第1章 离散时间信号与系统 - (简化版)
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1第一章 离散的时间信号与系统
=sin[(4π/3)(n+6k/4)]，
所以 p= 2kπ / ω0= 6k/4， 取k=2，得到p的最小正周期数即x(n) 的周期为N=3。
数字信号处理 第1章 ©2004
1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列 (n) 表示成加权和的形式，即
x ( n)
许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列 全体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予 区分。
数字信号处理 第1章 ©2004
1.1.2 序列的基本运算
1. 序列的加减 序列的加减指将两序列序号相同的 数值相加减，即
y(n) x1(n) x 2(n)
示例见下
数字信号处理 第1章 ©2004
（3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n)
2 n 解： （ ）y1(n) x 2(n) 1 0 3 ( n 5) (2) y 2(n) x1(n 5) 0 5 （3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n) 5 3n 3 2n
余弦与正弦序列示意图如下：
数字信号处理 第1章 ©2004
1.1.4 序列的周期性
若虚列x(n) 满足 x(n)=x(n+N) n ， 且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为 以N为周期的周期序列。 下图为周期序列示意图
数字信号处理 第1章 ©2004
按周期序列的定义，对正弦序列 x(n)=sin(ω0n+υ)，因为
数字信号处理 第1章 ©2004
* 序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等
间隔的插入L个新的样点，从而变成 一个具有更多样点的新序列。
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
1第一章-离散时间信号与系统
2
2
1 Px N
2 | x ( n ) |
n
x ( n)
n
x ( n)
x(n) Bx
离散时间信号重点掌握内容： 1 连续、离散、模拟、数字的异同
2 离散序列的表示方法: x(n)
3 最常见的三种典型序列:单位脉冲、单位阶跃、矩形
x[m]h[n m]
m
m
x[n] * h[n]
y[n] x[n] h[n]
牢记该式，并 深刻领会！
通常把上式称为离散卷积或线性卷积。 这一关系常用符号“*”表示：
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
LTI系统
h(n)是系统特性的表征，滤波器设计本质上就是 找合适的h(n)。
3. LTI系统的运算性质（卷积运算性质)
LTI系统对任意输入的响应是一种卷积运算，满 足以下运算规律： 3.1 交换律
y ( n)
m
x ( m) h ( n m) x ( n ) h ( n ) h ( m) x ( n m ) h ( n ) x ( n )
课后思考！ 解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[kn]产生的输出信号T{x[kn]}为 T{x[kn]}= x[Mkn] 由于 x[Mkn] y[kn] 故系统是时变的。
x1[k ]
1 2
3
4
5
6
5 3
k
2 3 4 5
1 -1 0 1 2
而 ay1(n)+by2(n) = a[5x1(n)+3]+b[5x2(n)+3] = 5 ax1(n) + 5bx2(n)+3(a+b)
2
1 Px N
2 | x ( n ) |
n
x ( n)
n
x ( n)
x(n) Bx
离散时间信号重点掌握内容： 1 连续、离散、模拟、数字的异同
2 离散序列的表示方法: x(n)
3 最常见的三种典型序列:单位脉冲、单位阶跃、矩形
x[m]h[n m]
m
m
x[n] * h[n]
y[n] x[n] h[n]
牢记该式，并 深刻领会！
通常把上式称为离散卷积或线性卷积。 这一关系常用符号“*”表示：
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
LTI系统
h(n)是系统特性的表征，滤波器设计本质上就是 找合适的h(n)。
3. LTI系统的运算性质（卷积运算性质)
LTI系统对任意输入的响应是一种卷积运算，满 足以下运算规律： 3.1 交换律
y ( n)
m
x ( m) h ( n m) x ( n ) h ( n ) h ( m) x ( n m ) h ( n ) x ( n )
课后思考！ 解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[kn]产生的输出信号T{x[kn]}为 T{x[kn]}= x[Mkn] 由于 x[Mkn] y[kn] 故系统是时变的。
x1[k ]
1 2
3
4
5
6
5 3
k
2 3 4 5
1 -1 0 1 2
而 ay1(n)+by2(n) = a[5x1(n)+3]+b[5x2(n)+3] = 5 ax1(n) + 5bx2(n)+3(a+b)
第1章 离散时间信号与系统
