小学奥数—高斯求和
小学四年级奥数高斯计算
• 其中1是首项为1末项为100公差为1的等差数列；2是首项为 1末项为99公差为2的等差数列；
• 3是首项为8末项为71公差为7的等差数列
• 由高斯的巧算方法得到等差数列的求和公式：
• 和=首项+末项×项数÷2
练习题
1、101+102+103+104+…+198+199= 2、 1＋2＋3＋…＋1999＝ 3、19+20+21+…+84= 4、82+83+78+79+80+81+77+84= 5、67+66+65+64+…+3+2+1= 6、6+7+8+9+...+75= 7、100+99+98+...+61+60= 8、11+12+13+14+...+79+80=
数列
• 小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单快捷并且广泛 地适用于等差数列的求和问题
•
若干个数排成一列称为数列数列中的每一个数称为一项
其中第一项称为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相
等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差例如：
• 112345…100；
• 213579…99；
• 3815222936…71
卡尔·弗里德里希·高斯
高斯的办法
• 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人
• 高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发 现：
•
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
三年级奥数高斯求和
高斯求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。
练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
小班奥数(1 高斯求和 )
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数思维训练第二讲《高斯求和》
奥数思维训练·第二讲姓名：
《高斯求和》
一、高斯求和——等差数列
【例1】1+2+3+4+5+……98+99+100 首项，末项，公差，项数。
=
=
=
我发现：和=
☞我会做：
（1）1＋2＋3＋……＋19＋20首项，末项，公差，项数。
⑵1＋2＋3＋4＋5 ＋…＋49＋50首项，末项，公差，项数。
（3）1＋3＋5＋7＋…＋97＋99
（4）2+4+6+8+……+98+100
我会自己出题：（）
二、先求项数，再求他们的和。
【例2】5＋8＋11＋14＋…＋29＋32 一共有（）项。
首项，末项，公差，项数。
5＋8＋11＋14＋…＋29＋32
=
=
=
我发现：项数=
☞做一做2 先求项数，再计算他们的和。
⑴计算3＋7＋11 ＋…＋43＋47的和
（2）计算5＋10＋15 ＋…＋90＋95＋100的和
（3）计算5+10+15+20+……80的和
我会自己出题：（）
三、温故知新
1.美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？
2.有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？
3. （5+6+7+8+……+30+31）×2。
四年级奥数高斯求和
第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
项数=（末项-首项）÷公差+1。
末项=首项+公差×（项数-1）。
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数-高斯求和
高斯求和一、高斯求和相关定义：若干个数按一定顺序规律排列起来就是一个数列。
如果这个数列中任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。
其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
相邻两个数之间的差称为公差，这数列中数的个数称为项数。
求和公式为： 等差数列的和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）二、例题例1.计算10987654321+++++++++练习 （1） 1917531+++++ （2） 求50以内所有偶数的和。
例2.建筑工地上堆着一些钢管（如图），求这些钢管一共有多少根？练习（1）图中一共有多少个三角形？（2）下图是一垛电线杆的侧面示意图，试计算一下图中共有多少根电线杆？例3.下面一列数是按照一定规律排列的：3,7,11,15，...，95,99.请问：（1）这列数中的第20个数是多少？（2）39是这列数中的第几项？练习：（1）自1开始，每隔三个数数一数，得到数列1,4,7,10......问第100个数是多少？（2）某饭店的餐桌都是能做4人的正方形，如图①所示。
当团体客人在10人以上时，饭店允许客人将餐桌拼成一长条，如图②所示，但每张桌子不能呢个有空位。
问如果团体客人是22人，那么需要几张桌子？例4.计算11+21+31+41+51+61+71+81+91练习：（1）计算：11+13+15+17+19+21+23（2）明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子。
问一共用了多少个棋子？例5.求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。
