对于事件A ，三次比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜． 因此，P （A ）0.80.90.72=⨯=；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ，则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000， 若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P ，则1121139322522520P =⨯⨯⨯+⨯⨯=．随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ 1000- 1000 P1120920所以，119100010001002020E ξ=-⨯+⨯=-． 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 19．（12分）已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，3ABC π∠=，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若异面直线PB 与AC 所成的为3π，求二面角C PB A --的余弦值．【解答】（1）证明：因为AB 为圆的直径，所以AC BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又AC PA A =I ，所以BC ⊥平面PAC ， 而BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ． （2）解法1：建系如图所示，令2AB t =，而3ABC π∠=，则6BAC π∠=，AC =，则(0A ，0，0)，(0B ，2t ，0)，3,0)2tC ，令(0P ，0，)(0)h h > 所以(0,2,)BP t h =-u u u r，3,0)2t AC =u u u r ，因为异面直线PB 与AC 所成的角为3π，故2||1cos 32||||BP AC BP AC π==u u u r u u u r g u u u r u u u r g，解得h = 令平面PBC 的一个法向量为(1,,)n y z =r，而,0)2tBC =-u u u r，(0,2)BP t =-u u u r由0n BC =u u ur r g02t y =，所以y 由0n BP =u u u r r g，0-+=所以z，即n =r而平面PAB 的一个法向量为(1,0,0)m =r所以cos ||||n m n m θ===r r g r r g ． 解法2：过B 作AC 的平行线BM 交圆于M ，连接PM ，AM ，所以直线PB 与AC 所成的角即为PB 与BM 所成的角，因为AB 为圆的直径，所以AM BM ⊥，又PA ⊥平面ABC ，而BM ⊂平面ABC ，所以PA BM ⊥ 又AM PA A =I ，所以BM ⊥平面PAM而PM ⊂平面PAM ，所以BM PM ⊥，则3PBM π∠=令2AB t =，且3ABC π∠=所以AC BM =，tan33AM BC tPM t π===g，PA =，PB ==，PC =过A 作AN PC ⊥交PC 于N ，过A 作AQ PB ⊥交PB 于Q ，连接QN ，由三垂线定理知QN PB ⊥，所以AQN ∠即为二面角C PB A --的平面角， 2222623PA AB tt AQ PB t===g g ，223266266311sin 111126PA AC t t AN AN AQN PC AQ t===∠===g g g ，22cos AQN ∠=， 即为二面角C PB A --的余弦值为22．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点2()-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，定点(2,0)P ，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题知222211112c a b ab ⎧=-=⎪⎨+=⎪⎩解得22a =，21b =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+ 由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=， 则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+g ， 因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，所以AQ PQ ⊥，则1(2,)Q y则2122BQ y y k x -=-，故BQ 的方程为：2112(2)2y y y y x x --=--，由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0y =， 则1212121212121(2)(1)222y x y my my y y x y y y y y y -----+=+=+=+---，而12222m y y m +=-+，12212y y m =-+g ，12122y y my y +-=-， 所以121211322222y y y x y y +-+=+=-+=-，故直线BQ 恒过定点，且定点为3(,0)2．21．（12分）函数21()(1)2f x ax a x lnx =+--．（1）求()f x 的单调区间；（2）在函数()f x 的图象上取1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两个不同的点，令直线AB 的斜率为k ，则在函数的图象上是否存在点0(P x ，0)y ，且1202x x x +=，使得0()k f x ='？若存在，求A ，B 两点的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题知定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x f x ax a x x x +--+-'=+--==， ①当1a <-时，101a<-<，令()0f x '>，解得1(,1)x a ∈-，()0f x '<，解得1(0,)(1,)x a ∈-+∞U ，即函数()f x 在1(,1)a -上单调递增，在1(0,)a-及(1,)+∞上单调递减；②当1a =-时，11a -=，在(0,)+∞上2(1)(1)(1)()0x x x f x x x -+--'==-„，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； ③当10a -<<时，11a->， 令()0f x '>，解得1(1,)x a ∈-，()0f x '<，解得1(0,1)(,)x a∈-+∞U即函数()f x 在1(1,)a -上单调递增，在(0,1)及1(,)a -+∞上单调递减；④当0a …时，令()0f x '>，解得(1,)x ∈+∞，()0f x '<，解得(0,1)x ∈，即函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减； 综上所述：当1a <-时，增区间为1(,1)a -，减区间为1(0,)a -及(1,)+∞；当1a =-时，减区间为(0,)+∞；当10a -<<时，增区间为1(1,)a -，减区间为(0,1)及1(,)a -+∞；当0a …时，减区间为(0,1)，增区间为(1,)+∞； （2）假设存在，即满足0()AB k f x '=，因为已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 不妨令120x x <<， 则212121212121212121212121()()(1)()()112()2AB y y x x x x a x x lnx lnx x x a lnx lnx k a a x x x x x x x x x x -+----+-==+-=+-------，而1200012()12()112x x a f x ax a a x x x +'=+--=+--+由0()AB k f x '= 得2121122lnx lnx x x x x -=-+存在，也就是证2121122()0x x lnx lnx x x ---=+存在，只要证2212112(1)01x x x ln x x x --=+存在，令211x t x =>，故转化为2(1)0(1)1t lnt t t --=>+存在，即需要证明42(1)1lnt t t +=>+令4()(1)1g t lnt t t =+>+， 则有22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故()g t 在1t >上单调递增，所以()g t g >（1）2=，故不存在．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(1,1)P 且倾斜角为α的直线．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 与直线l 相交于M ，N 两点，求||||PM PN +的取值范围． 【解答】解：（1）l Q 是过定点(1,1)P 且倾斜角为α的直线．l ∴的参数方程：1cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）， Q 曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，即24cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程：22(2)4x y -+=．（2）将l 的参数方程代入曲线C 的方程得2(2sin 2cos )20t t αα+--=① 由于△2(2sin 2cos )80αα=-+>恒成立， ∴方程①有两个不等实根1t 、2t ，由于1220t t =-<，1t ∴、2t 异号，则1212||||||||||PM PN t t t t +=+=-． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||2|f x x x =++- （1）解不等式()5f x <；（2）若23()32f x a a --…恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当12x <-，则41212532x x x ---+<⇒-<<-，当122x -剟时，则1212522x x x +-+<⇒-<„，当2x >时，则2125x x ++-<，此时无解，故解集为 4{|2}3x x -<<；（2）由（1）知131()213(2)231(2)x x y x x x x ⎧-+<-⎪⎪=⎨+-⎪⎪->⎩剟， 所以当12x =-时，y 的最小值为52，则235322a a --„，即2340a a --„，所以[1a ∈-，4]．。
安徽省黄山市高考数学一诊试卷(理科)
安徽省黄山市高考数学一诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·黄陵期中) 命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是（）A . 若x2>1，则－1≤x≤1B . 若－1≤x≤1，则x2≤1C . 若－1<x<1，则x2>1D . 若x<－1或x>1，则x2>13. （2分）下图给出了下一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A . 求a,b,c三数的最大数B . 求a,b,c三数的最小数C . 将a,b,c按从小到大排列D . 将a,b,c按从大到小排列4. （2分）(2019·汉中模拟) 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A . 2B . 3C .D .5. （2分）函数是（）A . 周期为的奇函数B . 周期为的偶函数C . 周期为的偶函数D . 周期为的奇函数6. （2分） (2017高二上·清城期末) 二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A . 3或B .C . 3D . 3或7. （2分） (2017高一下·吉林期末) 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A .B .C . 8 πD .8. （2分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A . x=B . x=C . x=D . x=-9. （2分）五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（）A . 20条B . 15条C . 12条D . 10条10. （2分）设△ABC中，AD为内角A的平分线，交BC边于点D，||=3，||=2，∠BAC=60°，则•=（）A . -B .C . -D .11. （2分） (2017高一上·上饶期末) 已知函数有3个零点，则实数a的取值范围是（）A . a＜1B . a＞0C . a≥1D . 0＜a＜112. （2分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A . 3B . 2C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·射阳期中) 已知复数（i为虚数单位，a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a=________．14. （1分）(2013·上海理) 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________．15. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为________．16. （1分） (2019高三上·佛山月考) 如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB= ，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD= ，则该球的体积为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高一下·佛山期中) 设为等差数列的前项和，其中，且．（1）求常数的值，并写出的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值．18. （10分） (2018高二下·陆川月考) 自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选1个同学，作为“保钓行动代言人”．（1）求选出的2个同学中恰有1个女生的概率；（2）设X为选出的2个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．19. （5分）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的大小．20. （5分）(2017·山东) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ，且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．21. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=ex﹣ax有极值1，这里e是自然对数的底数．（1）求实数a的值，并确定1是极大值还是极小值；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求实数m的取值范围．22. （10分）(2017·抚顺模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2 ，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+ ）+ =0．（1）求曲线C2的极坐标方程及直线l与曲线C2交点的极坐标；（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．23. （10分）(2018高二下·辽宁期末)（1）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数， )，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.①写出的极坐标方程；②若为曲线上的两点，且，求的范围.（2）已知函数， .① 时，解不等式；②若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
安徽省黄山市2024_2025学年高三数学第一次质量检测试题一模