杨毅明
第1章 离散时间信号与系统 章
从频率的角度看采样信号： 从频率的角度看采样信号： 书上12页 书上 页。
1 ∞ ˆ X a ( Ω ) = ∑ X a ( Ω − mΩ s ) T m = −∞
杨毅明
第1章 离散时间信号与系统 章
（2）窄脉冲的方法，这个窄脉冲是周期矩形脉冲。 ）窄脉冲的方法，这个窄脉冲是周期矩形脉冲。
实际采样的过程是采样、量化和编码。 实际采样的过程是采样、量化和编码。 采样的数学表示方法： 采样的数学表示方法： （1）周期脉冲函数的方法， ）周期脉冲函数的方法，
ˆ xa (t ) = x a (t ) M (t ) ∞ M (t ) = ∑ δ (t − nT ) n = −∞
典型的数字信号处理系统的采样频率可以略大于采样定理 的采样频率。为什么？ 的采样频率。为什么？
杨毅明
第1章 离散时间信号与系统 章
从离散时间信号恢复模拟信号： 从离散时间信号恢复模拟信号： 如果用理想的低通滤波器，可以恢复原来的模拟信号。 如果用理想的低通滤波器，可以恢复原来的模拟信号。
但是，从时间的角度看， 但是，从时间的角度看，内插公式和内插函数都说明理想 滤波器是不可能实现的。 滤波器是不可能实现的。
H ( z) =
n = −∞
∑ h(n)z
∞
−n
对系统的卷积公式做z变换时，也可以得到系统的系统函数： 对系统的卷积公式做 变换时，也可以得到系统的系统函数： 变换时
例如， 例如，设y(n)=x(n)+x(n-10)，请你计算输入信号 ，请你计算输入信号x(n)=R4(n) 时的输出信号y(n)。 。 时的输出信号 当输入是一段声音时，怎样利用差分方程， 当输入是一段声音时，怎样利用差分方程，让输出变为两 个声音。假设人耳能辨别的时间差是 毫秒。 个声音。假设人耳能辨别的时间差是100毫秒。 毫秒
1_离散时间信号与系统概论
第一章 离散时间信号与系统 (Discrete - time signal and system)
• 离散时间信号----序列 • 连续时间信号的采样 • 离散时间系统
1
1.2 离散时间信号—序列
• 离散时间信号的定义、表示 •序列的运算 •常用的序列 •序列的周期性 •序列的能量
2
一、离散时间信号---序列的定义与表示
x(n) x(n N ) n 则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。
思考：
x(n)
sin(
n)
sin[
(n
8)]
4
4
20
讨论一般正弦序列的周期性
x(n) Asin(0n )
x(n N ) Asin[0(n N ) ] Asin(0n 0N ) ，2n)即，k，x即(Nnx()，n为)k为为周周整期期数为为，N则 且N的的要 k则且的周求要k取的期期求值取序 0序N保值列0列 N证保2N证k2是， Nk最是即，小最N即的 小N 的正20正整2k0整，数k，数N，N，k为k 0
y(n)在某一个n0上的值等于n0上的值以及 n0以 前的所有n值上的x(n)的和。
9
7.差分运算 前向差分（先左移后相减）：
x(n) x(n 1) x(n)
后向差分（先右移后相减）：
x(n) x(n) x(n 1) x(n) x(n 1)
10
8.尺度变换
（1）抽取：x(n)
x(Dn), D为正整数，表示从
17
5.复指数序列 complex exponent sequence
① 实、虚部 x(n) Ae( j)n
x(n) Ae jn
为数字域频率。
② 极坐标
x(n) Ae jn | x(n) | e j arg[x(n)]
• 离散时间信号----序列 • 连续时间信号的采样 • 离散时间系统
1
1.2 离散时间信号—序列
• 离散时间信号的定义、表示 •序列的运算 •常用的序列 •序列的周期性 •序列的能量
2
一、离散时间信号---序列的定义与表示
x(n) x(n N ) n 则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。
思考：
x(n)
sin(
n)
sin[
(n
8)]
4
4
20
讨论一般正弦序列的周期性
x(n) Asin(0n )
x(n N ) Asin[0(n N ) ] Asin(0n 0N ) ，2n)即，k，x即(Nnx()，n为)k为为周周整期期数为为，N则 且N的的要 k则且的周求要k取的期期求值取序 0序N保值列0列 N证保2N证k2是， Nk最是即，小最N即的 小N 的正20正整2k0整，数k，数N，N，k为k 0
y(n)在某一个n0上的值等于n0上的值以及 n0以 前的所有n值上的x(n)的和。
9
7.差分运算 前向差分（先左移后相减）：
x(n) x(n 1) x(n)
后向差分（先右移后相减）：
x(n) x(n) x(n 1) x(n) x(n 1)
10
8.尺度变换
（1）抽取：x(n)
x(Dn), D为正整数，表示从
17
5.复指数序列 complex exponent sequence
① 实、虚部 x(n) Ae( j)n
x(n) Ae jn
为数字域频率。
② 极坐标
x(n) Ae jn | x(n) | e j arg[x(n)]
第一章 离散时间信号与系统
单位采样序列
1.1 离散时间信号 2、单位阶跃序列u(n)
1 n 0 u( n) 0 n 0
u (n ) 1 … n 0 1 2 3
δ(n)与u(n)之间的关系：
δ(n)= u(n)- u(n-1)
u( n) d ( n m )
k 0
1.1 离散时间信号 3、矩形序列RN(n)
x(n) = sin(ωn)
