第1章 离散时间信号与系统 - (简化版)

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前 言 现代数字信号处理: 在传统数字信号处理理论基础之上，基于概率统 计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵 计算等理论进行研究，处理的信号通常是离散时间随 机过程，且系统可能是时变、非线性的。
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前 言－数字信号处理理论与算法 数字信号处理理论（theory）：
个参数，需要 M 个延时器和 M 次乘法。
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x (n)
p0 (n)
k1 k1
p1 (n)
p2 (n)
k2
pM -1 (n)
pM ( n )
kM
y ( n)

k2 kM
z 1
z 1
z 1
q0 (n)
q1 (n)
q2 (n)
qM -1 (n)
qM ( n )
全零点滤波器的格型结构
1. 离散时间信号的定义 信号可分为连续时间信号和离散时间信号。 离散时间信号是指信号值仅在某些离散时刻有 定义，而在其他时间无定义的信号。 离散时间信号可以通过对一个连续时间信号在 时间上采样获得。
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f c (t )

Ts

0
Ts
2Ts
3Ts
4Ts
t
fd (n) = fc (nTs )
z 1
q1 (n)
z 1 q2 ( n )
qM -1 (n)
qM ( n )
M PM ( z ) M = B ( z ) = 1 + å bi( ) z-i H ( z) = P0 ( z ) i =1
对任意的m阶滤波器
m Pm ( z ) m = 1 + å bi( ) z-i Bm ( z ) = P0 ( z ) i =1
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前 言
本课程特点： 1、基本概念和基本理论讲清楚、讲透； 2、注重理论算法与具体的工程应用相结合； 3、适当介绍近年来发展的新理论新方法； 4、对信号的时域处理理论重点介绍，空域处理理 论 集中介绍。
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前 言 教材：
现代数字信号处理及其应用；何子述，夏威等；清华大学 出版社
b0 +b1z-1 ++bM z-M 对于由 H ( z) = -1 -N 所描述的系统，有 1+ a1z ++ aN z

y ( n)
bM 1
bM
z 1
b0
z 1
b1
z 1


z 1
a1
aM 1

aM

aN
f (n)
N阶系统的直接型方框图
P m ( z) = P m-1 ( z) + km z Qm-1 ( z)
-1
Bm ( z ) = Pm ( z ) / P0 ( z ) Cm ( z ) = Qm ( z ) / Q0 ( z )
P0 ( z) = Q0 ( z) = X ( z)
Bm ( z ) = Bm-1 ( z ) + km z-1Cm-1 ( z )
m = 1, 2,, M
m = 1,2,, M
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p 0 (n ) = q 0 (n ) = x (n )
y (n ) = pM (n )
pm (n ) = pm-1 (n ) + km qm-1 (n - 1)
qm (n) = km pm-1 (n) + qm-1 (n -1)
-1 Qm ( z) = km P z + z Qm-1 ( z) ( ) m-1
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特征值
特征函数
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如果 f (n) 可以表示为复指数信号 z kn 的线性组合，即
f (n ) =
k =- ¥
å
¥
a k z kn
系统的线性特性
信号 f (n)通过冲激响应为h(n) 的LTI系统的输出信号 为
y ( n) =
k =-¥
å
¥
n ak H ( zk ) zk
如何将离散时间信号表示为复指数信号的线性组合形式？
g (n) f (n) r-n
选择适当的正实数 r ，可使 g (n) 绝对可加，它的傅 里叶变换存在，表示为
G (w ) =
n =-¥
å
¥
g (n ) e
- jw n
=
n =-¥
å
¥
f (n )(re
-n
jw - n
)
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f (n) 的z变换： F ( z) =
n=-¥
å
¥
f (n) z
非实时实现（ not real-time implementation ）：
用高级计算机语言，在通用计算机上实现的信号处理理论 和算法；通常是对信号事后分析与仿真；如对采集的接收 数据进行特征分析，参数提取与估计等。
实时实现（ real-time implementation ）：
用数字信号处理器或专用数字器件对信号进行实时处理， 如： DSP processor (TI, AD)； FPGA/CPLD；专用器件； 或通用计算机等。
rxy (m) =
n =-¥
å
¥
x (n) y * (n - m) =
n =-¥
å
¥
x (n) y * éë-(m - n)ùû
= x (m) * y * (-m)
x(n) 和y(n) 的互相关函数就是 x(n) 与 y(n)的共轭
对称信号的卷积！
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1.2 离散时间信号与系统的傅里叶分析 1.2.1 复指数信号通过LTI系统的响应
f (n) = a1 f1 (n) + a2 f 2 (n)，对于线性系统有
y (n) = M éëa1 f1 (n) + a2 f2 (n)ùû = a1 y1 (n) + a2 y2 (n)
时不变系统
叠加原理
f 2 (n) = f1 (n - n0 ) ，对时不变系统有 若 y1 (n) = M éë f1 (n)ùû ，
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1.2.2 离散时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换
周期为 N 的离散时间信号f (n) ，其傅里叶级数表示为 傅里叶变换 傅氏级数 ： f (n ) =
1 傅氏系数 ：ak = N
k =< N >
å
ak e jk w0 n
f (n ) e- jk w0 n
f (n) e- jwn
n=-¥
å
¥
对于功率信号 x (n ) 和 y (n ) ，它们的互相关函数定 义为
N 1 * rxy (m ) lim x n y n - m) ( ) ( å N ¥ 2 N + 1 n =- N
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当 x(n) = y(n)，上述定义的互相关函数变成自相 关函数。 根据卷积的定义，能量信号的相关函数可表示为
根据从工程实际中抽象出的信号模型和系统模型，用数学 理论进行严格证明得到的定理等结论。
数字信号处理算法(algorithm)：
为高速或高效实现某种数字信号处理理论，所采用的计算 方法或计算技巧。
例：DFT是理论；FFT是实现DFT的计算技巧，属算法。
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前
言－数字信号处理的实现
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基本单元：
pm-1 (n)
pm ( n )
km km
z 1
qm-1 (n)
qm (n)
全零点滤波器格型结构的基本单元
pm (n) = pm-1 (n) + km qm-1 (n -1)
qm (n) = km pm-1 (n) + qm-1 (n -1),
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y2 (n) = M éë f1 (n -n0 )ùû = y1 (n -n0 )
同时满足线性和时不变性的系统为线性时不变系统！
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1.1.5 离散时间信号相关函数及卷积表示
对于能量信号x (n) 和 y (n) ，它们的互相关函数定 义为
rxy (m)
取共轭 x ( n ) y * ( n - m)
f d ( n)

