2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线文科(word-解析版)

2017年高考试题分类汇编之解析几何（文）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2017课表I 文）已知F 是双曲线:C 1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是)3,1(，则APF ∆的面积为（ ）.A 13.B 1 2.C 2 3.D 3 2【解答】解：由双曲线C ：x 2﹣=1的右焦点F （2，0），PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y=3， 则P （2，3），∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨=1，丨PF 丨=3， ∴△APF 的面积S=×丨AP 丨×丨PF 丨=， 同理当y ＜0时，则△APF 的面积S=， 故选D ．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．2.（2017课标II 文）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）.A 2,)+∞ .B 2,2) .C 2) .D (1,2) 【分析】利用双曲线方程，求出a ，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可．【解答】解：a ＞1，则双曲线﹣y 2=1的离心率为：==∈（1，）．故选：C ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3.（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）.A 133.B 53.C 23.D 59【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4.（2017课标II 文）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为（ ）.A 5 .B 22 .C 23 .D 33【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），且斜率为的直线：y=（x ﹣1），过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 可知：，解得M （3，2）．可得N （﹣1，2），NF 的方程为：y=﹣（x ﹣1），即，则M 到直线NF 的距离为：=2．故选：C ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．5.（2017课标I 文）设B A ,是椭圆:C 2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120=∠AMB ，则m 的取值范围是（ ）.A (0,1][9,)+∞U .B (0,3][9,)+∞U .C (0,1][4,)+∞U.D (0,3][4,)+∞U【分析】分类讨论，由要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，当假设椭圆的焦点在x 轴上，tan ∠AMO=≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，tan ∠AMO=≥tan60°=，即可求得m 的取值范围．【解答】解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则0＜m ＜3时，假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°， ∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO=≥tan60°=，解得：0＜m ≤1；当椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°， ∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO=≥tan60°=，解得：m ≥9，∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．6.（2017课标III 文）已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a ，的左、右顶点分别为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A 6 .B 3 .C 2 .D 13【分析】以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a ，化简即可得出．【解答】解：以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2．∴椭圆C 的离心率e===．故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.（2017天津文）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）.A 221412x y -= .B 221124x y -= .C 2213x y -= .D 2213y x -=【分析】利用三角形是正三角形，推出a ，b 关系，通过c=2，求解a ，b ，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点）， 可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）8. （2017天津文）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为______________________．【分析】根据题意可得F （﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA 的值，可得圆心C 的坐标以及圆的半径，从而求得圆C 方程．【解答】解：设抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），准线l ：x=﹣1，∵点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切与点A ， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A （0，），如图所示：∴C （﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x +1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．9. （2017北京文）若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数=m ___________________．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 【解答】解：双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为，可得：，解得m=2． 故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10. （2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于B A ,两点,若OF BF AF 4=+，则该双曲线的渐近线方程为【分析】把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y 2﹣2pb 2y +a 2b 2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出． 【解答】解：把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y 2﹣2pb 2y +a 2b 2=0， ∴y A +y B =，∵|AF |+|BF |=4|OF |，∴y A +y B +2×=4×， ∴=p ， ∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x ．故答案为：y=±x ．【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．.11.（2017课标III 文）双曲线22219x y a -=)0(>a 的一条渐近线方程为35y x =，则=a . 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a 即可． 【解答】解：双曲线（a ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得，解得a=5．故答案为：5．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12.（2017江苏） 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积． 【解答】解：双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x ，所以P （，），Q （，﹣），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13.（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤ 则点P 的横坐标的取值范围是 .【分析】根据题意，设P （x 0，y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x +y +5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P （x 0，y 0），则有x 02+y 02=50，=（﹣12﹣x 0，﹣y 0）•（﹣x 0，6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y +x 02+y 02≤20，化为：12x 0﹣6y 0+30≤0，即2x 0﹣y 0+5≤0，表示直线2x ﹣y +5=0以及直线上方的区域， 联立，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x 0、y 0的关系式．三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）14.（2017课标I 文）设B A ,为曲线4:2x y C =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．【分析】（1）设A（x1，），B（x2，），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；（2）设M（m，），求出y=的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1，x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y=联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y=上两点，则直线AB的斜率为k==（x1+x2）=×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y=的导数为y′=x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM=﹣1，即为•=﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．