因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此 得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为 ω ＝ΩT ω ＝Ω/fs
表示凡是由模拟信号采样得到的序列， 模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成
线性关系
1.1 离散时间信号 6、复指数序列
x(n) = e x(n)=e
(σ+jω0)n
1.1 离散时间信号
二、序列的运算 序列的基本运算：序列移位(左,右)、加法、乘法、翻转、尺度 变换及卷积等。 1.乘法和加法
序列之间的乘法和加法，
是指它的同序号的序列值
逐项对应相乘和相加，如
图所示。
1.1 离散时间信号
2. 移位、翻转及尺度变换
x(n+n 0 ) 表示 x(n) 左移 n 0 单 位,x(n)的超前序列；
x ( n) sin( ( n 8)) 4
x(n)是周期为8的周期序列。
1.1 离散时间信号
一般正弦序列的周期性 设： x(n)=Asin(ω0n+φ) x(n+N) = Asin(ω0(n+N)+φ) = Asin(ω0n+ω0N+φ) 如果：x(n+N)= x(n)，要求:ω0N =2k N = (2π/ω0)k，k的取 值要保证N是最小的正整数。 当2/ω为整数时，令k=1，序列x(n)的周期为N= 2π/ω0 ； 当2/ω为有理数时，k总能取到一个整数，使周期N=2k/ω为
离散时间信号与系统
右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：
与
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的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面 举例说明。
x(n)]
序列的单位脉冲序列表示
x(n) x(m) (n m) m 精品资料网
系统分类
线性(Linearity)
T{ax1[k] bx2[k]} aT{x1[k]} bT{x2[k]}
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
结论：N1N3 k N4N2
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实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
xe
(n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo
(n)
1 2
[x(n)
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56
x1[k] 3 4
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
5 3 1
-1 0 1 2
y1[k] x1[2k] k
34 5
6
x2 [k ]
ห้องสมุดไป่ตู้
x1[k
1]
3
4
5
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5 56
x3[k] x1[k 2]3 4
n
x[n]h[k n]
n
x[k]*h[k]
y[k ] x[k ]* h[k ]
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与
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的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面 举例说明。
x(n)]
序列的单位脉冲序列表示
x(n) x(m) (n m) m 精品资料网
系统分类
线性(Linearity)
T{ax1[k] bx2[k]} aT{x1[k]} bT{x2[k]}
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
结论：N1N3 k N4N2
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实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
xe
(n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo
(n)
1 2
[x(n)
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56
x1[k] 3 4
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
5 3 1
-1 0 1 2
y1[k] x1[2k] k
34 5
6
x2 [k ]
ห้องสมุดไป่ตู้
x1[k
1]
3
4
5
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5 56
x3[k] x1[k 2]3 4
n
x[n]h[k n]
n
x[k]*h[k]
y[k ] x[k ]* h[k ]
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第1章离散时间信号与系统-