安徽省黄山市2024-2025学年高三数学第一次质量检测试题（一模）(考试时间：120分钟满分:150分)留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效.3.非选择题必需用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能运用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ∣3x ≤25},B ={x ∣x ⟩2},则A ∩B =A.[4,253]B.(4,253]C.[8,253]D.(8,253] 2.若(i +1)(z −1)=2,则∣z̅∣=A.2B.−√5C.√10D.43.已知点P(−2,√3)在双曲线x 2a2−y2b2=1(a >0,b >0)的渐近线上，则双曲线的离心率为A.7√33B.2C.√3D.√724.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所探讨的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7,11,16,22,则该数列的第30项为A.379B.407C.436D.4665.两批同种规格的产品，第一批占40%、合格品率为95%，其次批占60%、合格品率为96%.将两批产品混合，从混合产品中任取一件.则这件产品是次品的概率为A.95.6%B.42.4%C.59.6%D.4.4%6.2024年11月30日，神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺当“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们打算在天河核心舱合影留念.假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有( )种A.72B.144C.36D.1087.在△ABC 中,AB =√2,∠ACB =45∘,O 是△ABC 的外心,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为A.1B.32C.3D.72 8.下列不等式不正确的是A.√7−√5<√6−2B.π3.1<3.1πC.5sin 15>cos 110D.log ₄3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f (x )=2cos 2(x −φ2)−12(|φ|<π2),现将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π12单位后，得到一个偶函数的图象，则A.函数f (x )的周期为πB.函数f (x )图象的一个对称中心为(π3,0)C.当x ∈[π6,π2]时，函数f(x)的最小值为12−√32D.函数f (x )的极值点为−π12+kπ,k ∈Z10.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 满意AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0), 则 A.对于随意的正实数λ，三棱锥A 1−BPC 1的体积始终不变 B.对于随意的正实数λ,都有D 1P ∥平面A 1BC 1 C.存在正实数λ，使得异面直线D 1P 与BC 1所成的角为π3D.存在正实数λ，使得直线BP 与平面B 1C 所成的角为π611.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它隐藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C ：x 2+y 2=2∣x ∣+2∣y ∣就是一条形态美丽的曲线，则A.曲线C 围成的图形的周长是4√2πB.曲线C 上的随意两点间的距离不超过4C.曲线C 围成的图形的面积是4(π+2)D.若P(m,n)是曲线C 上随意一点,则∣4m −3n −17∣的最小值是10−5√2 12.对于函数f (x )=x 3−2x 2+ax +b (a ,b ∈R ),则 A. f (x )是单调函数的充要条件是a >43B. f (x )图象肯定是中心对称图形C.若a=0,且f (x )恰有一个零点,则b<0或b >3227D.若f (x )的三个零点x 1、x 2、x 3恰为某三角形的三边长,则a +b >1三、填空题：全科免费下载公众号《中学僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在(x +a x 2)6的绽开式中,常数项为15,则实数a 的值为.14.已知x >0、y >0,若a 、x 、y 、b 成等差数列,c 、x 、y 、d 成等比数列,则(a+b )22cd的最小值是.15.圆锥SO 的轴截面是边长为6的等边三角形，在该圆锥内放置一个棱长为m 的正四面体，并且正四面体可以在该圆锥内随意转动，则实数m 的最大值为.16.设抛物线C:y =14x 2的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A 、B 两点，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l 的方程为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)如图,已知△ABC 外接圆的圆心O 为坐标原点,且O 在△ABC 内部,A(1,0),∠BOC =2π3.(1)若∠AOB =7π12,求AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求△ABC 面积的最大值.20.(本小题满分12分)第22届卡塔尔世界杯(FIFA World Cup Qatar 2024)足球赛,于当地时间2024年11月20日(北京时间11月21日)至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场实行，共计64场赛事。
安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题 含答案
=
2 sin
4
x
−
68．在xFra bibliotek+
1 x
−
6
1
的展开式中，含
x5
项的系数为（
）
A． −6
B．6
C．24
D． −24
9．已知
tan2
−
4
tan
+1
=
0
，则
cos2
+
4
=
（
）
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 4
D． 1 5
10．已知直线 l : mx + y + 3m − 3 = 0 与圆 x2 + y2 = 12 交于 A，B 两点。且 A，B 在 x 轴同侧，过 A，B
分别做 x 轴的垂线交 x 轴于 C，D 两点，O 是坐标原点，若| CD |= 3，则 AOB = （ ）
A． 6
B． 3
C． 2
D． 2 3
11．已知三棱锥 P − ABC 的底面是正三角形， PA = a ，点 A 在侧面 PBC 内的射影 H 是 PBC 的垂心， 当三棱锥 P − ABC 体积最大值时，三棱锥 P − ABC 的外接球的表面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．复数 2 + 2i− | 3 − i |= （ ）
A．0
B．2
C． −2i
D． 2i
3．欧拉公式 eix = cos x + i sin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指函数的定义域扩
大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的
安徽省黄山市2019版高考数学一模试卷(理科)B卷
安徽省黄山市2019版高考数学一模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·乌兰察布月考) 已知集合A＝{x｜－2x－3≤0}，B＝{x｜y＝ln（2－x）}，则A∩B＝（）A . （1，3）B . （1，3]C . [－1，2）D . （－1，2）2. （2分） (2016高二下·广州期中) 在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则 =（）A .B . 2C .D . 43. （2分） (2020高一下·哈尔滨期末) 设为两条直线，为两个平面，则下列结论成立的是（）A . 若且，则B . 若且，则C . 若，则D . 若则4. （2分）已知函数给出下列两个命题，p：存在，使得方程f（x）=0有实数解；q：当时，f（f（1））=0，则下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . p∨（￢q）5. （2分）已知，则等于（）A .B . 7C . -D . -76. （2分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A . 2B . 4C . 6D . 87. （2分） (2017高一下·庐江期末) 若x、y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A .B . ﹣C . ﹣5D . 58. （2分）已知函数在上是增函数，，若，则x的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）函数如何平移可以得到函数图象（）A . 向左平移B . 向右平移C . 向左平移D . 向右平移10. （2分）已知双曲线满足 ,且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均落在球O的表面上，且SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，，则球O的体积与表面积的比值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·南宁模拟) 函数，（，，是常数，，，）的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）(2017·黑龙江模拟) 设满足且（ + ）⊥ ，则（﹣）• 的值为________．14. （2分） (2019高二下·台州期末) 若 ( 为常数)展开式中的所有项系数和为1024，则实数的值为________，展开式中的常数项为________ .15. （2分） (2020高一下·常熟期中) 已知中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设，则角A的取值范围是________；的取值范围是________.16. （1分）(2013·上海理) 设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA= ，若AB=4，BC= ，则Γ的两个焦点之间的距离为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （15分）函数f（x）= ，g（x）=ex﹣1．（1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））与点（﹣1，f（﹣1））处的切线相互垂直，求a的值；（2）当a＞0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象公共点的个数；（3）设数列，其前n项和为Sn ，证明：Sn＞ln（n+1）+n﹣1．18. （10分）如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P﹣ABFED，且AP= ，（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．19. （10分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．附：相关系数，参考数据：，，，（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？20. （10分）(2020·湖州模拟) 如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.21. （10分） (2019高二下·吉林期末) 已知函数．（1）若曲线在处切线的斜率为-1，求此切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围，并证明：．22. （5分） (2018高二下·扶余期末) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .点的直角坐标为，直线与曲线交于两点.（Ⅰ）写出点的极坐标和曲线的普通方程；（Ⅱ）当时，求点到两点的距离之积.23. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
安徽省黄山市2021届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
2021年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足方程Z2+2=0，则z=（）A．±i B．± C．﹣i D．﹣2．函数f（x）=lgx ﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，10）3．“tanx=”是“x=2kπ+（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（）A． B． C． D．5．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ36．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）A． B． C． D．7．如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C l D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上运动，当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图是如图2所示的等腰三角形时，点P到平面MNQ的距离为（）A． a B． a C． a D． a8．数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2021=（）A． B． C． D．9．己知函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．若对于任一实数x0，函数值f（x0）与g（x0）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2] B．（﹣2，0）∪（﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（0，+∞）10．由无理数引发的数学危机始终连续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求动身，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试推断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不行能成立的是（）A． M没有最大元素，N有一个最小元素B． M没有最大元素，N也没有最小元素C． M有一个最大元素，N有一个最小元素D． M有一个最大元素，N没有最小元素三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置上）11．在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为．12．已知两点A（1，0），B（l，1），O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC=135°，设=+λ（λ∈R），则λ的值为．13．已知x＞0，y＞0，且2y+x﹣xy=0，若x+2y﹣m＞0恒成立，则实数m 的取值范围是．14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为．15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y l），Q（x2，y2）之间的“直角距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有以下命题：①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）=|x1﹣x2|；②已知两点P（2，3），Q（sin2α，cos2α），则d（P，Q）为定值；③原点O到直线x﹣y+l=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d（P，Q）；其中为真命题的是（写出全部真命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）16．己知=（sin（θ﹣），﹣1），=（﹣1，3）其中θ∈（0，），且∥．（1）求sinθ的值；（2）已知△ABC 中，∠A=θ，BC=2+1，求边AC的最大值．17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点（1）求证：QP⊥AC；（2）当二面角Q﹣AC﹣P的大小为120°时，求QB的长．18．甲、乙两人参与某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分低于o分时记为0分（即最低为0分），至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．19．已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列{a n}满足a n+1+a n=nf′（）+3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值：（2）若对任意n∈N*，都有a n+2n2≥0成立，求a1的取值范围．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣1n x．（1）若f（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：对任意的x∈N*，＜e（其中e为自然对数的底，e≈2.71828）．2021年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足方程Z2+2=0，则z=（）A．±i B．± C．﹣i D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足方程Z2+2=0，可得a2﹣b2+2+2abi=0，利用复数相等即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足方程Z2+2=0，∴（a+bi）2+2=0，∴a2﹣b2+2+2abi=0，∴，解得，∴z=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．2．函数f（x）=lgx ﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，10）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的连续性及f（2）=lg2﹣=lg2﹣lg＜0，f（3）=lg3﹣lg＞0；从而推断．解答：解：函数f（x）=lgx ﹣在定义域上连续，f（2）=lg2﹣=lg2﹣lg＜0，f（3）=lg3﹣lg＞0；故f（2）f（3）＜0；从而可知，函数f（x）=lgx ﹣的零点所在的区间是（2，3）；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3．“tanx=”是“x=2kπ+（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：三角函数的求值；简易规律．分析：依据三角函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：若tanx=，则x=kπ+，k∈Z，则“tanx=”是“x=2kπ+（k∈Z）”成立的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，比较基础．4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，其中4条长度为1，4条长度为，两条长度为，满足这2个点之间的距离不小于该正方形边长的有4+2=6条，∴所求概率为P==．故选：A点评：本题考查概率的计算，列举出满足条件的基本大事是关键．5．