练习：一个有17项的等差数列，末项为117，公差为7，求这个等差数列的和是多少？例6.如图所示，如果用3根火柴摆成一个等边三角形，用这样的方法，按图中所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边是10根火柴，那么一共放多少根火柴？练习：如图所示是一个五边形点阵，中心是一个点为第一层，第二层每边两个点，第三层每边三个点，第四层每边四个点，一次类推，如果这个五边形点阵共有100层，那么点阵中一共有多少个点？三、课后练习1、下面数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，说明理由。
小学奥数题_高斯求和
《小学奥数教程：高斯求和》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.在关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（）A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天2.现在有100个苹果要分给学生，保证每个学生最少分得一个苹果，并且每个学生分得的苹果数都不相同，则最多可以分给（）个同学。
A. 11B. 12C. 13D. 143.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠．A. 45B. 50C. 55D. 604.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（）A. 100000B. 499000C. 499500D. 5000005.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子．A. 100B. 500C. 1000D. 5050二、判断题6.1+2+3+…+2006的和是奇数．．三、填空题7.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习.当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是________.8.1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15=________²9.一本书，小红第一天读了3页，以后每天都比前一天多读1页，5天后，小红一共读了________页。
10.一堆钢管的最上层有3根，最下层有13根，每相邻两层相差1根，这堆钢管一共有________根。
11.91＋92＋93＋94＋95＝93×________＝________12.1+2+3+4+5+6+7+8+9……+99=________。
13.学校有一只大钟，一时敲1下，2时敲2下……12时敲12下．你知道它一昼夜一共敲________下14.填上合适的数981+982+983+984+985+986+987=984×________=________15.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________ 号．16.1+3+5+7+…+97+99=________ =________ 2．17.1+2+3+4+5+6+7+…+99=________．18.计算：9+17+25+…+177=________．19.100以内的偶数和是________ ．20.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________．21.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2012，去掉的那两个数共有________ 种可能．22.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________ 块．23.9个连续自然数的和是2007，其中最小的自然数是________ ．24.1+2+3+4+5…+2007+2008的和是________ （奇数或偶数）．25.已知：则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________．26.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________ ．27.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________ ．28.1+3+5+…+99=________．29.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________ 个杯子．30.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是________ ．31.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是________ ．四、计算题32.33.想一想，算一算。
四年级奥数：高斯求和
四年级奥数：高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数.根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.练习31.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋ (200)（2）17＋19＋21＋ (39)（3）5＋8＋11＋14＋ (50)（4）3＋10＋17＋24＋ (101)2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和.3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和.4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下.问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和.6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？答案与提示练习31.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780.2.1127. 提示：项数=（93-5）÷4+1=23.3.2565. 提示：末项=13+5×（30-1）=158.4.180次. 解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）.5.1650. 解：2+5+8+…+98=1650.6.45个.提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个.。
