华中科技大学 贝塞尔函数(课堂PPT)

(12)
二、贝塞尔函数
由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式
的广义幂级数解：
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
其中 s 为常数，下面来确定 s, ak (k 0,1, 2, ).
为此，将(13)以及
y ak (s k )x sk1,
k 0
带入方程(12)
y ak (s k 1)(s k )x sk2
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
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2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
是单值函数，即 V (r, ) V (r, 2 ),
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0, G( ) G( 2 ),
可得
n2 (n 0,1, 2, )
G0 ( )
1 2
a0
Gn ( ) an cos n bn sin n. (n 1, 2, )
k 0
k 0
n 2 ak x sk ak x sk2 0,
F(R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F(0) | ,
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因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
F(R) 0 | F(0) | ,
的固有值与固有函数。
若令 x
r, 并记
k 0
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x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
Байду номын сангаас
y ak (s k )x sk1, y ak (s k 1)(s k)x sk2
k 0
k 0
可得
ak (s k 1)(s k)x sk ak (s k )x sk
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5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出
在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到
贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。
设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热，
圆盘边界上的温度始终保持0度，且初始温度
分布为已知， 求圆盘内的瞬时温度分布规律。
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)
处的温度函数。
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这个问题归结为求解下列定解问题：
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
(3)
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令
u(x, y,t) V (x, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
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ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
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G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
将 n2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。
由边界条件(8) V |rR 0 可知 V (R, ) F (R)G( ) 0,
F(r) F
x
y(x),
则
Fr yx , Frr ( yxx ) yxx ,
将上式代入方程(11)可得
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
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方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程，
它的解称为贝塞尔函数。(有时称之为柱函数)。
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x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
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第五章 贝塞尔函数
在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问 题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题， 从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就 是人们常说的特殊函数。
本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进 行分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程 的解法及解的有关性质；最后再来介绍贝塞尔函数 在解决数学物理中有关定解问题的一些应用。
u |t0 (x, y).
于是有
亥姆霍兹 方程
方程(4)的解为
T a2T 0, Vxx Vyy V 0.
T (t) Aea2t .
由边界条件(2)有
V |x2 y2 R2 T (t) 0,
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V |x2 y2 R2 0.
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)
附录： 函数的基本知识
(1) 定义
(x) ett x1dt (x 0), 0
(1) 1, (1) .
2
(2) 函数的递推公式
(x) 1 (x 1) x
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n!(1) n!.
(3) 当 n 0, 1, 2, 时 1 0. (n)
5
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
(3)
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解，
Vxx Vyy V 0,
(5)
V |x2 y2 R2 0.
(6)
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
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G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)