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：数形结合．分析：正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比其次和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．解答：解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比其次和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到其次个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和外形的影响，是一个基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）A． B． C． D．考点：双曲线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由及c2=a2+b2，得的取值范围，设一条渐近线与实轴所成的角为θ，可由tanθ=及0＜θ＜探求θ的取值范围．解答：解：∵e，∴2≤≤4，又∵c2=a2+b2，∴2≤≤4，即1≤≤3，得1≤≤．由题意知，为双曲线的一条渐近线的方程，设此渐近线与实轴所成的角为θ，则，即1≤tan θ≤．∵0＜θ＜，∴≤θ≤，即θ的取值范围是．故答案为：C．点评：本题考查了双曲线的离心率及正切函数的图象与性质等，关键是通过c2=a2+b2将离心率的范围转化为渐近线的斜率的范围．7．如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C l D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上运动，当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图是如图2所示的等腰三角形时，点P到平面MNQ的距离为（）A． a B． a C． a D． a考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：可先由俯视图的特征推断出M，Q的位置，再求点到平面MNQ的距离即可．解答：解：∵点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD﹣A1 B1C l D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上运动，∴当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图是如图2所示的等腰三角形时，M与D重合，Q与E重合，N在线段AG上，此时点P到平面MNQ的距离等于点P到侧面AA1D1D的距离，∴点P到平面MNQ的距离等于正方体的棱长a．故选：D．点评：本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．8．数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2021=（）A． B． C． D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论．解答：解：由递推数列可得，a1=，a2=2a1﹣1=2×﹣1=，a3=2a2=2×=，a4=2a3=2×=，a5=2a4﹣1=2×﹣1=，…∴a5=a1，即a n+4=a n，则数列{a n}是周期为4的周期数列，则a2021=a503×4+3=a3=，故选：B点评：本题主要考查递推数列的应用，依据递推关系得到数列{a n}是周期为4的周期数列是解决本题的关键．9．己知函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．若对于任一实数x0，函数值f（x0）与g（x0）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2] B．（﹣2，0）∪（﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（0，+∞）考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：不论t为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对t分类争辩，即t=0、t=2、t＞2，t＜﹣2 争辩f（x）与g（x）的值的正负，排解即可得出答案．解答：解：函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．△=16﹣4×（2﹣t）×1=8+4t，①当t=0时，f（x）=0，△＞0，g（x）有正有负，不符合题意，故排解C．②当t=2时，f（x）=2x，g（x）=﹣4x+1，符合题意，③当t＞2时，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．f（x）=tx，当x取﹣∞时，f（x0）与g（x0）都为负值，不符合题意，故排解D④当t＜﹣2时，△＜0，∴g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l＞0恒成立，符合题意，故B不正确，故选：A点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类争辩思想，排解转化思想，是中档题．10．由无理数引发的数学危机始终连续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求动身，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试推断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不行能成立的是（）A． M没有最大元素，N有一个最小元素B． M没有最大元素，N也没有最小元素C． M有一个最大元素，N有一个最小元素D． M有一个最大元素，N没有最小元素考点：集合的表示法．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题推断，从而确定答案．解答：解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x ＜}，N={x∈Q|x ≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不行能，故C不正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；故选C．点评：本题考查了同学对新定义的接受与应用力量，属于基础题．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置上）11．在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为．考点：简洁曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题可以利用公式求出点的平面直角坐标，从而得到它在平面直角坐标系中与x轴的距离，即得到点P（2，）到极轴的距离．解答：解：∵在极坐标系中，点P（2，），∴ρ=2，．将极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，正方向全都，建立平面直角坐标系，设P （x，y），则，．∴它在平面直角坐标系中与x轴的距离为：．∴到点P（2，）到极轴的距离为：．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化成平面直角坐标，本题难度不大，属于基础题．12．已知两点A （1，0），B（l，1），O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC=135°，设=+λ（λ∈R），则λ的值为．考点：平面对量的基本定理及其意义．专题：平面对量及应用．分析：由已知条件设出C点坐标（x0，﹣x0），所以求出向量的坐标带入即可求出λ．解答：解：依据已知条件设C（x0，﹣x0）；∴由得：（x0，﹣x0）=（1，0）+λ（1，1）；∴；∴解得．故答案为：．点评：考查依据∠AOC=135°能设出C（x0，﹣x0），由点的坐标求出向量的坐标，以及向量坐标的加法及数乘的坐标运算．13．已知x＞0，y＞0，且2y+x﹣xy=0，若x+2y﹣m＞0恒成立，则实数m 的取值范围是m＜8 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质可得x+2y==2（y﹣1）++4≥8，而x+2y﹣m＞0恒成立，可得m＜（x+2y）min．即可得出．解答：解：∵x＞0，y＞0，且2y+x﹣xy=0，∴x=＞0，解得y ＞1．∴x+2y==2（y ﹣1）++4≥+4=8，当且仅当y=2，x=4时取等号．∴（x+2y ）min=8．∵x+2y﹣m＞0恒成立，∴m＜（x+2y）min=8．故答案为：m＜8．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为﹣．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，依据条件确定最终一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，∵跳出循环的n值为2021，∴输出S=cos+cos+…+cos，∵cos+cos+cos+cos+cos+cos =cos+cos +cos﹣cos﹣cos﹣cos=0，∴S=cos+cosπ=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程推断算法的功能是关键．15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y l），Q（x2，y2）之间的“直角距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有以下命题：①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）=|x1﹣x2|；②已知两点P（2，3），Q（sin2α，cos2α），则d（P，Q）为定值；③原点O到直线x﹣y+l=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d（P，Q）；其中为真命题的是①②④（写出全部真命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：先依据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后依据确定值的性质进行判定即可．解答：解：①若P，Q是x轴上两点，则y1=y2=0，所以d（P，Q）=|x1﹣x2|，正确；②已知P（2，3），Q（sin2α，cos2α）（a∈R），则d（P，Q）=|2﹣sin2α|+|3﹣cos2α|=1+cos2α+2+sin2α=4为定值，正确；③设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=，d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，由于2（a2+b2）≥（a+b）2，所以|PQ|≥2d（P，Q），正确；．故答案为：①②④．点评：本题考查两点之间的“直角距离”的定义，确定值的意义，关键是明确P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”的含义．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）16．己知=（sin （θ﹣），﹣1），=（﹣1，3）其中θ∈（0，），且∥．（1）求sinθ的值；（2）已知△ABC中，∠A=θ，BC=2+1，求边AC的最大值．考点：平面对量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．专题：平面对量及应用．分析：（1）利用向量共线定理由∥，可得=．由于θ∈（0，），∈，即可得出．变形sinθ=．（2）在△ABC 中，由正弦定理可得：，代入可得AC=3sinB，利用sinB≤1，即可得出．解答：解：（1）∵∥，∴=1，即=．∵θ∈（0，），∴∈．∴=．∴sinθ==+==．（2）在△ABC 中，由正弦定理可得：，∴=，∴AC=3sinB，当且仅当sinB=1，即时取等号，∴边AC的最大值是3．点评：本题考查了向量共线定理、正弦定理、三角函数的单调性，考查了计算力量，属于基础题．17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点（1）求证：QP⊥AC；（2）当二面角Q﹣AC﹣P的大小为120°时，求QB的长．考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，从而AC⊥平面PDBQ，由此能证明AC⊥PQ．（2）设AC和BD的交点为O，连结OP，OQ，则∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角，∠POQ是二面角P﹣AC﹣Q的平面角，∠POQ=120°，由此利用余弦定理能求出QB．解答：（1）证明：∵PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PD⊥AC，又菱形ABCD中，两对角线垂直，即AC⊥BD，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDBQ，∴AC⊥PQ．（2）解：△PAC和△QAC都是以AC为底的等腰三角形，设AC和BD的交点为O，连结OP，OQ，则∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角，由tan，得二面角P﹣AC﹣B大小120°，∴点Q与点P在平面ABCD的同侧，如图所示，∴∠POQ是二面角P﹣AC﹣Q的平面角，∴∠POQ=120°，在Rt△POD中，OP=，设QB=x，则Rt△OBQ中，OQ=，在直角梯形PDBQ中，PQ==，在△POQ中，由余弦定理得PQ==6﹣4x，故6﹣4x＞0，且3x2﹣16x+5=0，解得x=，即QB=．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．18．甲、乙两人参与某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分低于o分时记为0分（即最低为0分），至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：互斥大事的概率加法公式；相互独立大事的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立大事，即可求得结论．解答：解：（1）乙答题所得分数为X，则X的可能取值为0，15，30．P（X=0）=+=P（X=15）==P（X=30）==乙得分的分布列如下X 0 15 30PEX=0×+15×+30×=（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为大事A，乙入选为大事B，则P（A）=+=+=，P （）=1﹣=由（1）知：P（B）=P（X=15）+P（X=30）=，P （）=1﹣=，所求概率为P=1﹣P （）=点评：本题考查概率的计算，考查互斥大事的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．19．已知函数f（x）=lnx+cosx ﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列{a n}满足a n+1+a n=nf ′（）+3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值：（2）若对任意n∈N*，都有a n+2n2≥0成立，求a1的取值范围．考点：数列与函数的综合；利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）求函数的导数，得到数列的递推关系式，依据数列{a n}是等差数列的通项公式进行求解即可求a1的值：（2）求出数列{a n}的通项公式，利用不等式a n+2n2≥0恒成立．利用参数分别法进行求解即可．解答：解：f′（x）=﹣sinx ﹣+，则f ′（）=4；故a n+1+a n=πf ′（）+3=4n+3，（1）若数列{a n}是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd，则a n+1+a n=a1+（n﹣1）d+a1+nd=2a1+（2n﹣1）d=4n+3，解得d=2，a1=．（2）由a n+1+a n=4n+3，a n+2+a n+1=4n+7，两式相减得a n+2﹣a n=4，故数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列，数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，又a1+a2=7，∴a2=7﹣a1，∴a n =．①当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，由a n+2n2≥0成立，即2n﹣2+a1+2n2≥0，转化为a1≥﹣2n2﹣2n+2，恒成立，设f（n）=﹣2n2﹣2n+2=﹣（n+）2+，∴f（n）max=f（1）=﹣2，∴a1≥﹣2．②当n为偶数时，a n=2n+3﹣a1，由a n+2n2≥0成立，即2n+3﹣a1+2n2≥0，转化为﹣a1≥﹣2n2﹣2n﹣3，恒成立，设g（n）=﹣2n2﹣2n﹣3=﹣（n+）2﹣，∴g（n）max=g（2）=﹣15，∴﹣a1≥﹣15．即a1≤15，综上﹣2≤a1≤15，即a1的取值范围是[﹣2，15]．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用已经递推数列的应用，考查同学的运算和推理力量，求出数列的递推关系是解决本题的关键．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依据离心率，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点，求出几何量，即可求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）分类争辩，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简，若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，所以椭圆方程为．…（4分）（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R；…（6分）当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则则==…（10分）若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0即=0，整理得4k（x0﹣4）=0由于k∈R，所以x0=4综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…（12分）点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查同学的计算力量，属于中档题．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣1n x．（1）若f（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：对任意的x∈N*，＜e（其中e为自然对数的底，e≈2.71828）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）f（x）≥0可化为a ≥对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=，x∈（0，+∞）；求g′（x）=﹣，从而求最值；（2）由（1）知，lnx≤x﹣1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，从而可得ln（1+）＜对任意k∈N*成立，从而可得到kln（1+k）﹣klnk＜1，从而化简求得．解答：解：（1）由f（x）≥0得，a ≥对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=，x∈（0，+∞）；∵g′（x）=﹣，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；故g max（x）=g（1）=1；∴a≥1；∴实数a的取值范围是[1，+∞）；（2）证明：由（1）知，lnx≤x﹣1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x=1时取等号，∴ln（1+）＜对任意k∈N*成立，即ln（1+k）﹣lnk＜；即kln（1+k）﹣klnk＜1，∴（1+k）ln（1+k）﹣klnk＜1+ln（1+k）；故2ln2﹣1ln1＜1+ln2，3ln3﹣2ln2＜1+ln3，…，（1+n）ln（1+n）﹣nlnn＜1+ln（1+n）；累加得，（1+n）ln（1+n）＜n+ln2+ln3+…+ln（n+1），即nln（n+1）＜n+ln（n!），∴ln（n+1）＜1+ln（n!），即ln（n+1）﹣ln＜1；∴ln＜1，即＜e．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，属于中档题．。
