初一奥数题有理数的运算技巧简便计算
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数简便运算技巧
有理数简便运算技巧
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊有理数简便运算技巧，这可真是超级有趣又超级实用的东西呢！
比如说在计算 25+36 时，咱可以找“好朋友”呀，25 不是和 4 凑一起是 100 嘛，那把 36 拆分成 32 和 4，先算 25+4 等于 29，再加上 32 是不是就简单多啦！
咱在进行有理数运算时，就像是走在一条充满挑战的小路上。
有时候那些数字就像小怪兽，一个个张牙舞爪的。
但咱不怕呀，咱有妙招！就像孙悟空有金箍棒一样。
再来讲一个技巧，乘法分配律。
哎呀，这个真的是太好用啦！比如计算3×(20+5)，咱就可以把 3 分别乘进去，3×20 加上3×5，一下子就把复杂的计算变简单啦，就好像把一团乱麻给理顺了！你说神奇不神奇？要是遇到像45× 这样的，咱可以把看成，然后用乘法分配律，哇，难题瞬间迎刃而解！
还有呀，咱可以利用相反数来简化计算。
比如说在算一堆数相加时，看到互为相反数的，那就像看到好朋友一样开心呀，它们加起来就是 0 呢！这不就轻松多了嘛！
有理数的简便运算技巧真的是我们数学学习中的好帮手呀！学会了这些技巧，就像是有了一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
大家一定要好好掌握这些技巧哦，绝对能让你的运算能力大大提升！相信我，没错的！。
有理数简便运算与技巧之欧阳文创编
有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。
七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数简便运算技巧(十五法)
有理数轻便运算技能（十五法）有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中一切运算的基本.进行有理数的运算时,若能依据标题标特点,留意采取运算技能,不单能化繁为简,并且会妙趣横生,新鲜新鲜.现举例介绍有理数运算中的几个经常应用技能.一.归类将同类数（如正数或负数）归类盘算. 例1二.凑整 将和为整数的数联合盘算.例2.三.对消将相加得零的数联合盘算. 例3四.组合将分母雷同或易于通分的数联合.例4 盘算：..五.分化将一个数分化成两个或几个数之和的情势,或分化为它的因数相乘的情势.例5六.转化将小数与分数或乘法与除法互相转化. 例6：盘算：例8 盘算：.七.变序应用运算律转变运算次序. 例8. .八.约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简..九.逆用正难则反,逆用运算律转变次序. 例11 盘算：.十.不雅察依据,不雅察算式特点查找运算成果为0.1.例12解： 3.753-原式(0=+-十一.变量调换经由过程引入新变量转化命题构造,如许不单可以削减运算进程,还有利于查找接题思绪,个中的新变量在解题进程中起到桥梁感化．例6(0.125． 解：设则(0.125(b= 1．评析：此题横看纵看都显得比较庞杂,但若细心不雅察,全部式子可分为三个部分：是以,采取变量调换就大大削减了盘算量． 十二.倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常依据所求式构造,采取倒序相加减的办法把问题简化．例8 ＋＋＋…＋．①解：把①式括号内倒序后,得：＋＋＋…＋②①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770,＋＋＋…＋．评析：显然,此类问题是不克不及“硬算”的,倒序相加可进步运算速度,下降庞杂程度．十三.添数配对例9 盘算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1,依次与各数配对相加,得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2×2×2×(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．评析：添数配对本质上也是一种凑整运算．十四.整体换元对于较庞杂的算式直接运算很艰苦,若能抓住其特点,应用整体运算的思维,创造性地加以解决,就能收到事半功倍的后果．例10 盘算1解;设1①则①×(②①－②,得1解得故1十五.分组搭配不雅察所求算式特点,奇妙应用分组搭配处理,可以简化运算．例7 盘算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0＋0＋0＋…＋0= 0．评析：这种分组运算的进程,本质上是奇妙地添括号或去括号问题．。
初中数学方法归纳有理数的简便计算
初中数学方法归纳有理数的简便计算方法1 用运算律进行简便计算【例1】计算：(-24)×(-++-).【方法总结】有理数的运算是整个初中数学的基础，牢固掌握运算法则，灵活运用运算律(加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律)，能简化计算，提高计算速度和能力.常采用的方法有：①在运用加法运算律时，有同号结合、同分母结合、互为相反数的结合、能凑成整(十、百)数的结合；②在运算乘法运算律时，互为倒数的数相乘、相乘得整(十、百、千)数的相乘，正向、逆向运用乘法分配律.变式练习1 计算：(1)(+6)+(-18)+(+4)+(-6.8)+18+(-3.2)； (2)(-8)×(+9)×(-0.125)×(-1)；(3)×(-)-2×(-)+×(-14).方法2 用倒数法进行简便计算【例2】计算：÷(+--+(+--)÷.【方法总结】数学中有些问题根据已知条件及式子的特点和内在规律，把其中相关的式子取其倒数，用倒数法来分析，能奏奇效，顺利解决问题.变式练习2 计算：(-)÷(--).方法3 运用错位相减法进行简便计算【例3】(2013·张家界)阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22 013.解：设S=1+2+22+23+24+…+22 013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22 013+22 014.将下式减去上式得2S-S=22 014-1.即S=1+2+22+23+24+…+22 013=22 014-1.请你仿照此法计算：(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【方法总结】在有理数的运算中，某些算式很复杂，不易计算出结果，但相邻两项的比相等，可以乘以一个数将这一数列的项与另一个数列的项错位相减，从而出奇制胜，求出结果.变式练习3 (2013·天水)观察下列运算过程：S=1+3+32+…+32 012+32 013①，①×3得3S=3+32+33+…+32 013+32 014②，②-①得2S=32 014-1，S=.通过上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52 012+52 013=_________.方法4 运用裂项法进行简便计算【例4】观察下面的变形规律：=1-；=-；=-；…=-；…解答下面的问题：(1)试求+++…+；(2)若n为正整数，请你猜想=________；(3)试求+++…+的值.【方法总结】裂项就是将一个数分裂成两个或多个数之和差，使它与原数相等，再与其他数进行运算，从而快捷、简便地计算.变式练习4设S=+++…+,T=+++…+,则S-T=( )。
