华中科技大学贝塞尔函数(课堂PPT)

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贝塞尔函数PPT演示课件

1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in

d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u

0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2

dR
d

(k 2
2 ) 2

m2
R

0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0

(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2

(x) ett x1dt
令t=u2

(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)

贝塞尔函数诺伊曼函数43页PPT

பைடு நூலகம்
贝塞尔函数诺伊曼函数
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

贝塞尔函数

y ( s k )ak x s k 1
y ( s k )(s k 1)ak x s k 2
k 0

k 0
xy ( s k )ak x s k
k 0

x 2 y ( s k )(s k 1)ak x s k
2 2 x y xy ( x n ) y 0 2
5/13
比较欧拉方程
变换
x y xy y 0
2
x e xp(t )
dy dy dt 1 dy dx dt dx x dt
或
t ln x
d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dx x dt x dx dt x dt dt

( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n ( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n
2nJ n ( x) xJn1 ( x) xJn1 ( x)
③ ④
( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
18/13
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx

( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n ( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n
( 1)m 2( n m ) x 2 n1 2 m n 2 m m! ( n 1 m 1) m 0 2

贝塞尔公式(精品课件)

样本标准差的表示公式数学表达式：•S—标准偏差（％）•n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个•i—物料中某成分的各次测量值，1～n；[编辑］标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。

•如果价格保持平稳,这个指标值不高。

•在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。

步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

［编辑］六个计算标准偏差的公式[1][编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i−X.。

.。

文档交流1 =σ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差（也称标准差）σ为（1）由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

［编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。

.。

.文档交流于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式（Bessel).它用于有限次测量次数时标准偏差的计算.由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式（1）是完全一致的。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。

它不是总体标准偏差σ。

因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。

数学物理方程----3-Bessel-函数PPT优秀课件

贝塞
erx (r2 + pr + q) = 0 .
尔
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
函数
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是
④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
西安交通大学数学与统计学院
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
西安交通大学数学与统计学院
定理 4 设二阶线性非齐次方程为
数
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， ① 第
学
三
物
理且y1*与y2*分别是
方
程
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，
章贝 ②塞
尔
和
函
y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
数学
y = C1 y1 + C2 y2
第三
物理是该方程的通解，其中
方
C1,
C2为任意常数.
程
章贝
塞
尔
函
数
西安交通大学数学与统计学院
定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
特解，Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
数
第
学物
y = Y + y*，
理方
是线性非齐次方程的通解.
程
数
解该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它有第
学物
重根

贝塞尔函数3

数学物理方程与特殊函数
工程项目
贝塞尔函数3 管理
主编：危道军刘志强
本节内容
贝塞尔函数第二次课内容总结贝塞尔函数的递推公式函数展成贝塞尔函数的级数
贝塞尔函数应用举例
3 工程项目管理规划
贝塞尔函数的递推公式
d dx
[xnJn
x]
x n J n1
x
(1)
d dx
[
xnJ
n
x
]
xnJ
n1
x
(2)
Cm e Dm e 0
U
J
0
(
(0) m b
)
b 2
J
01
(
(0) m
)
d
2U
(0) m
J1
(m(0)
)
(12)
3 工程项目管理规划
四、确定常数
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
将（5.11）与先前得到的（5.12）联立，解得
Cm
(0) m
sh
U
(0) m b
hJ1(m(0) )
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
3 工程项目管理规划
四、确定常数
u(, z)
m1
m(0) z
m(0) z
(0)
(Cm e
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
由条件(4），得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0) m b
)
0
于是得

华中科技大学课件贝塞尔函数课堂课件

r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
医药&医学
6
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
m um m 4(m 1)(n m 1)
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上
是绝对收敛的。
医药&医学
17
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
[(s k)2 n2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
医药&医学
5
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
u(x, y,t) V (x, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
医药&医学
3
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
u |t0 (x, y).
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)

第7章贝塞尔(Bessel)函数

⎡∞ ⎢ ⎢⎣ l =0
(−1)l ⎛ (n + l)!l ! ⎜⎝
x 2
⎞n+2l ⎟⎠
⎤ ⎥t n ⎥⎦
=
∞ n=−∞
J n (x)t n
母函数.
x (t−1)
e2 t
2. 贝塞尔函数的积分表达式
∫ 由洛朗系数公式
ak
=
1
2π i
f (x,t) L t k +1 dt
得积分表达式
x (t−1)
∫ J n ( x )
12
( i i ) 当ν = n (整数)时, J−n (x) = (−1)n Jn (x)P6线9 已性证相明关.不构
成通解. ∞ ∑ 故另一特解应为 y2 (x) = aJn (x) ln X + X −ν Dk X k k =0
但是用上式计算 a 和Dk 通常不易.
因此引入一个与 Jn 线性无关的特解.即诺伊曼函数(Neumann）
k =0
k =2
∞
∑ (1+ 2ν )C1x1+ν + [k(k + 2ν )Ck + Ck−2 ]xk+ν = 0
k =2
由x 的同次幂系数之和为零，得
⎧(1 + ⎨⎩k (k
2ν )C1 = + 2ν )Ck
0, +
(ν
Ck −2
> 0) =0
⎧⎪C1 ⎨⎪⎩Ck
= =
0 k
−Ck −2
(2ν + k
3
求正则解的步骤：
为方便起见，设正则奇点 z0 = 0 （对于一般的 z0点，只需把 z → z − z0 ）