2022年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（理科）1. 设复数，则复数z的虚部是( )A. B. C. D.2. 命题：，为假命题的一个充分不必要条件是.( )A. B.C. D.3. 设集合，，则( )A. 或B.C. 或D.4. 连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则a的取值范围是( )A. B. C. D.5. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，异面直线和所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6. 现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，则不同的安排方案有( )A. 60种B. 90种C. 150种D. 180种7. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间单调递增的是( )A. B. C. D.8. 一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为( )A. 2B. 3C. 4D. 59. “斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，，若，则其前2022项和为( )A. GB.C.D.10. 已知，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x 轴，则m 的取值范围是( )A.B.C. D.11. 已知椭圆C ：的焦点为，，第一象限点P 在C 上，且，则的内切圆半径为( )A. B. C. 1D.12. 已知，，，则它们的大小关系正确的是( )A.B.C. D.13. 已知向量，，，则实数k 的值为__________.14. 已知双曲线E ：的一个焦点与抛物线C ：的焦点相同，则双曲线E 的渐近线方程为______.15. 已知数列满足，，则__________.16. 如图，在四棱锥的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，则该四棱锥外接球被平面PBC 所截的圆面的面积为______.17.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知求；若，的面积为2，求18. 如图1在梯形ABCD 中，，，，，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将沿BE 折起到的位置，如图求证：平面；若平面平面BCDE，求二面角的余弦值．19. 在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查一位市民只能参加一次通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别频数14202526132由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表①求的值；②利用该正态分布，求或；在的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额单位：元3050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．参考数据与公式：若²，则，，20. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，又椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为求椭圆C的方程；设斜率为正数的直线l与椭圆C交于M，N两点，作轴于点G，O为坐标原点，若，求面积的取值范围．21. 已知函数，求函数的最小值；设函数的两个不同极值点分别为，求实数a的取值范围；若不等式恒成立，求正数的取值范围这里…为自然对数的底数22. 已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数当直线l的倾斜角为时，求出该直线的参数方程并写出曲线C普通方程；直线l交曲线C于A、B两点，若，求直线l的斜率．23. 已知函数当时，求不等式的解集；设不等式的解集为M，若，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数，则复数z的虚部是，故选：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用命题真假之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.根据存在量词命题的否定为全称量词命题，从而得到a的范围，再由充分必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由，为假命题，为真命题，易知不成立，①当时，则符合题意，②当时，，的取值范围为，又，，为假命题的一个充分不必要条件是故选3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．解分式不等式可求集合A，然后结合集合的补集及交集运算可求．【解答】解：因为，，所以或，则或故选4.【答案】D【解析】解：连续函数是定义在上的偶函数，当时，所以或，所以在上单调递减，在上单调递增，所以等价于，所以，解得，所以a的取值范围是故选：利用导数分析函数的单调性，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的性质求解不等式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：连接，BD，则，所以为异面直线和所成角，因为在长方体中，和与底面所成的角分别为和，所以，，设，则，所以，在中，由余弦定理得，，所以异面直线和所成角的余弦值为，故选：由题意可得，，若设，则可表示出AD，CD的长，连接，BD，则为异面直线和所成角，然后利用余弦定理可求得结果．本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，①这3个小区分别有1人，1人，3人的情况，则有种不同的安排方法，②这3个小区分别有1人，2人，2人的情况，则有种不同的安排方法，故不同的安排方案共有种．故选：根据已知条件，分这3个小区有1人，1人，3人，有1人，2人，2人两种情况，分别求解，并求和，即可求解．本题主要考查组合、排列数的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知，函数的最小正周期为，所以，，则，所以，故，可得，所以，，对于A选项，当时，，故函数在区间上不单调；对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增；对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调；对于D选项，当时，，故函数在区间上不单调．故选：由函数的最小正周期可求得的值，再由已知条件可求得实数a的值，再利用正弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项．本题考查正弦函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：依题意，设较小的白色半圆的半径为r，则较大的白色半圆的半径为，所以，解得或舍，所以阴影部分图形的“周积率”为：故选：设较小的白色半圆的半径为r，则较大的白色半圆的半径为，根据题意，阴影面积与最大半圆的面积比为，求出r，计算“周积率”即可．本题考查了新定义，考查了圆的周长，面积的计算，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：由可得，，①，②①+②得，，化简得故选：根据写出两个等式后再联合即可求解．本题考查了斐波那契数列的求和问题，属于中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的运用，求切线的斜率和单调性、极值，属于中档题．求得的导数，由题意可得有3个不同的解，由参数分离和构造函数，求得导数和单调性、极值，可得所求范围．【解答】解：函数，定义域为R，则，由题意可得有3个不同的解，即有3个不同的解．设，定义域为R，则，当或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，极大值为，作出的大致图象如图所示，由图象可得m的取值范围是故选：11.【答案】A【解析】解：由已知条件得，，，则，，设点的坐标为，则，，即①，第一象限点P在C上，则，即②，联立解得，由椭圆的定义得，设的内切圆半径为r，则，又，，即故选：根据椭圆的定义可知，由椭圆方程可知，进而利用向量数量积的坐标运算和第一象限点P在C上可求出点P的纵坐标，最后利用内切圆的性质和三角形面积公式即可求出答案．本题考查椭圆的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：设，则，在上单调递增，在上单调递减，且，，，，，，，，，，，故选：先构造函数，再判断单调性得到，再利用，得到，即，求解即可．本题考查三个数大小的比较，利用构造函数和对数函数性质是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，以及向量垂直关系的坐标表示，属于基础题．由已知结合向量数量积性质的坐标表示即可求解．【解答】解：因为，，所以，因为，所以解得故答案为14.【答案】【解析】解：抛物线C：的焦点，所以双曲线E：的一个焦点坐标，所以，解得，所以双曲线E的渐近线方程为，故答案为：求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件列出方程，求解b，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查抛物线的简单性质，双曲线的简单性质的应用，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的递推式以及错位相减法求和的问题，属于中档题．依题意可得，即数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而得到，再用错位相减法求和，即可得解．【解答】解：由，，所以，得，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以设的前n项和为，则，则，两个式子相减得，，所以，则，故答案为：16.【答案】【解析】解：该几何体的直观图如下图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，，，，又，所以由线面垂直的判定定理得出平面ABCD，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，，，，设四棱锥外接球的球心，，，解得，设平面PBC的法向量为，，则，取，则，四棱锥外接球的球心到面PBC的距离为：，又，所以平面PBC所截的圆的半径，所以平面PBC所截的圆面的面积为故答案为：先由线面垂直判定定理证明平面ABCD，进而建立空间直角坐标系，根据球心的性质列出方程得出球心坐标，再求出平面PBC的法向量，最后由向量法得出四棱锥外接球的球心到面PBC的距离，再计算出半径即可求解．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．17.【答案】解：，，，，，，，；由可知，，，，【解析】本题考查了三角形的内角和定理，降幂公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题.利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出由可得，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出18.【答案】证明：在图①中，因为，，E是AD的中点，，故四边形ABCE为正方形，所以，即在图②中，，，又，所以平面又，，所以四边形BCDE是平行四边形，所以，所以平面解：由已知，平面平面BCDE，又由知，，，所以为二面角的平面角，所以，如图所示，以O为原点，分别以OB，OC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设平面的一个法向量为，，，令，，，故平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，令，，，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，从而，由图得二面角为钝角，故二面角的余弦值为【解析】根据线面垂直的判定定理，先证明平面，再根据，即可证明结论；根据题意建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，然后求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案．本题主要考查线面垂直的证明，空间向量及其应用，二面角的计算等知识，属于中等题．19.【答案】解：①；②，，，或，，，50，60，80，100，，，，，X30506080100P【解析】①根据题意以及平均数的计算规则即可解出；②根据正态分布的性质即可直接计算；根据题意分析可知随机变量的可能取值为30，50，60，80，100，分别解出对应的概率即可解出．本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】解：由已知得抛物线的方程为，则其焦点为，焦点就是椭圆短轴的一个端点，椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为，椭圆的离心率，即，解得，，则椭圆C的方程为设，，，直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，依题意得，化简得①，且，由得，即，即，即，化简得②，由①②可得，，又原点O到直线l的距离，令则即，则当，即时，，又面积的取值范围是【解析】求出抛物线的焦点即可得，由椭圆的离心率为可得，即可求出，故即可求得椭圆的方程；设出直线l的方程及其直线与椭圆C交点M，N的坐标，将椭圆方程与直线方程联立消去y 即可得到关于x的一元二次方程，由可得，利用韦达定理求出两根之和、两根之积、的表达式，利用向量垂直的坐标式可得，代入化简即可得到，即可求出，利用三角形的面积公式，用表示出的面积，即可求得的取值范围．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的范围与最值问题等知识，属于中等题．21.【答案】分解：由题可知：，由，，在为减函数，在增函数，的最小值为…………………………………………………………………………分由题，定义域为则，由题可得有两个不等实数根．于是有两个不同的实数根，等价于函数图象在有两个不同的交点，，由，由，所以在递增，在递减，又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图如图所示所以，要使函数图象在有两个不同的交点，当且仅当………分由可知：，是方程的两个实数根，且则…………………………………………………………分由于，两边取自然对数得，即，令，则在恒成立．所以在恒成立．………………………………………………………分令，则①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意．②当时，在递增，在递减，所以，当时，，因此，在不能恒成立，不满足题意．综上所述，，即…………………………………………………………………………………分【解析】求得由在为减函数，在增函数，可求得的最小值；可求得，令，分离参数a ，有两个不同的实数根，等价于函数图象在有两个不同的交点，作图分析，可求得实数a 的取值范围；对，两边取自然对数，化简整理得，令，则在恒成立．令，求导分析，可求得正数的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值及极值，考查转化化归思想与分类讨论思想，考查逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．22.【答案】解：直线l 的倾斜角为，直线l 的参数方程为为参数，又由得，所以，化简得曲线C 的普通方程为将直线l 的参数方程为为参数，代入，得，所以，，设A ，B 对应的参数分别为，，则整理得：，故【解析】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题．直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用三角函数的关系式的变换和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.【答案】解：时，，若，时，，解得：，故，时，，解得：，故，时，，解得：，故，综上，不等式的解集是；若，则问题转化为在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，故，即a的范围是【解析】代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；问题转化为即在恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。