可加性： T [ x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n ) 比例性/齐次性： T [a x 1(n )]a y1(n )
其中： a,a1,a2为 常 数
则此系统为线性系统。
2019/10/14
40
例 ： 判 断 系 统 y ( n ) x ( n ) s i n ( 2 n ) 是 否 线 性 97
：N 解 1 g2 2 c 3 ,4 3 d 4 )6 6 ( 72 N 2 g3 3 c 3 ,2 3 d 2 )4 4 ( 54
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35
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？
当 1 4 T 3 T 0 时 ， x ( n ) 为 周 期 为 1 4 的 周 期 序 列
37
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E
x(n) 2
n
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38
1.2 线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成 输出序列的一种运算， 记为：T[]
要 使 x ( n N ) x ( n ) ， 即 x ( n ) 为 周 期 为 N 的 周 期 序 列
则 要 求 0N2k， 即 N 20k， N ， k为 整 数 ，
且 k的 取 值 保 证 N 是 最 小 的 正 整 数
2019/10/14
29
分情况讨论
2 N 0 k
2019/10/14
8
（3）和
x(n)x1(n)x2(n)
数字信号处理第一章离散时间信号与系统 课件
1, RN (n) 0, 0 n N 1 n 0, n N
R5 ( n)
1 n
0 1 2 3 4
4. 实指数序列
x(n) a nu(n)
5. 正弦序列
x(n) A sin(0 n )
6. 复指数序列
x(n) Ae( j0n) Ae (cos0n j sin 0n)
x(n) h(n)
结论：任何离散时间线性时不变系统， 都可以通过单位取样响应h(n)来表征。
x ( n)
y(n) x(n) h(n)
h( n)
二、稳定系统
1. 定义
对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。
2. 线性时不变系统稳定的充要条件为系统的单位取样响
应绝对可和。即：
m
x(m)h(n m)
包含运算：翻褶、移位、相乘、相加 ************************************************* 例：
3 n 0 n 2 x(n) 其他n 0
*************
*************
1 0 n 3 h(n) 0 其他n
x ( n)
T[ . ]
y ( n)
y(n) T [ x(n)]
对T[· ]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散 时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系 统”。
2. 线性系统 齐次性： 若 y(n) T [ x(n)] ， 则
T [ax(n)] aT[ x(n)] ay(n), a为常数
2 （1） T[ax1 (n) bx2 (n)] [ax1 (n) bx2 (n)]sin( n ) 5 3
R5 ( n)
1 n
0 1 2 3 4
4. 实指数序列
x(n) a nu(n)
5. 正弦序列
x(n) A sin(0 n )
6. 复指数序列
x(n) Ae( j0n) Ae (cos0n j sin 0n)
x(n) h(n)
结论：任何离散时间线性时不变系统， 都可以通过单位取样响应h(n)来表征。
x ( n)
y(n) x(n) h(n)
h( n)
二、稳定系统
1. 定义
对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。
2. 线性时不变系统稳定的充要条件为系统的单位取样响
应绝对可和。即：
m
x(m)h(n m)
包含运算：翻褶、移位、相乘、相加 ************************************************* 例：
3 n 0 n 2 x(n) 其他n 0
*************
*************
1 0 n 3 h(n) 0 其他n
x ( n)
T[ . ]
y ( n)
y(n) T [ x(n)]
对T[· ]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散 时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系 统”。
2. 线性系统 齐次性： 若 y(n) T [ x(n)] ， 则
T [ax(n)] aT[ x(n)] ay(n), a为常数
2 （1） T[ax1 (n) bx2 (n)] [ax1 (n) bx2 (n)]sin( n ) 5 3
数字信号处理 课件 第1章 离散时间信号与系统
解：①反褶:现在坐标上做出x(m)和h(m)，并将h(m)反 褶形成h(-m)。 ②移位、相乘和累加。 情况1：n<-4, y(n)=0; 情况2：-4≤n≤7。
2
y(1) x(m)h(n m) 3111 2 7 (5) 5
….