华科大数理方程课件——贝塞尔函数的应用(2014)

由有界条件| R(0) | 知 D 0, 再利用条件(67)
R( B) 0得 J 0 ( B) 0, 即 B 是J 0 ( x) 0 的零点。
(n) ( 0) ) 0. 则得方程以 m 表示 J 0 ( x) 的正零点，即J 0 ( m (66)在有界条件及(67)下的固有值及相应固有函数为
r u |t 0 h(1 ), u t |t 0 0. B
u | r B 0,
(62) (63) (64)
再由初始条件(64)中的第二式得
( 0) m
于是得
B
bm J 0 (( 0) ຫໍສະໝຸດ mBr ) 0,
bm 0 (m 1, 2, ).
16
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2
根据叠加原理，方程(62)满足条件(63)的解为
( 0) (0) ( 0) a m a m m u (r , t ) (a m cos t bm sin t)J 0 ( r ). B B B m 1
2
(44) (45)
u | t 0 1 r 2 .
u (r , t ) C m e
m 1
(0) 2 ( m a) t
(46)
(0) J 0 ( m r ).
(51)
(0) 4J 2 m C m (0) 2 2 (0) , ( m ) J1 m

将 C m 代入(51)即得问题(44)-(46)的解为
(65) (66)
12
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2

第七章贝塞尔函数

2 x 1 n 1 (n m 1)! x n 2 m N n ( x) J n ( x)(ln ) ( ) π 2 π m0 m! 2 m x n2m (1) ( ) n m 1 m 1 1 1 1 2 ( ) π m 0 m!(n m)! k 0 k 1 k 0 k 1 0.5772 为欧拉常数．其中，
故 x 0为 p( x), q( x) 的奇点
数学物理方法
x 2 y xy ( x 2 2 ) y 0
0 xb
下面应用奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解．设方程的一个特解具有下列幂级数形式：
y x Ck x k Ck x k
k 0 k 0
(1) x J v ( x) n ! ( v n 1) 2 n 0
n
2 n v
讨论： (1)当不为整数时，例如 J ( x) 为分数阶贝塞尔函数：
J ( x), J ( x),
1 2 1 2
等, 当 x 0 时，
2n
x J ( x) 2
可证明， Nv ( x) 是贝塞尔函数方程的解，
Neumann 函数曲线
数学物理方法
cos( π)J ( x) J ( x) N ( x) sin( π) 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与J n ( x) 线性无关．
这样我们可以得到
我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
l 从零开始，故
x n J n ( x) ( ) (1) n l 2 l 0
x 2l 2 n x 2l n ( ) ( ) 2 (1) n ( 1)l 2 (n l )!l ! (n l )!l ! l 0

第五章-贝塞尔函数

第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。

从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。

在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。

如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。

本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。

下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。

贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。

设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ （5.5）从（5.4）得2()a t T t Ae λ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。

贝塞儿函数

∞
k =0
k + ρ −1
k + ρ −2 ′ ′ y = ∑ ck (k + ρ )(k + ρ − 1) x ， k =0 k +ρ
∞
(1) → ∑ [(k + ρ ) 2 −ν 2 ]ck x
( ρ 2 −ν 2 )c0 = 0 (c0 ≠ 0)
2 2
+ ∑ ck x k + ρ + 2 = 0 ( 2)
k =0
∞
2、比较最低次幂 x ρ 的系数：
→ 判定方程：ρ －ν ＝0
→ ρ1 = ν , ρ 2 = −ν (设ν > 0 )
一、 Bessel方程的级数解 15.1 Bessel函数 x 2 y′′( x) + xy′( x) + ( x 2 −ν 2 ) y ( x) = 0 (1) → y ( x) = ?
本节作业
若 n 为整数，从贝塞尔函数 1. 2. J − n ( x ) = ( − 1) n J n ( x ) J n ( − x ) = ( − 1) n J n ( x ) = J − n ( x ) 定义式出发证明：
附：二阶线性常微分方程的级数解法2
W ′′( z ) + p (z )W ′( z ) + q (z )W ( z ) = 0
(*)
的两线性无关的根为 :
W1 ( z ) = ( z − z 0 )
ρ1
∑ ck ( z − z 0 )
k =0
∞
k
∞ k ρ2 ( z − z ) d ( z − z ) ρ1 − ρ 2 ≠ 整数 ∑ 0 k 0 , k =0 W2 ( z ) = ∞ ρ2 aw1 ( z ) ln( z − z0 ) + ( z − z0 ) ∑ d k ′ (z − z0 )k , ρ1 − ρ 2 = 整数 k =0