安徽省黄山市2024届高三下学期第一次质量检测(一模) 数学含答案
黄山市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区战内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,4,1,2,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,2,4 B.{}1,3 C.{}1,4,5 D.{}1,2,4,52.已知抛物线2:2C y px =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，则p 的值为（）A.14B.12C.1D.23.已知{}n a 是以q 为公比的等比数列，312a a -=，6416a a -=，则q =（）A .2B.3C.4D.54.已知1sin sin 5αβ=，()3cos 5αβ-=，则()cos αβ+=（）A.15-B.15C.1825 D.2325-5.2024年是安徽省实施“312++”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（）A.16B.12C.23D.566.已知向量,a b ，满足21,2a b a b +=== ，则向量,a b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π67.过点()0,3与圆22230x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.265B.1C.35D.1058.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 交C 于M ，且21F M F M λ=，当[]2,4λ∈时，双曲线C 离心率的最大值为（）A.B.3C.2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 、F 、G 分别为棱BC 、1CC 、CD 的中点，下列结论正确的有（）A.AE 与1D F 共面B.平面11//AB D 平面GFEC.AE EF⊥ D.//BF 平面11AB D 10.下列说法正确的有（）A.若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强B.若随机变量()21,X N σ，()50.75P X ≤=，则()30.25P X ≤-=C.若样本数据1x 、2x 、L 、24x 的方差为3，则数据121x +、221x +、L 、2421x +的方差为18D.若事件A 、B 满足()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =，则有()()P A B P A =11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若()f x 满足()()233f x f x +=-，()2g x -的图象关于直线2x =对称，且()01g =，则（）A.()f x 是奇函数B.()10g =C.()()4f x f x =+ D.2024102k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数1i2ia +-为纯虚数，则实数a 的值为_______．13.()921(1)x x +-的展开式中5x 的系数为_______．14.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，其外接圆半径为()cos225cos B A C =-+，则角B 大小为_______，若点D 在边AC 上，2,2DC AD BD ==，则ABC 的面积为_______．四、解答题：本题共5小逐，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2234ln 2f x x ax a x =-+在1x =处取值得极大值．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．16.某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)30,50、[)50,70、[)70,90、[)90,110、[)110,130、[]130,150．（1）求图中a 的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）从这次数学成绩位于[)50,70、[)70,90的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[)70,90的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．17.如图，四棱锥π,22,,2A BCDE AB BC AC CD BE BE CD BCD -=====∠=∥，平面ABC ⊥平面,BCDE F 为BC 中点．（1）证明：平面AEC ⊥平面AFD ；（2）求平面AED 与平面AFD 夹角的正弦值．18.设点()1,0F c -、()2,0F c 分别是椭圆222:1x C y a+=的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅ 的最小值为2-．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的最大值．19.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1ΔN n n n a a a n +=-∈，规定{}2Δn a 为数列{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1ΔΔΔn n n a a a n +=-∈N ．（1）数列{}n a 的通项公式为()3*n a nn =∈N ，试判断数列{}{}2Δ,Δnna a 是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}log a n b 是以1为公差的等差数列，且2a >，对于任意的*n ∈N ，都存在*m ∈N ，使得2Δn m b b =，求a 的值；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且{}Δn c 为常数列，对满足2m n t +=，m n ≠的任意正整数,,m n t 都有m n c c ≠，且不等式m n t S S S λ+>恒成立，求实数λ的最大值．黄山市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区战内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,4,1,2,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,2,4 B.{}1,3 C.{}1,4,5 D.{}1,2,4,5【答案】C 【解析】【分析】利用集合并集、补集的混合运算进行计算即可得出结果.【详解】根据题意由{}{}1,2,3,4,5,1,2,3U B ==可得{}4,5U B =ð，又{}1,4A =，所以(){}1,4,5U A B ⋃=ð.故选：C2.已知抛物线2:2C y px =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，则p 的值为（）A.14B.12C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】由抛物线标准方程可得焦点坐标，可求得p 的值.【详解】根据抛物线2:2C y px =的标准方程可得焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，即122p =，可得1p =.故选：C3.已知{}n a 是以q 为公比的等比数列，312a a -=，6416a a -=，则q =（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的基本性质可得出关于实数q 的等式，解之即可.【详解】因为数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，且312a a -=，6416a a -=，则()3333643131216a a a q a q q a a q -=-=-==，解得2q =.故选：A.4.已知1sin sin 5αβ=，()3cos 5αβ-=，则()cos αβ+=（）A.15-B.15C.1825 D.2325-【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式可得出cos cos αβ的值，再利用两角和的余弦公式可求得()cos αβ+的值.【详解】因为1sin sin 5αβ=，()13cos cos cos sin sin cos cos 55αβαβαβαβ-=+=+=,解得2cos cos 5αβ=，因此，()211cos cos cos sin sin 555αβαβαβ+=-=-=.故选：B.5.2024年是安徽省实施“312++”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（）A.16B.12C.23D.56【答案】D 【解析】【分析】分别计算出任选两门的种类数，再得出化学和地理都没有被选中的情况，即可得出结果.【详解】依题意从从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有24C 6=种情况，其中化学和地理都没有被选中共有22C 1=种，因此化学和地理至少有一门被选中的概率是15166P =-=.故选：D6.已知向量,a b ，满足21,2a b a b +=== ，则向量,a b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】由平面向量运算律根据模长可得1a b ⋅=，再由数量积定义可得夹角为π3.【详解】根据题意由2a b += 可得22224412a b a b a b +=++⋅= ，又1,2a b == ，可得1a b ⋅= ，设向量,a b的夹角为[],0,πθθ∈，所以cos 12cos 1a b a b θθ⋅==⨯= ，可得1cos 2θ=，即π3θ=.故选：B7.过点()0,3与圆22230x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.5B.1C.35D.105【答案】A 【解析】【分析】记点()0,3P ，记切点分别为A 、B ，求出圆心C 的坐标，证明出PAC PBC ≌，可得出APC BPC ∠=∠，设APC BPC θ∠=∠=，求出sin θ的值，利用同角三角函数的基本关系结合二倍角的正弦公式可求得sin α的值.【详解】圆22230x y x +--=的标准方程为()2214x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为2，记点()0,3P ，记切点分别为A 、B ，如下图所示：由切线长定理可得PA PB =，又因为PC PC =，CA CB =，所以，PAC PBC ≌，所以，APC BPC ∠=∠，设APC BPC θ∠=∠=，由圆的几何性质可得AC PA ⊥，则()()22013010PC =-+-=，所以，10sin 510AC PCθ===，由图可知，θ为锐角，则221015cos 1sin 155θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，101526sin sin 22sin cos 2555APB θθθ∠===⨯⨯=，故26sin 5α=.故选：A.8.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 交C 于M ，且21F M F M λ=，当[]2,4λ∈时，双曲线C 离心率的最大值为（）A.3B.213C.2D.5【答案】D 【解析】【分析】根据渐近线方程求出直线l 的方程为()by x c a =+，可求得223,22a c b M c ac ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，再由双曲线定义利用[]2,4λ∈即可求得双曲线C 5.【详解】如下图所示：不妨取渐近线方程为by x a=，又易知()1,0F c -，则直线l 的方程为()by x c a=+，联立直线l 与双曲线()22221x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得223,22a c b M c ac ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222223232462212222222a c b b b a b b b c b F M c c ac c ac ac ac a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=+=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；且21F M F M λ=，由双曲线定义可得()21112F M F M F M a λ-=-=，当[]2,4λ∈时，可得[]22222244411,31a abc a e λ-===∈--，所以241,43e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，解得2153e ≤≤因此双曲线C 5故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线定义结合21F M F M λ=，表示出1F M 的长度再利用[]2,4λ∈建立不等式即可解得离心率的取值范围.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 、F 、G 分别为棱BC 、1CC 、CD 的中点，下列结论正确的有（）A.AE 与1D F 共面B.平面11//AB D 平面GFEC.AE EF ⊥D.//BF 平面11AB D 【答案】AB 【解析】【分析】证明出1//EF AD ，可判断A 选项；利用面面平行的判定定理可判断B 选项；利用勾股定理可判断C 选项；利用反证法可判断D 选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，连接1BC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，则1//EF BC ，故1//EF AD ，所以，AE 与1D F 共面，A 对；对于B 选项，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，又因为E 、G 分别为BC 、CD 的中点，则//EG BD ，所以，11//EG B D ，因为EG ⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，所以，//EG 平面11AB D ，同理可证//EF 平面11AB D ，因为EF EG E = ，EF 、EG ⊂平面EFG ，所以，平面//EFG 平面11AB D ，B 对；对于C 选项，不妨设ABCD 的棱长为2，则AE ===，EF ===AC ===因为1CC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1CC AC ⊥，所以，3AF ===，所以，222AE EF AF +≠，故AE 、EF 不垂直，C 错；对于D 选项，假设//BF 平面11AB D ，又因为//EF 平面11AB D ，EF BF F = ，EF 、BF ⊂平面11BB C C ，所以，平面11//BB C C 平面11AB D ，事实上，平面11BB C C 与平面11AB D 不平行，假设不成立，D 错.故选：AB.10.下列说法正确的有（）A.若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强B.若随机变量()21,X N σ，()50.75P X ≤=，则()30.25P X ≤-=C.若样本数据1x 、2x 、L 、24x 的方差为3，则数据121x +、221x +、L 、2421x +的方差为18D.若事件A 、B 满足()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =，则有()()P A B P A =【答案】ABD 【解析】【分析】利用线性相关系数与线性相关性之间的关系可判断A 选项；可以正态分布的对称性可判断B 选项；利用方差的性质可判断C 选项；利用条件概率公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，A 对；对于B 选项，若随机变量()21,X N σ，()50.75P X ≤=，则()()()351510.750.25P X P X P X ≤-=≥=-≤=-=，B 对；对于C 选项，若样本数据1x 、2x 、L 、24x 的方差为3，则数据121x +、221x +、L 、2421x +的方差为22312⨯=，C 错；对于D 选项，若事件A 、B 满足()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =，由条件概率公式可得()()()()P AB P B A P B P A ==，则()()()P AB P A P B =，因此，()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，D 对.故选：ABD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若()f x 满足()()233f x f x +=-，()2g x -的图象关于直线2x =对称，且()01g =，则（）A.()f x 是奇函数B.