m3
y(n)={6,31,47,6,-51,-5,41,18,-22,-3,8,2};
连续时间信号 xa (和t) 离散时间信号 x的(nT关) 系： x(n) x(nT ) xa (t) tnT
说明：离散时间信号 x(n只) 有在为整数 时n 才有意义。
1.1.2 序列的运算
1. 序列移位 当m为正时， x(n 表m示) 序列 右x(移n) m位。 x(n 表m)示序列 左x(移n) m位。
1.2 离散时间系统
系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间 系统就表示对输入序列的运算，即 y(n) T[x(n)]
x(n)
-6 -4 -2 0
24
x(n)
-6 -4 -2 0
24
6.序列的卷积和
两序列的卷积和是指两序列作如下运算时，称序列y(n)为 序列x(n)与h(n) 的卷积和。
y(n) x(m)h(n m) m
通常表示为：y(n) x(n) h(n) 符号“*”表示卷积和运算
y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
x(1) 0, x(2) 1, x(3) 0.5, x(4) 1.5}, y(n) {y(2) 1, y(1) 1, y(0) 1
y(1) 0.5, y(2) 1, y(3) 0.5, y(4) 0, y(5) 0.5}，求两个序列和。
解：
z(2) x(2) y(2) 0 1 1
第一章离散时间信号与系统
(1-3)
这就是u(nn) (n m) (n) (n 1) (n 2) m0
令n-m=k，代入此式可得
n
u(n) (k)
k
这里就用到了累加的概念。
(1-4) (1-5)
3．矩形序列RN(n)
RN
(n)
1 0
(n)
1
…
…
－ 5 － 4 － 3－ 2 － 1 0 1 2 3 4 5 n
图 1-4 δ(n)序列
这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的 作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数δ(t)。但是， 在连续时间系统中，δ(t)是 t=0 点脉宽趋于零，幅值趋于无限大， 面积为1的信号，是极限概念的信号， 并非任何现实的信号。 而离散时间系统中的δ(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉 冲幅度是1， 是一个有限值。
xp (t) xa (t) p(t)
一般开关闭合时间都是很短的，而且τ越小，采样输出脉冲的
幅度就越准确地反映输入信号在离散时间点上的瞬时值。当τ<<T时，
采样脉冲就接近于δ函数性质。
xa(t)
(a)
xa(t)
xˆa (t)
(b)
o
t
T
p(t)
s(t)
1
(c)
o
T
t
(e)
o
T
t
xp(t)
(1-8)
4．实指数序列
x(n) anu(n)
式中，a为实数。当|a|<1 时，序列是收敛的; 而当|a|>1时，序列 是发散的。a为负数时，序列是摆动的，如图1-7所示。
anu(n)
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
第一章离散时间信号与系统
在n= 0时为u(0)= 1
n
u(n) (n k) (k)
k 0
k
单位矩形序列
1, 0≤ n ≤ N 1
RN (n) 0,
其它
N 为矩形序列的长度
和u(n)、δ(n)的关系 ：
勇于开始，才能找到成
RN (n) u(n) u(n N )
功的R路N (n)
N
(n m)
是一个周期序列，其周期N= 8。
周期性讨论
2π/ω为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期 大于2π/ω。
例1.5 序列 x(n) 2 cos(3 n 7)，2π/ω= 8/3是有理数，
4
所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。
2π/ω为无理数时，任何k 都不能使N 为正整数，这 时正弦序列不是周期序列。
基本运算—时间尺度(比例)变换
设序列为x(n)，m为正整数，则序列
抽取序列
y(n)= x(mn)
(1.10)
插值序列
x(n / m), n m l, l 0, 1, 2, z(n) 0, 其它 n
(1.11)
x(mn) 和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。
抽取序列
x(mn)：对x(n)进行抽取运算
复指数序列
ω为数字域角频率
用实部与虚部表示 用极坐标表示
x(n) en (cosn jsin n) en cosn en jsin n
勇于开始，才能找到成
x(n) 功x(的n路) e jarg[x(n)] e n e jn
σ=0时，序列具有以2π为周期的周期性
1.2.4 序列的周期性
(1.6)
表示以n= 0的纵轴为对称轴将序列x(n)加 以翻转。
第一章离散时间信号与系统
n5 n5
n0 n0
1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列 (n) 表示成加权和的形式，即