小学奥数--高斯求和练习(学生版)
高斯求和练习1、1+2+3+∙∙∙+302、4+7+10+13+16+193、3+6+9+12+15+18+21+24+27+304、3+7+11+15+19+23+27+315、3+5+7+9+∙∙∙+356、2+5+8+11+14+∙∙∙+627、4+7+10+13+∙∙∙∙∙∙（共20项）8、6+10+14+18+∙∙∙∙∙∙（共20项）9、3+8+13+18+∙∙∙∙∙∙（共10项）10、1000-2-5-8-10-14-∙∙∙∙∙∙-62 11、40+41+42+43+∙∙∙+80 12、8+12+16+20+∙∙∙（共20项）13、1000-1-2-3-∙∙∙∙∙∙-40 14、9+16+23+30+37+44+5115、1+4+7+10+13+∙∙∙∙∙∙（共21项）16、1.5.9.13 ∙∙∙∙∙∙求这组的第21项是多少? 17、300-1-2-3-∙∙∙∙∙∙-2018、1+4+7+10+∙∙∙（共20项）19、50-49+48-47+46-45+∙∙∙-3+2-1 20、2000-1-2-3-∙∙∙-40 21、2310-2-4-6-8-∙∙∙-100高斯求和(解决问题）练习题1、在13和25两个数之问插入3个数，使这5个数构成等差数列，你知道插入的3个数分别是多少吗?2、5个连续奇数和是45，求这5个数是多少?3、一个剧场设置了22排座位，第一排有20个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？3、一堆木材叠在一起，一共是20层，第l层有12根，第2层有13根，……下面每层比上一层多1根，这堆木材共有多少根？5、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？6、在10和30两个数之间插入4个数，使这6个数构成等差数列，你知道插入的4个数分别是多少吗?7、有9个连续偶数和是180，求这9个数是多少?8、一个剧场设置了30排座位，第一排有20个座位，往后每排都比前一排多1个座位，这个剧场共有多少个座位?9、小马虎存计算从1加到100的和时，把其中一个数漏掉了，得出的和是5000，请问他把哪个数丢了?10、甲乙二人都住在同一个胡同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数甲住在21号，乙住在193号，甲乙二人的住处相隔多少个门?11、我家在一条短胡同里，这条胡同门牌从1挨着编下去，如果除我家外，其余各家门牌号加起来，减去我家门牌号数，恰好等于100，我家门牌号是几?12、把一些圆柱形铁管按如图的样子摆在一起，如果正好摆了40层，共有多少根铁管?13、一个剧场设置了20排座位。
三年级奥数高斯求和PPT教案
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1＋10+3+4+5+……+99 ＝？
分析与解：这串加数1，2， 3，…，99是等差数列，首项是1， 末项是99，共有99个数。由等差 数列求和公式可得
11+12+13+14+……+27+28+29
例5: 50+58+66+74+82+90+98 ＝？
分析与解：这串加数50，58， 66，74， 82，90，98是公差为8 的等差数列，首项是50，末项是 98，共有7个数。由等差数列求 和公式可得
50+58+66+74+82+90+98
=（50＋98第）8页/共×9页 7÷2
小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单快捷并且广泛地适用于等差数列的求和问题
三年级奥数高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却 很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准 呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都 相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单 快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
最新四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
小学奥数—高斯求和
海青教育一对一个性化教案
二、选择题
1、下面各组数列中，是等差数列的是( )。
A、1、2、3、4、5
B、1、2、4、8、16
C、98、96、98、96
D、1、1、2、3、5、8
2、下面各组数列中，( )和其他三组有区别。
A、5、8、11、14、17
B、50、40、30、20、10
C、40、35、30、25、20
D、5、10、20、40、80
3、下面说法错误的是( )。
A、我们把按一定次序排成列的一列数称为数列。
B、数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
C、数列中第一个数称为这个数列的前项，最后一个数称为后项。
D、一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个数，这个数列叫等差数列。
三、计算：
1、把一些圆柱形铁管按如图的样子摆在一起，如果正好摆了40层，共有多少根
铁管?