()10g =C.()()4f x f x =+ D.2024102k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】BCD 【解析】【分析】推导出函数()g x 的奇偶性，设()()()h x f x f x =+-，利用导数推导出()()()h x f x f x =+-为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A 选项；推导出()()20g x g x ++-=，令=1x -代值计算可判断B 选项；由()()f x f x C +-=、()()2f x f x +=-推导可判断C 选项；求出812k k g =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值，结合函数的周期性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为函数()2g x -的图象关于直线2x =对称，则()()2222g x g x --=+-，即()()g x g x -=，所以，函数()g x 为偶函数，又因为()()g x f x ='，则()()f x f x '-='，令()()()h x f x f x =+-，则()()()0h x f x f x =-'-'='，所以，()h x 为常值函数，设()()()h x f x f x C =+-=，其中C 为常数，当0C ≠时，()()()f x C f x f x -=-≠-，此时，函数()f x 不是奇函数，A 错；对于B 选项，因为()()233f x f x +=-，令3t x =，可得()()2f t f t +=-，即()()2f x f x +=-，等式()()2f x f x +=-两边求导得()()2f x f x +='--'，即()()20g x g x ++-=，所以，函数()g x 的图象关于点()1,0对称，在等式()()()()220g x g x g x g x ++-=++=中，令=1x -可得()210g =，可得()10g =，B 对；对于C 选项，因为()()f x f x C +-=，则()()2f x f x C ++=，可得()()2f x C f x +=-，所以，()()()()42f x C f x C C f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，C 对；对于D 选项，在等式()()4f x f x =+两边同时求导得()()4f x f x ''=+，即()()4g x g x =+，所以，函数()g x 是以4为周期的周期函数，因为()()()()220g x g x g x g x ++-=++=，所以，()10g =，31022g g ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()20210g g g +=+=，可得()21g =-，575102222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()3341g g g =-=-，由()()()()220g x g x g x g x ++-=++=中令1x =，可得()()310g g +-=，则()30g =，()()401g g ==，所以，()()()()135712342222g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()123401010g g g g =+++=-++=，因为20244506=⨯，则2024811506022k k k k g g ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，D 对.故选：BCD.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化：①函数()f x 的图象关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b +-=；②函数()f x 的图象关于直线x a =对称，则()()2f x f a x =-.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数1i2ia +-为纯虚数，则实数a 的值为_______．【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的概念可得出关于实数a 的等式与不等式，解之即可.【详解】因为()()()()1i 2i 1i 221i 2i 2i 2i 55a a a a +++-+==+--+为纯虚数，则2052105aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得2a =.故答案为：2.13.()921(1)x x +-的展开式中5x 的系数为_______．【答案】126【解析】【分析】利用二项式定理求出含有5x 的项，计算可得其系数.【详解】依题意得，展开式中含有5x 的项为()()()454554455599992C 11C 12C C 126x x x x x ⋅-+⨯-=-=,所以展开式中5x 的系数为126.故答案为：12614.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，其外接圆半径为()cos225cos B A C =-+，则角B 大小为_______，若点D 在边AC 上，2,2DC AD BD ==，则ABC 的面积为_______．【答案】①.2π3②.【解析】【分析】()cos225cos B A C =-+化简得22cos 5cos 30B B --=，解得1cos 2B =-，得角B 大小；由外接圆半径，求b ，1233BD BC BA =+，两边同时平方，结合余弦定理，求出,a b ，面积公式求ABC 的面积.【详解】ABC 中，()()cos225cos 25cos π25cos B A C B B =-+=--=+，即22cos 125cos B B -=+，得22cos 5cos 30B B --=，解得1cos 2B =-，cos 3B =（舍），由()0,πB ∈，得2π3B =.ABC的外接圆半径为2sin bB=⨯6b =，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2236a c ac =++，点D 在边AC 上，2,2DC AD BD ==，则()22123333BD BC CD BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+，有222144999BD BC BC BA BA =+×+，得22221441244cos 999999a ac B c a ac c =++=-+，即223642a c ac =+-，由2222364236a c ac a c ac ⎧=+-⎨=++⎩，解得a c ==所以ABC 的面积为11sin 222ABC S ac B ==创【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用公式求解，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解.四、解答题：本题共5小逐，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2234ln 2f x x ax a x =-+在1x =处取值得极大值．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）3（2）212-【解析】【分析】（1）求导，然后令()0f x '=求出x ，代入1x =验证是否符合题意即可；（2）求导，确定函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求最大值.【小问1详解】由已知()()()22243334x a x a x ax a x x xa f x x a ---+=='=-+令()0f x '=得x a =或3ax =，当1a =时，令()0f x ¢>得103x <<或1x >，令()0f x '<得113x <<，故函数()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，此时函数()f x 在13x =处取极大值，在1x =处取极小值，与函数()f x 在1x =处取值得极大值不符；当13a=，即3a =时，令()0f x ¢>得01x <<或3x >，令()0f x '<得13x <<，故函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，此时函数()f x 在1x =处取极大值，在3x =处取极小值，符合题意；所以3a =；【小问2详解】由（1）得()23129ln 2f x x x x =-+，()()()313x x x xf --='，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()0f x ¢>，得11ex <<，函数()f x 单调递增，令()0f x '<，得1e x <<，函数()f x 单调递减，所以()()max 32111222f x f ==-=-.16.某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)30,50、[)50,70、[)70,90、[)90,110、[)110,130、[]130,150．（1）求图中a 的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）从这次数学成绩位于[)50,70、[)70,90的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[)70,90的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）0.005a =，第85分位数为120（2）分布列答案见解析，()2E X =【解析】【分析】（1）根据频率直方图所有矩形的面积之和为1可得出a 的值，利用百分位数的定义可求得这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值.【小问1详解】解：由频率分布直方图可得()0.00250.00750.01522201a ++⨯+⨯=，解得0.005a =.前四个矩形的面积之和为()0.00250.007520.015200.8++⨯⨯=，前五个矩形的面积之和为0.80.005200.9+⨯=，设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m ，则()0.81100.0050.85m +-⨯=，解得120m =，因此，这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120.【小问2详解】解：数学成绩位于[)50,70、[)70,90的学生人数之比为0.0075:0.0151:2=，所以，所抽取的9人中，数学成绩位于[)50,70的学生人数为1933⨯=，数学成绩位于[)70,90的学生人数为2963⨯=人，由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()3339C 10C 84P X ===，()213639C C 31C 14P X ===，()123639C C 152C 28P X ===，()3639C 53C 21P X ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P1843141528521所以，()131550123284142821E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，四棱锥π,22,,2A BCDE ABBC AC CD BE BE CD BCD -=====∠=∥，平面ABC ⊥平面,BCDE F 为BC中点．（1）证明：平面AEC ⊥平面AFD ；（2）求平面AED 与平面AFD 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据四棱锥棱长及其性质，利用三角形全等可证明DF EC ⊥，再由面面垂直性质可得AF EC ⊥，再由线面垂直判定定理可得EC⊥平面ADF ，即可得平面AEC ⊥平面AFD ；（2）建立以F 为坐标原点的空间直角坐标系F xyz -，利用空间向量分别求出平面AED 与平面AFD 的法向量，即可求得其夹角的正弦值为5.【小问1详解】根据题意可得F 为BC 中点，所以π1,2,2FC CD BCD ==∠=，易知π1,2,,2BE BC BE CD EBC ==∠=∥，所以EBC FCD ≅△△，可得ECB FDC ∠=∠，易知90DFC FDC ∠∠+=，所以90DFC ECB ∠+∠= ，即DF EC ⊥；由AB BC AC ==，F 为BC 中点，可得AF BC ⊥，又平面ABC⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE BC =，所以AF ⊥平面BCDE ，又EC ⊂平面BCDE ，所以AF EC ⊥；又AF DF F ⋂=，,AF DF ⊂平面ADF ，所以EC ⊥平面ADF ，又EC ⊂平面AEC ，因此平面AEC ⊥平面AFD ；【小问2详解】以F 为坐标原点，分别以,FA FC 为,x y 轴，过F 点平行于DC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，易知())()()0,0,0,,0,1,2,0,1,1F AD E -，可得()()0,2,1,1,1ED AE ==-，)(),0,1,2FA FD ==，设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则11111200ED m y z AE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11y =，则112,z x =-=；所以()2m =-；设平面AFD 夹角的的一个法向量为()222,,n x y z = ，则111020FA n FD n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，解得10x =，令111,2z y ==-；所以()0,2,1n =-；可得cos ,5m nm n m n ⋅===-，设平面AED 与平面AFD 的夹角为θ，可得15sin 5θ====可得平面AED 与平面AFD 夹角的正弦值为155.18.设点()1,0F c -、()2,0F c 分别是椭圆222:1x C y a+=的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅ 的最小值为2-．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）10【解析】【分析】（1）设点(),P x y ，可得出2221x y a=-，其中21a >，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得2a 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）设点()00,A x y ，分两种情况讨论，①直线AB 、AD 的斜率存在且斜率分别为1k 、2k ，设过点A 且斜率存在的直线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线方程与椭圆方程联立，由Δ0=结合121k k =-可求出点A 的轨迹方程，②直线AB 、AD 分别与两坐标轴垂直，验证此时点A 的坐标满足①中的轨迹方程，再利用勾股定理结合基本不等式可求得S 的最大值.【小问1详解】解：设点(),P x y ，则2221x y a =-，其中21a >，()1,PF c x y =--- ，()2,PF c x y =-- ，所以，()()()222222212211x PF PF c x c x y x c y x a a ⋅=---+=-+=--+- 222212a x a a-=-+，故当0x =时，12PF PF ⋅ 取最小值222a -=-，可得24a =，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】解：设点()00,A x y ，当直线AB 、AD 的斜率都存在时，设直线AB 、AD 的斜率分别为1k 、2k ，设过点A 且斜率存在的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，联立()002244y kx y kx x y ⎧=+-⎨+=⎩可得()()()2220000418440k x k y kx x y kx ++-+--=，则()()()22220000Δ64164110k y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦，整理可得()2200410y kx k ---=，即()22200004210x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的方程()22200004210x k kx y y --+-=的两根，因为AB AD ⊥，则201220114y k k x -==--，整理可得22005x y +=；当AB 、AD 分别与两坐标轴垂直时，则()2,1A ±±，满足22005x y +=.所以，点A 的轨迹方程为225x y +=，由对称性可知，矩形ABCD 的四个顶点都在圆225x y +=，由勾股定理可得(22220AB AD +==，由基本不等式可得22202AB AD AB AD =+≥⋅，即10AB AD ⋅≤，当且仅当2220AB AD AB AD ⎧=⎪⎨+=⎪⎩时，即当AB AD ==故10S AB AD =⋅≤，即矩形ABCD 的面积的最大值为10.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．19.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1ΔN n n n a a a n +=-∈，规定{}2Δn a 为数列{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1ΔΔΔn n n a a a n +=-∈N ．（1）数列{}n a 的通项公式为()3*n a n n =∈N ，试判断数列{}{}2Δ,Δn na a 是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}log a nb 是以1为公差的等差数列，且2a >，对于任意的*n ∈N ，都存在*m ∈N ，使得2Δn m b b =，求a 的值；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且{}Δn c 为常数列，对满足2m n t +=，m n ≠的任意正整数,,m n t 都有m n c c ≠，且不等式m n t S S S λ+>恒成立，求实数λ的最大值．