x ( n)
如:
m
x(m) (n m)
n
可表示为
a x ( n) 0
x ( n)
10 n 10 其他
m 10
m
上式为x(n)与h(n)的线性卷积，它说明线性 时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响 应序列的卷积。 一般用h(n)代表系统，示意图如下
y(n) x(n) * h(n)
1. 卷积的性质 *可交换性
*结合性
y ( n ) x ( n) h( n) h ( n) x ( n)
RN (n) 与 u(n) 的关系
RN (n)
1
0 1
2 3
n
RN (n) u(n) u(n N )
4.复指数序列
x(n) e
x ( n) e
n
( j0 ) n
式中ω0为数字频率
n
将复指数表示成实部与虚部
cos 0 n je sin 0 n
其示意图如下：
5.正弦序列
示例见下
例：求z(n)=x(n)+y(n)
解： z(0)=x(0)+y(0) z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2) …
2. 序列的乘积 序列的乘积是指同序号的序列值对 应相乘。即
z ( n ) x ( n ) y ( n)
示例见下
例：求z(n)=x(n)· y(n)
可见系统为时不变系统。
n0 n0
1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列 (n) 表示成加权和的形式，即
x ( n)
如:
m
x(m) (n m)
n
可表示为
a x ( n) 0
x ( n)
10 n 10 其他
m 10
m
上式为x(n)与h(n)的线性卷积，它说明线性 时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响 应序列的卷积。 一般用h(n)代表系统，示意图如下
y(n) x(n) * h(n)
1. 卷积的性质 *可交换性
*结合性
y ( n ) x ( n) h( n) h ( n) x ( n)
RN (n) 与 u(n) 的关系
RN (n)
1
0 1
2 3
n
RN (n) u(n) u(n N )
4.复指数序列
x(n) e
x ( n) e
n
( j0 ) n
式中ω0为数字频率
n
将复指数表示成实部与虚部
cos 0 n je sin 0 n
其示意图如下：
5.正弦序列
示例见下
例：求z(n)=x(n)+y(n)
解： z(0)=x(0)+y(0) z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2) …
2. 序列的乘积 序列的乘积是指同序号的序列值对 应相乘。即
z ( n ) x ( n ) y ( n)
示例见下
例：求z(n)=x(n)· y(n)
可见系统为时不变系统。
第一章 离散时间信号与系统
式中: A为幅度; φ为起始相位; ω0为数字域的频率，它反映了序列 变化的速率。 ω0=0.1π时, x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一
次循环。
sin( n 0 )
1
o
n
－1
图 1-8 正弦序列(ω0=0.1π)
6． 复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。 复指数序列的每
（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。 （1） 当2π/ω0为正整数时，周期为2π/ω0，见图1-8。 （2） 当2π/ω0不是整数，而是一个有理数时 N 式中，k, N为互素的整数，则 k k N 为最小正整数， 序 0 k 列的周期为N。
变量n不一定表示“时间”（例如，n可以表示温度或距离），
但x(n)一般被认为是时间的函数。因为离散时间信号x(n)对于非 整数值n是没有定义的，所以一个实值离散时间信号——序列可以 用图形来描述，如图1-1所示。横轴虽为连续直线，但只在n为整 数时才有意义。纵轴线段的长短代表各序列值的大小。
x(n)
出将是一串周期为T，宽度为τ的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着 在这段τ时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如 所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调 制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲信号，如图1-9 （c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因 而有
（3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这 时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。
