浙江省宁波市2019-2020学年第一学期期末考试高三数学试题
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题
…………外………………内……绝密★启用前浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设全集U Z =,{}2,2A x Z x x =∈≤-≥或,则U A =ð( ) A ．{}22x x -≤≤B ．{}22x x -<<C ．{}2,?1,0,1,2-D ．{}1,0,1-2．下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在()0,∞+上单调递增的是( )A ．ln y x =B ．3y x =C ．1y x=D ．1y x x=+3．在ABC V 中,点M 、N 分别在边BC 、CA 上,若2BC BM =u u u r u u u u r ,3CA CN =u uu r u u u r ,则MN =u u u u r ( )A ．1126AB AC -+u u u r u u u r B ．1126AB AC -u u ur u u u rC ．1162AB AC -u u ur u u u rD ．1162AB AC +u u ur u u u r4．函数()()2 2.178283x f e e x =-≈的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．如图,在圆C 中弦AB 的长度为6,则AC AB ⋅=u u u r u u u r( )A ．6B ．12C ．18D ．无法确定……订…………○……线※※内※※答※※题※※……订…………○……6．不等式tan 0x -≥的解集为( ) A ．,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭,k Z ∈B ．,2232k k ππππ++⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈C ．,3k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ D ．23,k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ 7．函数()2222x x f x x x --=++-大致图象是( )A ．B ．C ．D ．8．已知角A 是ABC V 的内角,若sin 2cos 1A A -=-,则下列式子正确的是( ) A ．2sin cos 2A A -= B ．2sin cos 2A A +=- C ．3tan 4A =D ．12sin cos 25A A =-9．设函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫⎪⎝⎭=+∈,则下列结论错误的是( ) A ．设1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >B ．对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=C ．对任意x ∈R ,都有()03f x f x π⎛⎫⎪⎭+ -⎝-=D ．对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知a R ∈,函数()2f x ax x =-,若存在[]0,1t ∈,使得()()22f t f t +-≤成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．(],1-∞C ．0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦…………○…号：___________…………○…请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.12．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0>ω,ϕπ<）的部分图象如图所示,则ω=________,ϕ=________.13．若231log log 2a b ==,则ab =________,6log ab =________. 14．设函数()()()22log 1,312,3x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩,则()f x 的单调递增区间为________,()f x 的值域为________.15．在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以x 轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线y x =对称.若α的终边经过点()1,2P ,则sin sin αβ+=________.16．已知α为第四象限角,化简=________.17．非零平面向量a r ,b r,满足2b =r ,且()b b a b a ⋅-=-r r r r r ,则a 的最小值________.三、解答题18．已知集合{}51A x m x m =-<<-,函数()()2lg 6f x x x =-++,记()f x 的定义域为B .(Ⅰ)当2m =时,求A B U ,A B I ; (Ⅱ)若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.19．已知a r ,b r ,c r是同一平面内的三个向量,且()1,2a =-r .(Ⅰ)若5c =r ,且//c a r r,求c r 的坐标;…………订……※※线※※内※※答※…………订……(Ⅱ)若3b=r,且3a b+r r与3a b-r r垂直,求向量ar与br夹角的余弦值.20．已知函数()()sin033xf xπωω⎛⎫⎪⎝⎭=-<<,满足06fπ⎛⎫=⎪⎝⎭.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x的单调递增区间;(Ⅱ)将函数()f x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x=的图象,求()g x在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.21．在直角梯形ABCD中,//AB CD,90DAB∠=︒,2AB=,1CD=,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当AD=时,(i)求AC AB⋅u u u r u u u r的值;(ⅱ)若54PB PC⋅=u u u r u u u r,求APu u u r的值;(Ⅱ)求2PB PC+u u u r u u u r的最小值.22．设函数()()2axf ax x=-+,其中a R∈.(Ⅰ)当1a=时,求函数()f x的零点;(Ⅱ)若对任意[],1x a a∈+,恒有()1f x≥-,求实数a的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据补集的概念和运算，求得U A ð. 【详解】根据补集的概念和运算可知U A =ð{}{}|221,0,1x Z x ∈-<<=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B ，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项. 【详解】对于A 选项，ln y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，3y x =为奇函数，且在()0,∞+上递增，符合题意.对于C 选项，1y x=是奇函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意. 对于D 选项，1y x x=+是奇函数，且在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得MN u u u u r的表达式.【详解】依题意()2132MN AN AM AC AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 1126AB AC =-+u u ur u u u r . 故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，判断出函数()f x 零点所在区间. 【详解】依题意()()()201,130,220f f e f e ==->=-<，当2x >时，()0f x <，根据零点存在性定理可知，()f x 零点所在区间是()1,2. 故选：B 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得AC AB ⋅u u u r u u u r【详解】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.所以1cos 2AC A AD AB ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r，所以21cos 182AC AB AC A AB AB ⋅=⋅⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集. 【详解】依题意tan x ≥ππππ32k x k +≤<+，故原不等式的解集为,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.k Z ∈.故选：A 【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项. 【详解】依题意函数()f x 的定义域为R ，且()()2222x xf x x x f x --=-++-=-，所以函数为R 上的奇函数，由此排除A,B,C 三个选项. 故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】结合sin 2cos 1A A -=-与22sin cos 1A A +=，求得sin ,cos A A ，由此判断出正确选项. 【详解】由于sin 2cos 1A A -=-，则sin 2cos 10,cos 0A A A =->>，所以A 为锐角，由22sin 2cos 1sin cos 1A A A A -=-⎧⎨+=⎩，即22sin 2cos 1sin cos 1A A A A =-⎧⎨+=⎩，解得34sin ,cos 55A A ==.所以22sin cos 5A A -=，2sin cos 2A A +=，sin 3tan cos 4A A A ==，12sin cos 25A A =.C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】A 选项利用函数的单调性进行判断.B 选项利用函数的周期性进行判断.CD 选项通过计算证明等式是否正确. 【详解】 A ，由π02π3x ≤+≤解得ππ63x -≤≤，所以()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >，故A 选项正确.B ，函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫⎪⎝⎭=+∈的最小正周期为2ππ2=，所以对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=，故B 选项正确.C ，当0x =时，()()ππππ0cos cos 2cos 1033333f x f x f f π⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-+==≠ ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误. D ，πcos 2cos 2366x f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--， 6f x π⎛--⎫ ⎪⎝⎭()ππcos 2cos 2cos 263x x x ⎡⎤⎛⎫=--+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】化简不等式()()22f t f t +-≤，分离常数a ，根据t 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】()()()()()22222442f t f t a t t at t at a ⎡⎤+-=+-+--=+-⎣⎦Q∴原命题等价于存在[]0,1t ∈,使得4422at a +-≤成立,即存在[]0,1t ∈,使得11a t ≤+成立，即max11a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭,因此1a ≤.故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题. 11．2 1 【解析】 【分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积. 【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得221121122S r α=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题. 12．2312π【解析】 【分析】首先根据图像求得函数()f x 的周期，进而求得ω的值，再由点5π,28⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ的值. 【详解】根据图像可知，11π5π3π4884T =-=，所以3πT =，即()2π3π0ωω=>，解得23ω=.所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π25π5π2sin 2sin 283812f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πsin 112ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于ϕπ<，所以5πππ,12212ϕϕ+==.故答案为：(1). 23(2). 12π【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13 12【解析】 【分析】将对数式化为指数式，求得,a b 的值，进而求得ab 的值以及6log ab 的值. 【详解】由231log log 2a b ==得11222,3a b ==，所以()1111222223236ab =⨯=⨯==12661log log 62ab ==.故答案为：(1).(2). 12【点睛】 本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14．[)1,+∞ [)2,-+∞.【解析】【分析】画出()f x 的图像，根据图像求得()f x 的单调递增区间和值域.【详解】画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，()f x 的值域为[)2,-+∞.故答案为：(1). [)1,+∞ (2). [)2,-+∞【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15 【解析】【分析】由α终边上一点的坐标，求得sin α，根据对称性求得β终边上一点的坐标，由此求得sin β，进而求得sin sin αβ+.【详解】由于α的终边经过点()1,2P ，所以sin 5α==.点P 关于直线y x =对称点为()2,1，所以sin 5β==，所以sin sin αβ+=.故答案为：5【点睛】 本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于y x =对称点的坐标的特点，属于基础题.16．2cos α【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意α为第四象限角，所以==+ 1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==. 故答案为：2cos α 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17【解析】 【分析】首先求得b r 与()b a -r r 的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得a r 的最小值. 【详解】2b =r Q ,()b b a b a ⋅-=-r r r r r , 设b r 与()b a -r r 的夹角为θ,因此()1cos 2b b a b a b θ⋅-==-⋅r r r r r r 即b r 与()b a -r r 的夹角为3π（如图）, a r 的终点在射线BA 上,因此a r的最小值为sin 2b θ⋅==r.【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.18．(Ⅰ) {}33A B x x ⋃=-<<,{}21A B x x ⋂=-<<; (Ⅱ) 18m -<<【解析】【分析】（I ）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合B ，由此求得A B U ,A B I . （II ）根据A B ⋂≠∅列不等式组，解不等式组求得实数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当2m =时,得{}31A x x =-<<,由260x x -++>,得{}23B x x =-<<,于是{}33A B x x ⋃=-<<, {}21A B x x ⋂=-<<;（Ⅱ）若A B ⋂≠∅,则1253m m ->-⎧⎨-<⎩, 得18m -<<.【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19．(Ⅰ) c =-r ,或(c =r【解析】【分析】 （I ）利用c a λ=r r 设出c r 的坐标，根据5c =r 列方程，由此求得c r 的坐标.（II ）根据3a b +r r 与3a b -r r 垂直，则()()330a b a b +⋅-=r r r r ，化简后求得32a b ⋅=r r ，利用向量夹角公式，计算出向量a r 与b r 夹角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）设()2,a c λλλ==-r r5c =r Q ,5=,即λ=故c=-r ,或(c =r ; （Ⅱ）()()33a b a b +⊥-r r r r Q ,()()330a b a b ∴+⋅-=r r r r即223830a a b b +⋅-=r r r r ,代入整理得32a b ⋅=r rcos 10a b a b θ⋅==⋅r r r r , ∴向量a r 与b r 【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20．(Ⅰ) 62k ω=+,k Z ∈.单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ (Ⅱ)()1,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（I ）利用06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合03ω<<，求得ω的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调递增区间.（II ）根据图象变换的知识求得()g x 的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因为()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以63k ωπππ-=,k Z ∈ 因此62k ω=+,k Z ∈又03ω<<,2ω=,因为()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈ 即51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ 因此函数()f x 的单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因此()ππsin sin 4312y g x x x π⎛⎫==+-=⎛⎫ ⎪⎝-⎪⎝⎭⎭ ， 又344,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,,21233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以()1g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．(Ⅰ) （i ）2 （ⅱ）AP =u u u r (Ⅱ) 最小值为5 【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I ）当AD =（i ）利用向量数量积的坐标运算，求得AC AB ⋅u u u r u u u r. （ii ）设AP t =u u u r 得出P 点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合54PB PC ⋅=u u u r u u u r ，求得t ，也即求得AP u u u r的值.（II ）设()1,C c 、()0,P t ，而()2,0B ，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得2PB PC +u u u r u u u r 的表达式，由此求得2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【详解】以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当AD =时,（i ）2AB =Q ,()2,0AB ∴=u u u r ,(AC =u u u r因此2102AC AB ⋅=⋅+=u u u r u u u r ; （ⅱ）设AP t =u u u r ,即点P 坐标为()0,t ,则()2,PB t =-u u u r ,()PC t =u u u r ,())22521224PB PC t t t t ⎛⋅=⋅+-⋅=+=-+ ⎝⎭u u u r u u u r当2t =时,54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,即AP =u u u r （Ⅱ）设()1,C c 、()0,P t ,又()2,0B则()()()222,15,,3PB PC t c t c t +=-+-=-u u u r u u u r ,25PB PC ∴+=≥u u u r u u u r ,当3t c =时取到等号, 因此2PB PC +u u u r u u u r 的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22(Ⅱ) 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（I ）当1a =时，将()f x 表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得()f x 的零点.