初一奥数 第五讲 有理数的计算技巧
第六节 活学巧算【知识要点】1．裂项相消法：有些求若干个分数之和的计算题，如果用通分的方法来解答，显得既繁又难，也很不容易求出正确答案，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．2．裂项公式：（1）()11+n n 型（n 为自然数）裂项公式．因为111+-n n =())1(1)1(11+=+-++n n n n n n n n ， 所以，有裂项公式()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型（k n ,均为自然数）裂项公式．⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n k 111()()()k n n k n n n k n n k n k +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=11 所以，有裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 姓名： 日期：（3）)(k n n k +型（k n ,均为自然数）裂项公式．因为)()()(11k n n k k n n n k n n k n k n n +=+-++=+-，所以，有裂项公式kn n k n n k +-=+11)(．3．倒写相加法：用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法．4、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化。
这种方法叫做整体换元法。
【典型例题】例1 计算：10032114321132112111+++++++++++++++．例2 求证：()()()212324321641531421311+++-=+++⨯+⨯+⨯+⨯n n n n n ．例3 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++19991141131121119991411311211413112113121121例4、 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++9897983981656361434121例5．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+9182734637281941322314312213211211例6.比较200022000164834221+++++=S 与2的大小．例7、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++199613121119971413121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-199614131211997131211【经典练习】1．计算：()()13231741411+-++⨯+⨯n n ．2．计算：191817143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯3．计算：200320017531++++++4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++60596058602601545352514342413231215．计算：2019181715432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯6．122000200120012001+++=7．1111399241111111111111111112232342399+++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．111113142531999199720001998+++++=⨯⨯⨯⨯⨯9.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++7665544332766554433221121766554433221766554433221210．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++17113111119117113111111911711311111711311111思考题：222222221223342000200112233420002001+++++++=⨯⨯⨯⨯有理数的巧算作业1．111111123456761220304256++++++=2．32191617815413211++++姓名： 成绩：3．1111 1661111165156 ++++⨯⨯⨯⨯4．()() 22222222 24610013599 12310981++++-+++= ++++++++5．1111 224246246200 ++++++++++。
【初一数学】初一奥数专题七有理数计算技巧(二)(共5页)
� „+
7
2
�于等 T-S 则�
2
+
2
+ + =T �
1 1
5
3
99 * 79
94
2
+„+
7*5
3
2
+
5*3
2
2
+
3 *1 2
=S 设 �题赛竞杯羊五届 41 第� �6
�
3
5
3*51.6+6.3-
81 5
/58.4 � *
4
]5.5-)
12
1
� 算 计 � 题 赛 竞 杯 春 迎 届 01 第 � � 01
�少多是各出支和入收的年去庭家个这�%01 了少减年前比出支 而�%51 了加增年前比入收的年去知已�元 0059 余结年去�元 0005 余结年前庭家某 �01
。用费油耗的低最务任项此成完求�元 n 油汽升每� �关有程路的驶行与 虑考只量油耗�升 m 油耗米千每驶行车程工若。库仓回返并�务任的根 81 送运成完求 要 �根 4 杆线电送运能只多至次每车程工知已 。杆线电立栽米 001 隔每前向边一的路公 沿求要�立栽边路公的处米 0001 为恰库仓离到送运杆线电泥水上装库仓从车程工某、 �9
91
+ 1(*57.1[2
3
-(/])6-(/4)2-(+)5.6-(*
31 4
�算计�题赛竞杯春迎届 11 第� �9 -2) 3-([+)38-(*4�52.0-�
1
3
)
2
1
3
09 1
9+
17
27
8-
65 1
有理数计算运算技巧讲解