同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的
情况相同。
下面，我们来进一步讨论，如果一个正弦型序列是由一个连
续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的
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n=-¥
å
¥
对于功率信号 x (n ) 和 y (n ) ，它们的互相关函数定 义为
N 1 * rxy (m ) lim x n y n - m) ( ) ( å N ¥ 2 N + 1 n =- N
14
UESTC 何子述等
当 x(n) = y(n)，上述定义的互相关函数变成自相 关函数。 根据卷积的定义，能量信号的相关函数可表示为
非实时实现（ not real-time implementation ）：
用高级计算机语言，在通用计算机上实现的信号处理理论 和算法；通常是对信号事后分析与仿真；如对采集的接收 数据进行特征分析，参数提取与估计等。
实时实现（ real-time implementation ）：
用数字信号处理器或专用数字器件对信号进行实时处理， 如： DSP processor (TI, AD)； FPGA/CPLD；专用器件； 或通用计算机等。
参考资料：
1. Simon Haykin. “Adaptive Filtering Theory”； 2. 张贤达. 《现代信号处理》, 清华大学出版社.
习题：解答题；仿真题 考试：开卷笔试； 考查：完成习题；
UESTC 何子述等
助教：
7
第1章 离散时间信号与系统
UESTC 何子述等
8
1.1 离散时间信号与系统基础 1.1.1 离散时间信号的定义与分类
个参数，需要 M 个延时器和 M 次乘法。
UESTC 何子述等 24
x (n)
p0 (n)
k1 k1
p1 (n)
p2 (n)
k2
pM -1 (n)
pM ( n )
kM
y ( n)
k2 kM
z 1
z 1
z 1
q0 (n)
q1 (n)
q2 (n)
qM -1 (n)
qM ( n )
全零点滤波器的格型结构
rxy (m) =
n =-¥
å
¥
x (n) y * (n - m) =
n =-¥
å
¥
x (n) y * éë-(m - n)ùû
= x (m) * y * (-m)
x(n) 和y(n) 的互相关函数就是 x(n) 与 y(n)的共轭
对称信号的卷积！
UESTC 何子述等 15
1.2 离散时间信号与系统的傅里叶分析 1.2.1 复指数信号通过LTI系统的响应
复指数信号 f (n ) = z0n 通过冲激响应为 h(n) 的LTI 离散时间系统，系统响应为
y (n) = f (n) * h(n) =
m=-¥
å
¥
h(m) f (n - m) = z
H ( z0 )
n 0
m=-¥
å
¥
-m h(m) z0
m =-¥
å
¥
-m h ( m ) z0
n y (n) = H ( z0 ) z0
m = 1, 2,, M
m = 1,2,, M
27
p 0 (n ) = q 0 (n ) = x (n )
y (n ) = pM (n )
pm (n ) = pm-1 (n ) + km qm-1 (n - 1)
qm (n) = km pm-1 (n) + qm-1 (n -1)
-1 Qm ( z) = km P z + z Qm-1 ( z) ( ) m-1
b0 +b1z-1 ++bM z-M 对于由 H ( z) = -1 -N 所描述的系统，有 1+ a1z ++ aN z
y ( n)
bM 1
bM
z 1
b0
z 1
b1
z 1
z 1
a1
aM 1
aM
aN
f (n)
N阶系统的直接型方框图
UESTC 何子述等 17
1.2.2 离散时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换
周期为 N 的离散时间信号f (n) ，其傅里叶级数表示为 傅里叶变换 傅氏级数 ： f (n ) =
1 傅氏系数 ：ak = N
k =< N >
å
ak e jk w0 n
f (n ) e- jk w0 n
f (n) e- jwn
1. 离散时间信号的定义 信号可分为连续时间信号和离散时间信号。 离散时间信号是指信号值仅在某些离散时刻有 定义，而在其他时间无定义的信号。 离散时间信号可以通过对一个连续时间信号在 时间上采样获得。