（II ）方法一：当0a ≥时，求得()f x 表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及()1f x ≥-列不等式，解不等式求得a 的值.当0a <时，分成105a -<<和15a ≤-两种情况进行分类讨论，结合函数()f x 的单调区间和最值列不等式（组），由此求得a 的取值范围.方法二：利用()f x 在区间[],1a a +端点的函数值不小于1-列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的a 的取值范围，恒有()1f x ≥-.【详解】 （Ⅰ）当1a =时,()2231,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨--->⎩,（i ）当0x ≤时,令()0f x =,即2310x x ---=,解得x =（ⅱ）当0x >时,令()0f x =,即210x x ---=,此方程∆<0,无实数解. 由（i ）（ⅱ）,得()f x（Ⅱ）方法1.（i ）当0a ≥时, 对于[],1x a a ∈+,得()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝, 显然函数()f x 在[],1a a +上递减,要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 11f x f a =+≥-,即23311a a --≥--,得10a -≤≤,又0a ≥,所以0a =符合题意. （ⅱ）当0a <时,()2222,03,0x ax a x f x x ax a x ⎧---≤=⎨--->⎩ 22223,02435,024a a x x a a x x ⎧⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++> ⎪⎪⎝⎭⎩ 由3022a a ->->,知函数()f x 在32,a ⎛-∞-⎤ ⎥⎝⎦上递增,在,32a -+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减.以下对a 再进行分类1︒当312a a -<+,即105a -<<时, 函数()f x 在2,3a a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上递增,在31,2a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上递减. 此时()()(){}min min ,1f x f a f a =+, 只需()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩,即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥⎪⎩解得330a a ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,即03a -≤≤ 又105a -<<,所以105a -<<符合题意. 2︒当312a a -≥+,即15a ≤-时, 函数()f x 在[],1a a +上递增.要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 1f x f a =≥-, 即2231a a ≥--,得33a -≤≤, 又15a ≤-所以135a -≤≤-符合题意. 由（i ）（ⅱ）,得实数a的取值范围是0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方法2.因为对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,所以()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩,解得0a ≤≤. 下面证明,当0,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-, （i ）当0a x ≤≤时,()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝递增, 故()()231f x f a a ≥=--≥成立; （ⅱ）当01x a ≤≤+时,()223f x a x ax =---, ()221115515124f a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=---=-++≥-,()21013f a =-≥->-, 故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立.由此,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
宁波市九校2019-2020学年上学期高一数学期末联考卷附答案解析
宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-1，C．(-D．⎡-⎣3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y ->B ．cos cos 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +> 4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.解析宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可.解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B.【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题.2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．⎛ ⎝⎭- C ．(-D ．⎡-⎣【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可.【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，且tan tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则所求的函数的值域是(-. 故选：C.【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( ) A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r Q ，，1a ∴=r ,||||cos cos a b a b θθ∴⋅=⨯==r r r r ,[0,]θπ∈Q ,6πθ∴=.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误；对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈， ∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 2<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】 解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立；②cosy x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=xx y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立； ④4cos xy x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形.故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】 解：方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-， ∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点，所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域.【详解】解：由()()1lg 31x f x x +=++，得(0)lg12f ==； 由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=；∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5.【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________. 【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可. 【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈，得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1[)13， 【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果.【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f = 当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，.故答案分别为：1；[)13，. 【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题. 15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________. 【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(3，求出a 的值；由此得出函数()gx 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间.【详解】 解：函数函数()()29a f x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(3，所以3a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b +r r 即可求解.【详解】解：设a b +rr与c r的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥rr .故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题. 17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n .【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++，即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+，由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+， 即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 11⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围.(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=, 所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =；(2)因为a c +r r 与a c -r r垂直,()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，,即11m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()RA B =∅Ið得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围.(1)因为{[]31A x y ===-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()RA B =∅Ið得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤； (2)因为A C C =I,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，, C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-.②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围.【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<, 所以()()lg2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,1224x x +-≤-=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<.【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)12⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()gx 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点,所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()gx ；(2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x取最小值,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即122m ⎛∈-- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题. 22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<. 【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域；（2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值；（3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】 (1)0k=时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>. 所以()()33log 32log 2x f x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212gt k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k=或17k =-,由k 0<,所以17k =-.(3)因为01k <<时,设()31x t t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++.此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数.所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，,即方程()3log 291321xx k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根,即()1291323xx x k k k -⋅--++=,设()31x t t =>.所以()22123k tk t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k<<,所以()()()228202142220k k k k k k k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k<<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<.【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。
2019-2020学年浙江省宁波市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷一、选择题1．（4分）已知集合{|16A x x =<<，}x N ∈，{1B =-，2，3}，那么(A B =I ) A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{2，3}D ．{2，3，4}2．（4分）双曲线22149y x -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．32y x =±C ．49y x =±D ．94y x =±3．（4分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“1532S S S +<”是“0d <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．76B ．476C ．72D ．2365．（4分）函数2(1)()ln x x f x ++=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）已知随机变量X 的分布列是X 1 23P13ab若11()6E X =，则()D X 的值是( ) A ．1736B ．1718 C ．239 D ．2318 7．（4分）已知二项式3(n x x 展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1B ．1±C ．2D ．2±8．（4分）已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212||||PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．349．（4分）已知函数21()||,1()(1)1,1x x a x x x f x e f x +⎧-+-=⎨+--<-⎩…，若函数()2y f x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．[31,2)B ．{}31[1,2)UC ．{}31[1,)+∞U D ．[31,)+∞10．（4分）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角A BC D '--、A CD B '--的大小分别为α，β，直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则( ) A ．γδβ<< B ．γαβ<< C ．αδβ<< D ．γαδ<<二、填空题11．（6分）若复数1()z a i a R =+∈，21(z i i =+为虚数单位），则2||z = ；若12z z 为纯虚数，则a 的值为 ．12．（6分）中国古代数学专著《九章算术》有问题：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，则雀重两，燕重 两．13．（6分）已知实数x 、y 满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩…„„，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为 ，若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于 ．14．（6分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b AC c +=，则C = ；又23ABC S ∆=，6a b +=，则c = ．15．（4分）已知a ，b 均为正实数，则1(4)(2)a b ab++的最小值为 ． 16．（4分）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +g g g 为奇数的不同排列方法有 种．17．（4分）已知||||(2)b c k k ==>r r ，0b c =r r g ，若存在实数λ及单位向量a r ，使得不等式1|()||(1)()|12a b b c c b c λλ-+-++--rr r r r r r „成立，则实数k 的最大值为 ．三、解答题18．（14分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）若()y f x =的图象过1(0,)2，且部分图象如图所示，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数22[()]()2xy f g x =+在[0,]2π上的最大值与最小值．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AD =，1AB =，PA ⊥平面PCD ，且1PC PD ==，设E ，F 分别为PB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设23,41,n n n na b n c n a ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：123136n c c c c +++⋯+<．21．（15分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>过点(1,2)Q ，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足PAB ∆的垂心为原点O ． （1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值． 22．（15分）已知函数()f x alnx x b =-+，其中a ，b R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）使不等式()f x kx xlnx a --…对任意[1a ∈，2]，[1x ∈，]e 恒成立时最大的k 记为c ，求当[1b ∈，2]时，b c +的取值范围．2019-2020学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）已知集合{|16A x x =<<，}x N ∈，{1B =-，2，3}，那么(A B =I ) A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{2，3}D ．{2，3，4}【解答】解：因为集合{|16A x x =<<，}{2x N ∈=，3，4，5}， 所以{2A B =I ，3}． 故选：C ．2．（4分）双曲线22149y x -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．32y x =±C ．49y x =±D ．