初一数学竞赛选讲有理数的巧算（一）有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 34345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n 2-(n 2-12)=n 2-n 2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690． 例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(．解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… =(232-1)(232+1) =264-1．1、若单项式324y x m --与单项式n y x 27332-能合并成一项，求()n m n m 2222--+的值．2、设P=223b ab a ++，Q=223b ab a +-且P －[Q －2P －（－P －Q ）]+R=222b ab a ++，求R ． 3、计算：①求)26532(3)54332(2434-+---+-x x x x x x 的值，此时x=21- ②求32332331)]}3(2[22{23b ab a b a b ba b a a --+--+-的值，此时a=2，b=3．1、 求代数式1234567891023456789+++++++++x x x x x x x x x ，当x=－1时的值时由于将式子中某两项的“+”号看成了“－”号，算出的结果为7，看错的是哪几项？ 2、 多项式42112435--++-++m n n nm nmnmy x v uy x v u （其中m 、n 为正整数）化简后为三项式，求mn 的值。
有理数运算的十种技巧
２ （ １ 一 而 １） ＝ 而 ２ ０ ０
．
孚： ÷（ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ５ ９ ） ： 了 １ ×
＝８ ８ ５ ．
说 明 ： 形 如 面的 分 数 。 可 以 拆 成 ÷ （
— －） Ｉ 的形 式 ． ， ｌ ＋ 口
二、 巧用饲序法
例 ２ 计算
解： 设 ＝
Ｉ 、
解 ： 设 ｓ ＝ １ ＋ （ ÷＋ 丁 ２ ） ＋ （ ÷＋ ２ ＋ ３ ） ＋
（１
，
即 ２ Ａ ＝２ Ｘ４ ０１ １ ．
了 了 了 了 ） 一 ＋【 丽
２
３
４、
，１
２
＋ ‘ 一 丽 丽 ） ’
４ ８ ４ ９、
辽一 一 一
有理数的运算是初 中代数运算 中 的基 础运算 ， 它有
一
‘ ． ．
Ａ ＝４ ０ １ １ ． ． ． ．原 式 ＝ ４ ０ １ １ ．
定规律 和技 巧． 只要 认 真 分析 和研 究题 目的 内在 特
三、 巧 用 拆 项 法
征， 并根据这些特 征灵活 巧妙 地运 用运算 法则 、 运算 定 律和有针对性地运用 一定 的方法和技巧 ， 不但可 以使运
解 ： 因 为 （ ÷ ＋ 西 １ 一 ÷ 一 ） ÷ ＝ （ ÷ ＋ 去 一 ÷
一
一
１、
） ，
嘉） 嘉 ９ ３ — １ ４ 一 ｌ 一 ３ ，
所以原式 ＝ 一 ÷一 ３ ：一 ３ ÷
八、 巧 用 添项 法
两式相加得 ２ Ｓ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４＋… ＋ ４ ９ ．
解 ： 原 式 ＝ ｝ ＋ （ ÷＋ 号 ） ＋ （ ｝＋ ÷ ＋ ÷ ） ＋ …
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法重难点题型
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【题型1 归类法】【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913.【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【题型2 凑整法】【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣2.5）【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4； （2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4） （2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5；（2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【题型3 逆向法】【例3】计算：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)；【题型4 拆项法】【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【变式4-2】计算：﹣991517×34．【变式4-3】计算：399498399×(−6)【题型5 组合法】【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【题型6 裂项相消法】【例6】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值． （3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342= ＝ ，1772= ＝ ．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：1n(n+1)= ．（2）探究并计算下列各式： ①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【变式6-3】阅读理解题 第1个等式：12=2−12×1=1−12； 第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式： ； （2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．。
初一奥数有理数的四则运算
模块一：知识巩固有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
a －b ＝a ＋(-b )有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