15.（2017课标II 文）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆:C 2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM NP 2=.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1=⋅PQ OP .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【分析】（1）设M （x 0，y 0），由题意可得N （x 0，0），设P （x ，y ），运用向量的坐标运算，结合M 满足椭圆方程，化简整理可得P 的轨迹方程； （2）设Q （﹣3，m ），P （cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m ，即有Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．【解答】解：（1）设M （x 0，y 0），由题意可得N （x 0，0）， 设P （x ，y ），由点P 满足=．可得（x ﹣x 0，y ）=（0，y 0）， 可得x ﹣x 0=0，y=y 0，即有x 0=x ，y 0=，代入椭圆方程+y 2=1，可得+=1，即有点P 的轨迹方程为圆x 2+y 2=2； （2）证明：设Q （﹣3，m ），P （cosα，sinα），（0≤α＜2π）， •=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m ﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos 2α+msinα﹣2sin 2α=1，当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π， 解得m=，即有Q （﹣3，），椭圆+y 2=1的左焦点F （﹣1，0）， 由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16.（2017课标III 文）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于B A ,两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现BC AC ⊥的情况？说明理由；（2）证明过C B A ,,三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【分析】（1）设曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），运用韦达定理，再假设AC ⊥BC ，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；（2）设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0），由题意可得D=m ，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y 轴的交点，进而得到弦长为定值． 【解答】解：（1）曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A 、B 两点， 可设A （x 1，0），B （x 2，0）， 由韦达定理可得x 1x 2=﹣2， 若AC ⊥BC ，则k AC •k BC =﹣1， 即有•=﹣1，即为x 1x 2=﹣1这与x 1x 2=﹣2矛盾， 故不出现AC ⊥BC 的情况；（2）证明：设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）， 由题意可得y=0时，x 2+Dx +F=0与x 2+mx ﹣2=0等价， 可得D=m ，F=﹣2，圆的方程即为x 2+y 2+mx +Ey ﹣2=0，由圆过C （0，1），可得0+1+0+E ﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x 2+y 2+mx +y ﹣2=0，另解：设过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的交点为H （0，d ）， 则由相交弦定理可得|OA |•|OB |=|OC |•|OH |， 即有2=|OH |，再令x=0，可得y 2+y ﹣2=0， 解得y=1或﹣2．即有圆与y 轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．17.（2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a 的离心率为22,椭圆C截直线1=y 所得线段的长度为22. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线)0(:≠+=m m kx y l 交椭圆C 于B A ,两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为NO . 设D 为AB 的中点，DF DE ,与圆N 分别相切于点F E ,，求EDF ∠的最小值.【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C 过点（，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D 、N 坐标及⊙N 半径，进而将DN 长度表示出来，可求∠EDF 最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C 的离心率为，∴=，a 2=2b 2，∵椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为2， ∴椭圆C 过点（，1），∴+=1，∴b 2=2，a 2=4， ∴椭圆C 的方程为+=1．（Ⅱ）设A ，B 的横坐标为x 1，x 2， 则A （x 1，kx 1+m ），B （x 2，kx 2+m ），D （，+m ），联立可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4=0，∴x 1+x 2=﹣， ∴D （﹣，），∵M （0，m ），则N （0，﹣m ）， ∴⊙N 的半径为|m |， |DN |==，设∠EDF=α， ∴sin====，令y=，则y′=，当k=0时，sin取得最小值，最小值为．∴∠EDF 的最小值是60°．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求解．18.（2017天津文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为.22b（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my ﹣c （m ＞0），则直线FP 的斜率为．通过a=2c ，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx ﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19.（2017北京文）已知椭圆C 的两个顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，焦点在x 轴上，离心率为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点N M ,，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为5:4．【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c ，则b 2=a 2﹣c 2=1，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）由题意分别求得DE 和BN 的斜率及方程，联立即可求得E 点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得=，因此可得△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程：（a ＞b ＞0），则a=2，e==，则c=，b 2=a 2﹣c 2=1， ∴椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：设D （x 0，0），（﹣2＜x 0＜2），M （x 0，y 0），N （x 0，﹣y 0），y 0＞0， 由M ，N 在椭圆上，则，则x 02=4﹣4y 02，则直线AM 的斜率k AM ==，直线DE 的斜率k DE =﹣，直线DE 的方程：y=﹣（x ﹣x 0），直线BN的斜率k BN=，直线BN的方程y=（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则丨EH丨=，则=，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．20.（2017江苏） 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为.8点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标； 方法二：设P （m ，n ），当m ≠1时，=，=，求得直线l 1及l 1的方程，联立求得Q 点坐标，根据对称性可得=±n 2，联立椭圆方程，即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c ，① 椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1， 则b 2=a 2﹣c 2=3， ∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P （x 0，y 0），则直线PF 2的斜率=，则直线l 2的斜率k 2=﹣，直线l 2的方程y=﹣（x ﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．21.（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PQ PA ⋅的最大值．【分析】（Ⅰ）通过点P 在抛物线上可设P （x ，x 2），利用斜率公式结合﹣＜x ＜可得结论； （Ⅱ）通过（I ）知P （x ，x 2）、﹣＜x ＜，设直线AP 的斜率为k ，联立直线AP 、BQ 方程可知Q 点坐标，进而可用k 表示出、，计算可知|PA |•|PQ |=（1+k ）3（1﹣k ），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP==x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）=，即|PA|•|PQ|的最大值为．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。