94y x =±【解答】解：已知双曲线22149y x -=令：22049y x -=即得到渐近线方程为：23y x =±故选：A ．3．（4分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“1532S S S +<”是“0d <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：化简条件：由1532S S S +<，得1115102(33)a a d a d ++<+，即0d <， 所以“1532S S S +<”是“0d <”的充要条件． 故选：C ．4．（4分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A．76B．476C．72D．236【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：由已知三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为11123(22)2(11)12326V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：D．5．（4分）函数2(1)()ln x xf x++=的图象大致是()A．B．C ．D ．【解答】解：由于()f x 是奇函数，故排除A ，B ； 当x →+∞，()0f x →，排除C ． 故选：D ．6．（4分）已知随机变量X 的分布列是X 1 23P13ab若11()6E X =，则()D X 的值是( ) A ．1736 B ．1718C ．239D ．2318【解答】解：由1231P P P ++=，得23a b +=①． 由111()2336E X a b =++=②，得3232a b +=，联立①②，得12a =，16b =． 所以2221111117()()(())149()326636D X E X E X =-=⨯+⨯+⨯-=．故选：A ．7．（4分）已知二项式3(n x x展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1B ．1±C ．2D ．2±【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有232n =， 可得5n =，则二项式的展开式为5153()(r r r r T C x x-+=，其常数项为第4项，即35C g （a ）3， 根据题意，有35C g （a ）380=， 解可得，2a =；故选：C ．8．（4分）已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212||||PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【解答】解：1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212||||PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，可得：22c a +=，所以222()4a c c b -=-，可得2210e e +-=， 解得12e =． 故选：B ．9．（4分）已知函数21()||,1()(1)1,1x x a x x x f x e f x +⎧-+-=⎨+--<-⎩…，若函数()2y f x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A．1,2)B．}1[1,2)UC．}1[1,)+∞U D．1,)+∞【解答】解：由题意，函数21()||,1()(1)1,1x x a x x x f x e f x +⎧-+-=⎨+--<-⎩…可转化为2221222,0()2,1021,1x x ax a x f x ax a x e a a x +⎧-+⎪=-+-<⎨⎪++--⎩…„„． 函数()2y f x =-恰有两个零点，即分段函数()y f x =的图象与直线2y =有两个交点． ①当0a <时，分段函数()f x 在R 上连续且单调递增，此时分段函数()y f x =的图象与直线2y =最多只有1个交点，不满足题意；②当0a =时，121,1()0,102,0x e x f x x x x +⎧-<-⎪=-<⎨⎪⎩„…，图象如下：此时分段函数()y f x =的图象与直线2y =也只有1个交点，不满足题意；③当0a >时，分段函数()f x 在(-∞，1]-为增函数，在[1,]2a -上为减函数，在[,)2a+∞上为增函数．x →-∞Q ，2()21f x a a →+-且()2f x =恰有两个零点，(1)2f ∴-=，或221()2()22a a a f a f ⎧+-<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或2221()2()2212a a a f a f a a ⎧+->⎪⎪⎨⎪<+-⎪⎩„， 解得31a =-，或12a <„． 故选：B ．10．（4分）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角A BC D '--、A CD B '--的大小分别为α，β，直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则( ) A ．γδβ<<B ．γαβ<<C ．αδβ<<D ．γαδ<<【解答】解：如图，因为AB AD >，所以点A 在BD 上的投影点H 靠近点D ，由翻折的性质，知点A '在底面的投影点在AH 所在的直线上，如图设为点O ，则A FO α'∠=，A EO β'∠=，A BO γ'∠=，A DO δ'∠=，由最大角原理知：γα<，δβ„，当且仅当D 与E 重合时，取到等号；而tan A O OB γ'=，tan A OODδ'=， 如图易得，OB OD >，所以tan tan γδ<，即γδ<； 又tan A OOFα'=，tan A O OE β'=，由图易得，OF OE >，所以αβ<； 综上可得：γαβ<<， 故选：B ． 二、填空题11．（6分）若复数1()z a i a R =+∈，21(z i i =+为虚数单位），则2||z =12z z 为纯虚数，则a 的值为．【解答】解：复数的概念与计算2||z =； 若12z z 为纯虚数，则121(1)101z z a a i a a =-++⇒-=⇒=， 1．12．（6分）中国古代数学专著《九章算术》有问题：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，则雀重3219两，燕重 两． 【解答】解：设雀重x 两，燕重y 两，则互换后458x y y x +=+=， 解得：3219x =，2419y =，故答案为：3219；2419． 13．（6分）已知实数x 、y 满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩…„„，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为 2m > ，若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于 ． 【解答】解：作出可行域如图，则要为三角形需满足(1,1)B 在直线x y m +=下方， 即11m +<，2m >；目标函数可视为y x z =-，则z 为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A 时，此时1min z =-，直线:1PA y x =+，与:21AB y x =-的交点为(2,3)A ，该点也在直线:AC x y m +=上， 故235m =+=， 故答案为：2m >；5．14．（6分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b A C c +=，则C =3π；又23ABC S ∆=6a b +=，则c = ． 【解答】解：Qcos cos sin cos sin cos sin()1sin sin a B b A A B B A A B c C C+++===，2cos 1C ∴=，∴1cos 2C =， 0C π<<Q ，∴3C π=；Q 13sin 232ABC S ab C ∆===，8ab ∴=，又6a b +=Q （可消元求出边a 、)b2222212cos ()2(1cos )628(1)122c a b ab C a b ab C ∴=+-=+-+=-⨯+=，∴23c =故答案为：3π，2315．（4分）已知a ，b 均为正实数，则1(4)(2)a b ab++的最小值为 82 ． 【解答】解：Q 141(4)(2)28282882a b a b ab a b++=++++…当且仅当a =b故答案为：16．（4分）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +g g g 为奇数的不同排列方法有 180 种．【解答】解：（分类讨论：先选后排）若a b c g g 为奇数，d e g 为偶数时，有323336A A ⨯= 种； 若a b c g g 为偶数，d e g 为奇数时，有2334144A A ⨯= 种； 故a b c d e +g g g 为奇数的不同排列方法有共36144180+=种， 故答案为：180．17．（4分）已知||||(b c k k ==>r r ，0b c =r r g ，若存在实数λ及单位向量a r，使得不等式1|()||(1)()|12a b b c c b c λλ-+-++--rr r r r r r „成立，则实数k 的最大值为 ． 【解答】解：原题等价于1|()||(1)()|12mina b b c c b c λλ⎧⎫-+-++--⎨⎬⎩⎭rr r r r r r „．如图，1|()||(1)()|2a b b c c b c λλ-+-++--rr r r r r r1|[(1)]||[(1)]|||||2a b c c b c AP EP λλλλ=--++--+=+r r r r r r，(A 为单位圆上的点，a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，c OC =u u ur r ，P 为BC 上一点，E 为OC 中点）， 由将军饮马模型，作E 关于BC 对称点E '，则(||||)||||1min AP EP E A OE '''+==-11==-，∴11k-⇒剟．∴实数k ．．三、解答题18．（14分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）若()y f x =的图象过1(0,)2，且部分图象如图所示，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数22[()]()2xy f g x =+在[0,]2π上的最大值与最小值．【解答】解：由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+．（Ⅰ）由于1(0)2f =，则1sin 2ϕ=，又0ϕπ<<， 则56πϕ=，或6πϕ=（舍去），故5()sin(2)6f x x π=+． （Ⅱ）由于()sin(2)y f x x ϕ==+是偶函数，则(0)sin 1f ϕ==±， 又0ϕπ<<，所以2πϕ=，()sin(2)cos22f x x x π=+=，将()cos2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度，得到()cos(2)3y g x x π==+的图象， 故2213332[()]()2cos cos(2)1cos2cos221cos222322x y f g x x x x x x x xπ=+=++=++=+3113(cos2sin 2)13cos(2)26x x x π=+-=++． 因为[0,]2x π∈，72666x πππ+剟， 所以5()(0)2max f x f ==，5()()1312min f x f π==-．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AD =，1AB =，PA ⊥平面PCD ，且1PC PD ==，设E ，F 分别为PB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 为平行四边形，F 是AC 中点， 所以F 是BD 中点，所以1//2EF PD ，因为EF ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． （Ⅱ）解法一：（几何法）因为DE ⊂平面PBD ，平面PBD ⋂平面PAC PF =， 所以直线DE 与平面PAC 的交点即为DE 与PF 的交点，设为G ，1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形，取PC 中点O ， 则DO PC ⊥，因为PA ⊥平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ， 平面PAC ⋂平面PCD PC =，DO PC ⊥，所以DO ⊥平面PAC ， 所以DGO ∠是直线DE 与平面PAC 所成角，因为E ，F 分别为PB ，AC 的中点，所以G 是PBD ∆的重心，在Rt PAD ∆中，3PA =，所以2PB AC ==，在平行四边形ABCD 中，6BD =， 在PBD ∆中，4161cos 2214BPD +-∠==-⨯⨯，在PED ∆中，2511211cos 2DE EPD =+-⨯⨯⨯∠=，所以10DE所以2103DG DE ==，又因为3OD =，所以3sin 3020OD DGO DG ∠==，即直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值为33020． 解法二：（向量法）取PC 中点O ，则1//2OF PA ，因为PA ⊥平面PCD ，所以OF ⊥平面PCD ， 因为1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形， 所以OD PC ⊥，此时OD ，OF ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，1(0,0,)2P ，3(,0,0)D ，在Rt PAD ∆中，3PA =，所以3(0,,0)F ，由12FE DP =u u u r u u u r ，得331(,,)4E -，所以333(3,,)44DE =-u u u r ，平面PAC 的法向量为3(,0,0)OD =u u u r ，所以3cos ,3020||||DE OD DE OD DE OD 〈〉==-u u u r u u u ru u u r u u u r g u u ur u u u r g ， 所以3sin |cos ,|3020DE OD θ=〈〉=u u u r u u u r ，即直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值为33020．20．（15分）已知等差数列{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设23,41,n n n na b n c n a ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：123136n c c c c +++⋯+<．【解答】解：（1）（基本量法求等差等比通项）等差数列{}n a 的公差设为d ， 212a a =，459a a +=，可得112a d a +=，1279a d +=，解得11a d ==，可得n a n =；由122n n S S +=+得122n n S S -=+，2n …， 两式相减整理得12n n b b +=，可得公比12q =， 由11112()22b b b +=+，解得11b =，∴112n n b -=；（2）证法1:（应用放缩和错位相减求和证明不等式） 122331,,44211,,n n n n na b n n n c n n a n -⎧⎧⋅⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数， 123n n C c c c c =+++⋯+，1321k k A c c c -=++⋯+，242k k B c c c =++⋯+，0131321()4444k k k A --=++⋯+，2131321()44444k k k A -=++⋯+，两式相减整理得12311(1)331112132124(1)(1)14428244414k k k k k k k A -----=+++⋯+-=+--， 可得55110(2)3346k k A k =-+<， 又因为2(2)(21)(21)k k k >-+，∴222111*********()24(2)21335212126k B k k k =++⋯+<-+-+⋯-<=-+． 所以222111324(2)6k B k =++⋯+<，∴10313666n k k C A B =+<+=． 证法2:（应用放缩和裂项求和证明不等式） 令11()4n n d an b -=+，11214n n n n d d +--=-化简整理得：1841()394nn d n -=-+，∴1155110(2)3346k k k A d d k +=-=-+<，2222111111111221231223(1)n T n n n n=+++⋯+<+++⋯=-<⨯⨯-⨯，22221111111224(2)242n T n n =++⋯+<-<， 所以222111324(2)6k B k =++⋯+<，∴10313666n k k C A B =+<+=． 21．（15分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>过点(1,2)Q ，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足PAB ∆的垂心为原点O ． （1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值． 【解答】解：（1）(1,2)Q 代入22y px =解得1p =， 可得抛物线的方程为24y x =； （2）证法1:（巧设直线）证明：设:1l ty x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24y x =，可得2104y ty --=，则有121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩，可设2112:()x AP y y x x y -=--，即21344y y x y =-+，同理123:44y BP y x y =-+，解得(3,3)P t -， 即动点P 在定直线:3m x =-上，211221|||34|322||1|2|2||2PABQABAB d S d t t S d t t AB d ∆∆+====+…当且仅当t =时取等号．其中1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的距离． 证法2:（利用向量以及同构式）证明：设:1(0)l x my m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24y x =，可得2440y my --=，则有121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，21001(,)4y PA x y y =--u u u r ，222(,)4y OB y =u u u r ，又O 为PAB ∆的垂心，从而0PA OB =u u u r u u u r g ，代入化简得：20202304x y y y ++=，同理：20101304x y y y ++=，从而可知，1y ，2y 是方程200304xx y x ++=的两根，所以01200000012044333124y y y m x y mx y m x x y y x ⎧+=-=⎪=-=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-=-⎩⎩⎪==-⎪⎩，所以动点P 在定直线:3m x =-上，211221|||34|322||1|2|2||2PABQABAB d S d m m S d m m AB d ∆∆+====+…，当且仅当m =时取等号．其中1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的距离． 22．（15分）已知函数()f x alnx x b =-+，其中a ，b R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）使不等式()f x kx xlnx a --…对任意[1a ∈，2]，[1x ∈，]e 恒成立时最大的k 记为c ，求当[1b ∈，2]时，b c +的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）()1(0)af x x x'=->， 当0a „时，()0f x '<， ()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x '在(0,)+∞上单调递减，f '（a ）0=， ()f x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞单调递减；（Ⅱ）()(1)()f x xlnx a a lnx x xlnx bf x kx xlnx a k x x+++-++--⇒=厔． [1a ∈Q ，2]，[1x ∈，]e ，∴(1)1a lnx x xlnx b lnx x xlnx bx x+-+++-++…， 令21()()lnx x xlnx b lnx x bg x g x x x +-++-+-'=⇒=， 由（Ⅰ）()p x lnx x b ⇒=-+-在(1,)+∞上递增；（1）当p （1）0…，即1b =时[1x ∈，]e ，()0()0p x g x '⇒厖， ()g x ∴在[1，]e 上递增；()min c g x g ∴==（1）22b b c b =⇒+==．（2）当p （e ）0„，即[1b e ∈-，2]时[1x ∈，]e ，()0()0p x g x '⇒剟， ()g x ∴在[1，]e 上递减；∴2214()()[,2]min b b c g x g e b c b e e e e e++===⇒+=+∈++．（3）当p （1）p （e ）0<时，()p x lnx x b =-+-在上递增； 存在唯一实数0(1,)x e ∈，使得0()0p x =，则当0(1,)x x ∈时()0()0p x g x '⇒<⇒<．当0(x x ∈，)e 时()0()0p x g x '⇒>⇒>．∴0000000011()()min lnx x x lnx b c g x g x lnx x x +-++====+． ∴00000011b c lnx x lnx x x x +=++-=+．此时00b x lnx =-． 令11()()10()x h x x lnx h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[1，]e 上递增，(1b ∈，01)(1,)e x e -⇒∈， ∴1(2,)b c e e+∈+．综上所述，4[2,2]b c e +∈+．。
宁波市高三2019-2020学年数学统考
（Ⅱ）若函数 y = f (x) 是偶函数，将 y = f (x) 的图象向
δ ，则
A．γ < δ < β
B． γ < α < β
C．α < δ < β
D．γ < α < δ
第Ⅱ卷（非选择题部分，共 110 分）
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分，共 36 分.