1a b a b÷=⋅，(b ≠0)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；有理数的混合运算： 1．先乘除后加减2．同级运算，从左到右模块二：重点题与易错题【例1】6523157-+-+【例2】32624416 6.8 3.255++---【例3】()()(){}34|15|7-+-+-+---⎡⎤⎣⎦【例4】下列计算正确的是( )A ．111111339⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1281217⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭C ．()1717⎛⎫-⨯+=- ⎪⎝⎭D ．()1313⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭【例5】23155174148⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-÷-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例6】()()()511121124815601226232⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⨯--÷-÷-+-⨯-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭【例7】()()()()329126448624416 6.8 3.225055-+÷---⨯-÷-+++---+【例8】()()()1112310.255 3.524244324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯-+÷⨯÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭模块三：竞赛题与压轴题【例9】()25171412455824138612211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⨯÷---⨯-÷-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【例10】123456789101112...2005200620072008--++--++--+++--+模块四：总结与拓展1．养成良好的计算习惯2．掌握各种计算技巧在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．计算：178－3＋2－77 A ．-180 B ．180 C ．-100 D ．1002．计算：2116450110054993737..-++--A ．-5B ．5C ．-100D ．03．计算：()()()()34|15|17-+-+-+-+- A ．-1 B ．1 C ．0 D ．24．下列计算不正确的是( )A ．()1515⎛⎫+÷-=- ⎪⎝⎭B ．()9292⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭ C ．1771750⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭D ． 117111339⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．计算：121231123534⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．12B ．12-C ．34D ．34-6．计算：()()222735187794311610137516⎛⎫⎡⎤-⨯-⨯⨯-+--÷÷ ⎪⎣⎦⎝⎭ A ．27 B ．-20 C ．7 D ．-77．计算：()21405207533..⎡⎤-+-÷+⨯⎢⎥⎣⎦A ．394B ．394-C ．10D ．10-8．计算：()15105139512103737372.⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦A ．-8B ．8C ．-8.5D ．8.59．计算：11111991223344599100100⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++÷-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎣⎦A ．99B ．-99C ．1D ．-110．计算：2011999988977966955944933922911------------------ A ．2111 B ．1112 C ．1111 D ．2000。
初一有理巧算精品
有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、 归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷． 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算： －(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)= (－0.5 + 2.75) + (341－721)= 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)=－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、 凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度， 提高解题效率．例2 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、 整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、 变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]= 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)]= 11＋(－73)= 1074．评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．四、 逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活 变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 例4 计算：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88．解：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88 =17.48³37＋(17.48³10)³1.9＋17.48³44=17.48³37＋17.48³19＋17.48³44 = 17.48³(37＋19＋44) = 1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、 巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．例5 计算2005³20042003－1001³10021001．