【答案】（1）{}Δn a 不是等差数列，{}2Δn a 是等差数列（2）32（3）2【解析】【分析】（1）理清条件的新定义，结合等差数列性质进行判断；（2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质等进行分类讨论求解；（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出m n S S +，运用均值不等式求解出λ的范围，从而得出λ的最值.【小问1详解】因为3n a n =，所以()3321Δ1331n n n a a a n n n n +=-=+-=++，因为1Δ7a =，2Δ19a =，3Δ37a =，故21ΔΔ12a a -=，32ΔΔ18a a -=，显然2132ΔΔΔΔa a a a -≠-，所以{}Δn a 不是等差数列；因为21ΔΔΔ66n n n a a a n +=-=+，则221ΔΔ6n n a a +-=，21Δ12a =，所以{}2Δn a 是首项为12，公差为6的等差数列.【小问2详解】因为数列{}log a n b 是以1为公差的等差数列，所以1log log 1a n a n b b +-=，故1n nb a b +=，所以数列{}n b 是以公比为a 的正项等比数列，11n n b b a-=，所以()2121121ΔΔΔ2n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++=-=---=-+，且对任意的*N n ∈，都存在*N m ∈，使得2Δn m b b =，即11111112n n n m b ab a b a b a +---+=，所以()21m n a a --=，因为2a >，所以0m n ->，①若1m n -=，则2310a a -+=，解得32a =（舍），或32a +=，即当32a +=时，对任意的*N n ∈，都存在*N m ∈，使得21Δn m nb b b +==.②若2m n -≥，则()221m n a a a -≥>-，对任意的*N n ∈，不存在*N m ∈，使得2Δn m b b =.综上所述，32a +=.【小问3详解】因为{}Δn c 为常数列，则{}n c 是等差数列，设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-，若0d =，则n m c c =，与题意不符；若0d <，所以当11c n d>-时，0n c <，与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，所以0d >，由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()()22122n m d d S S n m c n m ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭，因为2m n t +=，所以212222t d n m d n m S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为m n ≠，故22222n m n m ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()22211222222n m t n m d d d d S S n m c n m c n m S +⎛⎫⎛⎫+=++-+>⨯+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则当2λ≤时，不等式m n t S S S λ+>恒成立，另一方面，当2λ>时，令1m t =+，1n t =-，*N ,2n t ∈≥，则()2122222n m d d S S t t c ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，2122t d d S t c t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()22112222222t n m d d d d S S S t c t t t c λλλ⎛⎫⎛⎫-+=+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2122d d t t c t d λλ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭，因为02d d λ->，20t t -≥，当()12d t c λ>-时，()0t n m S S S λ-+>，即n m t S S S λ+<，不满足不等式m n t S S S λ+>恒成立，综上，λ的最大值为2.【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题，关于新定义问题的常见思路为：（1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等；（2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用；（3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类讨论的时机.。
2018年安徽省黄山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）1．（5分）集合M＝{y|y＝lg（x2+1），x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于（）A．（﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）2．（5分）已知复数z1＝1+ai，z2＝3+2i，a∈R，i为虚数单位，若z1z2为实数，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，）D．（1，] 4．（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．5．（5分）《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3B．3.1C．3.14D．3.26．（5分）下列判断错误的是（）A．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤3）＝0.72，则P（ξ≤﹣1）＝0.28B．若n组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的散点都在y＝﹣x+1上，则相关系数r＝﹣1C．若随机变量ξ服从二项分布：，则E（ξ）＝1D．am＞bm是a＞b的充分不必要条件7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7B．4，56C．3，7D．3，568．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．令g（x）＝f（x）﹣kx﹣k，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，]C．（0，]D．[，] 9．（5分）我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A．24B．36C．48D．9610．（5分）2017年中学数学信息技术研讨会，谈到了图象计算器在数学教学中的应用．如图输入曲线方程|y﹣8|+（|x﹣1|+|x﹣6|﹣5）2＝0，计算器显示线段AB，则线段CD的曲线方程为（）A．|x﹣y+3|+（|x﹣2|+|x﹣4|﹣2）2＝0B．|x+y+3|+（|x﹣2|+|x﹣4|﹣2）2＝0C．|x﹣y+3|+（|x﹣2|+|x﹣4|+2）2＝0D．|x+y+3|+（|x+2|+|x﹣4|﹣2）2＝0 11．（5分）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．8πC．9πD．12．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣mx+m，其中m＜1，若存在唯一的整数n，使得f（n）＜0，则m的取值范围是$（）A．[，1）B．[﹣，）C．[，）D．[﹣，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）13．（5分）（+x2+2）4的展开式的常数项为．14．（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，则ω的最大值为．15．（5分）已知直线l：x＝my+n（n＞0）过点，若可行域的外接圆直径为20，则n＝．16．（5分）给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为．①函数f（x）＝3ax+a﹣1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是﹣＜a＜；②“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件；③∀x∈（0，），sin x＜x＜tan x；④若0＜a＜b＜1，则lna＜lnb＜a b＜b a．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（12分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1＝b1＝2，a3＝b3＝8．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，且P A＝AB＝BC＝AD＝1，P A⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC＝90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取30名男生和20名女生，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式K2＝．20．（12分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝k﹣|x﹣4|，x∈R，且f（x+4）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且，求证：．2018年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）1．（5分）集合M＝{y|y＝lg（x2+1），x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于（）A．（﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵集合M＝{y|y＝lg（x2+1），x∈R}＝{y|y≥0}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}＝{x|x＞1}，∴M∩N＝{x|x.1}＝（1，+∞）．故选：B．2．（5分）已知复数z1＝1+ai，z2＝3+2i，a∈R，i为虚数单位，若z1z2为实数，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵z1•z2＝（1+ai）（3+2i）＝3﹣2a+（3a+2）i为实数，∴3a+2＝0，解得a＝﹣．故选：A．3．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，）D．（1，]【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，∴由题意可得，≤2，∴e＝≤，又∵e＞1，∴离心率e的取值范围是（1，]．故选：D．4．（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD＝150（米），OD＝100（米），∠CDO＝60°，在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°＝OC2，即，150 2+1002﹣2×150×100×＝r2，解得r＝50（米）．故选：B．5．（5分）《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3B．3.1C．3.14D．3.2【解答】解：∵圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），∴＝πr2×h，解得π＝3．故选：A．6．（5分）下列判断错误的是（）A．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤3）＝0.72，则P（ξ≤﹣1）＝0.28B．若n组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的散点都在y＝﹣x+1上，则相关系数r＝﹣1C．若随机变量ξ服从二项分布：，则E（ξ）＝1D．am＞bm是a＞b的充分不必要条件【解答】解：对于A，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于ξ＝1对称，∴P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥3）＝1﹣P（ξ≤3）＝1﹣0.72＝0.28，A正确；对于B，若n组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的散点都在y＝﹣x+1上，则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r＝﹣1，B正确；对于C，若随机变量ξ服从二项分布：，则E（ξ）＝5×＝1，C正确；对于D，am＞bm时，a＞b不一定成立，即充分性不成立，a＞b时，am＞bm不一定成立，即必要性不成立，是既不充分也不必要条件，D错误．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7B．4，56C．3，7D．3，56【解答】解：执行如图所示的程序框图，输入m＝168，n＝112，满足m、n都是偶数，k＝1，m＝84，n＝56，满足m、n都是偶数，k＝2，m＝42，n＝28，满足m、n都是偶数，k＝3，m＝21，n＝14，不满足m、n都是偶数，满足m≠n，d＝|m﹣n|＝7，m＝14，n＝7，满足m≠n，d＝|m﹣n|＝7，m＝7，n＝7，不满足m≠n，退出循环，输出k＝3，m＝7．故选：C．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．令g（x）＝f（x）﹣kx﹣k，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，]C．（0，]D．[，]【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．∴当x∈[﹣1，0]时，当﹣x∈[0，1]时，f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2＝f（x），即当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2．则当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2．∵f（x+2）＝f（x），∴函数的周期为2．由g（x）＝f（x）﹣kx﹣k＝0，得f（x）＝kx+k＝k（x+1），设y＝k（x+1），做出y＝f（x）在[﹣1，3]上的函数图象如图所示：设直线y＝k1（x+1）经过点（3，1），则k1＝．∵直线y＝k（x+1）经过定点（﹣1，0），且直线y＝k（x+1）与y＝f（x）的图象有4个交点，∴0＜k≤．故选：C．9．（5分）我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A．24B．36C．48D．96【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A44＝24种情况，则此时有24种不同的着舰方法；②、丙机不是最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有×C21A44＝24种情况，则此时有24种不同的着舰方法；则一共有24+24＝48种不同的着舰方法；故选：C．10．（5分）2017年中学数学信息技术研讨会，谈到了图象计算器在数学教学中的应用．如图输入曲线方程|y﹣8|+（|x﹣1|+|x﹣6|﹣5）2＝0，计算器显示线段AB，则线段CD的曲线方程为（）A．|x﹣y+3|+（|x﹣2|+|x﹣4|﹣2）2＝0B．|x+y+3|+（|x﹣2|+|x﹣4|﹣2）2＝0C．|x﹣y+3|+（|x﹣2|+|x﹣4|+2）2＝0D．|x+y+3|+（|x+2|+|x﹣4|﹣2）2＝0【解答】解：由曲线方程结合图形可知：输入的曲线方程为|kx﹣y+b|+（|x﹣m|+|x﹣n|﹣n+m）2＝0，其中kx﹣y+b＝0为线段所在直线方程，m，n分别为线段两端点的横坐标，则线段CD的曲线方程为|x﹣y+3|+（|x﹣2|+|x﹣4|﹣2）2＝0．故选：A．11．（5分）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．8πC．9πD．【解答】解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，依题意，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．故选：D．12．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣mx+m，其中m＜1，若存在唯一的整数n，使得f（n）＜0，则m的取值范围是$（）A．[，1）B．[﹣，）C．[，）D．[﹣，1）【解答】解：设函数g（x）＝e x（2x﹣1），h（x）＝mx﹣m，由题意知存在唯一的整数n使得g（n）在直线y＝h（x）＝mx﹣m的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2e﹣，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝mx﹣m恒过定点（1，0）且斜率为m，故﹣m＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣m﹣m，解得：≤m＜1，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）13．（5分）（+x2+2）4的展开式的常数项为70．【解答】解：（+x2+2）4＝，（x2+1）8的通项公式：T r+1＝（x2）8﹣r＝x16﹣2r，令16﹣2r＝8，解得r＝4．因此展开式的常数项＝＝70．故答案为：70．14．