11．若复数 z1 = a + i(a ∈ R) ， z2 = 1+ i(i 为虚数单位），则 | z2 |= ▲ ；若 z1z2 为纯 虚数，则实数 a 的值为 ▲ ．
数 a 的取值范围为
A．[ 3 −1,2) B．{ 3 −1} [1,2) C．{ 3 −1} [1,+∞) D．[ 3 −1,+∞) 10．已知平面四边形 ABCD 中， ∠A = ∠C = 90°, BC = CD, AB > AD ，现将 ∆ABD 沿
对角线 BD 翻折得到三棱锥 A′ − BCD ，在此过程中，二面角 A′ − BC − D 、A′ − CD − B 的大小分别为α , β ，直线 A′B 与平面 BCD 所成角为 γ ，直线 A′D 与平面 BCD 所成角为
16. 从1,2,3,4,5,6 这 6 个数中随机取出 5 个数排成一排，依次记为 a,b,c, d,e ，则使
a ⋅ b ⋅ c + d ⋅ e 为奇数的不同排列方法有 ▲ 种．
17．已知| b |=| c |= k(k > 2), b ⋅ c = 0 ，若存在实数 λ 及单位向量 a ，使得不等式 | a − b + λ(b − c) | + | 1 c + (1− λ)(b − c) |≤ 1成立，则实数 k 的最大值为 ▲ ．
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
浙江省宁波市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 23.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D.4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.5.已知为锐角，则A. B. C. D.6.函数的图象可能是A. B.C. D.7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最小正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称8.若向量，满足，，且，则，的夹角为A. B. C. D.9.设函数的定义域为A，且满足任意恒有的函数是A. B. C. D.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．12.设，则______，______．13.已知向量，，则______；若，则______．14.已知函数一部分图象如图所示，则______，函数的单调递增区间为______．15.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．16.已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数a的取值范围为______．17.已知单位向量，，满足，向量满足，则的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知集合，．1求；2已知，若，求实数a的取值范围．19.已知函数1求函数的最小正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．20.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC 和DC上，且，．1求的值；2求的最小值，并求出此时t的值．21.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．浙江省宁波市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案．【详解】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，∴．选C．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．【详解】在上为增函数，且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知为锐角，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式变形，结合平方关系把根式内部的代数式化为完全平方式，开方得答案．【详解】为锐角，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用，进行排除即可.【详解】，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最小正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期性，单调性以及对称性分别进行判断即可．【详解】函数的最小正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合三角函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满足，，且，则，的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边平方计算，再代入夹角公式即可求出答案．【详解】由可得，即，，，，的夹角为．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满足任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】满足任意恒有，则函数关于中心对称，由此可得结论．【详解】满足任意恒有函数关于中心对称的对称中心为故选：C．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0 【答案】D【解析】【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】根据即可得出，从而得出，的值，进而得出的值．【详解】；；；．故答案为：．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知展开两角和的正切求，由同角三角函数基本关系式化弦为切求．【详解】由，得，．故答案为：；．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】，；由，，且，得，即．故答案为：；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数一部分图象如图所示，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). ，【解析】【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利用五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．【详解】由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．【答案】2【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.【详解】扇形的半径为，圆心角为，弧长 ,这条弧所在的扇形面积为，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题意知函数在R上为增函数，利用分段函数的单调性列不等式组，从而求出a的取值范围．【详解】函数，对任意实数，，都有成立，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应用问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满足，向量满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的方程，则表示点点到直线直线AB上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量，，满足，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的方程为，表示点点到线段AB上点的距离，，最大值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知集合，．1求；2已知，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；（2）由集合的包含关系得：C⊆B，则：a≥4，得到的范围是．【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（2）由集合的包含关系得：C⊆B，则：a≥4，所以的范围是．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数1求函数的最小正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用求出函数的值域．【详解】1函数，，函数的最小正周期；2由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC 和DC上，且，．1求的值；2求的最小值，并求出此时t的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】1结合向量的数量积公式即可求出2利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，2，，，，故当时，的最小值为．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．21.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1根据三角函数的定义求出，和，的值，利用两角和差的余弦公式进行求解2先求出的三角函数值，结合两角和差的正弦公式求的值即可.【详解】1由、，得，、，，则．2，，，，，，则，．【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出对应角的三角函数值，以及利用两角和差的公式进行求解是解决本题的关键．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】1当时，求出函数和的解析式，结合二次函数的性质进行求解即可2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建立方程即可【详解】1当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．2，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成立．当时，即时，，即，即，即或或，或满足条件，综上或或或成立．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。
浙江省宁波市高三数学上学期期末考试试题 理
宁波市2015学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}21log (2)2N x x =<+<，则=N M I（ ▲ ）A. {1} B ． {2,3} C ．{0,1} D ． {2,3,4} 2.已知a R ∈,则“|1|||1a a -+≤”是“函数xy a = 在R 上为减函数”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(2,3),(1,2)a b ==-r r ，若2a b -r r 与非零向量ma nb +r r共线，则n m等于 （ ▲ ）A ．2- B.2 C.12-D.124．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 （ ▲ ）24244侧视图俯视图正视图A ．84B ．7682+C ．7882+D ．8082+5．已知平面α与平面β交于直线l ,且直线a α⊂,直线 b β⊂, 则下列命题错误．．的是 （ ▲ ） A ．若,a b αβ⊥⊥，且b 与l 不垂直，则a l ⊥ B ．若αβ⊥，b l ⊥，则a b ⊥C ．若a b ⊥，b l ⊥，且a 与l 不平行，则αβ⊥D ．若a l ⊥，b l ⊥，则αβ⊥6.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对任意x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （ ▲ ）A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ． 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ． ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．已知实数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++ （ ▲ ）A ．有最大值12B ．有最小值12C ．有最大值52D ．有最小值528. 已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，其离心率为e ，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴，直线1F B 的交点分别为,M R ，若1RMF ∆与2PQF ∆的面积之比为e ，则e 的值为 （ ▲ ）A.6232C. 22第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 9.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m na +=__▲__，用,m n 表示4log 6为__▲__.10.已知抛物线24x y =的焦点F 的坐标为__▲__，若M 是抛物线上一点，||4MF =，O 为坐标原点，则MFO ∠=__▲__.11.若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ⎧++>⎪==⎨⎪<⎩为奇函数，则a =__▲__，((2))f g -= __▲__.12．对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x R ∈恒成立，则称()f x 为关于a的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“倒函数”， 且当]1,0[∈x 时，)(x f 的取值范围为]2,1[，则当[1,2]x ∈时，()f x 的取值范围为__▲__，当]2016,2016[-∈x 时，()f x 的取值范围为__▲__.13. 已知关于x 的方程2220(,)x ax b a b R ++-=∈有两个相异实根，若其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41b a --的取值范围是__▲__. 14．若正数,x y 满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为__▲__. 15. 在ABC ∆中，10,30BAC ACB ∠=︒∠=︒ ，将直线BC 绕AC 旋转得到1B C ，直线AC 绕AB 旋转得到1AC ，则在所有旋转过程中，直线1B C 与直线1AC 所成角的取值范围为__▲__．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =，242cossin 25B C A ++=. （Ⅰ）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （Ⅱ）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值.17．（本题满分15分） 如图，在多面体EF ABCD - 中，,ABCD ABEF 均为直角梯形，B2ABE ABC π∠=∠=,DCEF 为平行四边形，平面DCEF ⊥ 平面ABCD .（Ⅰ）求证：DF ⊥ 平面ABCD ；（Ⅱ）若ABD ∆是等边三角形，且BF 与平面DCEF, 求二面角A BF C --的平面角的余弦值.AE18．（本题满分15分）已知函数2()1f x x =-．（Ⅰ）对于任意的12x ≤≤，不等式24|()|4()|(1)|m f x f m f x +≤-恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数1[1,2]x ∈，存在实数2[1,2]x ∈ ，使得122()|2()|f x f x ax =-成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分15分）已知12,F F 为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，2F在以Q 为圆心，1为半径的圆2C 上，且12||||2QF QF a += .（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点(0,1)P 的直线1l1C 于,A B 两点，过P 与1l 直的直线2l 交圆2C 于,C D 点，M 为线段CD 中点，求MAB ∆面积的取值范围.20．（本题满分15分） 对任意正整数n ，设n a 是方程21xx n+=的正根. 求证：（Ⅰ）1n n a a +>；（Ⅱ）2311111112323n a a na n+++<++++L L .宁波市2015学年第一学期期末试卷高三数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．A 2. B 3．C 4. B 5．D 6.C 7．D 8．A二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 12，2m n m + 10.（0，1），23π11. 0，-25 12.1[,1]2，1[,2]213. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭14. 23- 15.5[,]1818ππ三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分） 解:242cos sin 25B C A ++=41cos()sin 5B C A ⇒+++=即1sin cos 5A A ⇒-=- 又0A π<<，且22sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………3分（1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有sin a b A =或a b ≥ 则b 的取值范围为10(0,2]{}3U ； ……………………7分 （2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得(sin sin )sin 102[sin sin()]3al a b c a B C AB A B =++=++=+++102[sin sin cos cos sin ]322(3sin cos )2210)B A B A B B B B θ=+++=++=++……………………10分 其中θ为锐角，且10sin 10310cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，max 2l =+cos 1010B B ==.……………………12分此时sin sin ab B A==……………………14分 （注：也可利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式求解） 17．（本题满分15分）（Ⅰ）证明：因为2ABE ABC π∠=∠=，所以AB ⊥ 平面BCE又//EF CD ,所以//EF ABCD 平面，从而有////AB CD EF ，………………3分所以CD ⊥ 平面BCE ，从而CD CE ⊥， 又//CE DF ，所以CD DF ⊥， 又平面DCEF ⊥ 平面ABCD ， 所以DF ⊥ 平面ABCD . ……………………7分 （Ⅱ）过C 作CH BE ⊥交BE 于H ，HK BF ⊥交BF 于K ,因为AB ⊥ 平面BCE ，所以 CH AB ⊥，从而F H BE C A ⊥平面， 所以CH BF ⊥，从而BF CHK ⊥平面 ，所以BF KH ⊥即HKC ∠为C BF E -- 的平面角，与 A BF C --的平面角互补. ……………10分 因为BC DCEF ⊥ ，所以BF 与平面DCEF 所成角为BFC ∠. 由tan CB BFC CF ∠===，所以2222CB CD CE =+ ，………12分由ABD ∆是等边三角形，知30CBD ∠=︒ ，所以CB =令CD a = ，所以,,CB CE ===,CH a CK ===.所以sin CH CKH CK ∠==，1os 4c CKH ∠=. 所以二面角A BF C --的平面角的余弦值为14-. ……………………15分ABA法二：因为,,CB CD CE 两两垂直，以C 为原点，,,CD CB CE 所在直线为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系. 不妨设1CD =.因为BC DCEF ⊥ ，所以BF 与平面DCEF 所成角为BFC ∠ . 由tan CB BFC CF ∠===，所以2222CB CDCE =+ ，…………9分 由ABD∆是等边三角形，知30CBD ∠=︒，所以CB CE===(1,0,0),D BEF ………………11分CF CB ==u u u r u u u r ，(2,0,0),(1,BA BF ==u u u r u u u r平面ABF 的一个法向量1111(,,)n x y z =u r ，平面CBF 的一个法向量2222(,,)n x y z =u u r则 111120xx =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 且22220x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取12(n n ==-u r u u r……………………13分则1212121cos ,4||||n n n n n n ⋅<>==⋅u r u u ru r u u r ur u u r . 二面角A BF C --的平面角与12,n n u r u u r的夹角互补.所以二面角A BF C --的平面角的余弦值为14-. ……………………15分18. 解：（Ⅰ）由24|()|4()|(1)|m f x f m f x +≤-对任意的12x ≤≤恒成立. 得22224(1)4(1)2m x m x x -+-≤-对任意的12x ≤≤恒成立.整理得22(41)240m x x +--≤对任意的12x ≤≤恒成立. ……………………3分即有222244x x m x-++≤对任意的12x ≤≤恒成立. 又22215[,]4241114244x x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈.故214m ≤，则实数m 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ……………………6分 （Ⅱ）11()(12)y f x x =≤≤的值域为1[0,3]D =， ……………………7分 令()|2()|g x f x ax =- 即2()|22|g x x ax =--.原问题等价于当[1,2]x ∈时，()g x 的值域为[0,]t ，其中3t ≥. ………………9分 令2()22,(12)h x x ax x =--≤≤ . （1）当14a≤时，即4a ≤时，(1)()(2)h h x h ≤≤. 所以(1)(2)0h h ≤且(1)3h ≤-或(2)3h ≥ . 即03a ≤≤且3a ≥ 或32a ≤. 所以302a ≤≤或3a =. ……………………11分 （2）当24a≥时，即8a ≥时，(2)()(1)h h x h ≤≤ 所以(1)(2)0h h ≤，无解； ……………………13分 （3）当124a<< ，即48a <<时，()()max{(1),(2)}4a h h x h h ≤≤因为(1)0h a =-< ，所以(2)620h a =-≥ ，从而3a ≤ 无解. …………………15分 综上，所求a 的取值范围为302a ≤≤或3a =. 19．（本题满分15分）xyMDCQB OAP解：（Ⅰ）圆2C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=，此圆与x 轴相切，切点为(2,0)所以2c =,即222a b -= ,且2(2,0)F ，1(2,0)F - ……………………2分又12||||312QF QF a +=+=. ……………………4分 所以2a = ，2222b a c =-=所以椭圆1C 的方程为22142x y +=. ……………………6分 （Ⅱ）当1l 平行x 轴的时候，2l 与圆2C 无公共点，从而MAB ∆不存在； 可以设1:(1)l x t y =-，则2:10l tx y +-= .由22142(1)x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得2222(2)240t y t y t +-+-= 则222122(1)(2t 8)||1|t AB t y y ++=+-=……………………8分 又圆心2,1)Q 到2l 的距离12211t d t =<+ 得21t < . ……………………10分又,MP AB QM CD ⊥⊥所以M 到AB 的距离即Q 到AB 的距离，设为2d ， 即2222211d tt==++ . ……………………12分所以MAB ∆面积222124||22t S AB d t +=⋅=+令2[2,54)u t ∈=+ 则225(,2]22(2)2u S f u u u u===∈-- . 所以MAB ∆面积的取值范围为25(,2]. ……………………15分 20．（本题满分15分）证：由 21n n a a n+=，且0n a > 得 01n a <<.……………………3分 （Ⅰ）22111,11n n n n a a a a n n +++=+=+ 两式相减得221101n n n n a a a a n n++=-+-+ 2211111()()n n n n n n n n a a a a n na a a a n++++<-+-=-++． 因为110n n a a n+++>，故10n n a a +->，即1 .n n a a +> ……………………7分 法二：2114n n n a -++= ……………………3分 2114n n=++为单调 ……………………7分 （Ⅱ）因为 11n n a a n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以11n n a a n=+， 由01n a << 得 111n a n<+ . ……………………10分 从而当2i ≥时， 21111111(1)(11)1i i a i i i i i -<+-=<-- ，121211111111(1)1(1)1111()1111nn i i i in i i a a i a a i i a n a ===-=-+-<-+--=-<∑∑∑ 所以2311111112323n a a na n +++<++++L L . ……………………15分。