解：2005³20042003－100210011001= (2004＋1)³20042003－(1002－1)³10021001= (2003－1001)＋(20042003＋10021001)=100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、 变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路， 其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-) =c ab a +³(b ＋ac ) =c ab a+³ac ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．七、 分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算． 例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．八、 倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8 计算 21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．①解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．九、 添数配对例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2³103＋2³104＋…＋2³109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45 = 2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．十、 整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地 加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，①则①³(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ， ②① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
有理数简便运算技巧(十五法)之欧阳化创编
有理数简便运算技巧（十五法）有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()() 231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234 =+++-+-+-⎡⎤⎣⎦() 69 =+-3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+-12282=-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()() 5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263 =-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦009 =++ 9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：1111 25434236 -+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例6：计算：例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
11221212=+=七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭。
。
13131=-⨯=-八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第02章-有理数及其运算
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第02章-有理数及其运算1.整数和分数的大小比较：-方法一：通分。
将整数转换为分数，然后通分进行比较。
-方法二：化为相同的分数形式。
将分数化为相同的分母，然后比较分子的大小。
-方法三：换算成小数进行比较。
将分数转换为小数形式，然后比较大小。
2.有理数的加法和减法运算：-方法一：同分母相加（减）。
-方法二：通分后相加（减）。
3.有理数的乘法运算：-方法一：分子乘分子，分母乘分母。
-方法二：化为最简形式。
-方法三：化为小数进行计算。
4.有理数的除法运算：-方法一：分子乘除分子，分母乘除分母。
-方法二：化为最简形式。
-方法三：化为小数进行计算。
5.有理数的混合运算：-方法一：先按运算顺序完成个别运算，然后进行总体运算。
-方法二：化为分数形式进行运算。
6.有理数的平方运算：-方法一：整数的平方是整数，分数的平方是分数。
-方法二：先化为最简形式，再进行平方运算。
7.有理数的相反数和绝对值：-方法一：相反数是原数的负数。
-方法二：绝对值是原数的去掉符号的值。
8.有理数的乘方运算：-方法一：整数次幂，底数不变，指数相乘。
-方法二：0的正整数次幂为0。
-方法三：0的非正整数次幂无意义。
-方法四：1的任何整数次幂都为1-方法五：负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数。
-方法六：分数的乘方运算，将底数与指数分别进行乘方运算。
9.有理数的开方运算：-方法一：将开方式化为最简形式。
-方法二：将开方数化为分数形式。
-方法三：化为小数进行计算。
10.展示解题过程和解题思路。
解答有理数的运算问题时，尽量展示解题过程和解题思路，不仅仅写出答案，可以加深对有理数运算规则的理解，并且能体现出解题的逻辑性和连贯性。
11.理解运算规则。
熟练掌握有理数的运算规则，不仅能快速解答题目，还能够在解题过程中发现和运用运算规则，更好地理解数学概念和思维方法。
初一奥数题有理数的运算技巧简便计算
el usrnot for commeciah tna personl use oly in sudy andresearc; rFo巧算技运有理数的肁姓名袀有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。
只要认真分析和研究题目的芆运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
膄一. 巧用运算律螂例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）羂求和蚈9533583111112222233 )(? ?? ?)?????)?(?? ???(?? ?)?(?袇0059664935234960455604659 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
