历年高考极坐标

坐标系与参数方程专题复习

一 基础知识回顾：

1 极坐标与直角坐标的互化：极点的直角坐标系的坐标原点重合，极轴和轴的正半轴重合，则有

2椭圆的参数方程 椭圆1b y a x 22

22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.

bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.

3双曲线的参数方程 )0,0(122

22>>=-b a b y a x 的参数方程可表示为)(,

tan ,sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x

4抛物线2px y 2

=的参数方程可表示

（1）)(tan 2tan 22为参数ααα⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==p y p x 不包括顶点.α为抛物线上的点和原点连线的倾斜角. （2）)t (.

2pt y ,2pt x 2为参数⎩⎨⎧==.表求抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的负倒数.

5.经过点),(000y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨

⎧+=+=α

α

由0e t M =参数的几何意义：

因为)sin ,(cos αα=，所以1||=，由0e t M =，得到.||||0t M =， 由此，直线上的动点M 到定点0M 的距离，等于参数t 的绝对值.

当πα<<0时，0sin >α，所以直线的方向向量总是向上的，此时，若,0>t 则M M 0方向向上，若,0

经过两点),(),,(222111y x M y x M 的直线的参数方程为⎩⎨⎧-+=-+=)

()

(121121y y t y y x x t x x ，此时t 不具有几何意义.

二典型例题：

1.把下列直角坐标方程化成极坐标方程

⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x

(1)4=x (2)0132=--y x

2. 把下列极坐标方程化成直角坐标方程

(1)2sin =θρ (2)04)sin 5cos 2(=-+θθρ

3. 已知直线的极坐标方程22)4

(sin =

+

π

θρ，为求点)4

7

,2(πA 到这条直线的距离。 4．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

（1）)(4123为参数t t y t x ⎩⎨⎧--=-= （2）)(12cos cos 为参数θθθ

⎩

⎨⎧+==y x

（3）)(1

1为参数t t t y t

t x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+= （4）)(sin 3cos 5为参数θθθ⎩⎨⎧==y x

5． 在椭圆14

y 9x 2

2=+上求一点M ，使点M 到直线0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离

6.设直线l 经过点)5,1(0M 倾斜角为3

π， (1)求直线的参数方程

(2)求直线l 和直线032=--y x 的交点到点0M 的距离.

（3）求直线l 和圆162

2

=+y x 的两个交点到点0M 的距离的和与积.

7. 已知直线01;=-+y x l 与抛物线2x y =交于B A ,两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到B A ,两点距

离之积.

8 (2010重庆) （8）直线233+=

x y 与圆心为D 的圆))2,0[(,

sin 31,

cos 33πθθθ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）C

A 、π6

7

B 、

π4

5 C 、

π3

4

D 、π3

5

9（2000北京、安徽理）（6）直线a =θ和直线()1sin =-a θρ的位置关系是B

A 垂直

B 平行

C 相交但不垂直

D 重合 10（2011安徽理）（5）在极坐标系中，点)3

,

2(π

到圆θρcos 2=的圆心的距离为D

A 2 B

9

42

π+

C

9

12

π+

D 3

11（2011北京理）3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是B

A ．(1,

)2π

B ．(1,)2

π

-

C ． (1,0)

D ．(1，π)

12（2011广东理）14.（坐标系与参数方程选做题）

已知两面线参数方程分别为(0)sin x y θ

θπθ⎧=⎪≤<⎨

=⎪⎩ 和25()4x t

t R y t

⎧

=⎪∈⎨

⎪=⎩，它们的交点坐标为

____(1,_______. 13（2000北京、安徽理）（4）曲线1=xy 的参数方程是 D

A ⎪⎩

⎪⎨⎧

==-.

,

21

21

t y t x B ⎩⎨⎧==.csc ,sin ααy x C ⎩⎨⎧==.sec ,cos ααy x D ⎩⎨⎧==.cot ,tan ααy x 14 （2010上海）16.直线l 的参数方程是x=1+2t

()y=2-t t R ⎧∈⎨

⎩

，则l 的方向向量是d 可以是 【答】

（C ） A(1,2) B(2,1) C(-2,1) D(1,-2) 解析：直线l 的一般方程是052=-+y x ，2

1

-

=k ，所以C 正确 15 (2010湖南)3．极坐标方程cos ρθ=和参数方程1,

23x t y t =--⎧⎨=+⎩

（t 为参数）所表示的图形分别是A

A ．圆、直线

B ．直线、

C ．圆、圆

D ．直线、直线

16 （2010广东）15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为______________．

解法1】两条曲线的普通方程分别为2

2

2,1x y y x +==-．解得1,

1.x y =-⎧⎨=⎩

由cos ,sin x y ρθρθ

=⎧⎨

=⎩得点(1,1)-

的极坐标为3)4π

．