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}，则∁U A =( )A. φB. {x|x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|x ≥0}2. 下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )A.B.C.D.3. 若点M 在△ABC 的边AB 上，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数f (x )=(12)x−x +2的零点所在的一个区间是( )A. (2,3)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)5. 在圆0中，长度为√2的弦AB 不经过圆心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 12B. √22C. 1D. √26. 不等式−2x −1<3的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)7. 函数 f(x)=|x|+1的图象是 ( )A.B.C.D.8. 在△ABC 中，5sinAcosA +1=0，则sinA −cosA 的值为( )A. −√357B. √357C. −√355D. √3559. 已知函数f(x)=sin x ·|sin x|，给出下列结论：①f(x)是周期函数；②f(x)是奇函数；③[− π 2, π 2]是函数f(x)的一个单调递增区间；④若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=kπ(k ∈Z)；⑤不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|的解集为则正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①②③④C. ②③D. ①②③⑤10. 已知函数f(x)=mx 2+mx −1.若对于任意的x ∈[1,4]，f(x)<5−m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,27)B. (−∞,1)C. (1,5)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 圆的半径是12，弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________． 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则ω=______，φ=_____．13. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________．14. 设函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ≥1，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是_________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，则x 的值为 ．16. 若sin(α−π)=35，α为第四象限角，则tanα= ______ ． 17. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．19. 已知向量a ⃗ =(λ,1)，b ⃗ =(λ+2,1)，若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则实数λ= ______ ．20. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像与直线y =2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x =π3对称. (1)求y =f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x 取值范围.21. 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4CD ．(1)试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB =3，AD =2，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}； ∴∁U A ={x|0≤x <1}． 故选：C ．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性及函数图象的应用，属于基础题．根据函数图象关于原点对称的是奇函数、函数图象关于y 轴对称的是偶函数即可判断，注意判断函数的定义域是否关于原点对称．解：选项A 中的函数图象关于原点或y 轴均不对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B 中的函数图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数，选项C ，D 中的函数图象所表示的函数定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除． 故选B ．3.答案：D解析：【分析】如图，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加减法运算法则，属于中档题．【解答】解：如图，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查函数的零点的判定定理的应用，首先得出函数的单调性，根据函数零点的存在定理判断即可．解：易知函数f(x)=(12)x−x +2为单调递减函数，∵f(2)=(12)2−2+2=14>0，f(3)=(12)3−3+2=−78<0， ∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)， 故选A ．5.答案：C解析：解：取AB 的中点为C ，由圆的性质可得OC ⊥AB ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(√22)2+0 =1 故选：C取AB 的中点为C ，可得OC ⊥AB ，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题．6.答案：C解析：解：不等式−2x−1<3，可得x>−2．不等式−2x−1<3的解集为(−2,+∞)．故选：C．直接利用不等式化简求解即可．本题考查一次不等式的解法，考查计算能力．7.答案：D解析：本题主要考查根据函数的解析式判断函数的图象特征，属于基础题．由函数f(x)的解析式可得，当x=0时，函数f(x)取得最小值，结合所给的选项可得结论．解：由于函数f(x)=|x|+1，故当x=0时，函数f(x)取得最小值．结合所给的选项，只有D满足条件，故选D．8.答案：D解析：此题考查学生灵活运用二倍角正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题，应注意判断所求式子的符号，先利用二倍角的正弦函数公式把已知条件化简得到2sin A cosA的值，并根据其值得到A的范围，进而得到sinA−cosA的符号，然后把所求的式子平方后，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将2sin A cosA的值代入即可求出值，根据sinA−cosA的符号，开方即可得到sinA−cosA的值．，解：5sinAcosA+1=0，则sinAcosA=−15可知，，则．故选D ．9.答案：D解析：本题考查三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式，属于较难题． 解题时依据三角函数的三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式逐一验证即可求解．解：对于①，∵f (x +2π)=f (x )，∴f(x)=sin x ·|sin x|为周期函数，①正确；对于②∵f (−x )=−f (x )，∴f (x )为奇函数，②正确； 对于③，当x ∈[0,π2]时，在区间[0,π2]单调递增，又f(x)为奇函数且过原点，∴[−π2,π2]是函数f(x)的一个增区间，③正确；对于④，由②③可画出函数f(x)在[−π2,π2]的图象， ∵f(π2+x)=f (π2−x)，∴f(x)的图象关于直线x =π2对称， 可画出函数f(x)在区间[π2,3π2]上的图象，即得到函数f(x)在[−π2,3π2]上的图象，即一个周期的图象，在[−π2,3π2]上的对称中心为(0,0),(π,0)，∴在整个定义域上的对称中心为(kπ,0)(k ∈Z )．即若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=2kπ(k ∈Z)，④不正确；对于⑤，先求不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|在一个周期内的解集.取区间[0,2π]，∵sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|⇔f (2πx )>f (2πx +π2),{2πx >π42πx +π2<7π4, 在整个定义域上{2πx >π4+2kπ2πx +π2<7π4+2kπ(k ∈Z), 解得k +18<x <k +58,k ∈Z ，⑤正确．综上可知，正确结论的序号为①②③⑤． 故选D ．10.答案：A解析：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题． 利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,4]上的最小值，即可求m 的取值范围． 解：由题意，f(x)<5−m ，可得m(x 2+x +1)<6． ∵当x ∈[1,4]时，x 2+x +1∈[3,21]， ∴不等式f(x)<5−m 等价于m <6x 2+x+1．∵当x =4时，y =x 2+x +1取得最大值21，则6x 2+x+1的最小值为621=27， ∴若要不等式m <6x 2+x+1恒成立， 则必须m <27，因此，实数m 的取值范围为(−∞,27). 故选A ．11.答案：38解析：本题考查扇形面积公式，是基础的计算题． 直接利用扇形的面积公式得答案． 解：由r =12，圆心角的弧度数α=3，得 扇形面积S =12αr 2=12×3×(12)2=38．故答案为38．12.答案：2；π6 解析：解：由图象可得，解得ω=2， 故， 把点(0,1)代入可得， 解得故答案为：2；π6由图象可得，可得ω，把点(0,1)代入解析式可得φ值本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属中档题．13.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 14.答案：解析： 本题考查函数定义域与值域，分段函数，函数的单调性与单调区间，属于基础题，先由f(f(a))=2f(a)，根据分段函数式判断f(a)≥1，再由分段函数的单调性和每一段的值域可知3a −1≥1，解得即可．解：∵函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ⩾1， ∴f(f(a))=2f(a)，得f(a)≥1，又∵x <1，f(x)=3x −1，单调递增，且f(x)<2，x ≥1，f(x)=2x ，单调递增，且f(x)≥2，∴由f(a)≥1，得3a −1≥1，解得a ≥23，∴a 的取值范围是． 故答案为．15.答案：52解析：本题考查任意角的三角函数定义，由余弦的定义即可求解．解： 因为角α终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，所以cosα=x r =22=−513，解得x =52．故答案为52．16.答案：−34解析：解：sin(α−π)=35，α为第四象限角，sin(α−π)=−sinα=35，∴sinα=−35，cosα=√1−sin 2α=45． tanα=sinαcosα=−34．故答案为：−34．利用诱导公式求出sinα，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，基本知识的考查． 17.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4．故答案为：4．由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量减法的三角形法则，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，故A =(0,1)，所以∁R A =(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀．综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，求出A =(0,1)，由此能求出∁R A .(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀.由此能求出实数m 的取值范围．19.答案：−1解析：解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 化为a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴λ(λ+2)+1=0，解得λ=−1．故答案为：−1．由|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，利用数量积的运算性质可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，再利用数量积的坐标运算即可得出．本题考查了数量积的运算性质、数量积的坐标运算，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知可得， ， ∴， 又的图象关于 对称， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 所以(2)由(1)可得， ∴， 由得 ， 的单调递增区间为， ． ∵， ∴， ∴， ∴解析：本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．(1)利用周期公式，结合最高点的坐标，求出相应的参数，即可求出函数的解析式；(2)利用平移变换求出g(x)的解析式，可得g ( x ) 的单调递增区间，再利用正弦函数的性质，即可解不等式。
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x≤﹣2，或x≥2}，则?U A＝（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2＜x＜2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1}2．下列函数在其定义域上具有奇偶性，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lnx B．y＝x3C．D．3．在△ABC中，点M、N分别在边BC、CA上，若，，则＝（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．如图，在圆C中弦AB的长度为6，则＝（）A．6 B．12 C．18 D．无法确定6．不等式的解集为（）A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z7．函数大致图象是（）A．B．C．D．8．已知角A是△ABC的内角，若sin A﹣2cos A＝﹣1，则下列式子正确的是（）A．2sin A﹣cos A＝2 B．2sin A+cos A＝﹣2C．D．9．设函数，则下列结论错误的是（）A．设，则有f（x1）＞f（x2）B．对任意x∈R，都有f（x﹣π）＝f（x）C．对任意x∈R，都有D．对任意x∈R，都有10．已知a∈R，函数f（x）＝ax2﹣x，若存在t∈[0，1]，使得f（t+2）﹣f（t）≤2成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，1] B．（﹣∞，1] C．D．二、填空题11．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为，若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝．13．若，则ab＝，log6ab＝．14．设函数，则f（x）的单调递增区间为，f（x）的值域为．15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于直线y＝x对称．若α的终边经过点P（1，2），则sinα+sinβ＝．16．已知α为第四象限角，化简，+＝．17．非零平面向量，，满足，且，则的最小值．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知集合A＝{x|m﹣5＜x＜m﹣1}，函数f（x）＝lg（﹣x2+x+6），记f（x）的定义域为B．（Ⅰ）当m＝2时，求A∪B，A∩B；（Ⅱ）若A∩B≠?，求实数m的取值范围．19．已知，，是同一平面内的三个向量，且．（Ⅰ）若，且，求的坐标；（Ⅱ）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值．20．已知函数，满足．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的取值范围．21．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝1，P是线段AD上（包括端点）的一个动点．（Ⅰ）当时，（i）求的值；（ⅱ）若，求的值；（Ⅱ）求的最小值．22．设函数f（x）＝|ax|﹣（x+a）2，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）若对任意x∈[a，a+1]，恒有f（x）≥﹣1，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x≤﹣2，或x≥2}，则?U A＝（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2＜x＜2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1}【分析】进行补集的运算即可．解：∵A＝{x∈Z|x≤﹣2，或x≥2}，U＝Z，∴?U A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}．故选：D．2．下列函数在其定义域上具有奇偶性，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lnx B．y＝x3C．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝lnx，是对数函数，不具有奇偶性，不符合题意；对于B，y＝x3，是幂函数，在其定义域上为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y＝，为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，y＝x+，在其定义域上为奇函数，但在（0，1）上单调递减，不符合题意；故选：B．3．在△ABC中，点M、N分别在边BC、CA上，若，，则＝（）A．B．C．D．【分析】可画出图形，根据即可得出，，然后代入并进行向量的数乘运算即可用表示出．解：如图，∵，∴＝＝＝．故选：A．4．函数的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】分别计算特殊函数值f（0），f（1），f（2），利用零点判定定理即可进行判断．解：因为f（0）＝2﹣1＝1＞0，f（1）＝1+2﹣e＝3﹣e＞0，f（2）＝+2﹣e2＜0，故函数f（x）的零点区间在（1，2）上，故选：B．5．如图，在圆C中弦AB的长度为6，则＝（）A．6 B．12 C．18 D．无法确定【分析】取AB的中点O；连接CO；则CO⊥AB；利用向量的三角形法则即可求出结论解：取AB的中点O；连接CO；则CO⊥AB；∵在圆C中弦AB的长度为6，∴＝（+）?