11212312359?(?)?(??)? ??(??? ?)解：原式薂6060606044433292?541?????? 222221951??2?3??) (2蝿9(11?59)?5??225?88螇二. 巧用倒序法芆4005123??? ?例2. 计算节20032003200320031234005?????A 设解：，把等式右边倒序排列，得螁20032003200320034005400421A????? 腿2003200320032003将两式相加，得蚆1400524004400512A?(?)?(?)? ?(?)肃2003200320032003200320032A?2?4005A50?40即，所以袂所以原式＝4005 芇巧用拆项法. 三肅．例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）螃1111? ??1???________ 计算虿0?2?3??10?21?21??31?2?341分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍蚀1122211????，而的反序相加法，不难求得最后两项为，004950550999?1009910?4950509 221??同理，薅1010550010那么本题就不难解决了。
有理数的巧算
有理数的巧算摘要：有理数的运算是初中生计算能力培养的关键时期，如何计算，需要方法与一定技巧的，要观察题目的结构，明确运算的顺序，平时要积累一定的经验，合理运用方法会给运算带来简便。
关键词：换元法；1.运用字母换代数式例1 计算：【思路分析】这是一道有理数混合运算的题目，涉及多个异分母的分数相加、相减、相乘的运算，常规法（通分）计算量大。
观察上述式子的结构，不难发现每个括号里都有，我们不妨用字母来表示这个代数式。
解法一：设，则原式＝＝＝解法二：设，，则原式＝＝＝【经验分享】本题根据算式的结构，巧妙用字母代替部分算式，把有理数的运算转化为整式运算，从而化繁为简。
2.巧用运算律例2计算：【思路分析】运算涉及加减乘三种运算，不按运算顺序来计算时，工作量却很大。
观察结构发现可以用运算律（分配律）解法：原式＝＝＝154000【经验分享】观察算式结构，当出现相同数据或可以凑成成百或成千时，尝试用乘法的分配律。
也可以通过提取或，同学们自己去试一试。
3.分解相约法例3计算【思路分析】观察算式的结构，发现19与76两位数不断重复，我们可以利用分解法让数据简化表示。
解法：原式＝＝＝＝【经验分享】解题的关键在于进行分解为：，再进行约分即可解决问题。
4.拆项相消法例4计算：【思路分析】试题呈现的是两个连续的正整数的积，直接算显然是不好算的，我们可以采用拆项相消法来进行。
如解法：原式＝＝【经验分享】此题看似简单，但实质不易解，虽然是相邻正整数乘积和，要解决这类问题要“欲擒故纵”，先让算式扩张，再相消后得出结论。
其核心原理如下：5.错位相减法例5计算.【思路分析】观察算式都是以2底数的幂，中间是用减号连接，首尾用加连接的，用错位相减法来计算，或者降次来计算。
解法1：设①②②-①得原式===解法2：原式=====【经验分享】通过错位相消的方法，来解决相同底数与指数连续为正整数的和，或者通过来降次的目的。
练习参考文献【1】黄东坡.数学培优新方法7年级[m].37-45.【2】赵漫莉.用待定系数求二次函数的解析式[J].数学天地，2022（4）：2-3。
有理数运算中的几个技巧
有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)． 41+ 0.75 －21=－2． 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1= (20＋300＋4000＋50000)－4= 54320－4= 54316．在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]． 解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127] = 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)] = 11＋(－73) = 1074． 评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44= 17.48×(37＋19＋44)= 1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．例5 计算2005×20042003－1001×10021001． 解：2005×20042003－100210011001 = (2004＋1)×20042003－(1002－1)×10021001= (2003－1001)＋(20042003＋10021001) =100320042001． 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则 512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-) = c ab a +×(b ＋ac ) =c ab a +×ac ab + = 1． 评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 七、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0＋0＋0＋…＋0= 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．九、添数配对例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．十、整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，① 则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ， ② ① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171． 评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．。
有理数简便运算与技巧
有理数简便运算与技巧之邯郸勺丸创作有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中一切运算的基础.进行有理数的运算时,若能按照题目的特征,注意采取运算技巧,不单能化繁为简,并且会妙趣横生,新颖新颖.现举例介绍有理数运算中的几个经常使用技巧.一、归类将同类数（如正数或正数）归类计算.例1 计算：()()()-+++-++-.231324解：原式()()()()=+++-+-+-312234⎡⎤⎣⎦=-.3二、凑整将和为整数的数结合计算.例2 计算：36.54228263.46+-+.解：原式()=++-36.5463.462282=.40三、对消将相加得零的数结合计算.例3 计算：()()()5464332+-++++-+-.解：原式()()()=-+++-+-++4453263⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=.9四、组合将分母相同或易于通分的数结合.例4 计算：55115521012249186---+. 解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-. 