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1
0
1 2
3
4
n
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2. 离散时间信号的分类 根据不同的信号特征可获得多种信号分类方法。 确定信号与随机信号 实信号与复信号 离散时间周期信号与非周期信号 能量信号与功率信号
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1.1.3 离散时间系统定义及LTI特性
现代数字信号处理及其应用
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前 言
数字信号处理（DSP，Digital Signal Processing）： 用数字计算机或其它专用数字设备，以数值计算的方式对离 散时间信号进行分析、处理。 传统数字信号处理 :
主要针对线性时不变离散时间系统，用卷积、离散时间傅里 叶变换、z变换等理论对确定信号进行处理。
(1)
Cm ( z) = km Bm-1 ( z) + z-1Cm-1 ( z)
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(2)
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分别令 m =1,2,3,, M ，递推可发现（教材）
Cm ( z ) = z-m Bm ( z-1 )
代入式(1)，有
Bm ( z) = Bm-1 ( z) + km z-m Bm-1 ( z-1 )
F (w ) e j w n d w
N ¥
n =< N >
å
¥
傅氏变换 ： F (w) =
n=-¥
å
1 傅氏逆变换 ： f (n) =
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f (n)¬¾ F (w )

2p ò 2 p
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1.3 离散时间信号的z变换 1.3.1 z变换的概念
对任一离散时间信号 f (n) ，定义信号 g (n) 为
1 n-1 逆z变换：f (n ) = F z z dz ( ) ò 2p j
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f (n ) 与其z变换 F ( z ) 的关系可表示为如下形式
f (n)¬¾ F ( z)

为保证z变换收敛，应当选择 r 以满足
n=-¥
å
¥
f (n) r-n < ¥
由于 z = re jw，将使 F ( z ) 收敛的z的取值范围（或 r 的取值范围）称为z变换的收敛域。
z = re 19
jw
根据离散时间傅里叶逆变换，信号 g (n) 可表示为 2p 1 jw n g (n) = G w e dw ( ) ò 2p 0
g ( n ) = f ( n ) r -n
2p 1 jw n f (n) = G (w )(re ) d w ò 2p 0 z = re jw d z = jz d w
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1.5 离散时间系统的格形结构 1.5.1 全零点滤波器的格型结构
ห้องสมุดไป่ตู้一个 M 阶的全零点系统的转移函数可表示为
H ( z ) = B ( z ) = 1 + å bi( ) z -i
M i =1 M
bi( ) ：M 阶系统的第 i 个系数 。
M
H ( z) 的直接实现形式有 b ( M ) , , b ( M ) 共 M 1 M
k i ：反射系数。
H ( z) 的格型结构中也有 M 个参数 k 1 , , k M ，
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需要 M 个延时器和2M 次乘法。
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x (n)
p0 (n)
k1 k1
p1 (n)
p2 (n)
k2
pM -1 (n)
pM ( n )
kM
y (n)

k2 kM
z 1
q0 (n)
离散时间系统是用于处理、传输离散时间信号 的物理装置，在数学上可表示为输入信号与输出信 号之间的一种映射关系。
y (n) = M éë f (n)ùû
输入信号
f (n)
输出信号
y (n)
M [ ]
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线性系统
y2 (n) = M éë f2 (n)ùû ， 若 y1 (n) = M éë f1 (n)ùû ， a 1和 a 2 是常数，且
参考资料：
1. Simon Haykin. “Adaptive Filtering Theory”； 2. 张贤达. 《现代信号处理》, 清华大学出版社.
习题：解答题；仿真题 考试：开卷笔试； 考查：完成习题；
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助教：
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第1章 离散时间信号与系统
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8
1.1 离散时间信号与系统基础 1.1.1 离散时间信号的定义与分类
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注意：当收敛域包含单位圆时 F (w ) = F ( z ) |z=e
jw
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1.3.4 离散时间系统的方框图和信号流图表示
系统的方框图实现，是指用一些基本的功能部件 ，经过合适的相互连接，以实现差分方程或系统函 数描述的系统功能。 加法器 基本实现部件 乘法器 延时器
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复指数信号 f (n ) = z0n 通过冲激响应为 h(n) 的LTI 离散时间系统，系统响应为
y (n) = f (n) * h(n) =
m=-¥
å
¥
h(m) f (n - m) = z
H ( z0 )
n 0
m=-¥
å
¥
-m h(m) z0
m =-¥
å
¥
-m h ( m ) z0
n y (n) = H ( z0 ) z0