＝?＝＝×6×6＝18；故选：C．6．不等式的解集为（）A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z【分析】直接利用三角不等式的应用求出结果．解：不等式转换为：，解得：（k∈Z），故：不等式的解集为：（k∈Z）．故选：A．7．函数大致图象是（）A．B．C．D．【分析】利用绝对值不等式的性质可得|x+2|+|x﹣2|≥4．可得函数f（x）的定义域为R．利用奇函数的定义可得函数f（x）为奇函数．即可判断出结论．解：∵|x+2|+|x﹣2|≥|x+2﹣x+2|＝4．∴函数f（x）的定义域为R．又f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数．排除ABC．故选：D．8．已知角A是△ABC的内角，若sin A﹣2cos A＝﹣1，则下列式子正确的是（）A．2sin A﹣cos A＝2 B．2sin A+cos A＝﹣2C．D．【分析】由已知结合同角基本关系，可求cos A，然后检验选项即可判断．解：由sin A﹣2cos A＝﹣1，可知A为锐角，且sin A＝2cos A﹣1，又sin2A+cos2A＝1，所以5cos2A﹣4cos A＝0，又cos A≠0，故cos A＝，sin A＝，tan A＝．故选：C．9．设函数，则下列结论错误的是（）A．设，则有f（x1）＞f（x2）B．对任意x∈R，都有f（x﹣π）＝f（x）C．对任意x∈R，都有D．对任意x∈R，都有【分析】结合余弦函数的图象平移及函数的单调性，对称性，结合诱导公式分别检验各选项即可判断．解：结合余弦函数的性质可知，f（x）在（）上单调递减，故当，有f（x1）＞f（x2）成立；由于f（x﹣π）＝cos（2x﹣2）＝cos（2x+）＝f（x）成立；由于f（x﹣）＝cos（2x﹣），f（﹣x）＝cos（﹣2x+）＝cos（2x﹣），故C不成立；由于f（﹣）＝cos0＝1，满足余弦函数对称轴处取得函数的最值，即x＝﹣为函数f（x）的对称轴，所以都有成立．故选：C．10．已知a∈R，函数f（x）＝ax2﹣x，若存在t∈[0，1]，使得f（t+2）﹣f（t）≤2成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，1] B．（﹣∞，1] C．D．【分析】化简f（t+2）﹣f（t），再由参数分离和存在性问题解法，由函数的单调性可得所求范围．解：∵f（t+2）﹣f（t）＝[a（t+2）2﹣（t+2）]﹣[at2﹣t]＝4at+4a﹣2，∴原命题等价于存在t∈[0，1]，使得4at+4a﹣2≤2成立，即存在t∈[0，1]，使得成立，而≤≤1，因此a≤1．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为 2 ，若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为 1 ．【分析】由已知利用扇形的弧长公式可求该扇形圆心角的弧度数，利用扇形的面积公式进而可求扇形的面积．解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝2r＝rα，解得该扇形圆心角的弧度数为α＝2，若该扇形的半径为1，可得扇形的弧长＝2，可得扇形的面积为S＝lr＝×2×1＝1．故答案为：2，1．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝．【分析】由函数图象的周期求出ω，由点（，2）在函数图象上，结合范围|φ|＜，可求φ的值解：有函数的图象可得：T＝﹣＝×，解得：ω＝．由点（，2）在函数图象上，可得：2sin（×+φ）＝2，可得：×+φ＝2kπ+，可得：φ＝2kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜π，可得：当k＝0时，φ＝．故答案为：，．13．若，则ab＝，log6ab＝．【分析】由，可得a＝，b＝．进而得出答案．解：，∴a＝，b＝．则ab＝×＝，log6ab＝．故答案为：，．14．设函数，则f（x）的单调递增区间为[1，+∞），f （x）的值域为[﹣2，+∞）．【分析】分段求出函数的单调性和f（x）的范围，考虑x＝3处是连续的，从而求出f （x）的单调递增区间和f（x）的值域．解：∵当x＜3时，f（x）＝（x﹣1）2﹣2，∴f（x）在[1，3）上单调递增，且x→3时，f（x）→（3﹣1）2﹣2＝2，又∵当x≥3时，f（x）＝log2（x+1）是单调递增的，且f（3）＝log24＝2，∴f（x）≥2，∴f（x）的单调递增区间为[1，+∞），∵当x＜3时，f（x）＝（x﹣1）2﹣2，∴f（x）≥﹣2，∴f（x）的值域为：[﹣2，+∞），故答案为：[1，+∞），[﹣2，+∞）．15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于直线y＝x对称．若α的终边经过点P（1，2），则sinα+sinβ＝．【分析】先利用三角函数的定义求出sinα，又角α与角β的终边关于直线y＝x对称．∴β的终边经过点（2，1），再求出sinβ的值即可．解：∵α的终边经过点P（1，2），∴，又∵角α与角β的终边关于直线y＝x对称．∴β的终边经过点（2，1），∴，∴，故答案为：．16．已知α为第四象限角，化简，+＝．【分析】由已知可得sinα＜0，cosα＞0，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．解：∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，∴+＝+＝||+||＝+＝．故答案为：．17．非零平面向量，，满足，且，则的最小值．【分析】先求出即与的夹角为；结合图象即可求解．解：∵，，设与的夹角为θ，因此，即与的夹角为（如图），的终点在射线BA上，因此的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知集合A＝{x|m﹣5＜x＜m﹣1}，函数f（x）＝lg（﹣x2+x+6），记f（x）的定义域为B．（Ⅰ）当m＝2时，求A∪B，A∩B；（Ⅱ）若A∩B≠?，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）当m＝2时，求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（Ⅱ）由A∩B≠?，得，由此能求出实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当m＝2时，得A＝{x|﹣3＜x＜1}，由﹣x2+x+6＞0，得B＝{x|﹣2＜x＜3}，于是A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}．（Ⅱ）若A∩B≠?，则，解得﹣1＜m＜8．∴实数m的取值范围是（﹣1，8）．19．已知，，是同一平面内的三个向量，且．（Ⅰ）若，且，求的坐标；（Ⅱ）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）设根据，求出λ即可求出结论；（Ⅱ）利用与垂直求得；进而得到其夹角解：（Ⅰ）设∵，∴，即，故，或；（Ⅱ）∵，∴即，代入整理得；，∴向量与的夹角的余弦值为．20．已知函数，满足．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的取值范围．【分析】（Ⅰ）受案求出函数的解析式，进一步求出函数的单调区间．（Ⅱ）利用函数的关系式的变换，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．解：（Ⅰ）因为，，所以，k∈Z因此ω＝6k+2，k∈Z又0＜ω＜3，ω＝2，因为，所以，k∈Z即，k∈Z因此函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因此，又，所以．21．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝1，P是线段AD上（包括端点）的一个动点．（Ⅰ）当时，（i）求的值；（ⅱ）若，求的值；（Ⅱ）求的最小值．【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系（Ⅰ）求出各点坐标代入即可求解；（Ⅱ）设C（1，c）、P（0，t），又B（2，0）代入模长计算公式即可得到结论．解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（Ⅰ）当时，（i）∵AB＝2，∴，，因此；（ⅱ）设，即点P坐标为（0，t），则，，当时，，即；（Ⅱ）设C（1，c）、P（0，t），又B（2，0）则，∴，当时取到等号，因此的最小值为5．22．设函数f（x）＝|ax|﹣（x+a）2，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）若对任意x∈[a，a+1]，恒有f（x）≥﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的分段函数，由方程思想，解方程可得所求零点；（Ⅱ）对a的符号讨论，由恒成立思想，结合函数的单调性、参数分离法，可得所求范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，，（i）当x≤0时，令f（x）＝0，即﹣x2﹣3x﹣1＝0，解得；（ⅱ）当x＞0时，令f（x）＝0，即﹣x2﹣x﹣1＝0，此方程△＜0，无实数解．由（i）（ⅱ），得f（x）的零点为，，（Ⅱ）方法1．（i）当a≥0时，对于x∈[a，a+1]，得，显然函数f（x）在[a，a+1]上递减，要使f（x）≥﹣1恒成立，只需f（x）min＝f（a+1）≥﹣1，即﹣3a2﹣3a﹣1≥﹣1，得﹣1≤a≤0，又a≥0，所以a＝0符合题意．（ⅱ）当a＜0时，＝，由，知函数f（x）在上递增，在上递减．以下对a再进行分类1°当，即时，函数f（x）在上递增，在上递减．此时f（x）min＝min{f（a），f（a+1）}，只需，即解得，即，又，所以符合题意．2°当，即时，函数f（x）在[a，a+1]上递增．要使f（x）≥﹣1恒成立，只需f（x）min＝f（a）≥﹣1，即a2﹣3a2≥﹣1，得，又，所以﹣≤a≤﹣符合题意．由（i）（ⅱ），得实数a的取值范围是．方法2．因为对任意x∈[a，a+1]，恒有f（x）≥﹣1，所以，即，解得．下面证明，当时，对任意x∈[a，a+1]，恒有f（x）≥﹣1，（i）当a≤x≤0时，递增，故f（x）≥f（a）＝﹣3a2≥﹣1成立；（ⅱ）当0≤x≤a+1时，f（x）＝﹣x2﹣3ax﹣a2，，，故f（x）≥min{f（a+1），f（0）}≥﹣1成立．由此，对任意x∈[a，a+1]，恒有f（x）≥﹣1，。
宁波市九校2019-2020学年上学期高一数学期末联考卷附答案解析
宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-1，C．(-D．⎡-⎣3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y ->B ．cos cos 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +> 4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.解析宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可.解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B.【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题.2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．⎛ ⎝⎭- C ．(-D ．⎡-⎣【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可.【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，且tan tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则所求的函数的值域是(-. 故选：C.【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( ) A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r Q ，，1a ∴=r ,||||cos cos a b a b θθ∴⋅=⨯==r r r r ,[0,]θπ∈Q ,6πθ∴=.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误；对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈， ∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 2<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】 解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立；②cosy x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=xx y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立； ④4cos xy x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形.故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】 解：方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-， ∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点，所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域.【详解】解：由()()1lg 31x f x x +=++，得(0)lg12f ==； 由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=；∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5.【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________. 【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可. 【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈，得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1[)13， 【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果.【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f = 当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，.故答案分别为：1；[)13，. 【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题. 15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________. 【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(3，求出a 的值；由此得出函数()gx 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间.【详解】 解：函数函数()()29a f x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(3，所以3a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b +r r 即可求解.【详解】解：设a b +rr与c r的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥rr .故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题. 17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n .【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++，即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+，由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+， 即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 11⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围.(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=, 所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =；(2)因为a c +r r 与a c -r r垂直,()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，,即11m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()RA B =∅Ið得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围.(1)因为{[]31A x y ===-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()RA B =∅Ið得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤； (2)因为A C C =I,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，, C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-.②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围.【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<, 所以()()lg2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,1224x x +-≤-=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<.【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)12⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()gx 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点,所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()gx ；(2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x取最小值,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即122m ⎛∈-- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题. 22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<. 【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域；（2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值；（3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】 (1)0k=时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>. 所以()()33log 32log 2x f x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212gt k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k=或17k =-,由k 0<,所以17k =-.(3)因为01k <<时,设()31x t t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++.此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数.所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，,即方程()3log 291321xx k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根,即()1291323xx x k k k -⋅--++=,设()31x t t =>.所以()22123k tk t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k<<,所以()()()228202142220k k k k k k k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k<<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<.【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。
浙江省宁波市2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试卷及答案
A.x −2 x 2
B.x −2 x 2
C.−2, ?1, 0,1, 2
D.−1, 0,1
2.下列函数在其定义域上具有奇偶性，且在 (0, +) 上单调递增的是（ ）
，则
f
(x)
的单调递增区间为________，
f
(
x)
的值域为________.
15.在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于直线 y = x 对称.若
的终边经过点 P (1, 2) ，则 sin + sin = ________.
16.已知
12.已知函数 f ( x) = 2sin (x + ) （其中 0 ， ）的部分图象如图所示，则 = ________， =
________.
2
13.若
log2
a
=
log3
b
=
1 2
,则
ab
=
________，
log6
ab
=
________.
14.设函数
f
(x)
=
log2 ( x +1), x 3 ( x −1)2 − 2,x 3
为第四象限角，化简，
1+ 1+
sin sin
( (
− +
) )
+
1− sin (2 + ) 1− sin (− ) = ________.
( ) 17.非零平面向量 a ， b ，满足 b = 2 ，且 b b − a = b − a ，则 a 的最小值________.