五、分化将一个数分化成两个或几个数之和的形式,或分化为它的因数相乘的形式.例5 计算：111125434236-+-+.解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=. 例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯.解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=.六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化.例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-.七、变序运用运算律改动运算顺序.例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-. 例9 计算：38871159158⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式8881559158⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭ 13=-. 八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简.例10 计算：()()61112.50.125 1.250.6215284⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭. 解：原式()()62.50.125 1.25521110.621284-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 九、逆用 正难则反,逆用运算律改动次序.例11 计算：2283210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式258715122144⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14=. 十、不雅察按照0、1、1-在运算中的特性,不雅察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算.例12 计算：()()20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：33.75304-=,()200911-=-. ∴原式()011=+-=-.妙用字母解题在我们学习的过程中,常会遇到一些数据大、关系庞杂的计算题,令人望而生畏,无从着手．这时,如果我们仔细不雅察数据特点,探究数据规律,巧妙利用字母代替数字,将会收到化繁为简,化难为易的效果．例1 计算11111111111111232004232003232004232003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 阐发：本题显然不克不及用常规办法直接计算,不雅察式子的4个小部分,我们发明各部分的相同项很多,如果把相同部分用一个字母来代替,则可使运算大大简化．解：设1111232003a ++++=,111232003b +++=． 则原式1120042004b a a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12004200420042004a b a b -=-==． 评注：本题是分数计算题,若直接计算是很繁很难的,本题巧用整体思考,妙用字母代替数就简单多了,这充分辩明了用字母暗示数的作用．例2 计算17.4837174.8 1.98.7488⨯+⨯+⨯．阐发：本题若直接进行计算也未尝不成,但通过不雅察发明：17.48,174.8,8.74之间有着特殊的关系,若设17.48a =,则174.810a =,8.742a =,这样,原式可化为含字母a 的代数式,我们只需合并同类项,然后将a 的取值代入进行求值即可,计算量明显减小． 解：设17.48a =,则174.810a =,8.742a =,则原式可化为()371944371944100a a a a a ++=++=,将17.48a =代入,得原式1748=． 评注：通过不雅察数字特点,运用字母代替数,使计算过程简化,收到了事半功倍的效果．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
e
l usrnot for commeciah tna personl use oly in sudy andresearc; rFo
巧算技运有理数的肁
姓名袀
有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。
只要认真分析和研究题目的芆运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
膄
一. 巧用运算律螂
例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）羂
求和蚈
9533583111112222233 )(? ?? ?)?????)?(?? ???(?? ?)?(?袇
0059664935234960455604659 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
11212312359?(?)?(??)? ??(??? ?)解：原式薂60606060444332
92?541?????? 222221951??2?3??) (2蝿9(11?59)?5??225?88
螇
二. 巧用倒序法芆
4005123??? ?例2. 计算节2003200320032003
1234005?????A 设解：，把等式右边倒序排列，得螁2003200320032003
4005400421A????? 腿2003200320032003
将两式相加，得蚆
1400524004400512A?(?)?(?)? ?(?)肃
200320032003200320032003
2A?2?4005A50?40即，所以袂
所以原式＝4005 芇
巧用拆项法. 三肅．
例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）螃
1111? ??1???________ 计算虿
0?2?3??10?21?21??31?2?341
分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍
蚀1122211????，而的反序相加法，不难求得最后两项为，004950550999?1009910?4950509 221??同理，薅1010550010
那么本题就不难解决了。
薃
22222???1???? 原式解：螁09001612200109
111111111)???? ???2(1????螈1019349100100223 0210??)?21(羄101011
1111?)(的分数，可以拆成说明：形如的形式。
芄ann?a a)(nn?