2、从1开始，每隔两个数写出一个数来，得到一个数列1、4、7、10、……前100
项的和是多少？
3、已知等差数列3、8、13、18、……问998是这个数列的第几项?。
小学四年级奥数ppt：高斯求和
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相
等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
数列
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷， 并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为
一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判
断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首 项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。
2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24
例4 求首项是25，公差是3的等差数 列的前40项的和。
3.四年级上册奥数高斯求和
四年级秋季尖子班第三讲高斯求和若干个数排成一列，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周，我们将学习“等差数列求和”。
为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项十(项数一1)×公差项数公式：项数=(末项一首项)÷公差十1求和公式：总和=(首项十未项)×项数÷2典例精讲例1 数列1,4,7,10，……的第20项是多少？【思路点拨】由数列的前几项可以看出，这个数列是等差数列。
数列的首项是1，公差是3，根据等差数列的通项公式：第n项=首项十(项数一1)×公差，可以求得第20项。
【详细解答】例2 下列等差数列各有多少项？（1）5,9,13,17，……，89,93（2）2,5,8,11，……，98,101【思路点拨】在（1）中，首项是5，末项是93，公差是4。
所以项数可以根据公式：项数=(末项一首项)÷公差十1求得。
在（2）中，首项是2，末项是101，公差是3。
所以项数可以根据公式：项数=(末项一首项)÷公差十1求得。
【详细解答】例3 求1+2+3+4+……+99+100的和是多少。
【思路点拨】求上面算式的和，其实就是求一个等差数列的和，而在这个数列中，首项是1，末项是100，公差是1，从1到100共有100个数，项数是100，所以这个算是的和可用等差数列求和公式计算。
【详细解答】达标练习1.数列2，7,12,17,22，……的第100项是多少？2.数列1,5,9,13,17，……的第25项是多少？3.某阶梯教室有20排座位，第一排有10个座位，其后每一排都比与它相邻的前一排多2个座位。
这个阶梯教室最后一排有多少个座位？4.下列各等差数列分别有多少项？（1）9,18,27,36，……，261,270（2）5,10,15,20，……，85,90（3）4,7,10,13，……，151,1545.快速算出下列各式的结果。
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考高斯求和公式是小学奥数非常重要也是应用非常多的一个公式，要求学生们必须掌握。
记住公式的同时，还应该了解公式背后的原理，深刻的理解并能够灵活是我们追求的目标，从小就打下坚实的基础。
引言我们先计算一道简单的数学题：1+2+3+4+5=先不要说答案，告诉我你是怎么做的？一个数字一个数字相加吗？没关系，'不管黑猫白猫，能捉老鼠的就是好猫。
'实用最重要！问题升级：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=题目依然简单，可如果还是一个数字一个数字相加就需要有点耐心。
有的人可能会打点其他的注意，比如开始找点捷径。
不管用的什么方法，总之你做出来了，这题目还难不倒你。
问题再再升级：1+2+3+4+5+ (100)这下，似乎有点麻烦了，必须打点其他的注意，我们需要专门为这类题目打造专用工具——高斯求和公式（也叫等差数列求和公式）。
一、高斯求和公式（等差数列求和公式）(1).什么是等差数列？像前面的3组数，都是连续的自然数，他们排列整齐，依次增加或者依次减少，有一种和谐且治愈的美感。
又如：3，6，9，12，15，18；40，38，36，34，32，30，28，26。
第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，数列中数的个数也叫数列的项数。
(2).等差数列求和回头想想引言中的3道等差数列的题目，你们是怎么求和的呢？用的分别是什么思路呢？思路1：简单粗暴的相加，这似乎不叫思路，叫本能。
思路2：找平均数（中间数），选个代表出来，最能代表这组数大小的就是他们的平均数，它往往藏在队伍的最中间。
找到平均数，又知道项数，和=平均数×项数：3×5=15(中间数还有其它的一些妙用，例如日历表中横竖或者3×3正方形中间的数都为这些数的平均数。
)有的细心的同学会问，偶数个数没有中间数怎么办？比如：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=没有代表，我们也要造出一个代表来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海青教育一对一个性化教案
2、甲、乙两数的和是48,甲数是乙数的2倍，甲乙两数各是多少?
3、一班的图书比二班多216本，一班的图书数是二班的3倍，两班各有图书多少本？
4、小娟家到学校共450米，早晨上学，小娟每分钟走75米，下午放学回家时, 小娟
每分钟走50米，求小娟上学和回家平均每分钟走多少米？
5、按规律填数：
①1,1, 2, 3, 5, 8，13, 21, ( )，( )，89
② 1 , 2, 4, 8, 16,( ),( )
6、将一根木头锯成3段要6分钟，如果要锯成6段需要多少分钟?