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 2．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6133．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）AB C D4．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+5．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．2536．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-7．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．988．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．329．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}32x x -≤< 11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届浙江省宁波市慈溪市高三上学期期末数学试题(解析版)
2023届浙江省宁波市慈溪市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知角α的终边经过点(-，则tan α=（ ）A ．B C ．D 【答案】A【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可.【详解】根据任意角的三角函数的定义，tan α==故选：A.2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2212y x -=的其中一个焦点相同，则p =（ ）A．1 B ．2 C D ．【答案】D【分析】根据给定条件，求出抛物线、双曲线的焦点坐标，即可计算作答.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p ，双曲线2212y x -=的右焦点，依题意，2p=p =故选：D3．已知集合{}(){}2,R ,,1,,R A x y x x B x y y x x y ==∈==+∈，则（ ） A ．{1,2}A B = B ．{(1,2)}A B = C ．R A B == D ．A B ⋂=∅【答案】D【分析】判断集合,A B 的元素类型，根据集合交集运算的含义，可得答案.【详解】由题意可知集合{}2,R A x y x x ==∈为数集，集合(){},1,,R B x y y x x y ==+∈表示点集， 二者元素类型不同，所以A B ⋂=∅， 故选：D.4．若A ，B ，C ，D ，E 五人排队照相，则A ，B 两人不相邻的概率为（ ） A ．45B ．35C ．12D ．15【答案】B【分析】计算五人排队照相的全部排法：55120A =种，再计算A ，B 两人不相邻的排法，然后，两种排法相除，可得所求的概率.【详解】先排C 、D 、E ，有336A =种排法，再将A ，B 插入C 、D 、E 及其两侧空位，有2412A =种，故A ，B 不相邻有61272⨯=种，全部排法为55120A =种，故所求概率为7231205=. 故选：B.5．若二项式()(12)n x n *+∈N 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（ ） A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【答案】B【分析】根据第6项与第7项的系数相等列出方程，求出8n =，进而得到二项式系数最大项为5T ，计算出答案.【详解】556667C (2),C (2)n n T x T x ==，所以6655C 2C 2n n ⋅=⋅，所以56C 2C n n =，即!2!(5)!5!6!(6)!n n n n ⋅=--，所以62(5)2168n n n =-⇒=⇒=，所以二项式系数最大项为44458C (2)1120T x x ==.故选：B.6．如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半径为R ，圆柱体的高为h ，若要保持圆柱体的容积为定值3πV =立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最省（温馨提示：即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小），此时Rh=（ ）A 2B ．12C ．13D ．14【答案】C【分析】根据题意，先求出表面积的表达式，利用3πV =为定值求出h 与R 的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，22π3π,3R h R h ==，所以()2222ππ2ππ32S R R Rh R Rh =++=+22263333π3π33π322R R R R R R R R ⎛⎫⎛⎫=+=++≥⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当233R R=时取等，所以1,3R h ==，故13R h =.故选：C.7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin 2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为23ABC 周长的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．62D ．63+【答案】C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得1sin 22B =，即求出B 的大小，再利用三角形面积公式得8ac =，从而求出a c +的最小值，最后得到2()()24ABCC a c a c =++-利用函数单调性即可求出其最小值. 【详解】因为πsin sin2Bb A a -=， 根据正弦定理及诱导公式得sin sin sin cos2B B A A ⋅=⋅， ()0,πA ∈，sin 0A ∴≠，sin cos2B B ∴=， 即2sincos cos 222B B B =，()0,πB ∈，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 02B≠解得1sin 22B =,所以ππ263B B =⇒=，所以13sin 232acS ac B === 所以8,242ac a c ac =+≥=，当且仅当22a c == 根据余弦定理得222cos b a c ac B +-22b a c ac +- 设ABC 的周长为C ，所以22()3()()24ABCCa c a c ac a c a c =+++-=+++-，设,42a c t t +=≥，则()224f t t t =+-，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：()f t 在)42,⎡+∞⎣上为单调增函数，故()()min 4262f t f ==，故()min62ABC C=，当且仅当22a b c ===时取等. 故选：C.8．若单位向量,a b 满足,120a b 〈〉=︒，向量c 满足()()a b c c -⊥-，则max ||a b c c ⋅+⋅=（ ）. A ．32B ．134+ C ．132+ D ．3【答案】C【分析】设出,,(,)a OA b OB c OC x y ====，由()()c a c b -⊥-得到C 在以AB 为直径的圆上，表达出13132222a cbc x x y x y ⋅+⋅=-+=+，设1333cos ,sin 4242x y θθ=+=+，利用辅助角公式得到a c b c ⋅+⋅的最值.【详解】令,,(,)a OA b OB c OC x y ====，不妨13(1,0),,22a b ⎛==- ⎝⎭，所以3,AB AB =中点坐标为134⎛ ⎝⎭， 因为()()c a c b -⊥-，所以C 在以AB 为直径的圆上，即2213344x y ⎛⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以131322a c b c x x y x y ⋅+⋅=-=+，令1333,4x y θθ=+=，则11113sin 22424a c b c x y θθθθ⎛⎫⎫⋅+⋅==+=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111πcos 2223θθθ⎫⎛⎫==-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]1πc 1,os 3θ⎛⎫∈⎪⎭-- ⎝，所以1π223a c b c θ⎛⎫⋅+⋅=+-∈ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以max1a c b c +⋅+⋅=故选：C.【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.二、多选题9．设,a β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，（ ） A ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥B ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥C ．若,,m n αβαβ⊂⊥∥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则m α 【答案】ACD【分析】垂直于同一平面的两条直线平行，A 正确；当m n ∥时结论未必成立，B 错误；证明CD 正确，得到答案.【详解】对选项A ：垂直于同一平面的两条直线平行，正确； 对选项B ：当m n ∥时结论未必成立，错误；对选项C ：,n αββ⊥∥，故n α⊥，又m α⊂，故m n ⊥，正确；对选项D ：αβ⊥，m β⊥，则m α或m α⊂，排除m α⊂，则m α，正确. 故选：ACD.10．已知0a b >>，则（ ）A．22<B ．log log a <C．33ab +> D．a b +>【答案】AD【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A ；举反例可判断B ；利用基本不等式可判断C,D.【详解】根据幂函数1y 22xy =在定义域内均为单调增函数，0,22a b >><<A 正确；由0a b >>，取12,2a b ==，可得21211log log 22>=-，故B 错误；由0a b >>可得33a b +≥=33a b =即9a b =取等号，C 错误；由基本不等式可知a b +≥，当且仅当a b =取等号， 但0a b >>，等号取不到，故D 正确， 故选：AD.11．已知12,z z C ∈，且11210z z z +=，则（ ） A ．当121i,i(,)z z x y x y =-=+∈R 时，必有22(1)(1)10x y ++-= B ．复平面内复数1z的圆 C．1min i 1z -=D．21max1z z =+【答案】BD【分析】利用复数的模的定义以及其复数的几何意义，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】A 项：()()22121011100z z x y +=⇒++-=，故错误； B项：因为1z =C项：11||||1z i z i -≥-=，当1z 与i 对应向量同向时取等，故错误； D项：211z z =≤==+，当12z z +与1z 对应向量反向时取等，故正确. 故选：BD.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:14x C y +=，圆22213:72C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线：:l y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）.点2P ⎭，（ ）A ．若点Q 在2C 上运动，则PQB ．若l 与12C C 、都相切，则这样的l 共有4240y +-=C ．若过P 点作1C 40+-=D ．若2,Z k b =∈，l 与12C C 、都相交且截得的弦长相等，则0b = 【答案】AC【分析】A 选项：圆2C 的半径r =PQ 的最大值为2PC r +，利用两点间距离公式求出答案；B 选项：画出图形，由1C 与2C 外离，得到公切线有4条，由点到直线距离得到2C 240y +-=外离，不相切，从而判断B ；C 选项：先得到点P 在1C 上，切线唯一，再考虑过P ⎭的直线斜率不存在和斜率存在两种情况，将直线与椭圆方程联立，结合根的判别式为0，求出斜率，得到切线方程；D 选项，利用弦长公式得到l 与1C 相交弦长，利用垂径定理得到l 与2C 的弦长，列出方程，得到0b ≠.【详解】A 选项，22213:72C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的圆心为130,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =点Q 在2C 上运动，PQ 的最大值为2PC r +，2PC ==所以max 22||PQ PC C Q =+=A 正确；B 项：1C 的上顶点与2C 的圆心距离为13111722-=>1C 与2C 外离， 所以由图易知l 有4条，2C 3240x y +-=距离为777d ==> 2C 3240x y +-=外离，不相切，故B 错误；C 项：22,P ⎭满足221:14x C y +=，故点P 在1C 上，所以切线唯一，当过22,P ⎭的直线斜率不存在时，此时直线方程为2x 此时与221:14x C y +=不相切，舍去； 设过22,2P ⎭的切线方程为(22y k x =， 联立221:14x C y +=，得(221224x k x ⎡⎣+⎦=⎢，整理，得()()22221442828820k x k k x k k ++-+--=，由()()()22224224148820k k k k k ∆=--+--=，解得12k =-，故切线方程为(21222y x -=-2240x +-=，故C 正确； D 项：分别记l 与12,C C 交点为A ，B 和C ，D ，:l y kx b =+与221:14x C y +=，联立，得()222148440k x kbx b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,1414kb b x x x x k k -+=-=++， 则l 与1C 截得弦长为()222222221212228444141||14141414kb b k k b AB k x x x x k k k -+⋅+-⎛⎫=++-+--⋅ ⎪++⎝⎭l 为圆心2C距离为d =所以||CD ==， 因为||||AB CD == 因为2k ==显然0b ≠，故D 错误. 故选：AC.【点睛】结论点睛：过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=；过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=；过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=；过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=.三、双空题13．在平面直角坐标系中，已知(2,0),(2,0),(0,1)A B C -三点，请写出2个函数关系式或曲线的方程，使函数图象或方程的曲线经过A ，B ，C 三点：______，______.【答案】 ||12x y =-（答案不唯一，符合题意即可） 214x y =-（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据题意设解析式，代入运算求解.【详解】∵(2,0),(2,0)A B -关于y 轴对称，且(0,1)C 在y 轴上， 可设y k x m =+，则可得201k m m +=⎧⎨=⎩，解得112m k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故||12x y =-； 可设2y ax bx c =++，则可得4204201a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得1401a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，故214x y =-.故答案为：||12x y =-；214x y =-.四、填空题14．已知变量x 和y 的统计数据如下表：如果由表中数据可得经验回归直线方程为ˆˆ0.85yx a =+，那么，当10x =时，残差为______.（注：残差=观测值-预测值） 【答案】0.3##310【分析】先求出回归方程，再根据回归方程求出预测值，最后计算残差即可. 【详解】678910 3.545 5.578,555x y ++++++++====，所以0.8550.85818ˆ.ay x =-=-⨯=-， 所以10x =时，50.8510 1.88.5 1.8 6.7y =⨯-=-=， 所以残差为7 6.70.3-=. 故答案为：0.3.15．若正数,,αβγ满足αβγπ++=，且sin sin 2022sin αγβ+=，则22cos sin cos sin 22sin()αγγααγ++的值为______. 【答案】20232##1011.5 【分析】利用和差化积公式和诱导公式化简sin sin 2022sin αγβ+=，得出2021tantan222023αγ=，再利用倍角公式与和差公式化简22cos sin cos sin 22sin()αγγααγ++，再利用弦切互化即可求解. 【详解】依题意，因为sin sin 2022sin 2022sin()αγβαγ+==+ 所以2sincos20222sincos2222αγαγαγαγ+-++⋅=⋅⋅又因为αβγπ++=，所以sin02αγ+≠，所以cos 2022cos22αγαγ-+=⋅，所以coscos sin sin 2022cos cos 2022sin sin 22222222αγαγαγαγ+=- 20212023sinsin2021coscostantan2222222023αγαγαγ⇒=⇒=， 所以222coscos cos sin cos sin cos sin cos sin 22222222sin()sin()αγαγγααγγααγαγ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=++coscos11202322202121tan tan 1cos 2220232αγαγαγ====+⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：20232. 16．已知数列{}n a 满足：11111,ln 1n n n a a a a ++=-=+，若()1142n n n n k a a a a n *++≤-+∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(],0-∞【分析】根据数列{}n a 的递推公式利用数学归纳法即可证明{}n a 单调递减且01n a <≤，构造函数2()2(2)ln(1)f x x x x x =-+++可得()1n k f a +≤，判断出函数单调性根据恒成立问题即可求出k 的取值范围.