15第十五章贝塞尔函数

16
§15.2 贝塞尔函数的性质
1. Jn(x) 的母函数
∑ exp[( t
−
1) t
x 2
]
=
∞
Jn(
n=−∞
x)
t
n
∑ ∑ 证明：exp[( t − 1 ) x ] = ∞ t k ( x )k ∞ ( − t )−m ( x )m
t 2 k=0 k! 2 m=0 m! 2
n=k−m ⇒
∑ ∑ ∑ =
Jν ( x), J−ν ( x) 线性无关
11
•对ν=n 为整数，通解 y(x) = cn Jn( x) + dn Nn(x)
诺依曼函数
Nν ( x)
=
cos(ν
π ) Jν ( x) − sin(ν π )
J −ν ( x)
洛必达法则
⇒
Nn(x) =
1 [ Jν (x) − (−1)n π ∂ν
∑ ν阶 Bessel 函数
Jν(x)
=
∞ k=0
k!
(−1)k Γ(k + ν
+
1)
x 2
ν + 2k
• 对任何 x≠0，级数绝对收敛
• 推广到负整数ν= –n ，应用 Γ(k − n + 1) = ∞, k < n
J−n(
x)
=
lim
ν →−n
Jν
(x)
= (−1)n J n( x)
10
3. 贝塞尔方程的通解
≡ k2
= −n2
Z ′′ = k 2 Z
Z(z) = ek z or e−k z (k ≠ 0?)
Φ′′ = − n2 Φ

贝塞尔函数3幻灯片

o
246
-0.5
8 10 12
9
以
(n) m
(m1,2,L)表示
J
n
(
x
)
的非负零点,
则
lim
m
(n)
(n)
m1 m
.
1.0 J 0 ( x )
0.5
J1( x )
函数以为周期振荡
o
2 4 6 8 10 12
-0.5
10
方程 Jn R 0 的解为：
R m n , m 1 ,2 ,L
由条件（ 8 ）知 D 0.
29
二、求本征值、本征函数
再由条件（ 9）得 ,
R(b)CJ0( b)0
即， J 0 ( b ) 0，由此可知b是 J 0 (x )的零点。
以 (0 ) m
表示 J 0 (x )的正零点，有
J0(m(0)) 0
从而，得到方程（ 7 ）在条件（ 8 ）、（ 9 ）下的
由条件 (4），得
z 0
z h
u(,0)
m 1
(C mD m)J0(b m (0))0
于是得
C m D m 0 ( m 1 , 2 ,L )( 1 1 )
再由条件（ 5）得
u b 0 (5)
(0)
mh
(0)
mh
(0)
u(,h) (C me m 1
D me )J0(b m
的通解为 P ( r ) A J n (
r ) B Y n (
r ) 26
一、建立方程方程（ 7 ）为零阶贝塞尔方程，其通解为

贝塞尔函数课件

3
正交性
贝塞尔函数之间具有正交性质，适合用于展开函数。
贝塞尔函数的计算方法
级数展开求解
可以使用贝塞尔函数的级数展开式近似求解。
径向波动方程求解
使用贝塞尔函数表（示例）
贝塞尔函数是径向波动方程的解，可用于求解相关问题。
通过查表，可以直接获取贝塞尔函数的数值。
贝塞尔函数的在物理学中的应用
电磁场问题中的应用
贝塞尔函数用于描述电磁场分布、辐射和散射等问题。
圆形共振问题中的应用
贝塞尔函数用于解决圆形共振腔中的电磁波问题。
量子力学中的应用
贝塞尔函数用于描述量子力学中的球对称问题和径向波函数。
总结
在本课件中，我们介绍了贝塞尔函数的定义和基本类型，讨论了贝塞尔函数的性质和计算方法，以及它在物理学中的应用。希望通过这些内容，您对贝塞尔函数有更全面的了解。
贝塞尔函数PPT课件
贝塞尔函数是一种数学函数，常用于解决各种科学领域中的物理和数学问题。本课件将介绍贝塞尔函数的定义、类型、性质、计算方法以及在物理学中的应用。
什么是贝塞尔函数
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它是贝塞尔微分方程的解。它广泛应用于物理学、工程学和数学等领域，例如波动理论、振动问题和量子力学。
下一步研究方向
贝塞尔函数作为一种重要的数学工具，在各个领域中仍有许多未解决的问题和有待深入研究的方向。我们鼓励您继续探索和应用贝塞尔函数。
参考文献
1. Jiang, X., & Li, X. (2019). Applications of Bessel functions in physics. Physics Education, 54(6), 065010.