新课学习——高斯求和
【知识概述】：
1、若干个数按照一定的顺序规律排列起来就是一个数列。
例如：
斐波那契数列：1, 1,2 , 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
2、如果在一个数列中，任意两个相邻的数之间的差都相等，我们把这个数列称为等差数列。
其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
相邻两个数之间的差称为公差
(通常用d表示)，这列数中数的个数称为项数。
3. 等差数列的计算公式:
前n项和：S(a1a n) n 2
项数：n(a n-a1) d 1n 2S (a1 a n) 第n项：a n a1(n--1) d
公差：d a -
n -a1
)
(n -1)
例题1、计算1 + 2+ 3+……+ 99+ 100 (等差数列求和公式的推导)
你会怎么求？J
高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉
为“数学王子”。
200多年前，高斯的算术教师提出了下面
的问题：1 + 2 + 3+…+100=?
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1+ 100) + ( 2 + 99)+……+( 50+ 51)= 101X 50 = 5050
例题2、2 + 4+ 6+ 8+……+ 48+ 50 5 + 10+ 15+ 20 +……+ 45+ 50
练习：(1)计算1 + 2+ 3+……+ 49+ 50
刃计算1 + 3+ 5+ 7+……+ 97+ 99
3时钟在1点钟时敲一下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，以此类推，从1〜12 点钟共敲了几下？
例2、求5 + 8+ 11 + 14+……+ 29+ 32 （如何求项数）
练习：（1）1 + 5+ 9+ 6+ ……+ 33+ 37
2 5 + 10+ 15+……+ 90+ 95+ 100
3丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个, 最后一天学会了26个。
丹丹在这些天中共学会了多少个单词？
例3、有一列数按如下规律排列：10、17、24、31、……这列数中前80个数的和是多少？（如何求第n项的值）
练习：① 有一列数按如下规律排列：5、9、13、17、……这列数中前24个数的和是多少？
2 一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2 个座
位，这个剧场共有多少个座位？
3银星电影院共有座位630个，已知第一排有座位18个，最后一排有52个，而且每
相邻两排相差的座位数相等，那么相邻的两排相差多少个座位？（求什么）
课后作业:
【基础知识】
（1）我们把按一定次序排成的一列数称为（）。
数列中的每一个数都叫做这个数列的（）。
其中第一个数称为这个数列的（），通常也叫做（），最后一个数也就是最后一项，称为（）。
项的个数称为（）。
（2）对于一个从小到大或从大到小排列的数列，如果相邻两项之差都相等，则称此数列为（），相邻两项之差称为（）。
⑶3、7、11、15、19、23、27、31、35。
在这个数列中，首项是（
），
末项是（），项数是（），公差是（）。
、找规律填数
（1） 4、11、18、25、（（4）1、6、11、16、（
（5）2、4、6、8、10、…、（
）、（））、（）……
）、2002……
下面各组数列中，（ 5、8、11、14、17 B 40、
35、30、25、20 D 下面说法错误的是（
）和其他三组有区别。
、50、40、30、20、10 、5、10、20、40、80 ）
°B 数列中的每一个数都叫做这个数列的项
C 数列中第一个数称为这个数列的前项，最后一个数称为后项。
D —个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个数，这个数列叫 等差数列。
三、计算：
1、把一些圆柱形铁管按如图的样子摆在一起，如果正好摆了
40层，共有多少根
铁管？
2、从1开始，每隔两个数写出一个数来，得到一个数列
1、4、7、10、……前100
项的和是多少？
1、 下面各组数列中， 是等差数列的是 A 1、
2、
3、
4、5 B 、1、2、 C 98、96、98、96 D 、1、
、选择题
( 4、 2、 8、 3、
16 5、8 2、 A C 3、 我们把按一定次序排成列的一列数称为数列
3、已知等差数列3、8、13、18、……问998是这个数列的第几项？
4、求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和
5、把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数
都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
6、把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何
分？
7、下表是一个数字方阵，求表中所有数之和
1, 2, 3 , 4 , 5 , 6 …•…98 , 99 , 100
2, 3, 4 , 5 , 6 , 7 …•…99 , 100 , 101
3, 4, 5 , 6 , 7 , 8 …•…100 , 101, 102
100,101,102,103,104,105 ……197, 198, 199。