【详解】由11111,ln1n n n a a a a ++=-=+，可得122ln(1)a a a =-+，即22ln(1)1a a ++=，因为()ln(1)F x x x =++在()1,x ∈-+∞上为单调递增，且(0)0,(1)1ln 2F F ==+， 而222()ln(1)1F a a a =++=，即2(0)()(1)F F a F <<，可得2110a a =<<， 可猜想数列{}n a 单调递减且01n a <≤，下面由数学归纳法证明：当1n =时，122ln(1)a a a =-+，即22ln(1)1a a ++=，满足2110a a =<<， 当n k =时，假设101k k a a +<<≤成立，当1n k =+时，()122ln 1k k k a a a +++=-+，即()()212ln 0,11k k k a a a +++++∈=， 即()22()0,1,(0)()(1)k k F a F F a F ++∈∴<<，可得201k a +<<， 又因为()()12211ln 11n 0l k k k k k a a a a a +++++--=++=<，即21k k a a ++<， 所以2110k k a a ++<<<成立，即数列{}n a 单调递减且01n a <≤成立，由单调有界收敛定理可知{}n a 收敛，设lim n n a a →+∞=， 所以()11lim lim ln 1n n n n n a a a ++→+∞→+∞=-+⎡⎤⎣⎦，所以ln(1)a a a =-+， 所以0a =，即{}n a 递减且趋于0，令2()2(2)ln(1)f x x x x x =-+++，则()1n k f a +≤恒成立，1()21ln(1)1f x x x x '=-++++，令1()()21ln(1)1g x f x x x x '==-++++， 则222(1)()0(1)x xg x x ++'=>+在()0,1恒成立， 所以()(0)0f x f ''>=在()0,1恒成立，所以()f x 在()0,1单调递增，所以由()1n k f a +≤恒成立可知()1lim n x k f a +→+∞≤，即(0)0k f ≤=， 所以(,0]k ∈-∞. 故答案为：(],0-∞.【点睛】关键点点睛：根据数列{}n a 的递推公式确定01n a <≤，再通过构造函数将问题转化成不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性即可求解.五、解答题17．甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1-分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X ，在两轮比赛中的得分为Y .(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率； (2)求X 的分布列； (3)求Y 的均值. 【答案】(1)0.432 (2)分布列见解析 (3)()0.2E Y =【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；（2）写出X 的可能取值及相应的概率，得到分布列；（3）在第二问的基础上，写出Y 的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值. 【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为1P ，2213C (0.6)(10.6)0.432P -=⨯=；（2）X 的可能取值为1-，0，1.根据记分规则，得()(1)10.60.50.2P X =-=-⨯=，()()(0)0.610.510.60.50.5P X ==⨯-+-⨯=， ()(1)0.610.50.3R X ==⨯-=，所以X 的分布列为（3）两轮比赛甲的得分Y 的可能取值为2,1,0,1,2--. 由于两轮比赛的结果是独立的，所以(2)0.20.20.04,(1)0.20.50.50.20.2P Y P Y =-=⨯==-=⨯+⨯=， (0)20.20.30.50.50.37,(1)20.30.50.3P Y P Y ==⨯⨯+⨯===⨯⨯=，(2)0.30.30.09P Y ==⨯=，所以Y 的分布列为故()(2)0.04(1)0.200.3710.320.090.2E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.18．在菱形ABCD 中，G 是对角线BD 上异于端点的一动点（如图1），现将ABD △沿BD 向上翻折，得三棱锥A BCD -（如图2）.(1)在三棱锥A BCD -中，证明：DG AC ⊥； (2)若菱形ABCD 的边长为23，π3ABC ∠=，且2BG GD =，在三棱锥A BCD -中，当3AC =时，求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)1313【分析】（1）证明DG ⊥平面AOC ，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）由题意求得相关线段的长，证明AH ⊥平面COD ，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面ACD 的法向量，利用空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）在图1中，连接AC 交BD 于O ，连接,AG CG ， 由菱形的性质得,DG AO DG CO ⊥⊥，在图2中，因为,CO AO ⊂平面AOC 且AO CO O =，,DG AO DG CO ⊥⊥,所以由直线与平面垂直的判定定理得DG ⊥平面AOC ， 因为AC ⊂平面AOC ，所以DG AC ⊥.（2）由DG ⊥平面,AOC DG ⊂平面COD ，得平面COD ⊥平面AOC ， 菱形ABCD 的边长为3π3ABC ∠=，2BG GD =， 则26,2BD BO GD ===,则三棱锥A BCD -中，3CO AO ==3AC =，解AOC 得2223391cos 22233AO CO AC AOC AO CO +-+-∠===-⋅⨯⨯， 故120AOC ∠=︒，作AH CO ⊥，交CO 延长线于H ，得32AH =， 由于平面COD ⊥平面AOC ，平面COD 平面AOC CO =，AH ⊂平面AOC , 所以AH ⊥平面COD ，如图，以O 为原点，,OC OD 分别为,x y 轴，过O 作AH 的平行线作为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图，所以33,(3,0,0),(0,3,0),(0,1,0)2A C D G ⎛⎫⎪⎝⎭， 3333333,0,,,3,,,1,222222AC AD AG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则333022333022n AC z n AD x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，取3x =1,3y z ==， 可得平面ACD 的法向量(3,1,3)n =，设直线AG 与平面ACD 所成角为θ，π[0,]2θ∈，所以|213sin |cos ,|||||132|n AG n AG n AG θ⋅=〈〉===⋅⨯另解提示：根据上述解法求出32AH =， 由2,23CG DG AG CD ====3CDG S △ 由3,3CD AD AC ===，可得339ACD S =△，设点G 到平面ACD 的距离为d ，直线AG 与平面ACD 所成角为θ，因为A CDG G ACD V V --=即1133CDG ACD AH S d S ⋅⋅=⋅⋅△△，可得21313d =，所以13sin 13d AG θ==. 19．如图，ABCD 是一个边长为8m 的有部分腐蚀的正方形铁皮，其中腐蚀部分是一个半径为6m 的扇形AMN ，其他部分完好可利用.铁匠师傅想在未被腐蚀部分截下一个长方形铁皮PRCQ （P 是圆弧上的一点），以用于制作其他物品.(1)当长方形铁皮PRCQ 为正方形时，求此时它的面积； (2)求长方形铁皮PRCQ 的面积S 的最大值.【答案】(1))282482cm -(2)()216cm【分析】（1）连接AP ，设π02PAD θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，延长QP 交AD 于E ，当长方形铁皮PRCQ 为正方形时，π4θ=，可得32RD =（2）由（1）设，得sin 6sin ,cos 6cos PE PA AE PA θθθθ====，表示出()6448sin cos 36sin cos S θθθθ=-++，令sin cos t θθ=+，通过换元法求解即可. 【详解】（1）连接AP ，设π02PAD θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，延长QP 交AD 于E ，当长方形铁皮PRCQ 为正方形时，显然π4θ=，此时πsin 324RD PE PA ===所以)222(832)82482cm S CR ==-=-；（2）由（1）设，得sin 6sin ,cos 6cos PE PA AE PA θθθθ====所以()()()86cos 86sin 6448sin cos 36sin cos S PR PQ θθθθθθ=⋅=--=-++， 其中，π02θ≤≤， 令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-=，所以()226448181184846S t t t t =-+-=-+，因为π02θ≤≤，所以π2sin [1,2]4t θ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以241814,[1,2]3S t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以当1t =时，得()2max 16cm S =，即长方形铁皮PRCQ 的面积S 的最大值为()216cm .20．已知数列{}{}{},,n n n a b c 满足1111a b c ===，且12n n n nc b c b ++=. (1)若{}n a 是等比数列，且12,3n n n a a c b +=+=，求2023b 的值，并写出数列{}n b 的通项公式； (2)若{}n b 是等差数列，公差0d >，且1n n n b a a +=-，求证：3123321111,N 3n a n c c c c a *-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<∈-. 【答案】(1)101120232b =，12222,,32,.n n n n b n --⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数 (2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义，对n 分奇数偶数两种情况讨论即可求解； （2）由累乘法求出2211111(2)n n n n n b b n c b b d b b ++⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭，由裂项相消法可求得123111111n c c c c d++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+，再利用1n n n b a a +=-求出312a d -=+即可证明. 【详解】（1）依题意，因为211a a c =+，所以22a =，公比212a q a ==， 所以12n n a -=，所以12112,2n n n n n n n nb c c a a b c -+++=-===， 所以{}n b 的奇数项和偶数项分别是公比为2的等比数列，得101120232b =，故()1*12,21N 32,2k n k n k b k n k --⎧=-=∈⎨⋅=⎩，亦即12222,,32,.n n n n b n --⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数. （2）由12n n n n c b c b ++=，得2334451112233112,,,,n n nc b c b c b c b b c b c b c b c b b +===⋅⋅⋅⋅⋅⋅=， 由叠乘得1112n n nc b b c b b +=，所以12n n n b b c b +=，得2211111(2)n n n n n b b n c b b d b b ++⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭， 因为110,0,0n b d b +>>>，所以 21232334111*********n n n b c c c c db b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2221111111111n n b b d b b d b d++⎛⎫⎛⎫=+-=+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121232,b a a b a a =-=-，所以1231b b a a +=-即312a d -=+， 得3331121133a d a a -+=+=--， 故31233111123n a c c c c a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<-. 21．法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，离心率12e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，上顶点为Q ，且22QF =，O为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点（不在坐标轴上），过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为12-，求POH △面积的最大值.【答案】(1)椭圆C 的方程为22143x y +=，蒙日圆的方程为227x y +=【分析】（1）根据椭圆离心率结合题设求得,,a b c ，即得椭圆方程，进而写出蒙日圆的方程； （2）设00(,)P x y ，设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，联立椭圆方程结合判别式确定点00(,)P x y的轨迹方程，进而利用基本不等式求得00x y ⋅≤，即可求得答案. 【详解】（1）设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c .由题意可知21,22c e QF a a ====，所以1,c b ==C 的方程为22143x y +=， 且蒙日圆的方程为227x y +=；（2）设00(,)P x y ，设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，由()00223412y y k x x x y ⎧-=-⎨+=⎩，消去y 得()()22222200000034422484120k x ky k x x k x kx y y ++-+-+-=①， 由于相切，所以方程①的Δ0=，可得：22222200000016(22)4(34)(48412)0ky k x k k x k y y --+-+-=，整理成关于k 的方程可得：()()22200004230x k x y k y -++-=，由于P 在椭圆22143x y +=外，故22003412x y +>， 故()2200034124x y '-=+∆>，设过点P 的两切线斜率为12,k k ，据题意得，00122024x y k k x +=--，2122034y k k x -⋅=-， 又因为1212k k ⋅=-，所以可得20203142y x -=--， 即点00(,)P x y的轨迹方程为：()220000012,0105x y x x x +=≠±≠≠，由不等式可知：2200001105x y y =+≥=⋅，即00x y ⋅≤，当且仅当2200105x y =时取等号，此时00x y ==所以0012POH S x y =⋅≤△POH 【点睛】关键点点睛：求解POH △面积的最大值时，设出过点P 的切线方程并联立椭圆方程，利用判别式为0结合根与系数的关系求得点P 的轨迹方程后，关键要利用基本不等式求出00x y ⋅≤，即可求解.22．已知函数1()ln ,0f x x k x k x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.(1)当3k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若对()()0,1,0x f x ∀∈<恒成立，求k 的取值范围； (3)求证：对(0,1)x ∀∈，不等式22e 11ln x x x x x-<+恒成立. 【答案】(1)10x y +-= (2)(0,2] (3)证明见解析【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；(2)根据题意将不等式进行等价转化为求函数()f x 在(0,1)的最小值问题，利用导数求解即可；(3)结合（2）的结论，构造函数2e ()(01)1xm x x x =<<+，利用导数即可求解.【详解】（1）因22211331()3ln ,(1)0,()1x x f x x x f f x x x x x -+⎛⎫=--==+-=⎝' ⎪⎭，所以(1)1f '=-，所以所求切线方程为()()()111y f f x '-=-， 即10x y +-=；（2）因为1()ln 0f x x k x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭在(0,1)上恒成立，而22211()1k x kx f x x x x '-+=+-=，令'()0f x =得210x kx -+= 所以24,0k k ∆=->①当2Δ40k =-≤，即02k <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,1)上单调递增，则()(1)0f x f <=，满足题意； ②当2Δ40k =->，即2k >时，设2()1,01x x kx x ϕ=-+<<， 则()ϕx 的对称轴为1,(0)1,(1)202kx k ϕϕ=>==-<，第 21 页 共 21 页 所以()ϕx 在(0,1)上存在唯一零点1x ，当()1,1x x ∈时，()0,()0x f x ϕ'<<， 所以()f x 在()1,1x 上单调递减，故()(1)0f x f >=，不合题意. 综上，k 的取值范围为(0,2]；（3）由（2），当2k =时，12ln 0x x x --<在(0,1)恒成立，即212ln x x x->， 令2e ()(01)1xm x x x =<<+， 则()222e (1)()01x x m x x -'=>+，故()m x 在(0,1)上单调递增， 所以e ()(1)22m x m <=<，即2e 21xx <+在(0,1)上恒成立. 综上可得，对(0,1)x ∀∈，不等式22e 11ln x x x x x-<+恒成立. 【点睛】关键点点睛：第三问解题关键是在（2）中令2k =得到212ln x x x->，将所证明的不等式转化为证明2e 21xx <+在(0,1)上恒成立即可.。
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A =x x 2-5x +6≤0 ，B =x -1≤x <3 ，则A ∩B =A.x -1≤x <3B.x -1≤x ≤3C.x 2≤x <3D.x 2≤x ≤32.函数f x =2x +x 3-9的零点所在区间为A.0,1 B.1,2C.2,3D.3,43.设函数f x =a -1a x -1+b (a >0，a ≠1)，则函数f x 的单调性A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 无关，且与b 有关C.与a 有关，且与b 无关D.与a 无关，且与b 无关4.已知等差数列a n ，则k =2是a 1+a 11=a k +a 10成立的()条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要5.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则下列说法中正确的是A.l ∥αB.l ⊥βC.若α∩β=a ，则a ∥lD.α⊥β6.已知e 1 ，e 2 是单位向量，且它们的夹角是60°．若a =e 1 +2e 2 ，b =λe 1 -e 2 ，且a =b ，则λ=A.2 B.-2C.2或-3D.3或-27.函数f x =5sin xex+x cos x 在-2π,2π 上的图象大致为AB C D8.设实数x ，y 满足x >32，y >3，不等式k 2x -3 y -3 ≤8x 3+y 3-12x 2-3y 2恒成立，则实数k 的最大值为A.12B.24C.23D.43二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。