数学物理方程第12讲贝塞尔函数

n阶贝塞尔函数
5.1
的引出
以圆盘热传导过程中瞬时温度分布为例
一个半径为 R 的薄圆盘，侧面绝热，
圆周边缘温度为零度，且初始温度已知，
求圆盘内瞬时温度分布规律。
P"( ) P' ( ) ( n )P( ) 0
2 2 2
0 时，
令r ，并记P( ) P(
Ch5 ξ5.1
特殊函数
贝塞尔函数的引出
ξ 5.2 贝塞尔方程的求解
特殊函数
1）这些函数在解决工程实际问题中具有重要作用，地位特殊
为什么特殊
2）它不能通过五种基本的初等函数的四则运算和乘方开方得到，它一般是
收敛的无穷级数来表达
举例
n2m x J n ( x) (1) m n 2 m 2 m!(n 1)(n 2)...(n m)(n 1) m 0
当
r

2
) F (r )
得到r F (r ) rF (r ) (r n ) F (r ) 0
2 2
n阶贝塞尔方程最常见的形式
5.2 贝塞尔方程的求解
x y xy ( x n ) y 0
2 2 2
1）n为任意实数或者复数，不只是整数，可以是非整数 2）这个方程的解称为n阶贝塞尔函数 3）变系数的二阶常微分方程
Solve: 1)设方程有一个级数解
y ak x c k
k 0

2 2 2 代入到n阶贝塞尔方程， x y xy ( x n ) y 0
求c和系数ak
2）c=n,-n c=n,
ak 2 ak k ( 2n k )
a1 a3 ....a2m1 0

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分布为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)
处的温度函数。
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这个问题归结为求解下列定解问题：
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
是单值函数，即 V (r, ) V (r, 2 ),
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0, G( ) G( 2 ),
可得
n2 (n 0,1, 2, )
G0 ( )
1 2
a0
Gn ( ) an cos n bn sin n. (n 1, 2, )
F(r) F
x
y(x),
则
Fr yx , Frr ( yxx ) yxx ,
将上式代入方程(11)可得
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程，
它的解称为贝塞尔函数。(有时称之为柱函数)。
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x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
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G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
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5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出
在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到
贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分布为例来导出贝塞尔方程。
设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热，
圆盘边界上的温度始终保持0度，且初始温度
5
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
(3)
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解，
Vxx Vyy V 0,
(5)
V |x2 y2 R2 0.
(6)
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
k 0
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x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
y ak (s k )x sk1, y ak (s k 1)(s k)x sk2
k 0
k 0
可得
ak (s k 1)(s k)x sk ak (s k )x sk
F(R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心处也应如此，由此可得
| F(0) | ,
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因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
F(R) 0 | F(0) | ,
的固有值与固有函数。
若令 x
r, 并记
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第五章贝塞尔函数
在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题，从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就是人们常说的特殊函数。
本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程的解法及解的有关性质；最后再来介绍贝塞尔函数在解决数学物理中有关定解问题的一些应用。
附录：函数的基本知识
(1) 定义
(x) ett x1dt (x 0), 0
(1) 1, (1) .
2
(2) 函数的递推公式
(x) 1 (x 1) x
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n!(1) n!.
(3) 当 n 0, 1, 2, 时 1 0. (n)
u |t0 (x, y).
于是有
亥姆霍兹方程
方程(4)的解为
T a2T 0, Vxx Vyy V 0.
T (t) Aea2t .
由边界条件(2)有
V |x2 y2 R2 T (t) 0,
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V |x2 y2 R2 0.
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)
(12)
二、贝塞尔函数
由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式
的广义幂级数解：
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
其中 s 为常数，下面来确定 s, ak (k 0,1, 2, ).
为此，将(13)以及
y ak (s k )x sk1,
k 0
带入方程(12)
y ak (s k 1)(s k )x sk2
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
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2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
(3)
应用分, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
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ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
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G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
将 n2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。
由边界条件(8) V |rR 0 可知 V (R, ) F (R)G( ) 0,
k 0
k 0
n 2 ak x sk ak x sk2 0,