（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，则ω的最大值为2．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin[ω（x﹣）+]＝2sinωx，y＝g（x）在上为增函数，所以：，即：，ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．15．（5分）已知直线l：x＝my+n（n＞0）过点，若可行域的外接圆直径为20，则n＝10．【解答】解：由题意作出其平面区域，由题意可得，（5﹣n）2+25＝100，解得，n＝10．16．（5分）给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为②③④．①函数f（x）＝3ax+a﹣1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是﹣＜a＜；②“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件；③∀x∈（0，），sin x＜x＜tan x；④若0＜a＜b＜1，则lna＜lnb＜a b＜b a．【解答】解：对于①，函数f（x）＝3ax+a﹣1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）•f（1）＜0，即（﹣2a﹣1）（4a﹣1）＜0，解得a＜﹣或a＞，∴a的取值范围是a＜﹣，或a≥，①错误；对于②，当b2＝ac时，a，b，c不一定成等比数列，如a＝b＝0时，∴充分性不成立；a，b，c成等比数列时，即＝，得出b2＝ac，必要性成立；是必要不充分条件，②正确；对于③，画出单位圆如图所示，根据||＜＜||知，∀x∈（0，），有sin x＜x＜tan x，③正确；对于④，0＜a＜b＜1，且y＝lnx为增函数，y＝a x、y＝b x均为减函数，∴lna＜lnb＜0＜a b＜b b＜b a，④正确；综上，正确的命题是②③④．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（12分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1＝b1＝2，a3＝b3＝8．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由a1＝2，a3＝8，得8＝2+2d，解得d＝3．∴a n＝2+（n﹣1）×3＝3n﹣1，n∈N*．由b1＝2，b3＝8，得8＝2q2，又q＞0，解得q＝2．∴b n＝2×2n﹣1＝2n，n∈N*；（2）∵＝3×2n﹣1，∴S n＝3×﹣n＝3×2n+1﹣n﹣6．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，且P A＝AB＝BC＝AD＝1，P A⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC＝90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），从而，，，设平面PCD的法向量为＝（a，b，c），即，不妨取c＝2，则b＝1，a＝1，所以平面PCD的一个法向量为＝（1，1，2），（4分）此时cos＜，＞＝＝﹣，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（6分）（2）设，则E（0，2λ，1﹣λ），则，，由∠AEC＝90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1＝0，该方程无解，所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC＝90°．（10分）19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取30名男生和20名女生，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式K2＝．【解答】解：（1）k2＝≈5.556＞5.024．∴有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．（2）选择做几何题的8名女生中任意抽取两人有C82＝28种方法，其中甲、乙两人都没抽到有C62＝15种方法，恰有一人被抽到有C21C61＝12种方法，两人都被抽到有C22＝1种方法X的可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝．X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×＝．20．（12分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．【解答】解：（1）∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，∴a＝2，b＝c，a2＝b2+c2，∴b2＝2，∴椭圆方程为+＝1．（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则＝（x1，y1），＝（2，y0）直线CM：y﹣0＝（x+2），即y＝x+y0．代入椭圆x2+2y2＝4，得（1+）x2+y02x+y02﹣4＝0，故方程的两个根分别为﹣2和x1，由韦达定理可得x1﹣2＝，∴x1＝，∴y1＝．∴＝（，）∴＝+＝＝4．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．【解答】解：（1）∵f′（x）＝﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）＝2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1＝0的判别式△＝1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）＝0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）证明：由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2＝，x1x2＝，∴f（x1）+f（x2）＝（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）＝ln（2a）++1＝lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）＝lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）＝＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）＞g（）＝3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（Ⅰ）根据x＝ρcosθ、y＝ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2＝0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2＝4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝12，t1•t2＝48，∴|PM|+|PN|＝|t1+t2|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝k﹣|x﹣4|，x∈R，且f（x+4）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且，求证：．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲（1）解：因为f（x）＝k﹣|x﹣4|，所以f（x+4）≥0等价于|x|≤k，由|x|≤k有解，得k≥0，且其解集为{x|﹣k≤x≤k}．又f（x+4）≥0的解集为[﹣1，1]，故k＝1．…（5分）（2）证明：由（1）知＝1，又a，b，c是正实数，由均值不等式得：a+2b+3c＝（a+2b+3c）（）＝3+≥3+2+2+2＝9，当且仅当a＝2b＝3c时取等号，所以≥1．…（10分）。
安徽省黄山市数学高考理数一诊试卷
安徽省黄山市数学高考理数一诊试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高二下·九台期中) 若复数，则z的共轭复数（）A .B .C .D .2. （1分）命题“ ”的否定为（）A .B .C .D .3. （1分）设f为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为（）A .B .C .D .4. （1分）若| + |=| ﹣ |=2| |，则向量 + 与的夹角为（）A .B .C .D .5. （1分） (2015高三上·潍坊期末) 已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0 ，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是（）A .B .C .D .6. （1分） (2018高一下·宜昌期末) 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为（）A .B .C .D .7. （1分）如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A . 平面B . 与是异面直线C .D .8. （1分） (2019高二下·慈溪期末) 已知，则（）A .B . 186C . 240D . 3049. （1分） (2020高二下·徐州月考) 如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（）A . 54B . 50C . 60D . 5810. （1分） (2017高二上·哈尔滨月考) 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则为（）A . 4B . 6C . 8D . 1011. （1分）(2018·黄山模拟) 数列中，已知对任意正整数，有，则等于（）A .B .C .D .12. （1分）已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（8.5）等于（）A . ﹣0.5B . 0.5C . ﹣1.5D . 1.5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·张家港期中) 已知函数f（x）= ，则f[f（）]的值是________．14. （1分） (2017高一下·徐州期末) 已知数列{an}中，a1=3，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*若对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N* ，不等式﹣2at+1恒成立，则实数t的取值范围是________．15. （1分） (2015高三上·泰安期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为________．16. （1分） (2020·郑州模拟) 已知x，y满足约束条件则的最大值为________三、解答题 (共7题；共15分)17. （2分）(2017·湘潭模拟) 在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．18. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．19. （3分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2 ，∠PDC=120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．（Ⅰ）若AF= ，求证：CD⊥EF；（Ⅱ）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cosθ= ．20. （2分）已知椭圆C：(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为 .直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为时，求k的值．21. （2分）(2020·泰安模拟) 已知函数（1）若函数在处取得极值1，证明：（2）若恒成立，求实数a的取值范围.22. （2分）(2020·榆林模拟) 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（t为参数），曲线的极坐标方程为 .（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求 .23. （2分）(2017·长春模拟) 已知函数．（1）求的解集；（2）若的最小值为T，正数a，b满足，求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共15分) 17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高三上·临沂期中) 已知集合则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）
A . -6
B . 13
C .
D .
3. （2分） (2016高二上·桃江期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{an}的公比为q的值等于（）
A . ﹣2或1
B . ﹣1或2
C . ﹣2
D . 1
4. （2分）(2019·内蒙古模拟) 已知双曲线的左、右顶点分别为，点
是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为（）
A .
B .
C . 4
D . 2
5. （2分）(2016·诸暨模拟) 已知△ABC中，AC=2，AB=4，AC⊥BC，点P满足 =x +y ，x+2y=1，则•（ + ）的最小值等于（）
A . ﹣2
B . ﹣
C . ﹣
D . ﹣
6. （2分） (2017高二上·张家口期末) 任取，直线y=k（x+2）与圆x2+y2=4相交于A，B 两点，则的概率为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）
A . 向左平移个单位
B . 向左平移个单位
C . 向右平移个单位
D . 向右平移个单位
8. （2分）(2018·自贡模拟) 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为63，36，则输出的（）
A . 3
B . 6
C . 9
D . 18
9. （2分） (2016高一下·舒城期中) 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）
A . 9
B . 10
C . 11
D . 12
10. （2分） (2016高三上·武邑期中) 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）
A . （﹣1，0）
B . （1，0）
C . （0，﹣1）
D . （0，1）
12. （2分） (2019高一上·江苏月考) 已知函数，，则函数
的值域为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一上·台州期末) 已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+1，则f（﹣2）=________．
14. （1分）(2020·聊城模拟) 已知的展开式中的系数为，则实数 ________
15. （1分） (2015高三上·保定期末) 设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为________ ．
16. （1分）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=________．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共68分)
17. （10分） (2019高一下·嘉兴期中) 设锐角的内角，，的对边分别为，，，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
18. （13分）网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题.
（1）表中的 ________，中位数落在________组，扇形统计图中组对应的圆心角为________°；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流会，计划在组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图法或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率.
组别学习时间频数（人数）
A8
B24
C
D
E4小时以上4
19. （10分） (2019高一上·株洲月考) 如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，且分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
20. （5分）(2017·运城模拟) 已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1 ， k2 ，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．
21. （10分） (2016高三上·集宁期中) 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）．
22. （10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，
2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．
23. （10分）设函数f（x）=|x﹣1|+ |x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若不等式f（x）≤﹣3a（x+ ）的解集非空，求实数a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共68分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、20-1、
21-1、
21-2、22-1、
22-2、23-1、
23-2、。