四. 巧用反序相加减的方法螂
（第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）4.例袇．
2942412123183411_____ 计算?)???)? ?(?? ??(?)?(??)?(?蚇
055055555050323444
分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易肄行。
98431234124112?2 解：设)??(?? ??)?(?)?(???)? S??(?蕿
005050523344455555
14821432?491213)(??? ?)???(??)????S?(?)(又艿
0555550503234445
94? ?4?2S?1?23?两式相加得肇
1??2?2S?4948?47? 又螅
020?49?45S4?5上面两式相加得蚁
612.5 故S＝莇
巧用缩放法五. 螀
1的整数部分。
例5. 求蒅1111??? ?10111219
分析：直接进行计算较繁，若想到利用缩、放的方法，可快速估算出值的范围。
缩放法是“求整羆数部分”以及相关题型的常用方法。
11??解：原式羄111??? 101010 个10
1.??19原式腿111??? 191919 个10
原式<1.9，所以所求整数部分是1。
即1<芅
螄
巧用整体换元法六. 肂
年初一数学竞赛决赛题）6. （广西2005例虿
111111111111 计算))(?? ? ?(1??? )?(1?????(?? )羆
402000042320523302320522
分析：本题目从结构上看相当繁琐，因此要选择恰当的方法进行计算。
不妨巧用整体换元法，那袅么本题就不难解决了，计算就简便了。
111a1? ????令解：膀403022
11)a??(a)(a?1?1a(??)则原式肈50025002
11122???aa??aa?a?a200520052005螆1?2005
. 巧用倒数法七袆
1117111711?)?)(??(?????计算例7.薃683346136214121863
1171711111?(?))???(???而与为倒数因分析：，互为蒈66314482138136312611171(??)??比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。
633148126
11117?)(???解：因为蒇681343126
17116)???(3??蚄6148123
1?143?9??蚁3??
113?3????所以原式膁33
. 巧用添项法八芇
599?99?912111?9?93194199例8.计算螅
的和，利用加法结合律可以使运算简便5，8，76，分析：观察算式的特征，发现将算式添上9，肄快捷。
原式解：)19?()1994?6?(99995?55?76?)?(9?8?)9?2??1(1?9)(19?8)(193?7薀
35?200000??20200?2000?20000?35?222220?羇222185?
九. 巧用配对的方法薂
9. （第六届“华罗庚杯”数学竞赛复赛试题）例膂
1997135? ????相比较，哪个更大？为什么？与肀081001624
91973579?A?????? 设解：蚈002468981
构造对偶式薄
009246891??B????? 芀1357910010
1004239911A???B?????? 那么葿1541010010132
112，?A?A A<B而，所以蒈01101
1991357? ?????即蚅016810024
蚃
十. 巧用凑整法袈
11241.?38??1?245?1?例计算：10. 膈63635
分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用蒃“凑整”法。
41121)8(?)(?2?5)?4?3.???(11原式解：螁53366
1??8?芈7??
罿
蒄
参考答案：膄11371142 1005507.5 8. 7. 24552 6. 2004 －2. 1. 11 3. 32 4. 5. 28181 12.8 －9. 10. 5．。