UESTC 何子述等 9
f c (t )
Ts
0
Ts
2Ts
3Ts
4Ts
t
fd (n) = fc (nTs )
UESTC 何子述等
5
前 言
本课程特点： 1、基本概念和基本理论讲清楚、讲透； 2、注重理论算法与具体的工程应用相结合； 3、适当介绍近年来发展的新理论新方法； 4、对信号的时域处理理论重点介绍，空域处理理 论 集中介绍。
UESTC 何子述等
6
前 言 教材：
现代数字信号处理及其应用；何子述，夏威等；清华大学 出版社
UESTC 何子述等
注意：当收敛域包含单位圆时 F (w ) = F ( z ) |z=e
jw
21
1.3.4 离散时间系统的方框图和信号流图表示
系统的方框图实现，是指用一些基本的功能部件 ，经过合适的相互连接，以实现差分方程或系统函 数描述的系统功能。 加法器 基本实现部件 乘法器 延时器
UESTC 何子述等 22
1 n-1 逆z变换：f (n ) = F z z dz ( ) ò 2p j
UESTC 何子述等 20
f (n ) 与其z变换 F ( z ) 的关系可表示为如下形式
f (n)¬¾ F ( z)
为保证z变换收敛，应当选择 r 以满足
n=-¥
å
¥
f (n) r-n < ¥
由于 z = re jw，将使 F ( z ) 收敛的z的取值范围（或 r 的取值范围）称为z变换的收敛域。
F (w ) e j w n d w
N ¥
n =< N >
å
¥
傅氏变换 ： F (w) =
n=-¥
å
1 傅氏逆变换 ： f (n) =
UESTC 何子述等
f (n)¬¾ F (w )
2p ò 2 p
18
1.3 离散时间信号的z变换 1.3.1 z变换的概念
对任一离散时间信号 f (n) ，定义信号 g (n) 为
z = re 19
jw
根据离散时间傅里叶逆变换，信号 g (n) 可表示为 2p 1 jw n g (n) = G w e dw ( ) ò 2p 0
g ( n ) = f ( n ) r -n
2p 1 jw n f (n) = G (w )(re ) d w ò 2p 0 z = re jw d z = jz d w
z 1
q1 (n)
z 1 q2 ( n )
qM -1 (n)
qM ( n )
M PM ( z ) M = B ( z ) = 1 + å bi( ) z-i H ( z) = P0 ( z ) i =1
对任意的m阶滤波器
m Pm ( z ) m = 1 + å bi( ) z-i Bm ( z ) = P0 ( z ) i =1
UESTC 何子述等
特征值
特征函数
16
如果 f (n) 可以表示为复指数信号 z kn 的线性组合，即
f (n ) =
k =- ¥
å
¥
a k z kn
系统的线性特性
信号 f (n)通过冲激响应为h(n) 的LTI系统的输出信号 为
y ( n) =
k =-¥
å
¥
n ak H ( zk ) zk
如何将离散时间信号表示为复指数信号的线性组合形式？
(1)
Cm ( z) = km Bm-1 ( z) + z-1Cm-1 ( z)
UESTC 何子述等
(2)
28
分别令 m =1,2,3,, M ，递推可发现（教材）
Cm ( z ) = z-m Bm ( z-1 )
代入式(1)，有
Bm ( z) = Bm-1 ( z) + km z-m Bm-1 ( z-1 )
根据从工程实际中抽象出的信号模型和系统模型，用数学 理论进行严格证明得到的定理等结论。
数字信号处理算法(algorithm)：
为高速或高效实现某种数字信号处理理论，所采用的计算 方法或计算技巧。
例：DFT是理论；FFT是实现DFT的计算技巧，属算法。
UESTC 何子述等 4
前
言－数字信号处理的实现
离散时间系统是用于处理、传输离散时间信号 的物理装置，在数学上可表示为输入信号与输出信 号之间的一种映射关系。
y (n) = M éë f (n)ùû
输入信号
f (n)
输出信号
y (n)
M [ ]
UESTC 何子述等 12
线性系统
y2 (n) = M éë f2 (n)ùû ， 若 y1 (n) = M éë f1 (n)ùû ， a 1和 a 2 是常数，且
UESTC 何子述等 23
1.5 离散时间系统的格形结构 1.5.1 全零点滤波器的格型结构
一个 M 阶的全零点系统的转移函数可表示为